高二數(shù)學(xué)教學(xué)案周次2課題空間兩條直線的位置關(guān)系（二）第課時(shí)授課形式新授主編審核教學(xué)目標(biāo)1．理解異面直線的概念，了解異面直線的判定2．理解異面直線所成角的概念。3．能根據(jù)異面直線所成角的定義，求出異面直線所成的角。重點(diǎn)難點(diǎn)1．異面直線的概念，異面直線所成的角。2．異面直線所成角的計(jì)算。課堂結(jié)構(gòu)一、自主探究1．異面直線（1）定義：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩直線叫做。（2）特點(diǎn)：既不，也不。2．空間兩條直線的位置關(guān)系（1）相交——在同一平面內(nèi)，有且只有公共點(diǎn)；（2）平行——在同一平面內(nèi)，公共點(diǎn)；（3）異面——不同在一個(gè)平面內(nèi)，公共點(diǎn)．3．異面直線的判定（1）定義法：由定義判定兩直線永遠(yuǎn)不可能在同一平面內(nèi)，常用反證法．（2）定理：過(guò)一點(diǎn)與一點(diǎn)的直線與平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的直線是。4．兩條異面直線所成的角（1）定義：直線a、b是異面直線，經(jīng)過(guò)空間一點(diǎn)O分別引直線，，相交直線a′b′所成的(或)叫做異面直線a、b所成的角。（2）范圍：。5．兩異面直線的垂直如果兩條異面直線所成角是，則稱這兩條異面直線互相。二、重點(diǎn)剖析（一）異面直線的概念異面直線的定義：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線。（1）對(duì)異面直線定義的理解：①“不同在任何一個(gè)平面內(nèi)”，指這兩條直線永不具備確定平面的條件，因此，異面直線既不相交，也不平行，要注意把握異面直線的不共面性，②“不同在任……”也可以理解為“任何一個(gè)平面都不可能同時(shí)經(jīng)過(guò)這兩條直線”；還可以理解為“將經(jīng)過(guò)其中一條直線的平面旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)任何位置的平面都不可能經(jīng)過(guò)另一條直線?！雹鄄荒馨旬惷嬷本€誤解為分別在不同平面內(nèi)的兩條直線為異面直線．如右圖(1)，在長(zhǎng)方體ABCD-A1BlClD1中，A1DlA1BlClD1BC平面ABCD，但A1Dl又如右圖(2)：平面∩平面＝l，，但a、b并不是異面直線？也就是說(shuō)，在兩個(gè)不同平面內(nèi)的直線，它們既可以是平行直線，也可以是相交直線．(2)異面直線的畫(huà)法畫(huà)異面直線時(shí)，為了充分顯示出它們既不平行又不相交的特點(diǎn)，常常需要以輔助平面作為襯托，以加強(qiáng)直觀性，如下圖(l)，若畫(huà)成如下圖(2)的情形，就分不開(kāi)了，千萬(wàn)不能畫(huà)成(2)的圖形。畫(huà)平面襯托時(shí)，通常畫(huà)成下圖中的情形。（二）異面直線的判定1．異面直線判定定理：過(guò)平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線，和這個(gè)平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的直線是異面直線．2．定理的證明如右圖，已知，求證；直線AB和a是異面直線，判定兩條直線為異面直線的常用方法有：(1)定義法：不同在任一平面內(nèi)的兩條直線．(2)定理法：過(guò)平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線，和這個(gè)平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的直線為異面直線．(3)推論法：一條異面直線上兩點(diǎn)與另一條異面直線上兩點(diǎn)所連成的兩條直線為異面直線．(4)反證法：反證法是證明立體幾何問(wèn)題的一種重要方法，證明步驟有三步：一是提出與結(jié)論相反的假設(shè)；二是由此假設(shè)推出與題目條件或某一公理、定理或某一已被證明是正確的命題相矛盾結(jié)果；三是推翻假設(shè)，從而肯定與假設(shè)相反的結(jié)論，即命題的結(jié)論成立，（三）異面直線所成的角a與b是異面直線，經(jīng)過(guò)空間任意一點(diǎn)O，作直線a′∥a，b′//b，直線a′和b′所成的銳角（或直角）叫做異面直線a，b所成的角．如下圖所示．注意：(1)異面直線所成角的范圍是0°<≤90°；(2)為了求異面直線a，b所成的角，可以在空間中任取一點(diǎn)O，過(guò)O分別作直線a′∥a，b′//b，再通過(guò)解三角形，求出a，b所成的角，但是，為了簡(jiǎn)便，點(diǎn)O常常取在兩條異面直線中的一條上，特別是這一直線的某些特殊點(diǎn)，例如“端點(diǎn)”或“中點(diǎn)”處；(3)我們規(guī)定：兩條平行直線所成的角為0°角，兩條相交直線所成的角為這兩條相交直線所成的四個(gè)角中的銳角（或直角），因此在空間中的兩條直線所成的角的范圍為(0°，90°]；特別地，若兩異面直線所成角為90°，則稱兩異面直線互相垂直；(4)求異面直線所成角的一般步驟是：①構(gòu)造恰當(dāng)?shù)剡x擇一個(gè)點(diǎn)，用平移法構(gòu)造異面直線所成的角．②證明證明①中所作出的角就是所求異面直線所成的角，③計(jì)算通過(guò)解三角形（常用余弦定理）等知識(shí)，求①中所構(gòu)造的角的大小，④結(jié)論假如所構(gòu)造的角的大小為，若0°<≤90°，則即為所求異面直線所成角的大??；若90°<<180°，則180°－即為所求。三、例題講解例1、異面直線是指____．①空間中兩條不相交的直線；②分別位于兩個(gè)不同平面內(nèi)的兩條直線；③平面內(nèi)的一條直線與平面外的一條直線；④不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線．變式訓(xùn)練：一個(gè)正方體中共有對(duì)異面直線．例2、如圖，已知平面，直線直線，求證：直線a和b是異面直線．變式訓(xùn)練：如右圖所示，已知不共面的三條直線a、b、c相交于點(diǎn)P，A∈a，B∈a，C∈6，D∈c，求證AD與BC為異面直線．例3、在正方體ACl中，E，F(xiàn)分別是A1B1，B1Cl的中點(diǎn)，求異面直線DB1與EF所成角的大小。變式訓(xùn)練：如圖，空間四邊形ABCD中，E、F分別是對(duì)角線BD、AC的中點(diǎn)，若BC＝AD＝2EF，求直線EF與直線AD所成的角。規(guī)律總結(jié)：(1)求異面直線所成角的關(guān)鍵是通過(guò)平移使其變?yōu)橄嘟恢本€所成角，但平移哪一條直線、平移到什么位置，則依賴于特殊點(diǎn)的選取，選取特殊點(diǎn)時(shí)，要盡可能地使它與題設(shè)的所有相關(guān)條件和解題目標(biāo)緊密地聯(lián)系起來(lái)，如本例選取了F．構(gòu)造異面直線所成角的常用方法有：①過(guò)其中一條直線上的已知點(diǎn)（往往是特殊點(diǎn)），作另一條直線的平行線，使異面直線所成角轉(zhuǎn)化為相交直線所成的角（空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題）；②當(dāng)異面直線依附于某幾何體，且直接對(duì)異面直線平移有困難時(shí)，可利用該幾何體的特殊點(diǎn)，將兩條異面直線分別平移相交于該點(diǎn)；③通過(guò)構(gòu)造輔助平面、輔助幾何體來(lái)平移直線．(2)在解立體幾何中的計(jì)算題時(shí)，要體現(xiàn)“作”“證”“算”三個(gè)過(guò)程．“作”就是作圖，作出有關(guān)圖形．要寫(xiě)出作圖的過(guò)程；“證”是證明，證明所作圖形即為所求；“算”是指定量求解，在求異面直線所成角時(shí)，也要體現(xiàn)這三步，特別要指出哪一個(gè)角為異面直線所成的角．四、歸納小結(jié)1．異面直線的判定定理2．異面直線所成角的定義及求法靖江市第二中學(xué)高二年級(jí)數(shù)學(xué)教學(xué)案（2010年9月12日）周次3課題直線與平面的位置關(guān)系（一）第課時(shí)授課形式新授主編朱靖峰審核教學(xué)目標(biāo)1．了解空間中直線與平面的位置關(guān)，掌握直線和平面各種位置關(guān)系的圖形的畫(huà)法2．掌握直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理，能較靈活地運(yùn)用它們解決有關(guān)問(wèn)題。重點(diǎn)難點(diǎn)空間直線與平面的位置關(guān)系用圖形表達(dá)直線與平面的位置關(guān)系課堂結(jié)構(gòu)一、自主探究1．一條直線和一個(gè)平面的位置關(guān)系：(1)直線在平面內(nèi)——；(2)直線和平面相交——；(3)直線和平面平行——。2．直線與平面平行的判定定理語(yǔ)言敘述：，那么這條直線和這個(gè)平面平行．該定理常表述為：“線線平行，則線面平行．”符號(hào)語(yǔ)言：若，且//，則。3．該定理的作用：，用該定理判斷直線a和平面平行時(shí)，必須具備三個(gè)條件：①；②；③，三個(gè)條件缺一不可．4．直線和平面平行的性質(zhì)定理(1)文字語(yǔ)言：如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過(guò)這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線和交線平行．簡(jiǎn)稱為“”。(2)符號(hào)語(yǔ)言：若____∥____，，則l∥m。(3)直線和平面平行的性質(zhì)定理中有三個(gè)條件：①；②；③，這三個(gè)條件是缺一不可的條件．二、重點(diǎn)剖析（一）直線與平面的位置關(guān)系（1）直線和平面平行的定義如果一條直線和一個(gè)平面沒(méi)有公共點(diǎn)，那么這條直線和這個(gè)平面平行。（2）直線與平面位置關(guān)系的分類注意：（1）這三種位置關(guān)系用文字、圖形和符號(hào)表示如下表：(2)在直線和平面的位置關(guān)系中，直線和平面平行，直線和平面相交統(tǒng)稱直線在平面外，我們用記號(hào)來(lái)表示a∥和這兩種情形．(3)直線與平面位置關(guān)系的圖形畫(huà)法：①畫(huà)直線a在平面內(nèi)時(shí)，表示直線的直線段只能在表示平面的平行四邊形內(nèi)，而不能有部分在這個(gè)平行四邊形之外，這是因?yàn)檫@個(gè)用來(lái)表示平面的平行四邊形的四周應(yīng)是無(wú)限延伸而沒(méi)有邊界的，因而這條直線不可能有某部分在某外；②在畫(huà)直線a與平面相交時(shí)，表示直線a的線段必須有部分在表示平面a的平行四邊形之外，這樣既能與表示直線在平面內(nèi)區(qū)分開(kāi)來(lái)，又具有較強(qiáng)的立體感；③畫(huà)直線與平面平行時(shí)，最直觀的畫(huà)法是用來(lái)表示直線的線在用來(lái)表示平面的平行四邊形之外，且與某一邊平行。（二）直線與平面平行的判定定理直線與平面平行的判定定理：如果平面外一條直線和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行。注意：（1）定理的理解直線和平面平行的判定定理可簡(jiǎn)述為“線線平行，則線面平行”，可以用符號(hào)表示為；用該定理判斷直線a與平面平行時(shí)，必須具備三個(gè)條件：直線a在平面外，即；②直線b在平面內(nèi)，即；③直線a，b平行，即a∥b，這三個(gè)條件缺一不可，缺少其中任何一條，結(jié)論就不一定成立了。（2）定理的作用將直線和平面平行的判定轉(zhuǎn)化為直線與直線的平行關(guān)系的判定，也就是說(shuō)，要證明一條直線和一個(gè)平面平行，只要在平面內(nèi)找出一條直線與已知直線平行即可。（三）直線與平面平行的性質(zhì)定理性質(zhì)定理：如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過(guò)這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線就和交線平行。用符號(hào)表示為：若a//，則a//b，即“線面平行，則線線平行”。注意：（1）這個(gè)性質(zhì)定理可以看做直線與直線平行的判定定理，用該定理判定直線。與6平行時(shí)，必須具備三個(gè)條件：①直線a和平面平行，即a//;②平面和相交，即=b;③直線a在平面內(nèi)，即以上三個(gè)條件缺一不可.(2)定理的作用線面平行的性質(zhì)定理的作用在于：把線線平行的判定轉(zhuǎn)化為線面平行的判定，因此，我們要證明（或判定）兩條直線平行時(shí)，若直線證明難以成功，此時(shí)，不妨考慮轉(zhuǎn)化為證明（或判定）線面平行的問(wèn)題．(3)直線和平面平行時(shí)，注意把直線和平面的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為直線和直線的位置關(guān)系．直線和平面平行的性質(zhì)在應(yīng)用時(shí)，要特別注意“一條直線平行于一個(gè)平面，就平行于這個(gè)平面的一切直線”的錯(cuò)誤結(jié)論．(4)線面平行的其他性質(zhì)：①平面外的兩條平行直線中的一條平行于這個(gè)平面，則另一條也平行于這個(gè)平面；②若過(guò)平面內(nèi)一點(diǎn)的直線平行于與此平面平行的一條直線，則此直線在這個(gè)平面內(nèi)。三、例題講解例1、下列命題中正確的命題的個(gè)數(shù)為。①如果一條直線與一平面平行，那么這條直線與平面內(nèi)的任意一條直線平行；②如果一條直線與一平面相交，那么這條直線與平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線垂直；③過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一條直線與平畫(huà)平行；④一條直線上有兩點(diǎn)到一個(gè)平面的距離相等，則這條直線平行于這個(gè)平面。變式訓(xùn)練：下列說(shuō)法中正確的是。①直線l平行于平面內(nèi)無(wú)數(shù)條直線，則l//；②若直線a在平面外，則a//;③若直線a//b，直線，則a//;④若直線a//b，直線，那么直線a就平行于平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線。例2、如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)N在BD上，點(diǎn)M在B1求證：MN//平面AA1B1B。變式訓(xùn)練：已知AB、BC、CD是不在同一平面內(nèi)的三條線段，E、F、G分別是AB、BC、CD的中點(diǎn)，求證：平面EFG和AC平行，也和BD平行。例3、過(guò)正方體AC1的棱BB1作一平面交平面CDD1C1于EE1，求證：BB1//EE1變式訓(xùn)練：ABCD是平行四邊形，點(diǎn)P是平面ABCD外一點(diǎn)，M是PC的中點(diǎn)，在DM上取一點(diǎn)G，過(guò)G和AP作平面交平面BDM于GH，求證：AP//GH。四、歸納小結(jié)1．空間中直線與平面的位置關(guān)系2．直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理靖江市第二中學(xué)高二年級(jí)數(shù)學(xué)教學(xué)案（2010年9月13日）周次3課題直線與平面的位置關(guān)系（二）第課時(shí)授課形式新授主編朱靖峰審核教學(xué)目標(biāo)1．理解直線與平面垂直的定義，并能畫(huà)圖表示。2．掌握直線與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理。3．掌握判定直線和平面垂直的方法，并能進(jìn)行初步應(yīng)用。重點(diǎn)難點(diǎn)直線與平面垂直的定義，判定定理和性質(zhì)定理。利用線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理解題。課堂結(jié)構(gòu)一、自主探究1．直線與平面垂直的定義：如果一條直線a與一個(gè)平面內(nèi)的，我們就說(shuō)直線a與平面互相垂直。2．過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直，同樣，。3．從平面外一點(diǎn)引平面的垂線，，叫做這個(gè)點(diǎn)到這個(gè)平面的距離．4．直線與平面垂直的判定定理(1)文字語(yǔ)言：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的，那么這條直線垂直于這個(gè)平面。(2)符號(hào)語(yǔ)言：若，，，，則。5．直線和平面垂直的性質(zhì)定理(1)文字語(yǔ)言：如果兩條直線，那么這兩條直線平行，即垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行。(2)符號(hào)語(yǔ)言：已知直線a，b和平面，若,，那么a//b。二、重點(diǎn)剖析（一）直線與平面垂直的概念直線與平面垂直的定義：如果一條直線a與一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，則稱這條直線和這個(gè)平面互相垂直．其中直線叫做平面的垂線，平面叫做直線的垂面，交點(diǎn)叫做垂足.注意：(1)若直線a與平面互相垂直，記作(2)直線和平面垂直的概念是利用直線和直線垂直的概念定義的，要注意定義中的“任何一條直線”這個(gè)詞語(yǔ)，它與“所有直線”是同義詞，但與“無(wú)數(shù)條直線”不同，定義的實(shí)質(zhì)就是直線與平面內(nèi)的所有直線都垂直，有了這樣的定義就可判定線面垂直，即當(dāng)直線與平面垂直時(shí)，該直線就垂直于這個(gè)平面內(nèi)的任何直線。(3)直線與平面的無(wú)數(shù)條直線垂直時(shí)，直線與平面不一定垂直，因?yàn)檫@無(wú)數(shù)條直線有可能互相平行。(4)畫(huà)法：畫(huà)直線與平面垂直時(shí)，一般使直線與表示平面的平行四邊形一邊垂直，如下圖所示，（二）直線與平面垂直的判定定理直線與平面垂直的判定定理：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面。簡(jiǎn)記為：“線線垂直，則線面垂直?！弊⒁猓?1)判定定理的條件中，“平面內(nèi)的兩條相交直線”是關(guān)鍵性詞語(yǔ)，一定要記準(zhǔn)。(2)命題1：如果一條直線垂直于平面內(nèi)的兩條直線，那么這條直線垂直于這個(gè)平面；命題2：如果一條直線垂直于平面的無(wú)數(shù)條直線，那么這條直線垂直于這個(gè)平面．以上兩個(gè)命題都是錯(cuò)誤的，因?yàn)閷?duì)于這兩個(gè)命題，都沒(méi)有體現(xiàn)出兩直線相交這一特性，無(wú)數(shù)條直線可以是一簇平行線，并不一定具備有兩條相交直線和已知直線垂直的特征，因此也就不一定得出這一直線垂直于這個(gè)平面這一結(jié)論。(3)要判定一條直線和一個(gè)平面是否垂直，