第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年遼寧省葫蘆島市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.扇形的半徑為2，圓心角為π3，則此扇形弧長為(

)A.π6 B.π3 C.π22.若復(fù)數(shù)z滿足(3+z)i=5，則z對應(yīng)的點位于復(fù)平面的(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.在邊長為2的正三角形ABC中，AB?AC=A.1 B.?1 C.2 D.?24.將函數(shù)f(x)=sin(x+π6)圖像上所有點的橫坐標(biāo)縮小到原來的12A.y=sin(2x?π12) B.y=sin5.如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，異面直線ACA.90° B.60° C.45° D.30°6.已知向量a=(2,1)，b=(?3,1)，則向量a在向量b上的投影為(

)A.?102 B.?10 7.如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，D，E分別是AA1和BB1的中點，記C1A.V1=13V2

B.V8.已知函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ)，(ω>0,|φ|<π2)，|f(?π6)|=2，f(π3)=0，且A.3 B.5 C.6 D.7二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知函數(shù)f(x)=4tan(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的部分圖象如圖所示，則(

)A.ω=1

B.f(x)=4tan(2x+5π6)

C.f(x)的圖象與y軸的交點坐標(biāo)為(0,?433)

D.函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(7π3A.z的虛部為bi

B.(z?)2=z2?

11.如圖，正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為2，E，F(xiàn)分別是AD，DD1A.存在點P，使得EP//平面FBC

B.當(dāng)P為AB中點時，過E，F(xiàn)，P三點的平面截正方體所得截面圖形的面積為33

C.三棱錐C1?A1B1P的體積為23

D.當(dāng)P在棱AB上時，若∠A1PB為120°12.已知向量a=(1,2)與b=(?2,x)垂直，則實數(shù)x的值為______．13.如圖，為測塔高，在塔底所在的水平面內(nèi)取一點B，測得塔頂M的仰角為30°，由B向塔前進(jìn)100米后到點N，測得塔頂M的仰角為60°，則塔高AM為______米.14.已知△ABC的面積為32，∠ABC=2π3，AC=7，∠ABC的角平分線交AC于點四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知向量a=(cosx+sinx,3cosx)，b=(cosx?sinx,2sinx)，函數(shù)f(x)=a?b．

(1)求函數(shù)f(x)的解析式；

(2)求函數(shù)f(x)的周期和單調(diào)遞增區(qū)間；

16.(本小題15分)

已知sin2α+sin2αcos2α+1=4．

(1)求tanα的值；

(2)若α是第一象限角，tan17.(本小題15分)

在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AC⊥BC，D為BB1的中點．

(1)求證：平面A1BC⊥平面AA1C1C；18.(本小題17分)

在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，若bsinA?3acosAcosC=3ccos2A，a=3．

(1)求角A的大??；

(2)若b+c=33且b>c，點P，Q是邊AC上的兩個動點，AP<AQ且∠PBQ=π6．

(i)設(shè)∠QBC=θ，用θ19.(本小題17分)

如圖，已知梯形ABCD，AB=BC=AD=12CD=2，AB//CD，將梯形ABCD繞直線CD旋轉(zhuǎn)角α至梯形EFCD，M為CD的中點，連接MA，MB，ME．

(1)證明：EM//平面BCF；

(2)當(dāng)△BME面積最大時，求二面角α的余弦值；

(3)當(dāng)二面角α為π2時，求點A到平面

答案解析1.【答案】D

【解析】解：由題可得：扇形弧長為：2×π3=2π3．

故選：D2.【答案】C

【解析】解：由復(fù)數(shù)z滿足(3+z)i=5，

可得：z=5i?3=?5ii(?i)?3=?3?5i，

故z在復(fù)平面對應(yīng)的點為(?3,?5)，位于第三象限．

故選：C．3.【答案】C

【解析】解：∵△ABC是邊長為2的正三角形，∴AB?AC=2×2×cosπ3=2，4.【答案】B

【解析】解：函數(shù)f(x)=sin(x+π6)圖像上所有點的橫坐標(biāo)縮小到原來的12倍，縱坐標(biāo)不變，

可得y=sin(2x+π6)的圖象，

再將所得圖象向右平移π4個單位長度，可得y=sin5.【答案】B

【解析】【分析】本題考查異面直線所成角，屬于基礎(chǔ)題．

連接CD1，AD1，則異面直線AC與A1【解答】

解：連接CD1，AD1，如圖所示：

∵A1D1/?/BC，A1D1=BC，

∴四邊形A1D1CB為平行四邊形，∴A1B//D1C，

∴異面直線AC與6.【答案】D

【解析】解：向量a=(2,1)，b=(?3,1)，

則a?b=2×(?3)+1×1=?5，

所以向量a在向量b上的投影為a?b|b|27.【答案】A

【解析】解：作出示意圖如下：

取CC1的中點為F，連接DF，EF，

則三棱柱A1B1C1?DEF的體積是三棱柱A1B1C1?ABC的一半，

又三棱錐C1?DEF的體積是三棱柱A1B1C1?DEF體積的三分之一，

即四棱錐C8.【答案】B

【解析】解：因為f(x)在區(qū)間(π3,5π12)上單調(diào)，

所以函數(shù)的周期T滿足5π12?π3≤T4，解得T≥π3，所以2πω≥π3，解得0<ω≤6，

根據(jù)|f(?π6)|=2，f(π3)=0，可得?π6ω+φ=π2+kππ3ω+φ=nπ(k、n∈Z)，

消去φ，化簡得ω=?1+2(n?k)(k、n∈Z)，

根據(jù)0<ω≤6，即0<?1+2(n?k)≤6，解得12<n?k≤72(k、n∈Z)，

故當(dāng)n?k=3時，9.【答案】BCD

【解析】解：由題意得f(x)的最小正周期T=πω=π2，解得ω=2，可知A錯誤；

將x=π3代入得2×π3+φ=π2+kπ,k∈Z，

結(jié)合0<φ<π解得φ=5π6，所以f(x)=4tan(2x+5π6)，可知B正確；

根據(jù)f(0)=4tan5π6=4×(?33)=?433，

可知f(x)的圖象與y軸的交點坐標(biāo)為(0,?433)，故C正確；

當(dāng)x=7π3時，2x+5π6=10.【答案】BD

【解析】解：A選項，z的虛部為b，故A選項錯誤；

B選項，∵z=a+bi，∴z?=a?bi，

∴(z?)2=(a?bi)2=a2?2abi+b2i2=a2?b2?2abi，

z2=(a+bi)2=a2+2abi+b2i2=a2?b2+2abi，z2?=a11.【答案】ABD

【解析】解：對于A選項，易知當(dāng)點P在線段AD(不含E點)時，使得EP//平面FBC，

此時EP/?/BC，從而可得EP//平面FBC，所以A選項正確；

對于B選項，根據(jù)題意作出截面正六邊形FEPQMN，

所以截面面積S=6×12×2×2sin60°=33，所以B選項正確；

對于C選項，因為三棱錐C1?A1B1P的體積為：

VC1?A1B1P=VP?A1B1C1=13×12×2×2×2=43，所以C選項錯誤；

對于D選項，設(shè)△PBC，△PA1B的外心為O1，O2，半徑為r1，r2，

過O1，O2分別作平面PBC，平面PA1B的垂線，交點即為球心O，

設(shè)PB中點為H，連接O1H，O2H，

因為O1，O2是外心，所以O(shè)1H⊥BP，O2H⊥BP，

則∠O1HO2就是平面PBC與平面PA1B所成角的平面角，

又易知平面PBC⊥平面PA1B，所以四邊形O1OO2H為矩形，

所以外接球半徑R2=OP2=OO12+O1P12.【答案】1

【解析】解：向量a=(1,2)與b=(?2,x)垂直，

則?2+2x=0?x=1．

故答案為：1．

根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)公式計算即可．13.【答案】50【解析】解：根據(jù)題意可知，在塔底所在的水平面內(nèi)取一點B，測得塔頂M的仰角為30°，

由B向塔前進(jìn)100米后到點N，測得塔頂M的仰角為60°，

則∠MBA=30°，BN=100，∠MNA=60°，

設(shè)AM=x，則AN=AMtan∠MNA=xtan60°=33x，

AB=AMtan∠MBA=14.【答案】23【解析】解：由三角形面積公式得S△ABC=12AB?BCsin∠ABC=34AB?BC=32，

所以AB?BC=2，

由余弦定理得cos∠ABC=AB2+BC2?AC22AB?BC，即AB2+BC2?74=?12，

解得AB2+BC2=5，

解得AB=1，BC=2，或AB=215.【答案】f(x)=2sin(2x+π6)；

T=π，[?π3+kπ,【解析】(1)a=(cosx+sinx,3cosx)，b=(cosx?sinx,2sinx)，函數(shù)f(x)=a?b，

依題意，f(x)=cos2x?sin2x+23sinxcosx=cos2x+3sin2x=2sin(2x+π6)．

(2)函數(shù)f(x)的周期T=2π2=π；

由?π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ，k∈Z，得?π3+kπ≤x≤16.【答案】2或?4；

57．【解析】(1)因為sin2α+sin2αcos2α+1=sin2α+2sinαcosα2cos2α=tan2α+2tanα2=4，

解得tanα=2或?4．

(2)由α是第一象限角，則tanα=2，

因為tanβ=tan[α?(α?β)]=17.【答案】證明見解析；

存在點E，A1E【解析】(1)證明：由已知得，AA1⊥平面ABC，

因為BC?平面ABC，所以AA1⊥BC，

又因為AC⊥BC，AA1∩AC=A，AC，AA1?平面AA1C1C，所以BC⊥平面AA1C1C，

又因為BC?平面A1BC，所以平面A1BC⊥平面AA1C1C；

(2)當(dāng)點E為A1C1的中點時，符合題意．

證明如下：

取CC1的中點F，A1C1的中點E，連接EF，DE，DF，

則EF//A1C，

因為D為BB1的中點，所以DF/?/BC，

因為BC，A1C?平面A1BC，DF，EF?平面A1BC，

所以EF/?/平面A1BC，DF/?/平面A1BC，

又DF∩EF=F，DF，EF?平面DEF，所以平面DEF/?/平面A1BC18.【答案】A=π3；

(i)BQ=32sin(θ+【解析】(1)由正弦定理得sinAsinB=3sinAcosAcosC+3sinCcos2A，

即sinAsinB=3cosA(sinAcosC+cosAsinC)=3cosAsin(A+C)，

因為△ABC中，sinB=sin(A+C)，

所以sinAsinB=3cosAsinB，結(jié)合sinB≠0，可得sinA=3cosA，

所以tanA=sinAcosA=3，結(jié)合A∈(0,π)，可得A=π3；

(2)根據(jù)余弦定理得a2=b2+c2?bc=(b+c)2?3bc，

結(jié)合a=3，b+c=33，可得32=(33)?3bc，解得bc=6，結(jié)合b>c，解得b=23，c=3，

所以b2=a2+c2，△ABC是以B為直角頂點的直角三角形，可得C=π?A?B=π6；

(i)如圖，∠QBC=θ，θ∈[0,π3]，

在△QBC中，由正弦定理得BQsinC=BCsin∠BQC=BCsin19.【答案】證明見詳解；

13；

2【解析】(1)證明：因為EF/?/MC，且EF=MC=2，

所以四邊形EFCM是平行四邊形，

所以EM//FC，又EM?平面BCF，CF?平面BCF，

所以EM/?/平面BCF；

(2)取DM的中點O，

由(1)知EM=FC=2，

又AB/?/MC，且AB=MC=2，

所以四邊形ABCM是平行四邊形，

所以AM=BC=2，

所以AM=AD=2，ED=EM=2，

所以AO⊥DM，EO⊥DM，又AO∩OE=O，

所以DM⊥平面AOE，

所以為二面角E?CD?A的平面角為∠AOE，

所以∠AOE=α，

又AO=OE=ED2?(12DM)2=3，

所以AE2=AO2+OE2?2AO?OEcosα=6?6cosα，

因為AB//DM，所以AB⊥平面AOE，

所以AB⊥AE，

所以BE2=AE2+AB2=10?6cosα，

所以