PAGE1專題14數(shù)字與圖形的規(guī)律探究問題（鞏固提升20題+能力培優(yōu)8題+拓展突破8題）知識(shí)清單一、圖形規(guī)律探究的一般步驟：1.寫序號(hào):記每組圖形的序數(shù)為“1，2,3，...，n"(如題圖中的圖分別標(biāo)為圖①，圖②，圖③，...；2.數(shù)圖形個(gè)數(shù):在圖形數(shù)量變化時(shí)，要記錄每組圖形個(gè)數(shù)(圖①，圖②,圖③，...分別是由幾個(gè)圖形組成)；3.尋找圖形數(shù)量與序數(shù)n的關(guān)系：①觀察所給圖形和上一個(gè)圖(基礎(chǔ)圖)，找出增加的部分；②將增加的圖形個(gè)數(shù)用含序數(shù)的式子表示出來；③歸納出含有序數(shù)n的關(guān)系式．二、數(shù)字規(guī)律探究的一般步驟：1.當(dāng)所給的組數(shù)是整數(shù)時(shí)，先觀察這組數(shù)字是自然數(shù)列、正數(shù)列、奇數(shù)列、偶數(shù)列還是正整數(shù)列經(jīng)過平方、平方加1或減1等運(yùn)算后的數(shù)列，然后再看這組數(shù)字的符號(hào)，判斷數(shù)字符號(hào)的正負(fù)是交替出現(xiàn)還是只出現(xiàn)一種符號(hào)，最后把數(shù)字規(guī)律和符號(hào)規(guī)律結(jié)合起來從而得到結(jié)果；2.當(dāng)數(shù)字是分?jǐn)?shù)和整數(shù)結(jié)合時(shí)，先把這組數(shù)據(jù)的所有整數(shù)寫成分?jǐn)?shù)，然后分別推斷出分子和分母的規(guī)律，最后得到該組第n項(xiàng)的規(guī)律；3.當(dāng)所給的代數(shù)式含有系數(shù)時(shí)，先觀察其每一項(xiàng)的系數(shù)之間是否有自然數(shù)列、正整數(shù)列、奇數(shù)列、偶數(shù)列或交替存在一定的對稱性，然后觀察其指數(shù)是否存在相似的規(guī)律，最后將系數(shù)和指數(shù)的規(guī)律結(jié)合起來求得結(jié)果．三、等式規(guī)律探究的一般步驟1.標(biāo)序數(shù)；2.對比式子與序號(hào)，即分別比較等式中各部分與序數(shù)(1，2,3,4，...，n)之間的關(guān)系，把其隱含的規(guī)律用含序數(shù)的式子表示出來，通常方法是將式子進(jìn)行拆分，觀察式子中數(shù)字與序號(hào)是否存在倍數(shù)或者次方的關(guān)系；3.根據(jù)找出的規(guī)律得出第n個(gè)等式，并進(jìn)行檢驗(yàn)．1．（2024七年級上·全國·專題練習(xí)）觀察下列算式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，A．2 B．4 C．8 D．6【答案】C【分析】本題主要考查有理數(shù)的乘方運(yùn)算，熟練掌握有理數(shù)的乘方運(yùn)算是解題的關(guān)鍵；因此此題分別得出21=2，22=4，23=8，24=16，【詳解】解：因?yàn)?1=2，22=4，23=8，24=16，所以2027÷4=506??3，所以末位數(shù)字是8．故選C．2．（2024七年級上·全國·專題練習(xí)）學(xué)習(xí)情境·新定義a是不為1的有理數(shù)，我們把11?a稱為a的差倒數(shù)．如：2的差倒數(shù)是11?2=?1,?1的差倒數(shù)是11??1=12．已知，a1=13,a2A．?2 B．12 C．13 【答案】A【分析】本題主要考查了數(shù)字變化規(guī)律，代數(shù)式求值，分別求出a2【詳解】因?yàn)閍1所以a2=11?13=可知三個(gè)數(shù)一個(gè)循環(huán)，99÷3=33，所以a99故選：A．3．（24-25七年級上·河南安陽·期中）有一個(gè)數(shù)值轉(zhuǎn)換器，原理如圖所示，若開始輸入x的值是5，可發(fā)現(xiàn)第1次輸出的結(jié)果是16，第2次輸出的結(jié)果是8，第3次輸出的結(jié)果是4．依次繼續(xù)下去，第2024次輸出的結(jié)果是（

）A．8 B．4 C．2 D．1【答案】D【分析】本題考查了代數(shù)式求值，數(shù)字類規(guī)律探究，根據(jù)流程圖求出第4次、第5次、第6次的輸出結(jié)果，發(fā)現(xiàn)從第3次開始，輸出結(jié)果每3個(gè)數(shù)一個(gè)循環(huán)，分別是4、2、1，用2024減去2，再除以3，即可求出結(jié)果．【詳解】解：第1次輸出結(jié)果是16，第2次輸出結(jié)果是8，第3次輸出結(jié)果是4，第4次輸出結(jié)果是42第5次輸出結(jié)果是22第6次輸出結(jié)果是3×1+1=……，從第3次開始，輸出結(jié)果每3個(gè)數(shù)一個(gè)循環(huán)，分別是4、2、1，(2024?2)÷3=674，∴第2024次輸出結(jié)果是1．故選：D．4．（24-25七年級上·遼寧大連·期中）如圖，下列各正方形中四個(gè)數(shù)之間均具有相同的規(guī)律，根據(jù)此規(guī)律，第n個(gè)正方形中的d=642，則n的值為（）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】B【分析】本題考查數(shù)字規(guī)律問題，根據(jù)已知圖形找出a、b、c、d的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．首先由已知圖形可得a=?2n，然后找出a、b、c、【詳解】由已知圖形中數(shù)字的規(guī)律可得：a=?2n，c=a2∵第n個(gè)正方形中的d=642∴a+b+c=a+a+2+解得a=256即?2解得n=8．故選：B．5．（24-25七年級上·福建南平·期中）有一數(shù)值轉(zhuǎn)換器，原理如圖所示，若開始輸入x的值是1，可以得出第1次輸出的結(jié)果是4，第2次輸出的結(jié)果是2，依次繼續(xù)下去…，第2025次輸出的結(jié)果是（

）A．1 B．2 C．4 D．2024【答案】A【分析】此題考查數(shù)字類規(guī)律探究，有理數(shù)的運(yùn)算，掌握圖形中的計(jì)算程序圖的計(jì)算過程，發(fā)現(xiàn)計(jì)算結(jié)果的規(guī)律每3次為一個(gè)循環(huán)組，根據(jù)2025÷3=675得到答案，是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：開始輸入x的值是1，每次輸出的結(jié)果為：第1次：4，第2次：2，第3次：1，第4次：4，第5次：2，第6次：1，每3次為一個(gè)循環(huán)組，∵2025÷3=675，∴第2025次輸出的結(jié)果與第3次輸出的結(jié)果相同，即為1，故選A．6．（24-25七年級上·江蘇南通·期中）觀察下面三行數(shù)：?2，4，?8，16，?32，64，．．．；①0，6，?6，18，?30，66，．．．；②?1，2，?4，8，?16，32，．．．；③設(shè)x、y、z分別為第①②③行的第99個(gè)數(shù)，則4x?2y?4z的值為（）A．?4 B．4 C．?2 D．2【答案】A【分析】本題考查數(shù)字的變化類，根據(jù)題目中的數(shù)據(jù)，可以發(fā)現(xiàn)第一行數(shù)字的變化特點(diǎn)，從而可以寫出第n個(gè)數(shù)的式子，同理可以發(fā)現(xiàn)第二行的數(shù)字就是第一行對應(yīng)的數(shù)字加上2，第三行數(shù)字的特點(diǎn)就是第一行對應(yīng)的數(shù)字除以2，然后即可得到每行的第99個(gè)數(shù)字，再作和即可解答本題．【詳解】解：由題目中的數(shù)據(jù)可得，第一行數(shù)據(jù)的第n個(gè)數(shù)是?2n第二行數(shù)據(jù)的第n個(gè)數(shù)是?2n第三行數(shù)據(jù)的第n個(gè)數(shù)是?2n故第一行的第99個(gè)數(shù)是?299，第二行數(shù)據(jù)的第99個(gè)數(shù)是?299+24x?2y?4z=4×=?4×==?2×=?=?4，故選A．7．（24-25七年級上·山東臨沂·階段練習(xí)）已知一個(gè)由50個(gè)偶數(shù)排成的數(shù)陣．用如圖所示的框去框住四個(gè)數(shù)，并求出這四個(gè)數(shù)的和．在下列給出備選答案中，有可能是這四個(gè)數(shù)的和的是（

）A．80 B．172 C．148 D．224【答案】B【分析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，數(shù)字變化規(guī)律，可利用圖例，看出框內(nèi)四個(gè)數(shù)字之間的關(guān)系，上下相差10，左右相差2，利用此關(guān)系表示四個(gè)數(shù)之和，再進(jìn)行求解即可得出答案，掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：作a表示框住的四個(gè)數(shù)，如圖：∴框中的四個(gè)數(shù)之和為：a+a+2當(dāng)4a+28分別為80,148,172,224時(shí)，a分別為13,30,36,48，由題圖可知，a=36，即4a+28=172，故選：B．8．（24-25七年級上·江蘇宿遷·期中）“數(shù)學(xué)是將科學(xué)現(xiàn)象升華到科學(xué)本質(zhì)認(rèn)識(shí)的重要工具”，比如在化學(xué)中，烷烴是一類由碳、氫元素組成的有機(jī)化合物，在生產(chǎn)生活中可作為燃料、潤滑劑等原料，也可用于動(dòng)、植物的養(yǎng)護(hù)．通常用碳原子的個(gè)數(shù)命名為甲烷、乙烷、丙烷、．．．、癸烷等，烷烴中甲烷的化學(xué)式是CH4，乙烷的化學(xué)式是C2H6，丙烷的化學(xué)式是C3H8，?A．CnH2n+2 B．CnHn+1【答案】A【分析】本題是數(shù)字規(guī)律探究題，讀懂題意，找出規(guī)律，列出關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．設(shè)碳原子的數(shù)目為n，氫原子的數(shù)目為an，由觀察可知a【詳解】解：設(shè)碳原子（C）的數(shù)目為n（n為正整數(shù)），氫原子的數(shù)目為an觀察可知，a1a2a3?an∴碳原子（C）的數(shù)目為n，則它們的化學(xué)式為Cn故選：A．9．（24-25七年級上·四川綿陽·期中）如圖所示，圖（1）表示1張餐桌和6張椅子（三角形表示餐桌，每個(gè)小圓表示一張椅子），圖（2）表示2張餐桌和8張椅子，圖（3）表示3張餐桌和10張椅子…；若按這種方式擺放28張桌子需要的椅子張數(shù)是（

）A．25張 B．50張 C．54張 D．60張【答案】D【分析】本題主要考查了圖形變化的規(guī)律，根據(jù)所給圖形，依次求出圖形中桌子和椅子的張數(shù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可解決問題．【詳解】解：由所給圖形可知，擺1張桌子，需要的椅子張數(shù)為：6=1×2+4；擺2張桌子，需要的椅子張數(shù)為：8=2×2+4；擺3張桌子，需要的椅子張數(shù)為：10=3×2+4；…，所以擺n張桌子，需要的椅子張數(shù)為2n+4張．當(dāng)n=28時(shí)，2n+4=2×28+4=60（張）故選：D．10．（24-25七年級上·陜西西安·階段練習(xí)）電子跳蚤游戲盤（如圖）為△ABC，AB=7，AC=8，BC=9，如果電子跳蚤開始時(shí)在BC邊的P0點(diǎn)，BP0=4，第一步跳蚤從P0到AC邊上P1點(diǎn)，且CP1=CP0；第二步跳蚤從P1跳到AB邊上P2點(diǎn)，且AP2=AP1；第三步跳蚤從A．3 B．5 C．7 D．11【答案】B【分析】本題考查圖形的變化類，根據(jù)題意可以求出前幾個(gè)點(diǎn)所在的位置以及到三角形頂點(diǎn)的距離，從而發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，本題得以解決．【詳解】∵BC=9,BP∴CP∴CP∵AC=8，∴AP∵AB=7,∴BP∴CP∴AP∴BP?，此時(shí)P3與P0重合，即經(jīng)過∵2025÷3=675，∴P2025與∴P2025與C之間的距離是故選：B.11．（24-25七年級上·江蘇南通·期中）有一組按規(guī)律排列的式子：?3，52，?73，94，．第n個(gè)式子是【答案】?1【分析】本題考查數(shù)字類規(guī)律探究．分析這列式子：正負(fù)相間，且其分母依次是1，2，3…，分子依次是3，5，7，9，…，故第n個(gè)式子是?1n【詳解】解：觀察正負(fù)相間，則第n個(gè)式子的系數(shù)可表示為?1n，且其分母依次是1，2，3…，分子依次是3，5，7，9，…，則第n個(gè)式子的分子可表示為2n+1故第n個(gè)式子是?1n故答案為：?1n12．（24-25七年級上·山西太原·階段練習(xí)）在《九章算術(shù)》方田章“圓田術(shù)”中指出：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”，這里所用的割圓術(shù)所體現(xiàn)的是一種無限與有限的轉(zhuǎn)化的思想，比如在1+12+122+123+12【答案】9【分析】本題考查了數(shù)字規(guī)律，解一元一次方程的運(yùn)用，找出規(guī)律，掌握解一元一次方程的方法是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意，設(shè)1+132【詳解】解：設(shè)1+1則1+∴m=1+1整理得，m?1解得，m=9故答案為：9813．（2024七年級上·全國·專題練習(xí)）將全體正偶數(shù)排成一個(gè)三角形數(shù)陣，按照如圖排列的規(guī)律，第10行第5個(gè)數(shù)（從左往右數(shù)）是．【答案】100【分析】本題考查的是數(shù)字類的規(guī)律探究，先分別表示各行的第一個(gè)數(shù)，再總結(jié)規(guī)律，利用規(guī)律解題即可．【詳解】解：觀察數(shù)字的變化可知：第n行有n個(gè)偶數(shù)，因?yàn)榈?行的第1個(gè)數(shù)是：2=1×0+2；第2行的第1個(gè)數(shù)是：4=2×1+2；第3行的第1個(gè)數(shù)是：8=3×2+2；…，所以第n行的第1個(gè)數(shù)是：nn?1所以第10行第5個(gè)數(shù)是：92+2×4=100．故答案為：10014．（2024七年級上·全國·專題練習(xí)）觀察下列一組由★排列的“星陣”，按圖中規(guī)律，第n個(gè)“星陣”中★的個(gè)數(shù)是．【答案】n【分析】本題考查規(guī)律型中的圖形變化問題，由圖可知，第①個(gè)“星陣”中★的個(gè)數(shù)為1×2，第②③④個(gè)“星陣”中★的個(gè)數(shù)依次為2×3、3×4、4×5，即可得出第n個(gè)“星陣”中★的個(gè)數(shù)．解決此類探究性問題，關(guān)鍵在觀察、分析已知數(shù)據(jù)，尋找它們之間的相互聯(lián)系，探尋其規(guī)律．【詳解】解：：∵第①個(gè)“星陣”中★的個(gè)數(shù)為：2=1×2，第②個(gè)“星陣”中★的個(gè)數(shù)為：6=2×3，第③個(gè)“星陣”中★的個(gè)數(shù)為：12=3×4，第④個(gè)“星陣”中★的個(gè)數(shù)為：20=4×5，…∴第n個(gè)“星陣”中★的個(gè)數(shù)為：nn+1故答案為：nn+115．（24-25七年級上·廣東東莞·階段練習(xí)）據(jù)說奧特曼很非常喜歡動(dòng)腦鉆研學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，如圖所示，是他把同樣大小的黑色棋子按照規(guī)律擺放在正方形的邊上，如果他擺放到第n個(gè)圖形，聰明的你知道他擺放第n個(gè)圖形需要黑色棋子的個(gè)數(shù)是．【答案】5n+3/3+5n【分析】本題考查了圖形的變化類問題，解題的關(guān)鍵是仔細(xì)觀察圖形并找到規(guī)律．仔細(xì)觀察圖形得到變化規(guī)律為每增加一個(gè)正方形黑色棋子增加5個(gè)，據(jù)此解答即可．【詳解】解：第一個(gè)圖形有3+5×1=8個(gè)棋子，第二個(gè)圖形有3+5×2=13個(gè)棋子，第三個(gè)圖形有3+5×3=18個(gè)棋子，第n個(gè)圖形有3+5n個(gè)棋子，故答案為：5n+3．16．（2024七年級上·全國·專題練習(xí)）如圖，自左至右，第1個(gè)圖由1個(gè)正六邊形、6個(gè)正方形和6個(gè)等邊三角形組成；第2個(gè)圖由2個(gè)正六邊形、11個(gè)正方形和10個(gè)等邊三角形組成；第3個(gè)圖由3個(gè)正六邊形、16個(gè)正方形和14個(gè)等邊三角形組成；…，按照此規(guī)律．（1）第5個(gè)圖中正方形和等邊三角形的個(gè)數(shù)之和為個(gè)；（2）第n個(gè)圖中正方形和等邊三角形的個(gè)數(shù)之和為個(gè)．【答案】489n+3【分析】（1）第1個(gè)圖由1個(gè)正六邊形、6個(gè)正方形和6個(gè)等邊三角形組成；第2個(gè)圖由2個(gè)正六邊形、6+2?1×5=11個(gè)正方形和6+2?1×4=10個(gè)等邊三角形組成；第3個(gè)圖由3個(gè)正六邊形、6+3?1（2）第n個(gè)圖由n個(gè)正六邊形、6+n?1×5=本題考查了整式的規(guī)律，熟練掌握規(guī)律的探索是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：第1個(gè)圖由1個(gè)正六邊形、6個(gè)正方形和6個(gè)等邊三角形組成；第2個(gè)圖由2個(gè)正六邊形、6+2?1×5=11個(gè)正方形和6+2?1×4=10個(gè)等邊三角形組成；第3個(gè)圖由3個(gè)正六邊形、6+3?1故26+22=48（個(gè)）；故答案為：48．（2）解：根據(jù)題意，得第n個(gè)圖由n個(gè)正六邊形、6+n?1×5=故5n+1+4n+2故答案為：9n+3．17．（24-25七年級上·江蘇鹽城·期中）我國很多經(jīng)典古籍中記載了“河圖洛書”，它是中國重要的文化遺產(chǎn)．“河圖洛書”中用實(shí)心點(diǎn)或空心點(diǎn)的個(gè)數(shù)表示數(shù)字．觀察圖1中的每一組點(diǎn)所對應(yīng)的數(shù)字，回答下列問題：(1)根據(jù)“洛書”，把數(shù)字1-9填入圖2對應(yīng)的空格；(2)根據(jù)圖2所填數(shù)字，我們不難發(fā)現(xiàn)：方格中每一行、每一列、每條對角線上的三個(gè)數(shù)之和都相等．請將6，6，6，8，8，8，10，10，10填入圖3方格中，使它們符合“洛書”的規(guī)律．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查探索與表達(dá)規(guī)律．根據(jù)“每行、每列、每條對角線上的三個(gè)數(shù)之和相等”解答即可．【詳解】（1）解：1+2+3+?+9=45，根據(jù)“每行、每列、每條對角線上的三個(gè)數(shù)之和相等”，可知三行、三列、兩對角線上的三個(gè)數(shù)之和都等于15，填圖如下：；（2）解：6×3+8×3+10×3=72，根據(jù)“每行、每列、每條對角線上的三個(gè)數(shù)之和相等”，可知三行、三列、兩對角線上的三個(gè)數(shù)之和都等于24，填圖如下：．18．（24-25七年級上·海南省直轄縣級單位·期中）觀察下列三列數(shù)：?1，+3，?5，+7，?9，+11，…；①?3，+1，?7，+5，?11，+9，…；②+3，?9，+15，?21，+27，?33，…；③(1)第①行第10個(gè)數(shù)是第②行第10個(gè)數(shù)是(2)第②③行中的數(shù)與第①行中的數(shù)分別有什么關(guān)系？(3)若在每行取第k個(gè)數(shù)，這三個(gè)數(shù)的和正好為?101，求k的值．【答案】(1)+19；+17(2)第②行中的數(shù)是第①行中相應(yīng)的數(shù)?2；第③行中的數(shù)是第①行中相應(yīng)的數(shù)×(3)50【分析】本題主要考查了數(shù)字規(guī)律，一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是找出數(shù)字規(guī)律．（1）根據(jù)第①和②行規(guī)律進(jìn)行解答即可；（2）根據(jù)給出的數(shù)字，得出規(guī)律進(jìn)行解答即可；（3）設(shè)所選第一行的數(shù)為x，則第二行的數(shù)為x?2，第三行的數(shù)為?3x，根據(jù)題意列出方程進(jìn)行解答即可．【詳解】（1）解：根據(jù)規(guī)律可得，第①行第10個(gè)數(shù)是2×10?1=19；第②行第10個(gè)數(shù)是19?2=17；（2）解：第②行中的數(shù)是第①行中相應(yīng)的數(shù)?2；第③行中的數(shù)是第①行中相應(yīng)的數(shù)×?3（3）解：設(shè)所選第一行的數(shù)為x，則第二行的數(shù)為x?2，第三行的數(shù)為?3x，根據(jù)題意得：x+x?2?3x=?101，解得：x=99，令2k?1=99，解得：k=50．19．（24-25七年級上·河南鄭州·期中）如圖，用相同的圓點(diǎn)按照一定的規(guī)律拼出圖形，第一幅圖4個(gè)圓點(diǎn)，第二幅圖7個(gè)圓點(diǎn)，第三幅圖10個(gè)圓點(diǎn)……按照此規(guī)律解答：(1)第4幅圖中圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)是____________個(gè)；(2)第n幅圖中圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)是____________個(gè)；(3)現(xiàn)有226個(gè)圓點(diǎn)，則是第幾幅圖？【答案】(1)13(2)3n+1(3)75【分析】本題主要考查了圖形的變化規(guī)律，解題的關(guān)鍵是由所給的圖形總結(jié)出存在的規(guī)律．（1）首先根據(jù)前幾個(gè)圖形圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)規(guī)律即可發(fā)現(xiàn)規(guī)律，得出第4幅圖中圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（2）首先根據(jù)前幾個(gè)圖形圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)規(guī)律即可發(fā)現(xiàn)規(guī)律，然后用代數(shù)式表示出來即可；（3）令（2）中的式子等于226求出n即可．【詳解】（1）第一幅圖4個(gè)圓點(diǎn)，即4+3×0；第二幅圖7個(gè)圓點(diǎn)，即4+3×1，第三幅圖10個(gè)圓點(diǎn)，即4+3×2，∴第4幅圖中圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)是4+3×3=13．（2）由（1）可得，第n幅圖中圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)是4+3n?1（3）令3n+1=226，解得n=75，∴若有226個(gè)圓點(diǎn)，則是第75幅圖．20．（2024七年級上·全國·專題練習(xí)）文化情境·傳統(tǒng)文化

小明下五子棋的時(shí)候，用棋子按一定的規(guī)律擺了如下三個(gè)圖案，若小明繼續(xù)擺下去．(1)擺第5個(gè)圖案需用________顆棋子；(2)按照此規(guī)律擺下去，擺第n個(gè)圖案需要________顆棋子（用含n的代數(shù)式表示）；(3)當(dāng)需要擺第2025個(gè)圖案時(shí)，現(xiàn)在共有8100個(gè)棋子，是否夠用？請說明理由．【答案】(1)21(2)4n+1(3)不夠，見解析【分析】本題考查整式——圖形類規(guī)律探索，找出變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)所給圖形中棋子的個(gè)數(shù)找出規(guī)律，即可求解；（2）根據(jù)（1）中得出的規(guī)律，用含n的代數(shù)式表示出第n個(gè)圖案中棋子的個(gè)數(shù)即可；（3）根據(jù)（2）中結(jié)論，令n=2025求出棋子數(shù)量，再與8100比較即可判斷．【詳解】（1）解：由圖可知，第1個(gè)圖案中有5顆棋子，5=4×1+1，第2個(gè)圖案中有9顆棋子，9=4×2+1，第3個(gè)圖案中有13顆棋子，13=4×3+1，……以此類推，第5個(gè)圖案中棋子個(gè)數(shù)為：4×5+1=21，故答案為：21；（2）解：由（1）可知，擺第n個(gè)圖案需要顆棋子4n+1，故答案為：4n+1；（3）不夠，理由如下：當(dāng)n=2025時(shí)，4n+1=8101>8100，故擺第2025個(gè)圖案時(shí)8100個(gè)棋子不夠用．21．（2024七年級上·全國·專題練習(xí)）觀察一列數(shù)b0，b1，b2，?，具有下面的規(guī)律，b2n+1=bn，bA．23 B．29 C．33 D．39【答案】C【分析】本題主要考查數(shù)字的變化規(guī)律，代數(shù)式求值，根據(jù)變化規(guī)律得出b2025和b按照規(guī)律找到b2025和b【詳解】解：∵b2n+1=當(dāng)n=0時(shí)，可得：b1=b∴==2=2=5=8=13=18=23b=33∵即33b故選：C22．（24-25七年級上·安徽合肥·階段練習(xí)）如圖，將?5，?4，?3，?2，?1，0，1，2，3，這九個(gè)數(shù)分別填入九宮格內(nèi)，使每行、每列、每條對角線上的三個(gè)數(shù)之和相等，若a，b，c分別表示其中一個(gè)數(shù)，則a?b+c的值為（

）A．?8 B．?6 C．?2 D．4【答案】D【分析】本題主要考查了數(shù)字規(guī)律探索，代數(shù)式求值，一元一次方程的應(yīng)用．先根據(jù)所有數(shù)字之和確定每行、每列、每條對角線上的三個(gè)數(shù)之和，利用方程求出a，b，c的值，進(jìn)而即可解答．【詳解】解：∵?5+且每行、每列、每條對角線上的三個(gè)數(shù)之和相等，∴三行、三列、兩對角線上的三個(gè)數(shù)之和都等于?9÷3=?3∴2+?3b+?10+c+?4∴a=?2，b=?5，c=1，∴a?b+c=?2??5故選：D23．（24-25七年級上·江蘇南京·階段練習(xí)）有依次排列的3個(gè)數(shù)：2，9，7，對任意相鄰的兩個(gè)數(shù)，都用右邊的數(shù)減去左邊的數(shù)所得之差寫在這兩個(gè)數(shù)之間，可產(chǎn)生一個(gè)新數(shù)串：2，7，9，?2，7，這稱為第1次操作；做第2次同樣的操作后也可產(chǎn)生一個(gè)新數(shù)串：2，5，7，2，9，?11，?2，9，7，繼續(xù)操作下去，從數(shù)串2，9，7開始操作第2024次以后所產(chǎn)生的那個(gè)新數(shù)串的所有數(shù)之和是（

）A．20238 B．10138 C．5028 D．2509【答案】B【分析】此題主要考查了數(shù)字變化類，根據(jù)題意分別求得第一次操作增加數(shù)字?2，7，第二次操作所增加數(shù)字7?2=5，可以發(fā)現(xiàn)是定值5，從而求得第2024次操作后所有數(shù)之和為2+7+9+2024×5=10138，讀懂題意，找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵第一次操作增加數(shù)字：?2，7，第二次操作增加數(shù)字：5，2，?11，9，∴第一次操作增加7?2=5，第二次操作增加5+2?11+9=5，即每次操作加5，?，∴第2024次操作后所有數(shù)之和為2+7+9+2024×5=10138，故選：B．24．（24-25七年級上·山東青島·期中）將正方形圖1作如下操作：第1次：分別連接各邊中點(diǎn)如圖2，得到5個(gè)正方形；第2次：將圖2左上角正方形按上述方法再分割如圖3，得到9個(gè)正方形…，以此類推，根據(jù)以上操作，若要得到2025個(gè)正方形，則需要操作的次數(shù)是（

）A．506 B．507 C．508 D．509【答案】A【分析】由題意可知，第1次：分別連接各邊中點(diǎn)如圖2，得到4+1=5個(gè)正方形；第2次：將圖2左上角正方形按上述方法再分割如圖3，得到4×2+1=9個(gè)正方形…，以此類推，根據(jù)以上操作，則第n次得到4n+1個(gè)正方形，由此規(guī)律代入求得答案即可．此題主要考查了圖形的變化類，根據(jù)已知得出正方形個(gè)數(shù)的變化規(guī)律是解題關(guān)鍵．【詳解】解：∵第1次：分別連接各邊中點(diǎn)如圖2，得到4+1=5個(gè)正方形；第2次：將圖2左上角正方形按上述方法再分割如圖3，得到4×2+1=9個(gè)正方形，…，以此類推，根據(jù)以上操作，若第n次得到2025個(gè)正方形，則4n+1=2025，解得：n=506．故選：A25．（24-25七年級上·江蘇連云港·階段練習(xí)）如圖，將一個(gè)邊長為1的正方形紙片分割成7個(gè)圖形，圖形①面積是正方形紙片面積的13，圖形②面積是圖形①面積的2倍的13，圖形③面積是圖形②面積的2倍的13，…，圖形⑥面積是圖形⑤面積的2倍的13，圖形⑦面積是圖形⑥面積的2倍．計(jì)算面積【答案】665【分析】本題考查了圖形的變化規(guī)律以及有理數(shù)的混合運(yùn)算，利用數(shù)形結(jié)合是解本題的關(guān)鍵，．根據(jù)題意表示出圖形①、②、③、④、⑤、⑥的面積，根據(jù)圖形⑦的面積是圖形⑥面積的2倍表示出圖形⑦的面積，可得等于正方形紙片的面積減去圖形⑦的面積，即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意得：圖形①面積是13圖形②面積是23圖形③面積是，2×2圖形④面積是2×2圖形⑤面積是2×2圖形⑥面積是2×2∵圖形⑦面積是圖形⑥面積的2倍，∴S⑦∵七部分的面積之和為1，∴S①故答案為：66572926．（24-25七年級上·廣西玉林·期中）少數(shù)民族服飾以其精美的花紋和艷麗的色彩越來越受到設(shè)計(jì)師們的喜愛．某民族服飾的花邊均是由若干個(gè)中的基礎(chǔ)圖形組成的有規(guī)律的圖案：第1個(gè)圖案由4個(gè)基礎(chǔ)圖形組成，第2個(gè)圖案由7個(gè)基礎(chǔ)圖形組成，第3個(gè)圖案由10個(gè)基礎(chǔ)圖形組成，…，如圖，按此規(guī)律排列下去，第2024個(gè)圖案中的基礎(chǔ)圖形個(gè)數(shù)為．【答案】6073【分析】本題考查了圖形的規(guī)律探究，代數(shù)式求值．根據(jù)題意推導(dǎo)一般性規(guī)律是解題的關(guān)鍵．由題意可推導(dǎo)一般性規(guī)律為，第n個(gè)圖案由4+3×n?1=3n+1個(gè)基礎(chǔ)圖形組成，將【詳解】解：由題意知，第1個(gè)圖案由4個(gè)基礎(chǔ)圖形組成，第2個(gè)圖案由4+3=7個(gè)基礎(chǔ)圖形組成，第3個(gè)圖案由4+3+3=4+3×2=10個(gè)基礎(chǔ)圖形組成，∴可推導(dǎo)一般性規(guī)律為，第n個(gè)圖案由4+3×n?1將n=2024代入得，3×2024+1=6073，故答案為：6073．27．（24-25七年級上·全國·期末）觀察理解．在化學(xué)世界中，圖①表達(dá)的是甲烷（wán）的分子結(jié)構(gòu)示意圖，記為：CH4圖②表達(dá)的是乙烷的分子結(jié)構(gòu)示意圖，記為：C2圖③表達(dá)的是丙烷的分子結(jié)構(gòu)示意圖，記為：；則圖?表達(dá)的烷類分子結(jié)構(gòu)示意圖應(yīng)記為：．【答案】C3H【分析】本題考查了圖形類規(guī)律探索，正確歸納類推出一般規(guī)律是解題關(guān)鍵．先分別求出圖①、圖②、圖③中，分子結(jié)構(gòu)示意圖含有C和H的個(gè)數(shù)，再歸納類推出一般規(guī)律，由此即可得．【詳解】解：由圖①可知，分子結(jié)構(gòu)示意圖中含有C的個(gè)數(shù)為1個(gè)，含有H的個(gè)數(shù)為2+2×1=4，由圖②可知，分子結(jié)構(gòu)示意圖中含有C的個(gè)數(shù)為2個(gè)，含有H的個(gè)數(shù)為2+2×2=6，由圖③可知，分子結(jié)構(gòu)示意圖中含有C的個(gè)數(shù)為3個(gè)，含有H的個(gè)數(shù)為2+2×3=8，歸納類推得：圖?表達(dá)的分子結(jié)構(gòu)示意圖中含有C的個(gè)數(shù)為n個(gè)，含有H的個(gè)數(shù)為2+2n，則圖③表達(dá)的是丙烷的分子結(jié)構(gòu)示意圖，記為：C3圖?表達(dá)的烷類分子結(jié)構(gòu)示意圖應(yīng)記為：Cn故答案為：C3H828．（24-25七年級上·四川成都·期中）觀察圖①，②，③，④得1=2×1?1=11+3=1+2×2?11+3+5=1+3+2×3?11+3+5+7=1+3+5+2×4?1……(1)觀察面圖中小圓圈的排列方式，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？你能表示出來嗎？(2)根據(jù)（1）中的規(guī)律，計(jì)算：1+3+5+7+??+199；(3)根據(jù)（1）中的規(guī)律，計(jì)算：31+33+35+??+199．【答案】(1)從1開始，n個(gè)連續(xù)的奇數(shù)相加，它們的和為n21+3+5+7+?+(2)10000(3)9775【分析】本題考查了圖形的變化類，解題的關(guān)鍵是仔細(xì)觀察圖形并找到規(guī)律．(1)根據(jù)圖形的變化尋找規(guī)律：從1開始，n個(gè)連續(xù)的奇數(shù)相加，它們的和為n2(2)根據(jù)(1)中的規(guī)律即可求解；(3)根據(jù)(1)中的規(guī)律即可求解．【詳解】（1）解：觀察圖形的變化可知：1=2×1?1=11+3=1+2×2?11+3+5=1+3+2×3?11+3+5+7=1+3+5+2×4?1發(fā)現(xiàn)規(guī)律∶從1開始，1個(gè)奇數(shù)的和是1；前2個(gè)奇數(shù)的和等于2的平方，即22；前3個(gè)奇數(shù)的和等于3的平方，即32；前4個(gè)奇數(shù)的和等于4的平方，即∴從1開始，n個(gè)連續(xù)的奇數(shù)相加，它們的和為n2∴1+3+5+7+?+2n?1=n（2）解：1+3+5+7+??+199=1+3+5+7+??+==10000；（3）解：31+33+35+??+199===9775．29．（24-25七年級上·湖北宜昌·期中）在數(shù)列a1，a2，a3，…an中，a1=2，a2=1A．16 B．17 C．18 D．19【答案】C【分析】本題考查了數(shù)字的變化類，根據(jù)數(shù)字的變化每三個(gè)為一組，尋找規(guī)律式即可求解，解題的關(guān)鍵是尋找規(guī)律【詳解】解：∵a1，a2，a3，…an中任意相鄰的三個(gè)數(shù)的乘積都相等，∴a1∴a1=a4=∵a1∴a3∴a1∵64=2∴64=a∴n=3×6=18故選：C30．（24-25七年級上·陜西西安·階段練習(xí)）如圖，甲、乙兩動(dòng)點(diǎn)分別同時(shí)從正方形ABCD的頂點(diǎn)A、C沿正方形的邊開始勻速運(yùn)動(dòng)，甲按順時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)，乙按逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)，若乙的速度是甲的3倍，那么它們第一次相遇在AD邊上，請問它們第2024次相遇在哪條邊上?（

）A．AD B．CD C．BC D．AB【答案】D【分析】本題考查了圖形類規(guī)律變化問題，設(shè)出正方形的邊長a，根據(jù)甲的速度是乙的速度的3倍，求得每一次相遇的地點(diǎn)，找出規(guī)律即可解答，根據(jù)題意找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)正方形的邊長為a，∵乙的速度是甲的速度的3倍，時(shí)間相同，∴甲乙所行的路程比為1∶3，把正方形的每一條邊平均分成2份，由題意知：①第一次相遇甲乙行的路程和為2a，乙行的路程為2a×31+3=32②第一次相遇到第二次相遇甲乙行的路程和為4a，乙行的路程為4a×31+3=3a，甲行的路程為4a×③第二次相遇到第三次相遇甲乙行的路程和為4a，乙行的路程為4a×31+3=3a，甲行的路程為4a×④第三次相遇到第四次相遇甲乙行的路程和為4a，乙行的路程為4a×31+3=3a，甲行的路程為4a×⑤第四次相遇到第五次相遇甲乙行的路程和為4a，乙行的路程為4a×31+3=3a，甲行的路程為4a×∴四次一個(gè)循環(huán)，∵2024÷4=505?4，∴它們第2024次相遇在邊AB上，故選：D．31．（23-24七年級上·福建漳州·階段練習(xí)）漢諾塔問題是指有三根桿子和套在桿子上的若干大小不等的碟片，按下列規(guī)則，把碟片從一根桿子上全部移到另一根桿子上；（1）每次只能移動(dòng)1個(gè)碟片．（2）較大的碟片不能放在較小的碟片上面．如圖所示，將1號(hào)桿子上所有碟片移到2號(hào)桿子上，3號(hào)桿可以作為過渡桿使用，稱將碟片從一根桿子移動(dòng)到另一根桿子為移動(dòng)一次，記將1號(hào)桿子上的n個(gè)碟片移動(dòng)到2號(hào)桿子上最少需要an次，則a6=A．31次 B．33次 C．62次 D．63次【答案】D【分析】本題考查了歸納推理、圖形變化的規(guī)律問題．根據(jù)移動(dòng)方法與規(guī)律發(fā)現(xiàn)，隨著盤子數(shù)目的增多，都是分兩個(gè)階段移動(dòng)，用盤子數(shù)目減1的移動(dòng)次數(shù)都移動(dòng)到2柱，然后把最大的盤子移動(dòng)到3柱，再用同樣的次數(shù)從2柱移動(dòng)到3柱，從而完成，然后根據(jù)移動(dòng)次數(shù)的數(shù)據(jù)找出總的規(guī)律求解即可．【詳解】解：n=1時(shí)，ann=2時(shí)，小盤→3柱，大盤→2柱，小盤從3柱→2柱，完成，即a2n=3時(shí)，小盤→2柱，中盤→3柱，小盤從2柱→3柱，大盤→2柱，再用n=2的方法轉(zhuǎn)移，即a3……以此類推，an∴a6故選：D．32．（24-25七年級上·四川成都·階段練習(xí)）成都準(zhǔn)備建立急救服務(wù)系統(tǒng)，各急救站之間由電話線相互聯(lián)絡(luò)，每個(gè)急救站必須能夠同其他所有急救站進(jìn)行聯(lián)絡(luò)，或者直接聯(lián)絡(luò)，或者最多通過另一個(gè)急救站來聯(lián)絡(luò)，每個(gè)急救站最多能夠通過三條電話線．如圖上表示這種網(wǎng)絡(luò)的一個(gè)例子，它聯(lián)絡(luò)著七個(gè)急救站，按這種方式建立的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)最多能夠聯(lián)絡(luò)______個(gè)急救站．【答案】10【分析】本題考查簡單的極端原理，解題的關(guān)鍵是分情況考慮，正確畫出圖形．我們首先求出急救站的最多個(gè)數(shù)，然后驗(yàn)證是否可以構(gòu)成具有這么多急救站的網(wǎng)絡(luò)．選取一個(gè)特定的急救站，把它看作基地．它可以同另外1個(gè)、2個(gè)或3個(gè)急救站聯(lián)絡(luò)；急救站A，B和C中的每一個(gè)都還有兩條未使用的電話線，因而每一個(gè)都能再與兩個(gè)急救站聯(lián)絡(luò)；外面的急救站中的每一個(gè)都還有兩條未使用的電話線，可以使用這些電話線把外面的急救站與所有的急救站緊密聯(lián)絡(luò)．【詳解】解：在這個(gè)問題中給出的例子說明，至少有7個(gè)急救站可以用這種方式進(jìn)行聯(lián)絡(luò)．我們首先求出急救站的最多個(gè)數(shù)，然后驗(yàn)證是否可以構(gòu)成具有這么多急救站的網(wǎng)絡(luò)．讓我們選取一個(gè)特定的急救站，把它看作基地．它可以同另外1個(gè)、2個(gè)或3個(gè)急救站聯(lián)絡(luò)，如圖所示：（為了考慮到可能存在三條電話線并未完全使用的基地，就說A，B和C不一定不同．）急救站A，B和C中的每一個(gè)都還有兩條未使用的電話線，因而每一個(gè)都能再與兩個(gè)急救站聯(lián)絡(luò)，如圖所示：（同樣，圖中所示急救站不一定不同．）現(xiàn)在，我們來驗(yàn)證是否可以建立包含10個(gè)急救站的網(wǎng)絡(luò)．在上面的圖中，只有基地能與其他急救站緊密聯(lián)絡(luò)．例如，A距離B和C以外聯(lián)絡(luò)的急救站“太遠(yuǎn)了”．但是這些外面的急救站中的每一個(gè)都還有兩條未使用的電話線，可以使用這些電話線把外面的急救站與所有的急救站緊密聯(lián)絡(luò)．這要求試著進(jìn)行，最后我們確實(shí)會(huì)得到含有10個(gè)急救站的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，如圖所示：故答案為：10．33．（24-25七年級上·四川廣安·期中）觀察圖形，探索規(guī)律．圖1是三條長度都為a的線段構(gòu)成的小三角形；圖2是4個(gè)邊長都為a的小角形拼成的大三角形：圖3是9個(gè)邊長都為a的小三角形拼成的大三角形；圖4是16個(gè)邊長都為a的小三角形拼成的大三角形。按此規(guī)律排列，圖n中共有長度為a的線段條．

【答案】3【分析】本題主要考查了圖形變化類，熟練掌握圖形變化的規(guī)律，是解題的關(guān)鍵，觀察圖形變化規(guī)律，每個(gè)圖形三角形的數(shù)目都可以寫成一邊上三角形個(gè)數(shù)的平方，而圖中小三角形邊的數(shù)目可以寫成行數(shù)和的3倍，據(jù)此計(jì)算邊數(shù)．【詳解】第①個(gè)圖形有1=12個(gè)三角形，共有長度為第②個(gè)圖形有1+3=22個(gè)三角形，共有長度為a的線段第③個(gè)圖形有1+3+5=9=32個(gè)三角形，共有長度為a的線段1+2+3×3=18（條），第③個(gè)圖形有1+3+5+7=16=42第⑤個(gè)圖形有1+3+5+7+9=25=52個(gè)三角形，拼成大正方形邊長為5a，共有長度為a的線段……，按此規(guī)律，則第n個(gè)圖形中三角形的個(gè)數(shù)：1+3+5+……+2n+1=n2個(gè)三角形，圖中共有長度為a的線段故答案為：3n34．（24-25七年級上·全國·期末）某長方形人行道由相同的灰色正方形地磚與相同的白色等腰直角三角形地磚排列而成，圖1表示此人行道的地磚排列方式，其中正方形地磚為連續(xù)排列．[觀察思考]當(dāng)正方形地磚只有1塊時(shí)，等腰直角三角形地磚有6塊（如圖2）；當(dāng)正方形地磚有2塊時(shí)，等腰直角三角形地磚有8塊（如圖3）；以此類推．[規(guī)律總結(jié)]（1）若人行道上每增加1塊正方形地磚，則等腰直角三角形地磚增加塊；（2）若一條這樣的人行道一共有n（n為正整數(shù)）塊正方形地磚，則等腰直角三角形地磚的塊數(shù)為（用含n的代數(shù)式表示）．[問題解決]（3）現(xiàn)有2025塊等腰直角三角形地磚，若按此規(guī)律再建一條人行道，要求等腰直角三角形地磚剩余最少，則需要正方形地磚多少塊？【答案】（1）2；（2）2n+4；（3）1010塊【分析】本題為圖形規(guī)律題，解題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并能列代數(shù)式表示其中的規(guī)律，一元一次方程、代數(shù)式的應(yīng)用．（1）由圖觀察即可；（2）由每增加一塊正方形地磚，即增加2塊等腰直角三角形地磚，再結(jié)合題干中的條件正方形地磚只有1塊時(shí)，等腰直角三角形地磚有6塊，遞推即可；（3）利用上一小題得到的公式建立方程，即可得到等腰直角三角形地磚剩余最少時(shí)需要正方形地磚的數(shù)量．【詳解】解：（1）觀察圖1可知：中間的每個(gè)正方形都對應(yīng)了兩個(gè)等腰直角三角形，所以每增加一塊正方形地磚，等腰直角三角形地磚就增加2塊；故答案為：2；（2）觀察圖形2可知：中間一個(gè)正方形的左上、左邊、左下共有3個(gè)等腰直角三角形，它右上和右下各對應(yīng)了一個(gè)等腰直角三角形，右邊還有1個(gè)等腰直角三角形，即6=3+2×1+1=4+2×1；圖3和圖1中間正方形右上和右下都對應(yīng)了兩個(gè)等腰直角三角形，均有圖2一樣的規(guī)律，圖3：8=3+2×2+1=4+2×2；歸納得：4+2n（即2n+4）；∴若一條這樣的人行道一共有n（n為正整數(shù)）塊正方形地磚，則等腰直角三角形地磚的塊數(shù)為2n+4塊；故答案為：2n+4；（3）由規(guī)律知：等腰直角三角形地磚塊數(shù)2n+4是偶數(shù)，∴用2025?1=2024塊，再由題意得：2n+4=2024，解得：n=1010，∴等腰直角三角形地磚剩余最少為1塊，則需要正方形地磚1010塊．35．（24-25七年級上·山東青島·期中）在運(yùn)用歸納策略尋找規(guī)律時(shí)，要先在若干簡單情形中尋找、發(fā)現(xiàn)、驗(yàn)證相應(yīng)的規(guī)律，再考慮一般情況，最后給出合理解釋，并用數(shù)學(xué)語言簡潔地表達(dá)規(guī)律．操作方法：如圖1，用一個(gè)平面將正方體截去1個(gè)頂點(diǎn)（截面不經(jīng)過其它頂點(diǎn)），得到一個(gè)新幾何體，稱為第1次操作；如圖2，用