小測卷(三十二)雙曲線1．解析：由雙曲線x23?y29＝1，可得所以雙曲線的漸近線的方程為y＝±bax＝±3x所以兩漸近線y＝±3x的夾角為60°.答案：C2．解析：由題意，在雙曲線C：x2a2?y2b2＝1(a>0，由題意可知：F(c，0)，B(0，b)，Nc，b因為M是BF中點，則Mc2，且O，M，N三點共線，則OM∥ON，可得c2×b2a所以e＝ca答案：A3．解析：因為雙曲線y2a2?x又雙曲線的一條漸近線為3x＋7y＝0，所以－ab即7a＝3b，又下焦點到下頂點的距離為1，所以c－a＝1，結(jié)合c2＝a2＋b2解得a2＝9，b2＝7，所以該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2答案：A4．解析：由圖知c＝1，易知D(1，2)，代入雙曲線方程得1a又a2＋b2＝1，聯(lián)立求解得a2＝3?22b2＝22?2或a2答案：A5．解析：設(shè)雙曲線E的下焦點為F2(0，－c)，可知c＝a2則|PF1|－|PF2|＝2a，即|PF1|＝|PF2|＋2a，則|PF1|＋|PA|＝|PF2|＋|PA|＋2a≥|AF2|＋2a＝c2+16+2a＝當(dāng)且僅當(dāng)A，P，F(xiàn)2三點共線時，等號成立，由題意可得a2+24＋2a＝7，且因為f(a)＝a2+24＋2a在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，且f(所以方程a2+24＋2a＝7，且a>0，解得則c＝a2+8＝3，所以雙曲線E的離心率為e＝答案：D6．解析：因為雙曲線C：y2a2－x2＝1(a所以a2+1a＝52所以下焦點F0，?5，漸近線方程為y＝±2x設(shè)上焦點為F10，5，則PF由雙曲線的對稱性，不妨取一條漸近線為y＝2x，設(shè)P到y(tǒng)＝2x的距離為d，則PF與P到C的一條漸近線的距離之和為PF+d＝PF1因為PF1＋d的最小值為F10，5到漸近線y＝2x的距離所以PF+d＝PF1＋4＋d的最小值為4＋1＝5，即PF與P答案：D7．解析：根據(jù)題意，畫出示意圖，如圖所示．因為BN∥NM，所以B、N、M三點共線．設(shè)線段BM的中點為Q，連接OQ，根據(jù)題意，顯然可得點O為線段AB的中點，所以O(shè)Q∥AM，設(shè)B(x1，y1)(x1<0，y1<0)，M(x2，y2)，Q(x0，y0)，x1≠x2.因為點B，M都在雙曲線C上，則x12a即y1+y2x1所以kBM·kOQ＝b2a2，即kBM又因為AB⊥AM，則OB⊥OQ，即kOB·kOQ＝－1，所以y1x1所以kBM＝－b2y1a2x1.又ON2即ON＝－7OAcos∠AON＝7|y1|，故N(0，7y1)，所以kBN＝7y而kBM＝kBN，故－b2y1則雙曲線C的漸近線方程為y＝±6x.答案：C8．解析：設(shè)PF1與y軸交于Q點，連接QF2，則QF1＝QF2，∴∠QF1F2＝∠QF2F1，因為∠PF2F1＝3∠PF1F2，故P點在雙曲線右支上，且∠PF2Q＝∠PQF2＝2∠PF1F2，故|PQ|＝|PF2|，而|PF1|－|PF2|＝2a，故|PF1|－|PF2|＝|PF1|－|PQ|＝|QF1|＝2a，在Rt△QOF1中，|QF1|>|OF1|，即2a>c，故e＝ca由∠PF2F1＝3∠PF1F2，且三角形內(nèi)角和為180°，故∠PF1F2<180°4＝45°，則cos∠PF1F2＝OF1QF1>cos45°，即c2a>22，即所以C的離心率的取值范圍為2，2答案：A9．解析：由雙曲線方程知b＝3，離心率e＝ca＝a2+3a＝2，解得a＝1，故C：x因為可求得雙曲線漸近線方程為y＝±3x，故一條漸近線方程為y＝3x，B正確；由于P可能在C的不同分支上，則有||PF1|－|PF2||＝2，C錯誤；焦距為2c＝2a2答案：ABD10．解析：由題意，F(xiàn)1(－1，0)，F(xiàn)2(1，0)，設(shè)雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2?將點62，1代入得a2＝12，所以雙曲線C得其離心率為e＝ca由A選項的分析知，雙曲線C的漸近線方程為y＝±x，如圖，∠MON＝π4，所以π4<∠MOP<3π4，得2當(dāng)P為雙曲線和橢圓在第一象限的交點時，由橢圓和雙曲線的定義知，|PF1|＋|PF2|＝22，PF1?PF2＝又|F1F2|＝2，在△F1PF2中，由余弦定理得cos∠F1PF2＝PF1設(shè)P(x0，y0)，則x02?所以|PM|＝x0當(dāng)y0＝12時，答案：ACD11．解析：由題意可得M533，4，所以5332a所以雙曲線方程為x2雙曲線x23?y29＝1的漸近線方程為y＝±3x，雙曲線y23－由雙曲線的性質(zhì)可知，過平面內(nèi)的任意一點的直線與雙曲線的漸近線平行時，只與雙曲線有一個交點，所以不存在一點，使過該點的任意直線與雙曲線C有兩個交點，所以C錯誤；由題意得D?3，0，E3，0，設(shè)P(x0，y0所以kPD·kPE＝y(tǒng)0所以雙曲線C上存在無數(shù)個點，使它與D，E兩點的連線的斜率之積為3，所以D正確．答案：ABD12．解析：由題意，|F1F2|＝2c＝23，即c＝3，在雙曲線C：x2a2?y∵F1關(guān)于∠F1PF2的平分線的對稱點Q恰好在C上，∴P，F(xiàn)2，Q三點共線，且|PF1|＝|PQ|，∵∠F1PF2＝π3，∴PF1＝|F1設(shè)|PF1|＝|F1Q|＝|PQ|＝m，|PF2|＝n，根據(jù)雙曲線定義可得|PF1|－|PF2|＝m－n＝2a，|QF1|－|QF2|＝m－(m－n)＝2a，解得m＝4a，n＝2a，即|PF2|＝|QF2|＝2a，∴PQ⊥F1F2.在△F1PF2中，根據(jù)勾股定理可得，16a2＝4a2＋12，解得a＝1，∴C的實軸長為2，∴A正確；又a＝1，c＝3，∴C的離心率為3，∴B不正確；△F1PF2的面積為12∵PQ⊥F1F2，∴P3，2∵∠F1PF2＝π3，易得∠F1PF2的平分線的傾斜角為π∴∠F1PF2的平分線所在直線的方程為y－2＝3x?3，即3x－答案：ACD13．解析：如圖，取a＝1，b＝2，c＝3且AB⊥可得|AF2|＝|BF2|＝b2a＝2，|AF1|＝|BF1|＝2a＋|AF即|AF1|＝|BF1|＝|AB|＝4，△ABF1為正三角形，符合題意，此時雙曲線C的方程為x2－y2答案：x2－y214．解析：設(shè)以A1A2為直徑的圓與直線PF2相切于點M，由雙曲線方程知OA1＝OA2＝5，∵PF1⊥PF2，OM⊥PF2又O為F1F2的中點，∴PF1由雙曲線定義知PF2?PF∴S△答案：2015．解析：因為雙曲線的離心率為2，則c＝2a，因為過F1斜率為73，所以tan∠AF1F2＝73，則cos∠AF1F2＝在△AF1F2中，設(shè)|AF1|＝m，則|AF2|＝2a＋m，由(2a＋m)2＝m2＋4c2－2·m·2c·cos∠AF1F2，解得m＝〖6/5〗a，"則"〖|AF_2|＝165a在△BF1F2中，設(shè)|BF2|＝n，則|BF1|＝2a＋n，由n2＝(2a＋n)2＋4c2－2·(2a＋n)·2c·cos∠AF1F2，解得n＝4a，則|BF1|＝6a，則|AB|＝|BF1|－|AF1|＝245a在△AF2B中cos∠AF2B＝AF2答案：116．解析：雙曲線的漸近線方程為：y＝±因為直線m平行雙曲線C的一條漸近線，所以有－b2＝－1?b設(shè)過P點(m，n)且與雙曲線相切的直線方程為y＝k(x－m)＋n，n＝－m－2，由y＝kx?m+n，b2x2?4y2＝4b2，可得b2x2－4[k2(x2－2mx＋m2即為(b2－4k2)x2＋(8k2m－8kn)x－4k2m2－4n2＋8kmn－4b2＝0，Δ＝64(k2m－kn)2＋4(b2－4k2)(4k2m2＋4n2－8kmn＋4b2)＝0，化簡可得(b2m2－4b2)k2－2b2mnk＋b2n2＋b4＝0，即(m2－4)k2－2mnk＋n2＋b2＝0，兩根設(shè)為k1，k2，k1k2＝n2即為(m＋2)2＋b2＝4－m2，即為m2＋4m＋4＋b2＝4－m2，2m2＋4m＋b2＝0看做關(guān)于m的方程，Δ＝16－8b2≥0，可得0≤b2≤2，而b>0，所以有0<b2≤2，所以雙曲線的離心率e＝1+b24答案：21，17．解：(1)因為雙曲線C與y2所以可設(shè)雙曲線C的方程為x22?y24得22?24＝λ，得λ＝12，故雙曲線C的方程為所以a＝1，b＝2，c＝3，故離心率e＝漸近線方程為y＝±2x.(2)聯(lián)立直線AB與雙曲線C的方程，得x整理得x2－2mx－m2－2＝0，Δ＝8m2＋8>0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則AB的中點坐標(biāo)為x1由根與系數(shù)的關(guān)系得，x1＋x2＝2m，y1＋y2＝(x1＋m)＋(x2＋m)＝(x1＋x2)＋2m＝4m，所以AB的中點坐標(biāo)為(m，2m)，又點(m，2m)在圓x2＋y2＝10上，所以m2＋4m2＝10，所以m＝±2.18．解：(1)由題意可知4a2?4b2＝1，所以