高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1福建省龍巖市非一級達(dá)標(biāo)校聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.雙曲線的焦距為（）A.3 B.6 C. D.【答案】B【解析】雙曲線,則則則.則焦距為.故選：B.2.已知數(shù)列1，，2，，3，，…，根據(jù)該數(shù)列的規(guī)律，100是該數(shù)列的第（）A.100項(xiàng) B.101項(xiàng) C.199項(xiàng) D.200項(xiàng)【答案】C【解析】根據(jù)該數(shù)列規(guī)律可將數(shù)列進(jìn)行分組，每一組含有兩個(gè)互為相反數(shù)的組合，因此100即為第100組的第一個(gè)數(shù)，其前面有99組，每一組有兩項(xiàng)，因此100是該數(shù)列的第項(xiàng).故選：C3.圓與圓的位置關(guān)系為（）A.相交 B.外切 C.相離 D.內(nèi)切【答案】B【解析】由，知，半徑，由，知，半徑，所以，即兩圓外切.故選：B.4.羅星塔是航海燈塔，是福州港口的標(biāo)志，是國際上公認(rèn)的海上重要航標(biāo)之一，世界許多航海圖上都標(biāo)有羅星塔.如圖，該塔為七層仿樓閣式石塔，假設(shè)該塔底層（第一層）的底面直徑為8米，且每往上一層，底面直徑減少0.6米，則該塔頂層（第七層）的底面直徑為（）A.3.1米 B.3.8米 C.4.4米 D.5米【答案】C【解析】由題意，從第一層到頂層的底面直徑構(gòu)成首項(xiàng)為8，公差為的等差數(shù)列，所以米.故選：C.5.已知是雙曲線的右焦點(diǎn)，則點(diǎn)到的漸近線的距離為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題設(shè)，漸近線為，則點(diǎn)到的漸近線的距離.故選：A6.若直線：與橢圓：沒有公共點(diǎn)，則的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由可得，故，故或，故選：D7.已知直線及兩點(diǎn)，，若直線與線段相交，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】易知直線過定點(diǎn)，如下圖所示：易知當(dāng)直線與線段相交時(shí)，直線需處在直線與直線之間；且，，又易知可化為，其斜率為，因此可得，解得.即的取值范圍是.故選：C8.已知，，若直線上存在點(diǎn)P，使得，則t的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】設(shè)，則，，因?yàn)?，所以，即，所以點(diǎn)在以為圓心，4為半徑的圓上.點(diǎn)在直線上，所以直線與圓有公共點(diǎn)，則，解得故選:B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知圓：，下列結(jié)論正確的是（）A.過點(diǎn)且與圓相切的直線的方程為B.過點(diǎn)且與圓相切的直線的方程為C.直線：與圓交于，兩點(diǎn)，則D.直線：與圓交于，兩點(diǎn)，則【答案】AC【解析】對于A、B選項(xiàng)，首先，點(diǎn)到圓的圓心的距離為，剛好等于圓的半徑，所以點(diǎn)在圓上.顯然斜率不存在時(shí)不滿足題意，則設(shè)過點(diǎn)的切線方程為，即.根據(jù)圓心到切線的距離等于半徑，由點(diǎn)到直線距離公式則，即.兩邊平方，解得.所以切線方程為，即，A選項(xiàng)正確，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.對于C、D選項(xiàng)，對于直線，圓心到直線的距離.根據(jù)弦長公式，則，C選項(xiàng)正確，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC.10.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則（）A. B.C. D.的前項(xiàng)積【答案】AB【解析】A：令，則，對；B：因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，作差可得，又，所以是首項(xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列，則，對；C：由B分析知，，錯(cuò)；D：由上知，，錯(cuò).故選：AB.11.已知橢圓：（）與雙曲線：（，）有公共焦點(diǎn)，，與在第一象限的交點(diǎn)為，且，記，的離心率分別為，．下列結(jié)論正確的是（）A.若，，則B.若，則C.的最小值為1D.記的內(nèi)心為，的右頂點(diǎn)為，則軸【答案】ABD【解析】對于選項(xiàng)A，根據(jù)橢圓定義，已知，，則，所以.根據(jù)雙曲線定義，則，所以.因?yàn)?，根?jù)勾股定理，將，代入得，即，，解得.雙曲線的離心率，因?yàn)?，，所以，故選項(xiàng)A正確.對于選項(xiàng)B，設(shè)，，由橢圓定義，由雙曲線定義，解得，.因?yàn)?，所以，即，化簡?已知，設(shè)，，代入得，解得.雙曲線的離心率，故選項(xiàng)B正確.對于選項(xiàng)C，由，則.根據(jù)均值不等式，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，橢圓和雙曲線離心率不可能取等，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤.對于選項(xiàng)D，設(shè)的內(nèi)切圓半徑為.根據(jù)三角形面積公式，.又，，可得，，.，.設(shè)，的橫坐標(biāo)為，（，為，的橫坐標(biāo)），因?yàn)?，，，所以軸，選項(xiàng)D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知直線，，且，則______.【答案】【解析】由，則，即.13.已知橢圓：（）的離心率為，左焦點(diǎn)為，過且垂直于軸的直線被橢圓所截得的線段長為，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為______．【答案】【解析】由題設(shè)有，故，解得，故，故故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，故答案為：.14.在數(shù)列中，，.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若恒成立，則的取值范圍為______.【答案】【解析】由，可得，即，所以，又，所以是以為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，則，，，因?yàn)?，所以，所以，又恒成立，即恒成立，，?四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知不過原點(diǎn)的直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，且過點(diǎn).（1）求直線的方程；（2）若圓經(jīng)過原點(diǎn)和點(diǎn)，且圓心在直線上，求圓方程.解：（1）設(shè)直線的方程為（），因?yàn)橹本€過點(diǎn)，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線方程可得，化簡方程即，解得，所以直線的方程為.（2）設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，因?yàn)閳A經(jīng)過原點(diǎn)和點(diǎn)，將原點(diǎn)坐標(biāo)代入圓的方程可得，將點(diǎn)代入圓的方程可得，又因?yàn)閳A心在直線上，所以，由和相減可得：，即，聯(lián)立方程，解得，，把，代入得，所以圓的方程為.16.已知單調(diào)遞增的等差數(shù)列滿足.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求的前項(xiàng)和，并求的最小值及此時(shí)的值；（3）求使成立的的最小值.解：（1）令的公差為，且，則，所以，可得（負(fù)值舍），則，所以.（2）由（1）可得，，所以，當(dāng)或3時(shí)最小為.（3）由（1）（2）有，則，又，故時(shí)成立，故的最小值為7.17.已知雙曲線左、右焦點(diǎn)分別為，，的右頂點(diǎn)在圓上，且.（1）求的方程；（2）點(diǎn)在上，且軸，過點(diǎn)作兩條漸近線的垂線，垂足分別為，，求.解：（1）由題意，又，即，又，由，即，所以.（2）由（1）知：，將代入雙曲線，得，令，又雙曲線漸近線為，如下圖示，所以，，則.18.已知數(shù)列滿足，；數(shù)列滿足，.（1）求，的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和；（3）若滿足不等式的正整數(shù)的個(gè)數(shù)為3，求的取值范圍.解：（1），時(shí)，，所以，而，綜上所述的通項(xiàng)公式為，因?yàn)?，，所以是首?xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，從而；（2）由題意，所以，所以，所以；（3）令，則，從而，注意到，因?yàn)闈M足不等式的正整數(shù)的個(gè)數(shù)為3，所以當(dāng)且僅當(dāng)?shù)娜≈捣秶?19.古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯，與歐幾里得、阿基米德并稱古希臘三大數(shù)學(xué)家.他的著作《圓錐曲線論》是古代數(shù)學(xué)光輝的科學(xué)成果，其中一發(fā)現(xiàn)可表述為“平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)，的距離之比為定值的點(diǎn)的軌跡是圓”.后來，人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.如平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)，的距離之比為定值2，則點(diǎn)的軌跡就是阿氏圓，記為.（1）求的方程；（2）若與軸分別交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，不在軸上的點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，直線HE，HF與的另一個(gè)交點(diǎn)分別為，，證明直線MN經(jīng)過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)