高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1貴州省2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知直線l經(jīng)過點，，則直線l的斜率為（）A. B. C.3 D.【答案】C【解析】由直線l經(jīng)過點，，得直線l的斜率.故選：C2.已知集合，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】先看充分性：因為，但，所以“”不是“”的充分條件；再看必要性：因為，，所以“”是“”的充分條件，即“”是“”的必要條件.所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B3.已知數(shù)據(jù)，，…，的極差為4，方差為2，則數(shù)據(jù)，，…，的極差和方差分別是（）A.4，2 B.4，18 C.12，2 D.12，18【答案】D【解析】新數(shù)據(jù)的極差是原數(shù)據(jù)極差的3倍，所以新數(shù)據(jù)的極差為：；新數(shù)據(jù)的方程是原數(shù)據(jù)方差的倍，所以新數(shù)據(jù)的方差為：.故選：D4.在正方體中，直線與平面所成角的正切值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如圖，連接交于點，連接，在正方體中，，平面，因為平面，所以，又，平面，所以平面，所以為直線與平面所成角，設(shè)正方體的棱長為，則，則，在中，.故選：B.5.已知函數(shù)，，的零點分別為，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】顯然：函數(shù)，，在定義域內(nèi)都是增函數(shù)，又，而中的，令，，，的大小順序為：，故選：B．6.已知點，，，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】,所以在上的投影向量為.故選：D7.若直線與圓有交點，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】的圓心為，半徑r=1，圓心到直線的距離，依題意，圓心到直線的距離小于等于圓的半徑，所以，即.故選：A8.已知實數(shù)，滿足，則的最大值為（）A. B. C. D.12【答案】C【解析】令，則，由，得，整理得，，因為存在實數(shù)滿足等式，所以，解得，則的最大值為，此時，.故選：C.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.下列命題中的真命題是（）A.若直線a不在平面內(nèi)，則a∥B.若直線l上有無數(shù)個點不在平面內(nèi)，則l∥C.若l∥，則直線l與平面內(nèi)任何一條直線都沒有公共點D.平行于同一平面的兩直線可以相交【答案】CD【解析】對于A，直線a不在平面內(nèi)，直線a也可能與平面相交，故A是假命題；對于B，直線l與平面相交時，l上也有無數(shù)個點不在平面內(nèi)，故B是假命題；對于C，l∥時，l與沒有公共點，所以l與內(nèi)任何一條直線都沒有公共點，故C是真命題；對于D，在長方體中，與都與平面平行，且與相交，故D是真命題.故選：CD10.甲、乙兩人各投籃1次，已知甲命中的概率為，乙命中的概率為，且他們是否命中相互獨立，則（）A.恰好有1人命中的概率為 B.恰好有1人命中的概率為C.至多有1人命中概率為 D.至少有1人命中的概率為【答案】BD【解析】對于AB，由題意，恰好有1人命中的概率為，故A錯誤，B正確；對于C，至多有1人命中包含0人命中和恰好1人命中，因此至多有1人命中的概率為，故C錯誤；對于D，至少有1人命中包含恰好1人命中和2人都命中，因此至少有1人命中的概率為，故D正確.故選：BD.11.“曼哈頓距離”是十九世紀的赫爾曼·閔可夫斯基所創(chuàng)詞匯，定義如下：在直角坐標平面上任意兩點，的曼哈頓距離為：.在此定義下以下結(jié)論正確的是（）A.已知點，，滿足B.已知點，滿足的點軌跡圍成的圖形面積為2C.已知點，，不存在動點滿足方程：D.已知點在圓上，點在直線上，則的最小值為【答案】ABD【解析】A選項：由題意得，故A正確；B選項：設(shè)，，當，時，；當，時，；當，時，；當，時，；所以點的軌跡圍成的圖形是以為邊長的正方形，所以面積為2，故B正確；C選項：，當時，所以存使，故C錯；D選項；如圖，過點作平行于x軸的直線交直線于點，過點作于點，表示的長度，因為直線的方程為，所以，，即，，當固定點時，為定值，此時為零時，最小，即平行于x軸，所以當垂直直線時，最小，如下圖所示，此時，，根據(jù)直線的斜率為-2，得，所以，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)虛部是______．【答案】【解析】由，則復(fù)數(shù)的虛部是.故答案為：.13.若向量，則稱為在基底下的坐標．已知向量在單位正交基底下的坐標為，則在基底下的坐標為______．【答案】【解析】由題意，，設(shè)，則，解得，則，所以在基底下的坐標為.故答案為：.14.已知某三棱臺的高為，上、下底面分別為邊長為和的正三角形，若該三棱臺的各頂點都在球O的球面上，則球O的表面積為__________．【答案】【解析】依題意，該三棱臺為正三棱臺，設(shè)為三棱臺，如圖，上底面正外接圓的半徑是，為正外接圓圓心，下底面正外接圓的半徑是，為正外接圓圓心，由正三棱臺的性質(zhì)知，其外接球的球心在直線上，令該球半徑為，于是，或，解得，所以球的表面積是．故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知函數(shù)，，．（1）求函數(shù)的定義域A；（2）實數(shù)，且，求的值．解：（1）由題意，，由，解得，則函數(shù)的定義域為.（2）由（1）知，，又，則，則，所以16.記的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知向量，，其中，．（1）求角；（2）若是銳角三角形，求的周長的取值范圍．解：（1）因為，所以，所以,又為三角形內(nèi)角，所以.（2）由正弦定理：，所以，.又是銳角三角形，且，所以，且.所以.因為，所以，所以，所以，所以的周長：.17.設(shè)圓C的半徑為r，圓心C是直線與直線的交點.（1）若圓C過原點O，求圓C的方程；（2）已知點，若圓C上存在點M，使，求r的取值范圍.解：（1）由得，所以圓心，又∵圓C過原點O，∴，∴圓C的方程為.（2）設(shè)，由，得，化簡得，∴點M在以為圓心，半徑為2的圓上.又∵點M在圓上，故圓與有交點，∴，即，即.18.如圖，在直三棱柱中，，，P為上的動點，Q為棱的中點．（1）設(shè)平面平面，若P為的中點，求證：；（2）設(shè)，問線段上是否存在點P，使得平面？若存在，求出實數(shù)的值；若不存在，請說明理由．（1）證明：設(shè)的中點為，連接，因為P為的中點，Q為的中點，所以，，，在直三棱柱中，，，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，則，又平面，平面，所以平面，又平面平面，平面，所以.（2）解：在直三棱柱中，平面，，故可以為原點，以所在直線分別為軸建立空間直角坐標系，因為，所以，則，，又，則，所以，若平面，則，則，解得，所以線段上存在點P，使得平面，此時.19.材料：我們把經(jīng)過兩條直線：，：的交點的直線方程叫做共點直線系方程，其交點稱作共點直線系方程的“共點”，共點直線系方程也可表示為：（其中，且該方程不表示）．問題：已知圓M：．求：（1）求共點直線系方程的“共點”的坐標；（2）設(shè)點為第（1）問中的“共點”，點N為圓上一動點，求的取值范圍；（3）若有唯一一組非零實數(shù)對滿足關(guān)于實數(shù)的方程