PAGE1專(zhuān)題25線段和角的動(dòng)態(tài)問(wèn)題內(nèi)容導(dǎo)航——預(yù)習(xí)三步曲第一步：學(xué)析教材學(xué)知識(shí)：教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)練題型強(qiáng)知識(shí)：9大核心考點(diǎn)精準(zhǔn)練第二步：記串知識(shí)識(shí)框架：思維導(dǎo)圖助力掌握知識(shí)框架、學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)核內(nèi)容掌握第三步：測(cè)過(guò)關(guān)測(cè)穩(wěn)提升：小試牛刀檢測(cè)預(yù)習(xí)效果、查漏補(bǔ)缺快速提升1.線段動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題：涉及動(dòng)點(diǎn)在已知線段上運(yùn)動(dòng)，常利用線段的和差關(guān)系、中點(diǎn)性質(zhì)來(lái)求解線段長(zhǎng)度，有時(shí)會(huì)結(jié)合方程思想，根據(jù)運(yùn)動(dòng)時(shí)間和速度表示出相關(guān)線段長(zhǎng)度，進(jìn)而解決如求線段長(zhǎng)、運(yùn)動(dòng)時(shí)間、定值等問(wèn)題。2.角的動(dòng)態(tài)問(wèn)題：包括角的旋轉(zhuǎn)等動(dòng)態(tài)變化，常依據(jù)角平分線性質(zhì)、角的和差關(guān)系來(lái)計(jì)算角度，或探究角度之間的數(shù)量關(guān)系及定值等。3.新定義問(wèn)題：出現(xiàn)如“倍距點(diǎn)”“美好點(diǎn)”“巧點(diǎn)”等新定義，需要根據(jù)定義結(jié)合線段或角的知識(shí)，通過(guò)分析動(dòng)點(diǎn)位置和數(shù)量關(guān)系來(lái)解決問(wèn)題?！绢}型1線段上含動(dòng)點(diǎn)求線段長(zhǎng)問(wèn)題】例題：（23-24七年級(jí)上·重慶沙坪壩·期末）點(diǎn)C在線段上滿足，點(diǎn)D和點(diǎn)E是線段上的兩動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D在點(diǎn)E的左側(cè)）滿足，．(1)當(dāng)點(diǎn)E是的中點(diǎn)時(shí)，求的長(zhǎng)度；(2)當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)度．【變式訓(xùn)練】1．（23-24七年級(jí)上·河南周口·期末）如圖，已知線段，，點(diǎn)C為線段上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D、E分別是和的中點(diǎn)．(1)若，求的長(zhǎng)；(2)試說(shuō)明無(wú)論取何值（不超過(guò)），的長(zhǎng)不變．2．（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）學(xué)科素養(yǎng)·分類(lèi)討論思想如圖，已知數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為8，B是數(shù)軸上一點(diǎn)，且．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒5個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．(1)點(diǎn)B表示的數(shù)為_(kāi)_____，點(diǎn)P表示的數(shù)為_(kāi)_____（用含t的代數(shù)式表示）；(2)若M為的中點(diǎn)，N為的中點(diǎn)．點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，線段的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化？若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不變，請(qǐng)求出線段的長(zhǎng)．3．（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）（1）如圖，已知，點(diǎn)C為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，D、E分別是、的中點(diǎn)；①若點(diǎn)C恰為的中點(diǎn)，則；②若，則；（2）如圖，點(diǎn)C為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，D、E分別是的中點(diǎn)；若，則；【題型2線段上含動(dòng)點(diǎn)求定值問(wèn)題】例題：（23-24七年級(jí)上·河南許昌·期末）如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A，B表示的有理數(shù)分別為，3，點(diǎn)P是射線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），M是線段靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，N是線段靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)．(1)若點(diǎn)P表示的有理數(shù)是0，那么的長(zhǎng)為_(kāi)__________；若點(diǎn)P表示的有理數(shù)是6，那么的長(zhǎng)為_(kāi)__________．(2)點(diǎn)P在射線上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)A，B重合）的過(guò)程中，的長(zhǎng)是否發(fā)生改變？若不改變，請(qǐng)寫(xiě)出求的長(zhǎng)的過(guò)程；若改變，請(qǐng)說(shuō)明理由．【變式訓(xùn)練】1．（23-24七年級(jí)上·四川眉山·期末）如圖，B是線段上一動(dòng)點(diǎn)，沿以每秒的速度往返運(yùn)動(dòng)1次，C是線段的中點(diǎn)，，設(shè)點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．(1)當(dāng)時(shí)，______cm，______cm；(2)用含有t的代數(shù)式表示運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的長(zhǎng)；(3)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，若的中點(diǎn)為E，則的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化？若不變，求出的長(zhǎng)：若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．2．（24-25七年級(jí)上·天津·期末）如圖，線段，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以2個(gè)單位/秒的速度沿射線運(yùn)動(dòng)，為的中點(diǎn)．(1)出發(fā)多少秒后，？(2)當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試說(shuō)明為定值；(3)當(dāng)點(diǎn)在延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)，為的中點(diǎn)時(shí)，有下列兩個(gè)結(jié)論：①的長(zhǎng)度不變；②的值不變．選出一個(gè)正確的結(jié)論，并求其值．3．（24-25七年級(jí)上·吉林·期末）如圖，線段，動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度沿射線運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（），M為的中點(diǎn)．(1)用含t的代數(shù)式表示的長(zhǎng)度為_(kāi)________．(2)在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，當(dāng)t為多少時(shí)，？(3)在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，點(diǎn)N為的中點(diǎn)，證明線段的長(zhǎng)度不變，并求出其值．(4)當(dāng)點(diǎn)在延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，當(dāng)、、三點(diǎn)中的一個(gè)點(diǎn)是以另兩個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的線段中點(diǎn)時(shí)，直接寫(xiě)出t值．【題型3線段上含動(dòng)點(diǎn)求時(shí)間問(wèn)題】例題：（24-25七年級(jí)上·陜西商洛·期末）如圖，點(diǎn)在線段上，，，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出友，沿線段以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿線段以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．(1)當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)相遇時(shí)，求的值．(2)當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離為9個(gè)單位長(zhǎng)度時(shí)，求的值．(3)當(dāng)時(shí)，求的值．【變式訓(xùn)練】1．（24-25七年級(jí)上·江西贛州·期末）如圖，是線段上一動(dòng)點(diǎn)，沿以的速度往返運(yùn)動(dòng)1次，是線段的中點(diǎn)，，設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．(1)當(dāng)時(shí)，①；②此時(shí)線段的長(zhǎng)度．(2)①點(diǎn)沿點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，；（用含的代數(shù)式表示的長(zhǎng)）②點(diǎn)沿點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，．（用含的代數(shù)式表示的長(zhǎng)）(3)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在點(diǎn)B，使得，若存在，求出t的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．2．（24-25七年級(jí)上·陜西安康·期末）如圖，直線上有，兩點(diǎn)，，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，．(1)________，________；(2)若點(diǎn)以的速度從點(diǎn)出發(fā)沿直線向右運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)以的速度從點(diǎn)出發(fā)沿直線也向右運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，，兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)．①當(dāng)為何值時(shí)，；②當(dāng)點(diǎn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以的速度也沿直線向右運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)追上點(diǎn)后立即返回，以的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，遇到點(diǎn)后再立即返回，以的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，如此往返，直到點(diǎn)，停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)，在此過(guò)程中，點(diǎn)行駛的總路程是多少？3．（24-25七年級(jí)上·云南曲靖·期末）如圖，的邊上有一動(dòng)點(diǎn)，從距離點(diǎn)的點(diǎn)處出發(fā)，沿線段，射線運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在線段上速度為．在射線上速度為；動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿射線運(yùn)動(dòng)，速度為，點(diǎn)、同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間是．(1)當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，為何值，能使？(2)若點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到距離點(diǎn)的點(diǎn)處停止，在點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)前，點(diǎn)能否追上點(diǎn)？如果能，求出的值；如果不能，請(qǐng)說(shuō)出理由；(3)若、兩點(diǎn)不停止運(yùn)動(dòng)，為何值時(shí)，它們相距？（若點(diǎn)在線段上，點(diǎn)在射線上，則、兩點(diǎn)的距離為：點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到點(diǎn)的距離之和）【題型4線段上含動(dòng)點(diǎn)的新定義型問(wèn)題】例題：（23-24七年級(jí)上·福建龍巖·期末）已知線段，點(diǎn)在線段上，且．(1)求線段，的長(zhǎng)；(2)點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，設(shè)．①請(qǐng)用含有的式子表示線段，的長(zhǎng)；②若三個(gè)點(diǎn)，，中恰有一點(diǎn)是其它兩點(diǎn)所連線段的中點(diǎn)，則稱(chēng)，，三點(diǎn)為“和諧點(diǎn)”，求使得，，三點(diǎn)為“和諧點(diǎn)”的的值．【變式訓(xùn)練】1．（24-25七年級(jí)上·廣東茂名·階段練習(xí)）如圖1，點(diǎn)C在線段上，圖中有三條線段，分別為線段和，若其中一條線段的長(zhǎng)度是另外一條線段長(zhǎng)度的2倍，則稱(chēng)點(diǎn)C是線段的“智慧點(diǎn)”．(1)線段的中點(diǎn)______這條線段的“智慧點(diǎn)”（填“是”或“不是”）；(2)若線段，點(diǎn)C為線段的“智慧點(diǎn)”，則______；(3)如圖2，已知，，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以的速度沿AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以的速度沿向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，運(yùn)動(dòng)停止，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，若A、P、Q三點(diǎn)中，一點(diǎn)恰好是以另外兩點(diǎn)為線段的“智慧點(diǎn)”，求出所有可能的t值．2．（24-25七年級(jí)上·浙江杭州·階段練習(xí)）【新知理解】如圖①，點(diǎn)C在線段上，圖中共有三條線段、和，若其中有一條線段的長(zhǎng)度是另外一條線段長(zhǎng)度的2倍，則稱(chēng)點(diǎn)C是線段的“巧點(diǎn)”．（1）線段的中點(diǎn)________這條線段的“巧點(diǎn)”（填“是”或“不是”）；（2）若，，判斷點(diǎn)C是否為線段的巧點(diǎn)，并說(shuō)明理由；【解決問(wèn)題】（3）如圖②，已知．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿向點(diǎn)B勻速移動(dòng)；點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿向點(diǎn)A勻速移動(dòng)，點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，運(yùn)動(dòng)停止．設(shè)移動(dòng)的時(shí)間為．當(dāng)t為何值時(shí)，A、P、Q三點(diǎn)中其中一點(diǎn)恰好是另外兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的巧點(diǎn)？說(shuō)明理由．3．（23-24七年級(jí)上·安徽·期末）（1）【新知理解】如圖1，點(diǎn)在線段上，圖中有3條線段，分別是，，，若其中任意一條線段是另一條線段的兩倍，則稱(chēng)點(diǎn)是線段的“妙點(diǎn)”．根據(jù)上述定義，線段的三等分點(diǎn)______這條線段的“妙點(diǎn)”．（填“是”或“不是”）（2）【新知應(yīng)用】如圖2，，為數(shù)軸上的兩點(diǎn)，點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為，點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為7，若點(diǎn)在線段上，且點(diǎn)為線段的“妙點(diǎn)”，當(dāng)點(diǎn)在數(shù)軸的負(fù)半軸上時(shí)，點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為_(kāi)_____．（3）【拓展探究】

已知，為數(shù)軸上的兩點(diǎn)，點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為，點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為，且，滿足，動(dòng)點(diǎn)，分別從，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，相向而行，若點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度，當(dāng)點(diǎn)，相遇時(shí)，運(yùn)動(dòng)停止．求當(dāng)點(diǎn)恰好為線段的“妙點(diǎn)”時(shí)，點(diǎn)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)．【題型5利用分類(lèi)討論思想解決幾何圖形中旋轉(zhuǎn)多解問(wèn)題】例題：（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·期末）如圖①，點(diǎn)O在直線上，過(guò)O作射線，三角板的頂點(diǎn)與點(diǎn)O重合，邊與重合，邊在直線的下方．若三角板繞點(diǎn)O按的速度沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，第時(shí)，直線恰好平分銳角（圖②）．【變式訓(xùn)練】1．（23-24七年級(jí)下·廣東廣州·期末）在同一平面內(nèi)，將兩副直角三角板的兩個(gè)直角頂點(diǎn)重合，并擺成如圖所示的形狀．已知，，，若保持三角板不動(dòng)，將三角板繞點(diǎn)A在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)．當(dāng)時(shí)，的度數(shù)為．2．（23-24七年級(jí)下·天津和平·期中）在數(shù)學(xué)研究中，觀察、猜想、實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證、得出結(jié)論，是我們常用的幾何探究方式．請(qǐng)你利用一副含有角的直角三角板和含有角的直角三角板嘗試完成探究．試探索；保持三角板不動(dòng)，將角的頂點(diǎn)與三角板的角的頂點(diǎn)重合，然后擺動(dòng)三角板，使得與中其中一個(gè)角是另一個(gè)角的兩倍，請(qǐng)寫(xiě)出所有滿足題意的的度數(shù)．【題型6幾何圖形中動(dòng)角求定值問(wèn)題】例題：（23-24七年級(jí)下·遼寧鞍山·開(kāi)學(xué)考試）在一次數(shù)學(xué)實(shí)踐探究活動(dòng)中，小明和他的同伴們將一個(gè)直角三角尺按如圖所示方式放置，發(fā)現(xiàn)了其中的奧秘．(1)如圖①，三角尺的直角頂點(diǎn)P在直線上，點(diǎn)A，B在直線的同側(cè)．若，求度數(shù)．(2)繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)三角尺，使點(diǎn)A，B在直線的同側(cè)，如圖②，若平分，平分，他們發(fā)現(xiàn)的度數(shù)為定值，請(qǐng)你求出這個(gè)定值．(3)繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)三角尺，使點(diǎn)A，B在直線的異側(cè)，平分，平分，設(shè)，如圖③，探究的度數(shù)．【變式訓(xùn)練】1．（23-24七年級(jí)上·江蘇徐州·期末）已知，．平分，平分．(1)如圖①，當(dāng)重合時(shí)，求的值；(2)當(dāng)從圖①所示位置繞點(diǎn)O以每秒的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)t秒（）；在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中的值是否會(huì)因t的變化而變化，若不發(fā)生變化，請(qǐng)求出該定值；若發(fā)生變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．2．（23-24七年級(jí)下·陜西榆林·開(kāi)學(xué)考試）【問(wèn)題情境】已知，，，平分，平分．【特例分析】（1）如圖1，當(dāng)、重合時(shí)，求的值；【深入探究】（2）如圖2，當(dāng)、不重合，在的下方時(shí)，設(shè)，的值是否會(huì)因?yàn)閤的變化而變化?若不發(fā)生變化，請(qǐng)求出該定值；若發(fā)生變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；【問(wèn)題解決】（3）在（2）的條件下，當(dāng)時(shí)，求的度數(shù).3．（23-24七年級(jí)上·廣東汕頭·期末）如圖，，角的頂點(diǎn)互相重合，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)．(1)當(dāng)射線，重合時(shí)，______，(2)在繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，若射線，與中的某一條射線是另兩條射線所夾角的角平分線，則的度數(shù)為_(kāi)_____；(3)在繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，若射線始終在的內(nèi)部．①普于思考的小明發(fā)現(xiàn)，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，的值為定值，請(qǐng)你求出這個(gè)定值；②作和的平分線，，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中的值是否發(fā)生變化？若不變，請(qǐng)求出這個(gè)定值，若變化，請(qǐng)求出變化的范圍．【題型7幾何圖形中動(dòng)角探究數(shù)量關(guān)系問(wèn)題】例題：（24-25六年級(jí)下·山東煙臺(tái)·期中）如圖，將一副直角三角板的直角頂點(diǎn)C疊放在一起．(1)在圖1中，若，求的度數(shù)；(2)通過(guò)問(wèn)題1的解答，猜想與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(3)若改變其中一個(gè)三角板的位置，如圖2，則第（2）小題的結(jié)論還成立嗎？若仍成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不成立，請(qǐng)寫(xiě)出它們之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【變式訓(xùn)練】1．（2025七年級(jí)下·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）如圖1，點(diǎn)O為直線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作射線，是直角三角形，，平分．(1)填空：與互為余角的角是；(2)延長(zhǎng)至點(diǎn)F，射線平分嗎？為什么？(3)將圖1中的繞點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)至圖2所示位置，在的內(nèi)部．若，則與之間是否存在一定的數(shù)量關(guān)系？若存在，寫(xiě)出它們之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；若不存在，請(qǐng)舉出反例．2．（24-25七年級(jí)上·吉林長(zhǎng)春·期中）【實(shí)踐操作】三角尺中的數(shù)學(xué)問(wèn)題．(1)如圖1，將兩塊直角三角尺的直角頂點(diǎn)A疊放在一起，．①若，則________；若，則________；②請(qǐng)直接寫(xiě)出與之間的數(shù)量關(guān)系________；(2)如圖2，若是兩個(gè)同樣的直角三角尺銳角的頂點(diǎn)A重合在一起，試猜想與的數(shù)量關(guān)系，并給出證明．(3)如圖3，已知點(diǎn)O為直線上一點(diǎn)，在直線上方，，，在的內(nèi)部，在直線下方，則________．3．（24-25七年級(jí)上·湖南長(zhǎng)沙·期末）已知直角三角板（，）和直角三角板（，，），如圖1擺放，點(diǎn)O、A、C在一條直線上，將直角三角板繞點(diǎn)O逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)，變化擺放如圖2、3、4、5位置．(1)當(dāng)平分時(shí)，______；(2)如圖4，當(dāng)時(shí)，作射線平分，射線平分，則與存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)如圖5，①當(dāng)時(shí)，保持射線平分，射線平分，則與存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由；②當(dāng)時(shí)，保持射線平分，射線平分，請(qǐng)直接寫(xiě)出與的數(shù)量關(guān)系．【題型8幾何圖形中動(dòng)角求運(yùn)動(dòng)時(shí)間問(wèn)題】例題：（24-25七年級(jí)上·陜西咸陽(yáng)·階段練習(xí)）一副三角尺按照如圖所示的方式擺放在量角器上，邊與量角器0刻度線重合，邊與量角器刻度線重合，，．將三角尺繞量角器中心點(diǎn)以每秒的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)邊與刻度線重合時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)三角尺的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．(1)當(dāng)時(shí)，邊經(jīng)過(guò)的量角器刻度線對(duì)應(yīng)的度數(shù)（內(nèi)圈刻度）為_(kāi)_________°．(2)__________時(shí)，邊平分．(3)若在三角尺開(kāi)始旋轉(zhuǎn)的同時(shí)，三角尺也繞點(diǎn)以每秒的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)三角尺停止旋轉(zhuǎn)時(shí)，三角尺也停止旋轉(zhuǎn)．①當(dāng)為何值時(shí)，邊平分；②在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，是否存在某一時(shí)刻，使得？若存在，請(qǐng)求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【變式訓(xùn)練】1．（23-24七年級(jí)上·安徽合肥·期末）如圖，為線段AB上一點(diǎn)，，為的角平分線，定義與重合時(shí)為初始位置，將繞著點(diǎn)從初始位置開(kāi)始，以秒的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，至與重合時(shí)終止．(1)當(dāng)從初始位置旋轉(zhuǎn)秒，求此時(shí)的度數(shù)；(2)當(dāng)從初始位置旋轉(zhuǎn)至?xí)r，求此時(shí)的值；(3)當(dāng)從初始位置旋轉(zhuǎn)至?xí)r，__________秒（用含有m的代數(shù)式直接表示）．2．（24-25七年級(jí)下·江蘇鹽城·期中）數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師帶領(lǐng)學(xué)習(xí)小組利用一副直角三角尺進(jìn)行“玩轉(zhuǎn)尺”的探究活動(dòng)．(1)老師將三角尺和三角尺按如圖①所示的方式擺放在直線上，邊落在直線上，，，，則____________；(2)第一小組同學(xué)將圖①中三角尺繞點(diǎn)C以每秒的速度按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)進(jìn)行探究，當(dāng)邊首次落在直線上時(shí)停止旋轉(zhuǎn)，設(shè)三角尺的旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t秒，提出下列問(wèn)題：①當(dāng)____________秒時(shí)，邊首次落在直線上；②當(dāng)____________秒時(shí)，；(3)如圖②，第二小組同學(xué)受第一小組同學(xué)的啟發(fā)繼續(xù)進(jìn)行探究，將三角尺繞點(diǎn)C以每秒的速度按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，同時(shí)將三角尺繞點(diǎn)C以每秒的速度按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，當(dāng)三角尺的邊首次落在直線上時(shí)停止旋轉(zhuǎn)，同時(shí)三角尺也停止旋轉(zhuǎn)．當(dāng)時(shí)，求t的值．【題型9幾何圖形中動(dòng)角之新定義型問(wèn)題】例題：（23-24七年級(jí)上·陜西漢中·期末）【問(wèn)題背景】如圖1，已知射線在的內(nèi)部，若，和三個(gè)角中有一個(gè)角的度數(shù)是另一個(gè)角度數(shù)的兩倍，則稱(chēng)射線是的“量尺金線”．【問(wèn)題感知】（1）一個(gè)角的平分線________這個(gè)角的“量尺金線”；（填“是”或“不是”）【問(wèn)題初探】（2）如圖2，．若射線是的“量尺金線”，則的度數(shù)為_(kāi)_______；【問(wèn)題推廣】（3）在（2）中，若，，射線從位置開(kāi)始，以每秒旋轉(zhuǎn)的速度繞點(diǎn)P按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，當(dāng)首次等于時(shí)停止旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為．當(dāng)t為何值時(shí)，射線是的“量尺金線”？（用含x的式子表示出t即可）【變式訓(xùn)練】1．（23-24七年級(jí)上·遼寧葫蘆島·期末）【問(wèn)題初探】在一個(gè)角的內(nèi)部，從頂點(diǎn)畫(huà)一條射線，得到三個(gè)角，若其中有一個(gè)角是另一個(gè)角的倍，則稱(chēng)這條射線是已知角的“奇妙線”．例如：圖中，則射線是的“奇妙線”．（1）一個(gè)角的角平分線______這個(gè)角的“奇妙線”；（填“是”或“不是”）【類(lèi)比分析】（2）如圖，若，在內(nèi)部畫(huà)一條射線，使是的“奇妙線”，求的度數(shù)；【變式拓展】（3）如圖，若，且射線繞點(diǎn)從位置開(kāi)始以每秒的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，同時(shí)射線以每秒的速度也繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)射線與射線重合時(shí)全部停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為秒，請(qǐng)直接寫(xiě)出為何值時(shí)，射線是的“奇妙線”．一、單選題1．（23-24七年級(jí)上·全國(guó)·期末）如圖，點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)，且不與點(diǎn)，重合，點(diǎn)，分別是線段，的中點(diǎn)，若，則線段的長(zhǎng)為（

）A．5 B．6 C．8 D．102．（24-25七年級(jí)上·江蘇無(wú)錫·期末）如圖，是直角，，射線從邊出發(fā)，繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)直至與邊重合，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，下列情形不可能出現(xiàn)的是（

）A．平分 B．平分C．平分 D．平分3．（24-25七年級(jí)上·河南駐馬店·期末）定義：若兩個(gè)角的度數(shù)差的絕對(duì)值等于，則稱(chēng)這兩個(gè)角互為“優(yōu)角”，其中一個(gè)角是另一個(gè)角的“優(yōu)角”．如，，，則和互為“優(yōu)角”．如圖，，射線平分，在的內(nèi)部．若，則圖中互為“優(yōu)角”的共有（

）

A．6對(duì) B．7對(duì) C．8對(duì) D．9對(duì)4．（23-24七年級(jí)上·河北石家莊·期末）如圖，已知A，B（B在A的左側(cè)）是數(shù)軸上的兩點(diǎn)，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的數(shù)為8，且，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向左運(yùn)動(dòng)，在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，M，N始終為，的中點(diǎn)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（）秒，則下列結(jié)論中正確的有（

）①點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的數(shù)是4；②點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，；③時(shí)，；④在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段的長(zhǎng)度不變A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)二、填空題5．（23-24七年級(jí)上·湖南衡陽(yáng)·階段練習(xí)）如圖，數(shù)軸上，A兩點(diǎn)的距離為3，一動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)A出發(fā)，按以下規(guī)律跳動(dòng)：第1次跳動(dòng)到的中點(diǎn)處，第2次從點(diǎn)跳動(dòng)到的中點(diǎn)處，第3次從點(diǎn)跳動(dòng)到的中點(diǎn)處，按照這樣的規(guī)律繼續(xù)跳動(dòng)到點(diǎn)，，，…，．（，是整數(shù)）處，那么線段的長(zhǎng)度為（，是整數(shù)）．6．（24-25七年級(jí)上·山東臨沂·期末）定義：若A，B，C為數(shù)軸上三點(diǎn)，若點(diǎn)到點(diǎn)的距離是點(diǎn)到點(diǎn)的距離的2倍，我們就稱(chēng)點(diǎn)是的美好點(diǎn)．例如：如圖1，點(diǎn)表示的數(shù)為，點(diǎn)表示的數(shù)為2，表示1的點(diǎn)到點(diǎn)的距離是2，到點(diǎn)的距離是1，那么點(diǎn)是的美好點(diǎn)；又如，表示0的點(diǎn)到點(diǎn)的距離是1，到點(diǎn)的距離是2，那么點(diǎn)就不是的美好點(diǎn)，但點(diǎn)是的美好點(diǎn)．如圖2，為數(shù)軸上兩點(diǎn)，點(diǎn)所表示的數(shù)為，點(diǎn)所表示的數(shù)為2．請(qǐng)寫(xiě)出美好點(diǎn)所表示的數(shù)是．7．（24-25七年級(jí)上·湖北隨州·期末）如圖①，為直線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作射線，使，將一個(gè)直角三角尺如圖擺放，直角頂點(diǎn)在點(diǎn)處，一條直角邊在射線上，將圖①中的三角尺繞點(diǎn)以每秒的速度按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)（如圖②所示），在旋轉(zhuǎn)一周的過(guò)程中第秒時(shí)，所在直線恰好平分，則的值為．8．（24-25七年級(jí)上·安徽合肥·期末）定義：如果一個(gè)角內(nèi)部的一條射線將這個(gè)角分成兩個(gè)角，其中一個(gè)角是另一個(gè)角的倍，那么我們將這條射線稱(chēng)為這個(gè)角的分位線．例如：如圖1，，則為的5分位線；，則也是的5分位線．（1）如圖2，點(diǎn)A、、在同一條直線上，為一條射線，，分別為與的3分位線，（，），，則；（2）如果點(diǎn)A、、在同一條直線上，為一條射線，已知射線、分別為與的5分位線，且，則．三、解答題9．（23-24七年級(jí)上·江蘇徐州·階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)О在線段上，線段，，動(dòng)點(diǎn)P，Q分別從A，B同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以的速度沿向右運(yùn)動(dòng)，終點(diǎn)為B，點(diǎn)Q以的速度沿向左運(yùn)動(dòng)，終點(diǎn)為A，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．(1)如圖1，點(diǎn)M，N分別為的中點(diǎn)，求線段的長(zhǎng)；(2)求運(yùn)動(dòng)時(shí)間為多少時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)О重合？10．（24-25七年級(jí)上·江蘇鹽城·期末）已知線段，點(diǎn)是線段延長(zhǎng)線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)．(1)如圖，若，求線段的長(zhǎng)；(2)若的長(zhǎng)逐漸增大，則的長(zhǎng)的變化趨勢(shì)是____________；①變??；②變大；③先變大，后變?。虎芟茸冃?，后變大．(3)若，畫(huà)出所有符合條件的圖形并求線段的長(zhǎng)．11．（24-25七年級(jí)上·新疆伊犁·期中）如圖，數(shù)軸上的點(diǎn)A表示數(shù)a，點(diǎn)B表示數(shù)b，點(diǎn)C表示數(shù)c，b是最大的負(fù)整數(shù)，且a，c滿足．(1)________，________，________．(2)點(diǎn)P為數(shù)軸上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)_______，此時(shí)點(diǎn)P表示的數(shù)為_(kāi)_______．(3)若點(diǎn)A，B，C開(kāi)始在數(shù)軸上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)A以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向左運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)B和點(diǎn)C分別以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度和每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向右運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．若點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的距離表示為，點(diǎn)B與點(diǎn)C之間的距離表示為，則________，________．（用含t的代數(shù)式表示）(4)的值是否隨著t的變化而變化？若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由：若不變，請(qǐng)求其值．12．（24-25七年級(jí)上·湖