高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1福建省三明市五縣聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期期中質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】對(duì)于選項(xiàng)A：，A正確.對(duì)于選項(xiàng)B：，B錯(cuò)誤.對(duì)于選項(xiàng)C：，C錯(cuò)誤.對(duì)于選項(xiàng)D：，D錯(cuò)誤.故選：A.2.2025年春節(jié)期間，全國(guó)各大影院熱映3部?jī)?yōu)秀的影片：《哪吒之魔童鬧海》、《唐探1900》、《封神2》.現(xiàn)有4名同學(xué)，每人選擇這3部影片中的1部觀看，每部電影都有人觀看，恰有2名同學(xué)選擇觀看同一部影片，共有（）種不同的選擇方法.A.81種 B.64種 C.36種 D.24種【答案】C【解析】根據(jù)題意，先把4人分成3組，其中一組2人，其他兩組個(gè)1人，再將分成的三組分到熱映3部?jī)?yōu)秀的影片，共有.故選：C.3.從1，2，3，4，5中任取2個(gè)不同的數(shù)，記事件：取到的2個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)，事件取到的2個(gè)數(shù)均為偶數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】事件包含的基本事件有事件包含的基本事件有，故概率為，故選：B4.的展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為（）A.240 B.160 C.-60 D.-160【答案】D【解析】因?yàn)?，所?對(duì)于，則其展開式的通項(xiàng)公式為：（）.令，解得.將代入到通項(xiàng)公式中，可得含項(xiàng)為.即含項(xiàng)的系數(shù)為.故選：D.5.函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?，因?yàn)椋?，令，即，所以，解得，所以函?shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.故選：B.6.某飛碟運(yùn)動(dòng)員每次射擊中靶的概率為，連續(xù)射擊3次，至少擊中兩次的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】至少擊中兩次包括擊中2次和擊中3次,所以至少擊中兩次的概率為,故選:C.7.如圖，直線和圓，當(dāng)從開始在平面上按逆時(shí)針方向繞點(diǎn)O勻速轉(zhuǎn)動(dòng)（轉(zhuǎn)動(dòng)角度不超過）時(shí)，它掃過的圓內(nèi)陰影部分的面積是時(shí)間的函數(shù)，這個(gè)函數(shù)的圖象大致是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由幾何特征可知，直線掃過的圓內(nèi)陰影部分的面積是時(shí)間的函數(shù)，且由圓的對(duì)稱性，將此函數(shù)的圖像只看一半,且圖像是類似對(duì)稱的，可知面積關(guān)于時(shí)間的函數(shù)的變化率是逐漸變大的，故此函數(shù)的圖像的切線的斜率應(yīng)為逐漸變大的.可知D選項(xiàng)符合題意.故選：D.8.已知函數(shù)是定義在上的函數(shù)，且滿足，其中為的導(dǎo)數(shù)，設(shè)，，，則、、的大小關(guān)系是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】令，則，因?yàn)?，而恒成立，所以，所以在上單調(diào)遞增，又，所以，因?yàn)?，，，所以，?故選：D.二、多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得部分分.）9.化學(xué)課上，老師帶同學(xué)進(jìn)行酸堿平衡測(cè)量實(shí)驗(yàn)，由于物質(zhì)的量濃度差異，測(cè)量酸堿度pH值時(shí)會(huì)造成一定的誤差，甲小組進(jìn)行的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差和乙小組進(jìn)行的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差均符合正態(tài)分布，其中，，已知正態(tài)分布密度函數(shù)，記和所對(duì)應(yīng)的正態(tài)分布密度函數(shù)分別為，，則（）A.B.乙小組的實(shí)驗(yàn)誤差數(shù)據(jù)相對(duì)于甲小組更集中C.D.【答案】AC【解析】由正態(tài)分布密度函數(shù)曲線可知，數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差越小，數(shù)據(jù)越集中在均值附近，峰值越大，反之，標(biāo)準(zhǔn)差越大，數(shù)據(jù)越分散，峰值越小.對(duì)于兩個(gè)小組誤差，甲組的標(biāo)準(zhǔn)差，乙組的標(biāo)準(zhǔn)差顯然甲組的標(biāo)準(zhǔn)差更小，故峰值更大，數(shù)據(jù)相對(duì)乙組更集中，故A正確，B錯(cuò)誤；故C正確;而對(duì)于任何正態(tài)分布都有故，故D錯(cuò)誤.故選：AC.10.隨機(jī)事件、滿足，，，下列說法正確的是（）A.事件與事件相互獨(dú)立 B.C. D.【答案】ABC【解析】根據(jù)，可得；又，可得，則事件與事件B相互獨(dú)立，，故AB正確，D錯(cuò)誤；由，則，故C正確.故選：ABC.11.已知函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，則下列選項(xiàng)正確的有（）A. B.C.若，則 D.【答案】ACD【解析】A選項(xiàng)：，因?yàn)榇嬖趦蓚€(gè)極值點(diǎn)，所以有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，即有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，顯然0不是方程的根，即，令與的圖象有兩個(gè)不同交點(diǎn)，結(jié)合圖象可得，A正確；B選項(xiàng)：由，兩式相除可得，即，令，則，所以，則，令，則，所以在上單調(diào)遞減，，即，即，故，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：若，由可得，即，，，把代入，可得，C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)：因?yàn)槭菢O值點(diǎn)，則，解得，所以，令，則，所以在上單調(diào)遞減，，即，D選項(xiàng)正確.故選：ACD.三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分.）12.已知函數(shù)，若直線在點(diǎn)處與曲線相切，則直線的方程為______.【答案】【解析】,所以,又,所以切線方程即,故答案為:.13.隨著城市經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，早高峰問題越發(fā)嚴(yán)重，上班族需要選擇合理的出行方式．某公司員工小明的上班出行方式有三種，某天早上他選擇自駕，坐公交車，騎共享單車的概率分別為，，，而他自駕，坐公交車，騎共享單車遲到的概率分別為，，，結(jié)果這一天他遲到了，在此條件下，他騎共享單車去上班的概率為_____．【答案】【解析】設(shè)事件A：這一天他遲到，事件B：他騎共享單車去上班，由題可知，所以，故答案為：.14.將一邊長(zhǎng)為的正方形鐵片的四角截去四個(gè)邊長(zhǎng)均為的小正方形，然后做成一個(gè)無蓋的方盒，當(dāng)?shù)扔赺_________時(shí)，方盒的容積最大．【答案】【解析】方盒的容積為：當(dāng)時(shí)函數(shù)遞減，當(dāng)時(shí)函數(shù)遞增故答案為四、解答題（本大題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）15.已知的展開式中，第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等.（1）求含的項(xiàng)；（2）若，求的值.解：（1）由的展開式中，第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，可得，所以，即，其展開式的通項(xiàng)公式為，令，可得，所以含的項(xiàng)為.（2）由（1）可得，令，可得，再令，所以，所以，所以.16.某校舉行“愛國(guó)，愛校，愛班級(jí)”的知識(shí)競(jìng)賽，該校某班經(jīng)過層層篩選，還有最后一個(gè)參賽名額要在甲、乙兩名學(xué)生中間產(chǎn)生.該班委設(shè)計(jì)了一個(gè)測(cè)試方案：甲、乙兩名學(xué)生各自從個(gè)問題中隨機(jī)抽取個(gè)問題作答，已知這個(gè)問題中，學(xué)生甲能正確回答其中的個(gè)問題，而學(xué)生乙能正確回答每個(gè)問題的概率均為，甲、乙兩名學(xué)生對(duì)每個(gè)問題回答正確與否都是相互獨(dú)立、互不影響的.（1）求乙恰好答對(duì)兩個(gè)問題的概率；（2）請(qǐng)問選擇哪名同學(xué)去參賽更合理？請(qǐng)說明理由解：（1）由題知，令“乙回答問題的正確個(gè)數(shù)”為，則，則乙恰好答對(duì)兩個(gè)問題的概率為：.（2）令“甲回答問題的正確個(gè)數(shù)”為，“乙回答問題的正確個(gè)數(shù)”為，則所有可能的取值為，則；；．所以．由題意，隨機(jī)變量，所以．又，．所以，，可見，乙與甲的平均水平相當(dāng)，但甲比乙的成績(jī)更穩(wěn)定，所以選擇投票給學(xué)生甲．17.已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求在上的最值；（2）討論的單調(diào)性．解：（1）因?yàn)椋裕?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為．因?yàn)?，所以在上的最大值?2，最小值為．（2）因?yàn)椋粤?，得或．?dāng)，即時(shí)，由，解得或，由，解得．當(dāng)，即時(shí)，恒成立．當(dāng)，即時(shí)，由，解得或，由，解得．綜上所述，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為．18.某公司邀請(qǐng)棋手與該公司研制的一款人形機(jī)器人進(jìn)行象棋比賽，規(guī)則如下：棋手的初始分為20，每局比賽，棋手勝加10分；平局不得分；棋手負(fù)減10分.當(dāng)棋手總分為0時(shí)，挑戰(zhàn)失敗，比賽終止；當(dāng)棋手總分為30時(shí)，挑戰(zhàn)成功，比賽終止；否則比賽繼續(xù).已知每局比賽棋手勝、平、負(fù)的概率分別為、、，且各局比賽相互獨(dú)立.（1）求兩局后比賽終止的概率；（2）在3局后比賽終止的條件下，求棋手挑戰(zhàn)成功的概率；（3）在挑戰(zhàn)過程中，棋手每勝1局，獲獎(jiǎng)5千元.記局后比賽終止且棋手獲獎(jiǎng)1萬元的概率為，求的最大值.解：（1）設(shè)每局比賽甲勝為事件，每局比賽甲平為事件，每局比賽甲負(fù)為事件，設(shè)“兩局后比賽終止”為事件，因?yàn)槠迨峙c機(jī)器人比賽局，所以棋手可能得分或30分比賽終止．（i）當(dāng)棋手得分為分，則局均負(fù)，即；（ii）當(dāng)棋手得分為30分，則局先平后勝，即．因?yàn)椤⒒コ?，所以．所以兩局后比賽終止的概率為．（2）設(shè)“局后比賽終止”為事件，“局后棋手挑戰(zhàn)成功”為事件．因?yàn)?，．所以在局后比賽終止的條件下，棋手挑戰(zhàn)成功的概率為．所以在局后比賽終止的條件下，棋手挑戰(zhàn)成功的概率為．（3）因?yàn)榫肢@獎(jiǎng)勵(lì)萬元，說明甲共勝局．（i）當(dāng)棋手第局以分比賽終止，說明前局中有負(fù)勝，且是“負(fù)勝負(fù)勝負(fù)”的順序，其余均為平局，共有種，（ii）當(dāng)棋手第局以30分比賽終止，說明前局中有負(fù)勝，且是先負(fù)后勝的順序，其余均為平局，共有種，則“局后比賽終止且棋手獲得萬元獎(jiǎng)勵(lì)”的概率，．所以．因?yàn)?，所以，所以，所以單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取最大值為.19.已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若，求的取值范圍；（3）若有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，，證明：.解：（1）當(dāng)時(shí)，，則令，當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增，所以單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間在為.（2）由可知，，，即在上恒成立，設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增，所以時(shí)，取得最小值，最小值為，由題意知，即，故的取值范圍為；（3）方程有兩實(shí)數(shù)解，，即有兩實(shí)數(shù)解，不妨設(shè)，由（2）知方程要有兩實(shí)數(shù)解，則，即，同時(shí)