第1頁(yè)|共2頁(yè)2004年天津市高考文科數(shù)學(xué)真題及答案一、選擇題（共12小題，每小題5分，滿分60分）1．（5分）設(shè)集合，2，3，4，5，，，那么下列結(jié)論正確的是A． B． C． D．2．（5分）不等式的解集為A．， B．， C．， D．，3．（5分）對(duì)任意實(shí)數(shù)、、，在下列命題中，真命題是A．“”是“”的必要條件 B．“”是“”的必要條件 C．“”是“”的充分條件 D．“”是“”的充分條件4．（5分）若平面向量與向量的夾角是，且，則A． B． C． D．5．（5分）設(shè)是雙曲線上一點(diǎn)，該雙曲線的一條漸近線方程是，，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若，則等于A．2 B．18 C．2或18 D．166．（5分）若函數(shù)在區(qū)間，上的最大值是最小值的3倍，則等于A． B． C． D．7．（5分）若過定點(diǎn)且斜率為的直線與圓在第一象限內(nèi)的部分有交點(diǎn)，則的取值范圍是A． B． C． D．8．（5分）如圖，定點(diǎn)和都在平面內(nèi)，定點(diǎn)，，是內(nèi)異于和的動(dòng)點(diǎn)，且．那么，動(dòng)點(diǎn)在平面內(nèi)的軌跡是A．一條線段，但要去掉兩個(gè)點(diǎn) B．一個(gè)圓，但要去掉兩個(gè)點(diǎn) C．一個(gè)橢圓，但要去掉兩個(gè)點(diǎn) D．半圓，但要去掉兩個(gè)點(diǎn)9．（5分）函數(shù)的反函數(shù)是A． B． C． D．10．（5分）函數(shù)，，為增函數(shù)的區(qū)間是A．， B．， C．， D．，11．（5分）如圖，在長(zhǎng)方體中，，，，分別過、的兩個(gè)平行截面將長(zhǎng)方體分成三部分，其體積分別記為，．若，則截面的面積為A． B． C． D．1612．（5分）定義在上的函數(shù)既是偶函數(shù)又是周期函數(shù)．若的最小正周期是，且當(dāng)，時(shí)，，則的值為A． B． C． D．二、填空題（共4小題，每小題4分，滿分16分）13．（4分）某工廠生產(chǎn)、、三種不同型號(hào)的產(chǎn)品，產(chǎn)品數(shù)量之比依次為，現(xiàn)用分層抽樣方法抽出一個(gè)容量為的樣本，樣本中種型號(hào)產(chǎn)品有16件．那么此樣本的容量．14．（4分）已知向量，，若與垂直，則實(shí)數(shù)等于．15．（4分）如果過兩點(diǎn)和的直線與拋物線沒有交點(diǎn)，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是．16．（4分）從0，1，2，3，4，5中任取3個(gè)數(shù)字，組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中能被5整除的三位數(shù)共有個(gè)．（用數(shù)字作答）三、解答題（共6小題，滿分74分）17．（12分）已知．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值．18．（12分）從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽．（1）求所選3人都是男生的概率；（2）求所選3人中恰有1名女生的概率；（3）求所選3人中至少有1名女生的概率．19．（12分）如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)棱底面，，是的中點(diǎn)．（1）證明平面；（2）求與底面所成的角的正切值．20．（12分）設(shè)是一個(gè)公差為的等差數(shù)列，它的前10項(xiàng)和且，，成等比數(shù)列．（1）證明；（2）求公差的值和數(shù)列的通項(xiàng)公式．21．（12分）已知函數(shù)是上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)取得極值．（1）求的單調(diào)區(qū)間和極大值；（2）證明對(duì)任意，，不等式恒成立．22．（14分）橢圓的中心是原點(diǎn)，它的短軸長(zhǎng)為，相應(yīng)于焦點(diǎn)，的準(zhǔn)線與軸相交于點(diǎn)，，過點(diǎn)的直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)．（1）求橢圓的方程及離心率；（2）若，求直線的方程；（3）設(shè)，過點(diǎn)且平行于準(zhǔn)線的直線與橢圓相交于另一點(diǎn)，證明．

2004年天津市高考數(shù)學(xué)試卷（文科）參考答案與試題解析一、選擇題（共12小題，每小題5分，滿分60分）1．（5分）設(shè)集合，2，3，4，5，，，那么下列結(jié)論正確的是A． B． C． D．【解答】解：，3，4，5，，故、錯(cuò)誤，故正確．故選：．2．（5分）不等式的解集為A．， B．， C．， D．，【解答】解：故選：．3．（5分）對(duì)任意實(shí)數(shù)、、，在下列命題中，真命題是A．“”是“”的必要條件 B．“”是“”的必要條件 C．“”是“”的充分條件 D．“”是“”的充分條件【解答】解：、當(dāng)時(shí)，“”即不是“”的必要條件也不是充分條件，故，不成立；、當(dāng)時(shí)一定有．但時(shí)，且時(shí)，，可以不相等．即“”是“”的必要條件．、當(dāng)時(shí)，“”是“”的充分條件不成立；故選：．4．（5分）若平面向量與向量的夾角是，且，則A． B． C． D．【解答】解向量與向量的夾角是，向量與向量反向，令（則，又，解得故故選：．5．（5分）設(shè)是雙曲線上一點(diǎn)，該雙曲線的一條漸近線方程是，，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若，則等于A．2 B．18 C．2或18 D．16【解答】解：整理準(zhǔn)線方程得，，，或或18，故選：．6．（5分）若函數(shù)在區(qū)間，上的最大值是最小值的3倍，則等于A． B． C． D．【解答】解：，是減函數(shù)．．．．．．故選：．7．（5分）若過定點(diǎn)且斜率為的直線與圓在第一象限內(nèi)的部分有交點(diǎn)，則的取值范圍是A． B． C． D．【解答】解：圓的方程可變形為，圓心，半徑等于3，令，則．設(shè)，．又直線過第一象限且過點(diǎn)，．又直線與圓在第一象限內(nèi)有相交點(diǎn)，，，故選．8．（5分）如圖，定點(diǎn)和都在平面內(nèi)，定點(diǎn)，，是內(nèi)異于和的動(dòng)點(diǎn)，且．那么，動(dòng)點(diǎn)在平面內(nèi)的軌跡是A．一條線段，但要去掉兩個(gè)點(diǎn) B．一個(gè)圓，但要去掉兩個(gè)點(diǎn) C．一個(gè)橢圓，但要去掉兩個(gè)點(diǎn) D．半圓，但要去掉兩個(gè)點(diǎn)【解答】解：又面動(dòng)點(diǎn)在平面內(nèi)的軌跡是以為直徑的一個(gè)圓，但要去掉、兩個(gè)點(diǎn)故選：．9．（5分）函數(shù)的反函數(shù)是A． B． C． D．【解答】解：由解得：，函數(shù)的反函數(shù)是故選：．10．（5分）函數(shù)，，為增函數(shù)的區(qū)間是A．， B．， C．， D．，【解答】解：由其增區(qū)間可由的減區(qū)間得到，即，，．令，，故選：．11．（5分）如圖，在長(zhǎng)方體中，，，，分別過、的兩個(gè)平行截面將長(zhǎng)方體分成三部分，其體積分別記為，．若，則截面的面積為A． B． C． D．16【解答】解：由題意知，在長(zhǎng)方體中，平面平面，截面是一個(gè)矩形，并且長(zhǎng)方體的體積，，，則，解得，在直角中，，故截面的面積是，故選：．12．（5分）定義在上的函數(shù)既是偶函數(shù)又是周期函數(shù)．若的最小正周期是，且當(dāng)，時(shí)，，則的值為A． B． C． D．【解答】解：的最小正周期是函數(shù)是偶函數(shù)．故選：．二、填空題（共4小題，每小題4分，滿分16分）13．（4分）某工廠生產(chǎn)、、三種不同型號(hào)的產(chǎn)品，產(chǎn)品數(shù)量之比依次為，現(xiàn)用分層抽樣方法抽出一個(gè)容量為的樣本，樣本中種型號(hào)產(chǎn)品有16件．那么此樣本的容量80．【解答】解：故答案是8014．（4分）已知向量，，若與垂直，則實(shí)數(shù)等于．【解答】解：向量，，若與垂直，，即：，，，，．15．（4分）如果過兩點(diǎn)和的直線與拋物線沒有交點(diǎn)，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是．【解答】解：過、兩點(diǎn)的直線為：與拋物線聯(lián)立得：．因?yàn)橹本€與拋物線沒有交點(diǎn)，則方程無解．即△，解之得．故答案為：16．（4分）從0，1，2，3，4，5中任取3個(gè)數(shù)字，組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中能被5整除的三位數(shù)共有36個(gè)．（用數(shù)字作答）【解答】解：其中能被5整除的三位數(shù)末位必為0或5．①末位為0的三位數(shù)其首次兩位從的5個(gè)數(shù)中任取2個(gè)排列而成方法數(shù)為，②末位為5的三位數(shù)，首位從非0，5的4個(gè)數(shù)中選1個(gè)，有種挑法，再挑十位，還有種挑法，合要求的數(shù)有種．共有個(gè)合要求的數(shù)．三、解答題（共6小題，滿分74分）17．（12分）已知．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值．【解答】解：（Ⅰ）解：，由，有，解得；（Ⅱ）解法一：．解法二：由（1），，得，于是，代入得．18．（12分）從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽．（1）求所選3人都是男生的概率；（2）求所選3人中恰有1名女生的概率；（3）求所選3人中至少有1名女生的概率．【解答】解：（1）由題意知本題是一個(gè)古典概型，試驗(yàn)所包含的所有事件是從6人中選3人共有種結(jié)果，而滿足條件的事件是所選3人都是男生有種結(jié)果，根據(jù)古典概型公式得到所選3人都是男生的概率為（2）由題意知本題是一個(gè)古典概型，試驗(yàn)所包含的所有事件是從6人中選3人共有種結(jié)果，而滿足條件的事件是所選3人中恰有1名女生有種結(jié)果，根據(jù)古典概型公式得到所選3人中恰有1名女生的概率為（3）由題意知本題是一個(gè)古典概型，試驗(yàn)所包含的所有事件是從6人中選3人共有種結(jié)果，而滿足條件的事件是所選3人中至少1名女生有種結(jié)果，根據(jù)古典概型公式得到所選3人中至少有1名女生的概率為19．（12分）如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)棱底面，，是的中點(diǎn)．（1）證明平面；（2）求與底面所成的角的正切值．【解答】（1）證明：連接、交于．連接底面是正方形點(diǎn)是的中點(diǎn)．在中，是中位線而平面且平面，所以，平面．（2）解：作交于．連接，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為．底面，為的中點(diǎn)底面，為在底面內(nèi)的射影，故為直線與底面所成的角．在中，在中所以與底面所成的角的正切值為20．（12分）設(shè)是一個(gè)公差為的等差數(shù)列，它的前10項(xiàng)和且，，成等比數(shù)列．（1）證明；（2）求公差的值和數(shù)列的通項(xiàng)公式．【解答】（1）證明：因，，成等比數(shù)列，故而是等差數(shù)列，有，于是即化簡(jiǎn)得（2）解：由條件和，得到由（1），，代入上式得故，因此，數(shù)列的通項(xiàng)公式為21．（12分）已知函數(shù)是上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)取得極值．（1）求的單調(diào)區(qū)間和極大值；（2）證明對(duì)任意，，不等式恒成立．【解答】解：（1）由奇函數(shù)的定義，應(yīng)有，即因此，由條件（1）為的極值，必有（1），故解得，因此，，（1）當(dāng)時(shí)，，故在單調(diào)區(qū)間上是增函數(shù)當(dāng)時(shí)，，故在單調(diào)區(qū)間上是減函數(shù)當(dāng)時(shí)，，故在單調(diào)區(qū)間上是增函數(shù)所以，在處取得極大值，極大值為（2）由（1）知，是減函數(shù)，且在，上的最大值，在，上的最小值（1）所以，對(duì)任意的，，恒有22．（14分）橢圓的中心是原點(diǎn)，它的短軸長(zhǎng)為，相應(yīng)于焦點(diǎn)，的準(zhǔn)線與軸相交于點(diǎn)，，過點(diǎn)的直線與橢圓相交