第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年四川省資陽市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知平面向量a=(2,1)，b=(1,x).若a與b共線，則x=(

)A.2 B.12 C.?122.已知復(fù)數(shù)z1=2+i，z2=1?2i，復(fù)數(shù)z=z2+zA.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.一組數(shù)1，2，2，2，3，3，3，4，5，6的85%分位數(shù)為(

)A.4 B.92 C.5 D.4.函數(shù)y=sin2x+cos(2x+π)的最小正周期為(

)A.π2 B.π C.2π D.5.如圖，在△ABC中，點D滿足AD=2DB，E為AC的中點，則ED=(

)A.13AB+12AC

B.16.如圖，在四面體ABCD中，若AB=CB，AD=CD，E是AC的中點，則下列結(jié)論正確的是(

)A.平面ABC⊥平面ABD

B.平面ABD⊥平面BDC

C.平面ABC⊥平面BDE

D.平面ABC⊥平面ADC7.已知cos(α+β)=15，tanαtanβ=2，則cosA.?35 B.?15 C.8.如圖，在三棱錐P?ABC中，PA⊥平面ABC，PA=BC=2，∠BAC=30°，則該三棱錐外接球的體積為(

)A.82π3B.105二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.某地區(qū)舉行了足球聯(lián)賽，聯(lián)賽結(jié)束后的數(shù)據(jù)顯示：甲隊每場比賽平均失球數(shù)是1.6，各場比賽失球個數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為1.2；乙隊每場比賽平均失球數(shù)是2.3，各場比賽失球個數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差是0.5，下列說法中正確的是(

)A.平均說來甲隊比乙隊防守技術(shù)好B.甲隊在防守中有時表現(xiàn)較差，有時表現(xiàn)又非常好

C.甲隊比乙隊技術(shù)水平更穩(wěn)定D.乙隊很少不失球10.若向量a，b滿足|a|=|b|=1，|A.a與b的夾角為π6 B.a?b=12

C.a⊥(11.函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)的部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是(

)A.f(x)=2sin(13x?π6)

B.若將f(x)的圖象向右平移π2個單位，則所得函數(shù)是奇函數(shù)

C.若?x∈[?π3,π3]，f(3x)+a≥f(3π2)，則a的范圍為[3三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知復(fù)數(shù)z=21+i(i為虛數(shù)單位)，則|z|=13.將一個總體分為A，B，C三層，其個體數(shù)之比為5：3：2.若A，B，C三層的樣本的平均數(shù)分別為20，30，40，則總體的平均數(shù)為______．14.已知點G是△ABC的重心，點M，N分別在AB，AC上，且滿足AG=xAM+yAN，其中x+y=1.若AM=35四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)

已知函數(shù)f(x)=2sinxcosx+cos2x(x∈R)．

(1)當(dāng)x取什么值時，函數(shù)f(x)取得最大值？并求出該最大值；

(2)若θ為銳角，且f(θ2+π16.(本小題12分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，AD//BC，AD⊥側(cè)面PAB，△PAB是等邊三角形，BC=2，AB=AD=4，E是線段PA的中點．

(1)求證：BE⊥平面PAD；

(2)求四棱錐P?ABCD的體積．17.(本小題12分)

為增強職工身體素質(zhì)，某企業(yè)鼓勵職工積極參加徒步活動.為了解運動情況，企業(yè)工會從該企業(yè)職工中隨機抽取了100名，統(tǒng)計他們的日均運動步數(shù)，并得到如下頻率分布直方圖：

(1)求圖中a的值；

(2)估計該企業(yè)職工日均運動步數(shù)的平均數(shù)；(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表)

(3)若該企業(yè)恰好有25的職工的日均運動步數(shù)達(dá)到了企業(yè)制定的“優(yōu)秀運動者”達(dá)標(biāo)線，試估計該企業(yè)制定的“優(yōu)秀運動者”達(dá)標(biāo)線．18.(本小題12分)

在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a=23，且cosC+(cosB?3sinB)cosA=0．

(1)求角A的大??；

(2)若b=2，求△ABC的面積；

(3)19.(本小題12分)

如圖①，已知等腰梯形ABCD的外接圓圓心O在底邊AB上，AB//CD，CD=AD=3，P是上半圓上的動點(不包含A，B兩點)，點Q是線段PA上的動點，將半圓APB所在的平面沿直徑AB折起，得到圖②所示圖形，據(jù)此解答下列各小題：

(1)當(dāng)PC//平面QBD時，求|PQ||QA|的值；

(2)若PB⊥AD，PB=3，求PA與平面ABCD所成角的正弦值；

(3)若PB≤3，平面PAB⊥平面ABCD，設(shè)QB與平面ABCD所成的角為α，二面角Q?BD?A的平面角為β，求β?α取得最大值時tanα的值．

答案解析1.【答案】B

【解析】解：平面向量a=(2,1)，b=(1,x)．a(chǎn)與b共線，所以2x=1?x=12．

故選：B．2.【答案】A

【解析】解：由復(fù)數(shù)z1=2+i，z2=1?2i，復(fù)數(shù)z=z2+z1=2+i+1?2i=3?i，

則z?3.【答案】C

【解析】解：已知一組數(shù)1，2，2，2，3，3，3，4，5，6，

又10×0.85=8.5，

所以第85%分位數(shù)為從小到大排列的第9個數(shù)，即第85%分位數(shù)為5．

故選：C．

根據(jù)百分位數(shù)的計算方法求解即可．

本題考查百分位數(shù)相關(guān)知識，屬于中檔題．4.【答案】B

【解析】解：由y=sin2x+cos(2x+π)=sin2x?cos2x

=2(sin2xcosπ4?cos2xsinπ4)=2sin(2x?π4)，5.【答案】D

【解析】解：因為AD=2DB，所以AD=23AB，所以ED=AD?6.【答案】C

【解析】解：∵AB=CB，AD=CD，E是AC的中點，則BE⊥AC，DE⊥AC，

∵BE∩DE=E，BE，DE?平面BDE，

∴AC⊥平面BDE，

又AC?平面ABC，∴平面ABC⊥平面BDE，故C正確；

在平面ABC內(nèi)取點P，作PM⊥AB，PN⊥BE，垂足分別為M，N，如圖，

∵平面ABC⊥平面BDE，平面ABC∩平面BDE=BE，

∴PN⊥平面BDE，則有PN⊥BD，

若平面ABC⊥平面ABD，同理可得PM⊥BD，

而PM∩PN=P，PM，PN?平面ABC，

∴BD⊥平面ABC，BD與平面ABC不一定垂直，故A錯誤；

過A作△ABC邊BD上的高AF，連接CF，

由△ABD≌△CBD，得CF是△CBD邊BD上的高，

則∠AFC是二面角A?BD?C的平面角，而∠AFC不一下是直角，

即平面ABD與平面BDC不一定垂直，故B錯誤；

∵AC⊥平面BE，則∠DEB是二面角D?AC?B的平面角，∠DEB不一定是直角，

平面ABC與平面ADC不一定垂直，故D錯誤．

故選：C．

利用面面垂直的判斷，再結(jié)合面面關(guān)系的判斷方法逐項分析判斷．

本題考查面面垂直的判斷，考查線面垂直、面面垂直的判斷等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是中檔題．7.【答案】A

【解析】解：由cos(α+β)=15，可得cosαcosβ?sinαsinβ=15，

因為tanαtanβ=sinαsinβcosαcosβ=2，可得sinαsinβ=2cosαcosβ，

所以cosαcosβ=?15，sinαsinβ=?25，可得cos8.【答案】C

【解析】解：在三棱錐P?ABC中，設(shè)其外接球的球心為點O，△ABC的外接圓的圓心為點E，如圖，

連接AO，OE，AE，則OE⊥AE，設(shè)△ABC的外接圓的半徑為R1，

因為BC=2，∠BAC=30°，

由正弦定理，得BCsin∠BAC=2sin30°=4=2R1?R1=2，即AE=2，

因為PA⊥平面ABC，PA=2，

所以O(shè)E=1，

所以三棱錐外接球的半徑AO=9.【答案】ABD

【解析】解：對于A，甲隊每場比賽平均失球數(shù)是1.6，小于乙隊每場比賽平均失球數(shù)是2.3，

平均說來甲隊比乙隊防守技術(shù)好，A正確；

對于B，甲隊在防守中有時表現(xiàn)較差，有時表現(xiàn)又非常好，B正確；

對于C，甲隊各場比賽失球個數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為1.2大于乙隊各場比賽失球個數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差是0.5，

所以乙隊比甲隊技術(shù)水平更穩(wěn)定，C錯誤；

對于D，雖然乙隊每場比賽平均失球數(shù)是2.3，算是較大的數(shù)，而各場比賽失球個數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差是0.5，由于標(biāo)準(zhǔn)差很小，方差是0.25更小，說明每場失球數(shù)都集中在2.3附近，所以認(rèn)為乙隊很少不失球是正確的，D正確．

故選：ABD．

用平均數(shù)和方差分別估計數(shù)據(jù)的平均水平和穩(wěn)定性．

本題主要考查平均數(shù)、方差的意義，屬基礎(chǔ)題．10.【答案】BD

【解析】解：因為|a|=|b|=1，|a+b|=3，

所以a2+2a?b+b2=3，即2+2a?b=3，

解得a?b=12，故B正確；

由cos?a,b?=a?b|a|?|b|=12，

可得?a,b?=π11.【答案】ACD

【解析】解：A，T4=7π2?2π=3π2，

所以T=6π=2πω，可得ω=13，

又f(2π)=2sin(2π3+φ)=2，

因為|φ|<π，所以φ=?π6，

所以f(x)=2sin(13x?π6)，故A正確；

B，將f(x)的圖象向右平移π2個單位后的解析式為y=2sin[13(x?π2)?π6]=2sin(13x?π3)，該函數(shù)不是奇函數(shù)，故B錯誤；

C，f(3x)+a≥f(3π2)，可得a≥f(3π2)?f(3x)，

f(3π2)=2sin(π2?π6)=2sinπ3=3，

f(3x)=2sin(x?π6)，

x∈[?π3,π3]，所以x?π12.【答案】2【解析】解：∵z=21+i=2(1?i)(1+i)(1?i)=1?i，

∴|z|=1213.【答案】27

【解析】解：因為A，B，C三層個體數(shù)之比為5：3：2，且A，B，C三層的樣本的平均數(shù)分別為20，30，40，

所以總體的平均數(shù)為x?=20×55+3+2+30×35+3+2+40×214.【答案】14【解析】解：根據(jù)點G是△ABC的重心，可得AG=13(AB+AC)，

結(jié)合題意AB=53AM，可得AG=13(53AM+AC)=59AM+13AC，

設(shè)AC=λAN，則AG=59AM+λ3AN，

因為AG=xAM+yAN，所以x=59,y=λ3，結(jié)合x+y=1，解得y=49，λ=415.【答案】當(dāng)x=π8+kπ,k∈Z時，f(x)的最大值為2；

【解析】(1)由題意得f(x)=sin2x+cos2x=2sin(2x+π4)，

令2x+π4=π2+2kπ,k∈Z，解得x=π8+kπ,k∈Z，

所以當(dāng)x=π8+kπ,k∈Z時，f(x)取得最大值，最大值為2；

(2)因為f(θ2+π8)=2sin[2(θ16.【答案】證明見解析．

83【解析】(1)證明：因為AD⊥面PAB，BE?面PAB，

因此AD⊥BE，

因為△PAB是等邊三角形，E是線段PA的中點，

因此PA⊥BE，

又因為AD∩PA=A，AD，PA?平面PAD，

因此BE⊥平面PAD；

(2)因為AD⊥面PAB，AD?平面ABCD，

因此平面PAB⊥平面ABCD，

又平面PAB∩平面ABCD=AB，

取AB中點為F，

因為△PAB是等邊三角形，因此PF⊥AB，

PF?平面PAB，

因此PF⊥平面ABCD，即PF為四棱錐的高，

因為△PAB是等邊三角形，AB=4，

因此PF=23，

因此四棱錐P?ABCD的體積為V=13×12×(2+4)×4×23=817.【答案】a=0.04；

9.08；

9.6．

【解析】(1)由頻率分布直方圖得2(a+0.1+5a+0.12+a)=1，解得a=0.04．

(2)由頻率分布直方圖可得平均數(shù)為：

x?=5×2×0.04+7×2×0.1+9×2×5×0.04+11×2×0.12+13×2×0.04=9.08．

所以該企業(yè)職工日均運動步數(shù)的平均數(shù)約為9.08千步．

(3)日均運動步數(shù)在[12,14]的頻率為2×0.04=0.08，

日均運動步數(shù)在[10,12)的頻率為0.12×2=0.24，

日均運動步數(shù)在[8,10)的頻率為5×0.04×2=0.4，

所以達(dá)標(biāo)線位于[8,10)內(nèi)，

則達(dá)標(biāo)線為0.08+0.24+10?m2×0.4=25，解得m=9.6，

該企業(yè)制定的優(yōu)秀強國運動者達(dá)標(biāo)線是9.6千步．

(1)由頻率和為18.【答案】A=π3；

S△ABC=23；

【解析】(1)根據(jù)題意可知，cosC+(cosB?3sinB)cosA=0，∴?cos(A+B)+(cosB?3sinB)cosA=0，

?cosAcosB+sinAsinB+cosBcosA?3sinBcosA=0，

sinAsinB=3sinBcosA，∵0<B<π2，∴sinB≠0，

∴sinA=3cosA，∴tanA=3，

又∵0<A<π2，∴A=π3；

(2)在銳角△ABC中，由余弦定理可得a2=b2+c2?2bccosA，

又a=23，b=2，A=π3，∴12=4+c2?2×2c×12，整理得c2?2c?8=0，

解得c=4或c=?2(舍去)，∴c=4，

∴S△ABC=12bcsinA=12×2×4×32=23；

(3)設(shè)銳角△ABC外接圓半徑為R，由正弦定理可得：2R=a19.【答案】PQQA=12；

PA與平面ABCD所成角的正弦值23；【解析】(1)連接AC交BD于點M，連接QM，

因為CD=AD=3，AB/?/CD，所以BC=3，AB=6，

則平面PAC∩平面QBD=QM，

依題意，PC//平面QBD，PC?平面PAC，

所以PC//QM，

所以PQQA=CMMA，等腰梯形ABCD中，△MAB∽△MCD，

所以PQQA=CMMA=CDAB=