第1頁（共1頁）2025年四川省南充市中考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共10個小題，每小題4分，共40分）1．（4分）下列計算正確的是（）A．2a+a＝3 B．2a﹣a＝2 C．2a?a＝2a2 D．2a÷a＝2a2．（4分）如圖，把含有60°的直角三角板斜邊放在直線l上，則∠α的度數(shù)是（）A．120° B．130° C．140° D．150°3．（4分）2024年9月25日8時44分，我國火箭軍成功發(fā)射了一枚“東風(fēng)﹣31AG”洲際彈道導(dǎo)彈，導(dǎo)彈平均速度為25馬赫，馬赫為速度單位，1馬赫約為340米/秒．用科學(xué)記數(shù)法表示“東風(fēng)﹣31AG”導(dǎo)彈的平均速度為（）A．8.5×102米/秒 B．8.5×103米/秒 C．8.5×104米/秒 D．85×103米/秒4．（4分）一次體質(zhì)健康檢測中，某班體育委員對該班20名男生在一分鐘內(nèi)“引體向上”的個數(shù)進(jìn)行了統(tǒng)計，并制作如下統(tǒng)計表：個數(shù)69111215人數(shù)25832則這20名男生在一分鐘內(nèi)“引體向上”的個數(shù)的眾數(shù)是（）A．6 B．9 C．11 D．155．（4分）我國宋代數(shù)學(xué)家秦九韶發(fā)明的“大衍求一術(shù)”闡述了多元方程的解法，大衍問題源于《孫子算經(jīng)》中“物不知數(shù)”問題：“今有物，不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三…，問物幾何？”意思是：有一些物體不知個數(shù)，每3個一數(shù)，剩余2個；每5個一數(shù)，剩余3個…．問這些物體共有多少個？設(shè)3個一數(shù)共數(shù)了x次，5個一數(shù)共數(shù)了y次，其中x，y為正整數(shù)，依題意可列方程（）A．3x+2＝5y+3 B．5x+2＝3y+3 C．3x﹣2＝5y﹣3 D．5x﹣2＝3y﹣36．（4分）如圖，把直徑為1個單位長度的圓從點A沿數(shù)軸向右滾動一周，圓上點A到達(dá)點A′，點A′對應(yīng)的數(shù)是2，則滾動前點A對應(yīng)的數(shù)是（）A．2﹣2π B．π﹣2 C．5﹣2π D．2﹣π7．（4分）如圖是正六邊形與矩形疊拼成的一個組合圖形，若正六邊形的邊長為2，那么矩形的面積是（）A．12 B． C．16 D．8．（4分）已知2，則的值是（）A．2 B．3 C．4 D．69．（4分）如圖，AB是⊙O的直徑，AD⊥AB于點A，OD交⊙O于點C，AE⊥OD于點E，交⊙O于點F，F(xiàn)為弧BC的中點，P為線段AB上一動點，若CD＝4，則PE+PF的最小值是（）A．4 B． C．6 D．10．（4分）已知某函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，當(dāng)0≤x≤2時，y＝x2﹣2x；當(dāng)x＞2時，y＝2x﹣4．若直線y＝x+b與這個函數(shù)圖象有且僅有四個不同交點，則實數(shù)b的范圍是（）A．b＜0 B．b C．b≤0 D．b或b＞0二、填空題（本大題共6個小題，每小題4分，共24分）11．（4分）計算：a（a﹣3）﹣a2＝．12．（4分）不透明的袋子中裝有4個黑球和2個白球，這些球的形狀、大小、質(zhì)地等完全相同，隨機(jī)從袋子中摸出一個球，恰好為白球的概率是．13．（4分）不等式組的解集是x＞2，則m的取值范圍是．14．（4分）如圖，∠AOB＝90°，在射線OB上取一點C，以點O為圓心，OC長為半徑畫??；再以點C為圓心，OC長為半徑畫弧，兩弧在∠AOB的內(nèi)部相交于點D，連接并延長CD交射線OA于點E．設(shè)OC＝1，則OE的長是．15．（4分）已知直線y＝m（x+1）（m≠0）與直線y＝n（x﹣2）（n≠0）的交點在y軸上，則的值是．16．（4分）如圖，AC為正方形ABCD的對角線，CE平分∠ACB，交AB于點E，把△CBE繞點B逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△ABF，延長CE交AF于點M，連接DM，交AC于點N．給出下列結(jié)論：①CM⊥AF；②CF＝AF；③∠CMD＝45°；④1．以上結(jié)論正確的是．（填寫序號）三、解答題（本大題共9個小題，共86分）17．（8分）計算：（π﹣2025）04sin45°|﹣2|．18．（8分）如圖，在五邊形ABCDE中，AB＝AE，AC＝AD，∠BAD＝∠EAC．（1）求證：△ABC≌△AED．（2）求證：∠BCD＝∠EDC．19．（8分）為了弘揚(yáng)優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，某校擬增設(shè)四類興趣班：A川劇班、B皮影班、C剪紙班、D木偶班．學(xué)校的調(diào)研小組在全校隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，調(diào)查問題是“你最希望增設(shè)的興趣班”（四類中必選并只選一類），調(diào)研小組根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制出如下不完整的統(tǒng)計圖：（1）求問卷調(diào)查的總?cè)藬?shù)，并補(bǔ)全條形圖．（2）若該校共有800名學(xué)生，估計最希望增設(shè)“木偶班”的學(xué)生人數(shù)．（3）本次調(diào)研小組共有5人，其中男生3人，女生2人，現(xiàn)從5人中隨機(jī)抽取2人向?qū)W校匯報調(diào)查結(jié)果，求恰好抽中一男一女的概率．20．（10分）設(shè)x1，x2是關(guān)于x的方程（x﹣1）（x﹣2）＝m2的兩根．（1）當(dāng)x1＝﹣1時，求x2及m的值．（2）求證：（x1﹣1）（x2﹣1）≤0．21．（10分）如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象交于點A（﹣3，1），B（1，n）．（1）求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式．（2）點C在反比例函數(shù)第二象限的圖象上，橫坐標(biāo)為a，過點C作x軸的垂線，交AB于點D，CD，求a的值．22．（10分）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點D，以CD為直徑的⊙O交BC于點E，交AC于點F，M為線段DB上一點，ME＝MD．（1）求證：ME是⊙O的切線．（2）若CF＝3，sinB，求OM的長．23．（10分）學(xué)校計劃租用客車送師生到某紅色基地，參加主題為“緬懷先烈，強(qiáng)國有我”的研學(xué)活動，請閱讀下列材料，并完成相關(guān)問題．材料一租車公司有A，B兩種型號的客車可供租用，在每輛車滿員情況下，每輛A型客車比每輛B型客車多載客15人；用A型客車載客600人與用B型客車載客450人的車輛數(shù)相同．材料二A型客車租車費(fèi)用為3200元/輛；B型客車租車費(fèi)用為3000元/輛．優(yōu)惠方案：租用A型客車m輛，租車費(fèi)用（3200﹣50m）元/輛；租用B型客車，租車費(fèi)用打八折．材料三租車公司最多提供8輛A型客車；學(xué)校參加研學(xué)活動師生共有530人，租用A，B兩種型號客車共10輛．（1）A，B兩種型號的客車每輛載客量分別是多少？（2）本次研學(xué)活動學(xué)校的最少租車費(fèi)用是多少？24．（10分）矩形ABCD中，AB＝10，AD＝17，點E是線段BC上異于點B的一個動點，連接AE，把△ABE沿直線AE折疊，使點B落在點P處．【初步感知】（1）如圖1，當(dāng)E為BC的中點時，延長AP交CD于點F，求證：FP＝FC．【深入探究】（2）如圖2，點M在線段CD上，CM＝4．點E在移動過程中，求PM的最小值．【拓展運(yùn)用】（3）如圖2，點N在線段AD上，AN＝4．點E在移動過程中，點P在矩形內(nèi)部，當(dāng)△PDN是以DN為斜邊的直角三角形時，求BE的長．25．（12分）拋物線y＝ax2+2ax（a≠0）與x軸交于A（3，0），B兩點，N是拋物線頂點．（1）求拋物線的解析式及點B的坐標(biāo)；（2）如圖1，拋物線上兩點P（m，y1），Q（m+2，y2），若PQ∥BN，求m的值；（3）如圖2，點M（﹣1，﹣5），如果不垂直于y軸的直線l與拋物線交于點G，H，滿足∠GMN＝∠HMN．探究直線l是否過定點？若直線l過定點；求定點坐標(biāo)；若不過定點，請說明理由．

2025年四川省南充市中考數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）題號12345678910答案CDBCADBDCA一、選擇題（本大題共10個小題，每小題4分，共40分）1．（4分）下列計算正確的是（）A．2a+a＝3 B．2a﹣a＝2 C．2a?a＝2a2 D．2a÷a＝2a【分析】利用合并同類項法則、單項式乘單項式法則、單項式除單項式法則逐個計算得結(jié)論．【解答】解：∵2a+a＝3a≠3，2a﹣a＝a≠2，故選項A、B計算錯誤；2a?a＝2a2，故選項C計算正確；2a÷a＝2≠2a，故選項D計算錯誤．故選：C．【點評】本題考查了整式的運(yùn)算，掌握合并同類項法則、單項式乘（除）單項式法則是解決本題的關(guān)鍵．2．（4分）如圖，把含有60°的直角三角板斜邊放在直線l上，則∠α的度數(shù)是（）A．120° B．130° C．140° D．150°【分析】利用三角形的外角性質(zhì)計算即可．【解答】解：∵直角三角板，∴α＝90+60°＝150°，故選：D．【點評】本題考查了三角形的外角性質(zhì)，掌握三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和是解題的關(guān)鍵．3．（4分）2024年9月25日8時44分，我國火箭軍成功發(fā)射了一枚“東風(fēng)﹣31AG”洲際彈道導(dǎo)彈，導(dǎo)彈平均速度為25馬赫，馬赫為速度單位，1馬赫約為340米/秒．用科學(xué)記數(shù)法表示“東風(fēng)﹣31AG”導(dǎo)彈的平均速度為（）A．8.5×102米/秒 B．8.5×103米/秒 C．8.5×104米/秒 D．85×103米/秒【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對值≥10時，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值＜1時，n是負(fù)數(shù)．【解答】解：用科學(xué)記數(shù)法表示“東風(fēng)﹣31AG”導(dǎo)彈的平均速度為25×340＝8500＝8.5×103（米/秒），故選：B．【點評】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．4．（4分）一次體質(zhì)健康檢測中，某班體育委員對該班20名男生在一分鐘內(nèi)“引體向上”的個數(shù)進(jìn)行了統(tǒng)計，并制作如下統(tǒng)計表：個數(shù)69111215人數(shù)25832則這20名男生在一分鐘內(nèi)“引體向上”的個數(shù)的眾數(shù)是（）A．6 B．9 C．11 D．15【分析】根據(jù)眾數(shù)的定義求解即可．【解答】解：由表知，這組數(shù)據(jù)中11出現(xiàn)次數(shù)最多，有8次，所以這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為11，故選：C．【點評】本題主要考查眾數(shù)，解題的關(guān)鍵是掌握眾數(shù)的定義：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做眾數(shù)．5．（4分）我國宋代數(shù)學(xué)家秦九韶發(fā)明的“大衍求一術(shù)”闡述了多元方程的解法，大衍問題源于《孫子算經(jīng)》中“物不知數(shù)”問題：“今有物，不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三…，問物幾何？”意思是：有一些物體不知個數(shù)，每3個一數(shù)，剩余2個；每5個一數(shù)，剩余3個…．問這些物體共有多少個？設(shè)3個一數(shù)共數(shù)了x次，5個一數(shù)共數(shù)了y次，其中x，y為正整數(shù)，依題意可列方程（）A．3x+2＝5y+3 B．5x+2＝3y+3 C．3x﹣2＝5y﹣3 D．5x﹣2＝3y﹣3【分析】根據(jù)“有一些物體不知個數(shù)，每3個一數(shù)，剩余2個；每5個一數(shù)，剩余3個”，結(jié)合這些物體的總數(shù)量不變，即可可列出關(guān)于x，y的二元一次方程，此題得解．【解答】解：根據(jù)題意得：3x+2＝5y+3．故選：A．【點評】本題考查了由實際問題抽象出二元一次方程以及數(shù)學(xué)常識，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程是解題的關(guān)鍵．6．（4分）如圖，把直徑為1個單位長度的圓從點A沿數(shù)軸向右滾動一周，圓上點A到達(dá)點A′，點A′對應(yīng)的數(shù)是2，則滾動前點A對應(yīng)的數(shù)是（）A．2﹣2π B．π﹣2 C．5﹣2π D．2﹣π【分析】根據(jù)題意求出AA′，然后設(shè)滾動前點A對應(yīng)的數(shù)為x，根據(jù)兩點間的距離公式列出關(guān)于x的方程，解方程求出x即可．【解答】解：由題意可知：AA′＝π×1＝π，設(shè)滾動前點A對應(yīng)的數(shù)為x，∴|2﹣x|＝π，2﹣x＝π，x＝2﹣π，∴滾動前點A對應(yīng)的數(shù)是2﹣π，故選：D．【點評】本題主要考查了實數(shù)與數(shù)軸，解題關(guān)鍵是熟練掌握兩點間的距離公式．7．（4分）如圖是正六邊形與矩形疊拼成的一個組合圖形，若正六邊形的邊長為2，那么矩形的面積是（）A．12 B． C．16 D．【分析】根據(jù)矩形和正六邊形的性質(zhì)可得∠ACB＝60°，然后解直角三角形可得AB，AC，BF，DE，從而得到，AE＝4，即可求解．【解答】解：如圖，∵是正六邊形與矩形疊拼成的一個組合圖形，且正六邊形的邊長為2，∴∠BCD＝120°，∠A＝90°，BC＝CD＝2，∴∠ACB＝60°，∴，，同理，DE＝1，∴，AE＝4，∴矩形的面積是，故選：B．【點評】本題主要考查了矩形和正六邊形的性質(zhì)，解直角三角形，掌握解直角三角形是解題的關(guān)鍵．8．（4分）已知2，則的值是（）A．2 B．3 C．4 D．6【分析】根據(jù)，可得a＝2bc，b＝2ac，c＝2ab，從而得到a2＝2abc，b2＝2abc，c2＝2abc，然后代入化簡即可．【解答】解：∵，∴a＝2bc，b＝2ac，c＝2ab，∴a2＝2abc，b2＝2abc，c2＝2abc，∴6，故選：D．【點評】本題主要考查了比例的性質(zhì)，分式的化簡求值，掌握比例的性質(zhì)，分式的化簡求值是解題的關(guān)鍵．9．（4分）如圖，AB是⊙O的直徑，AD⊥AB于點A，OD交⊙O于點C，AE⊥OD于點E，交⊙O于點F，F(xiàn)為弧BC的中點，P為線段AB上一動點，若CD＝4，則PE+PF的最小值是（）A．4 B． C．6 D．【分析】如圖，延長DO交⊙O于點M，連接PM，PF，OF，由垂徑定理得，進(jìn)而得∠AOC＝∠COF＝∠BOF＝60°，∠BOM＝∠AOC＝60°＝∠BOF，點F關(guān)于AB的對稱點為點M，根據(jù)兩點之間線段最短得當(dāng)E，P，M三點共線時，PE+PF最小，最小值為EM的長，在利用直角三角形的性質(zhì)即可求解．【解答】解：如圖，延長DO交⊙O于點M，連接PM，PF，OF，∵AE⊥OD于點E，交⊙O于點F，F(xiàn)為弧BC的中點，∴，∴∠AOC＝∠COF＝∠BOF，∵∠AOC+∠COF+∠BOF＝180°，∴∠AOC＝∠COF＝∠BOF＝60°，∴∠BOM＝∠AOC＝60°＝∠BOF，∴點F關(guān)于AB的對稱點為點M，∴PM＝PF，∴PE+PF＝PE+PM≥EM，當(dāng)E，P，M三點共線時，PE+PF最小，最小值為EM的長，∵∠AOC＝60°，AD⊥AB，∴∠D＝30°，∴OD＝2OA，∵CD＝4，∴OD＝OC+4＝2OA＝2OC，即OC＝4，∴OC＝OA＝OB＝OM＝OF＝4，∵AF⊥OC，∠AOC＝60°，∴∠OAE＝30°，∴，∴PE+PF的最小值EM＝OE+OM＝2+4＝6．故選：C．【點評】本題主要考查了弧、圓心角的關(guān)系，垂徑定理，直角三角形的性質(zhì)，兩點之間線段最短，熟練掌握弧、圓心角的關(guān)系，垂徑定理是解題的關(guān)鍵．10．（4分）已知某函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，當(dāng)0≤x≤2時，y＝x2﹣2x；當(dāng)x＞2時，y＝2x﹣4．若直線y＝x+b與這個函數(shù)圖象有且僅有四個不同交點，則實數(shù)b的范圍是（）A．b＜0 B．b C．b≤0 D．b或b＞0【分析】先根據(jù)函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，求出x＜0時的函數(shù)表達(dá)式，再畫出函數(shù)圖象，結(jié)合直線y＝x+b的平移，分析直線與函數(shù)圖象有四個交點時b的取值范圍．【解答】解：∵函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，當(dāng)0≤x≤2時，y＝x2﹣2x，∴當(dāng)﹣2≤x＜0時，y＝x2+2x；當(dāng)x＜﹣2時，y＝﹣2x﹣4．畫出函數(shù)圖象：當(dāng)0≤x≤2時，y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，這是一個開口向上，頂點為（1，﹣1），與x軸交點為（0，0），（2，0）的拋物線一部分．當(dāng)x＞2時，y＝2x﹣4，是一條k為2，過（2，0）的射線．根據(jù)對稱性畫出x＜0時的函數(shù)圖象．聯(lián)立（﹣2≤x＜0時），得x2+x﹣b＝0，當(dāng)Δ＝1+4b＝0，即時，直線與y＝x2+2x（﹣2≤x＜0）相切．當(dāng)直線過（0，0）時，b＝0．結(jié)合圖象可知，當(dāng)時，直線y＝x+b與這個函數(shù)圖象有且僅有四個不同交點．故選：A．【點評】本題主要考查了二次函數(shù)、一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)以及函數(shù)交點問題，熟練掌握函數(shù)圖象的繪制和直線平移時與函數(shù)圖象交點情況的分析是解題的關(guān)鍵．二、填空題（本大題共6個小題，每小題4分，共24分）11．（4分）計算：a（a﹣3）﹣a2＝﹣3a．【分析】利用單項式乘多項式法則計算后再合并同類項即可．【解答】解：原式＝a2﹣3a﹣a2＝﹣3a，故答案為：﹣3a．【點評】本題考查單項式乘多項式，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．12．（4分）不透明的袋子中裝有4個黑球和2個白球，這些球的形狀、大小、質(zhì)地等完全相同，隨機(jī)從袋子中摸出一個球，恰好為白球的概率是．【分析】隨機(jī)從袋子中摸出一個球共有6種等可能結(jié)果，其中恰好為白球的有2種結(jié)果，再根據(jù)概率公式求解即可．【解答】解：根據(jù)題意知，隨機(jī)從袋子中摸出一個球共有6種等可能結(jié)果，其中恰好為白球的有2種結(jié)果，所以恰好為白球的概率是，故答案為：．【點評】本題主要考查概率公式，解題的關(guān)鍵是掌握隨機(jī)事件A的概率P（A）＝事件A可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)÷所有可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)．13．（4分）不等式組的解集是x＞2，則m的取值范圍是m≤3．【分析】分別求出每個不等式的解集，結(jié)合不等式組的解集得出關(guān)于m的不等式，解之即可．【解答】解：由x﹣3＞﹣1得：x＞2，由﹣x＜﹣m+1得：x＞m﹣1，∵不等式組的解集為x＞2，∴m﹣1≤2，解得m≤3，故答案為：m≤3．【點評】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取?。淮笮⌒〈笾虚g找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．14．（4分）如圖，∠AOB＝90°，在射線OB上取一點C，以點O為圓心，OC長為半徑畫弧；再以點C為圓心，OC長為半徑畫弧，兩弧在∠AOB的內(nèi)部相交于點D，連接并延長CD交射線OA于點E．設(shè)OC＝1，則OE的長是．【分析】先確定△OCD是等邊三角形，則∠OCD＝60°，再解直角三角形即可求解．【解答】解：連OD，由作圖可得OD＝OD＝CD，∴△OCD是等邊三角形，∴∠OCD＝60°，∴，故答案為：．【點評】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，熟練掌握各知識點并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．15．（4分）已知直線y＝m（x+1）（m≠0）與直線y＝n（x﹣2）（n≠0）的交點在y軸上，則的值是．【分析】由直線y＝m（x+1）（m≠0）與直線y＝n（x﹣2）（n≠0）的交點在y軸上可知當(dāng)x＝0時函數(shù)值相等，得到m＝﹣2n，然后代入化簡即可．【解答】解：當(dāng)x＝0時，y＝m（x+1）＝m，y＝n（x﹣2）＝﹣2n，∵直線y＝m（x+1）（m≠0）與直線y＝n（x﹣2）（n≠0）的交點在y軸上，∴m＝﹣2n，∴，【點評】本題考查一次函數(shù)的交點問題，推導(dǎo)知x＝0時函數(shù)值相等是解題的關(guān)鍵．16．（4分）如圖，AC為正方形ABCD的對角線，CE平分∠ACB，交AB于點E，把△CBE繞點B逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△ABF，延長CE交AF于點M，連接DM，交AC于點N．給出下列結(jié)論：①CM⊥AF；②CF＝AF；③∠CMD＝45°；④1．以上結(jié)論正確的是①③④．（填寫序號）【分析】由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得△CBE≌△ABF，可得CE＝AF，∠BCE＝∠FAB，BE＝BF，進(jìn)而由∠BEC+∠BCE＝∠FAB+∠AEM＝90°，即可判斷①；由CF＝BC+BF＝AB+BF＞AF，即可判斷②；由A、M、B、C、D在以AC為直徑的圓上，可以證明∠CAD＝∠CMD＝45°，即可判斷③，設(shè)AD＝CD＝BC＝a，由勾股定理解三角形可得，，即可判斷④．【解答】解：∵把△CBE繞點B逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△ABF，∴△CBE≌△ABF，∴CE＝AF，∠BCE＝∠FAB，BE＝BF，∵正方形ABCD，∴∠ABC＝90°，AB＝BC，又∵∠AEM＝∠BEC，∴∠BEC+∠BCE＝∠FAB+∠AEM＝90°，∴∠AMC＝90°，即CM⊥AF，故①結(jié)論正確，符合題意；∵AB+BF＞AF，CF＝BC+BF＝AB+BF，∴CF＞AF，故②結(jié)論錯誤，不符合題意；∵正方形ABCD，∴∠CAB＝∠CAD＝∠ACB＝45°，∴∠AMC＝∠ABC＝∠ADC＝90°，∴A、M、B、C、D在以AC為直徑的圓上，如圖，∵，∴∠CAD＝∠CMD＝45°，故結(jié)論③正確，符合題意；如圖，過N點作NG⊥AC，交AD于G，∵CE平分∠ACB，∠ACB＝45°，∴∠ACM＝22.5°，∵，∴∠ACM＝∠ADM＝22.5°，∵∠CAD＝45°，∴∠AGN＝90°﹣∠CAD＝45°，∠DNG＝180°﹣∠CAD﹣∠ANG﹣∠ADN＝22.5°，∴∠CAD＝∠AGN＝45°，∠GDN＝∠DNG＝22.5°，∴AN＝NG＝GD，設(shè)AD＝CD＝BC＝a，在Rt△ANG中，AN2+NG2＝AG2，∴2AN2＝（a﹣AN）2，∴（負(fù)根已舍去），∵，∴，∴，故結(jié)論④正確，符合題意；綜上，①③④結(jié)論正確，故答案為：①③④．【點評】本題考查正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，角平分線的定義，圓周角定理，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)與判定，三角形的三邊關(guān)系等知識，熟練掌握相關(guān)知識的聯(lián)系與運(yùn)用是解答的關(guān)鍵．三、解答題（本大題共9個小題，共86分）17．（8分）計算：（π﹣2025）04sin45°|﹣2|．【分析】先計算零指數(shù)冪、化簡二次根式、代入三角函數(shù)值、計算負(fù)整數(shù)指數(shù)冪和絕對值，再計算乘法，最后計算加減即可．【解答】解：原式＝1．【點評】本題主要考查實數(shù)的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握零指數(shù)冪和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的規(guī)定、絕對值的性質(zhì)、二次根式的性質(zhì)及熟記特殊銳角的三角函數(shù)值．18．（8分）如圖，在五邊形ABCDE中，AB＝AE，AC＝AD，∠BAD＝∠EAC．（1）求證：△ABC≌△AED．（2）求證：∠BCD＝∠EDC．【分析】（1）先證明∠BAC＝∠EAD，進(jìn)而可依據(jù)“SAS”判定△ABC與△AED全等；（2）根據(jù)AC＝AD得∠ACD＝∠ADC，再根據(jù)全等三角形性質(zhì)得∠ACB＝∠ADE，由此即可得出結(jié)論．【解答】（1）證明：∵∠BAD＝∠EAC，∴∠BAD﹣∠CAD＝∠EAC﹣∠CAD，∴∠BAC＝∠EAD，在△ABC與△AED中，，∴△ABC≌△AED（SAS）；（2）解：∵AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC，由（1）可知：△ABC≌△AED，∴∠ACB＝∠ADE，∴∠ACB+∠ACD＝∠ADE+∠ADC，∴∠BCD＝∠EDC．【點評】此題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．19．（8分）為了弘揚(yáng)優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，某校擬增設(shè)四類興趣班：A川劇班、B皮影班、C剪紙班、D木偶班．學(xué)校的調(diào)研小組在全校隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，調(diào)查問題是“你最希望增設(shè)的興趣班”（四類中必選并只選一類），調(diào)研小組根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制出如下不完整的統(tǒng)計圖：（1）求問卷調(diào)查的總?cè)藬?shù)，并補(bǔ)全條形圖．（2）若該校共有800名學(xué)生，估計最希望增設(shè)“木偶班”的學(xué)生人數(shù)．（3）本次調(diào)研小組共有5人，其中男生3人，女生2人，現(xiàn)從5人中隨機(jī)抽取2人向?qū)W校匯報調(diào)查結(jié)果，求恰好抽中一男一女的概率．【分析】（1）由A川劇班得人數(shù)除以占比，即可求解問卷調(diào)查的總?cè)藬?shù)，然后由總?cè)藬?shù)減去A，B，C的人數(shù)求出D木偶班人數(shù)，即可補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖；（2）用樣本估計整體的方法即可求解；（3）先畫出樹狀圖得到所有等可能性的結(jié)果數(shù)，再找到符合題意的結(jié)果數(shù)，最后依據(jù)概率計算公式求解即可．【解答】解：（1）問卷調(diào)查的總?cè)藬?shù)為26÷26%＝100（人），D類別人數(shù)為100﹣（26+24+20）＝30（人），補(bǔ)全圖形如下：（2）800240（人），答：估計最希望增設(shè)“木偶班”的學(xué)生人數(shù)約為240人；（3）列表如下：男男男女女男（男，男）（男，男）（女，男）（女，男）男（男，男）（男，男）（女，男）（女，男）男（男，男）（男，男）（女，男）（女，男）女（男，女）（男，女）（男，女）（女，女）女（男，女）（男，女）（男，女）（女，女）由表知，共有20種等可能結(jié)果，其中恰好抽中一男一女的有12種結(jié)果，所以恰好抽中一男一女的概率為．【點評】本題考查了扇形統(tǒng)計圖和條形統(tǒng)計圖的信息關(guān)聯(lián)，用樣本估計總體，樹狀圖或列表法求解概率，正確理解題意，讀懂統(tǒng)計圖是解題的關(guān)鍵，20．（10分）設(shè)x1，x2是關(guān)于x的方程（x﹣1）（x﹣2）＝m2的兩根．（1）當(dāng)x1＝﹣1時，求x2及m的值．（2）求證：（x1﹣1）（x2﹣1）≤0．【分析】（1）先把方程的解代入方程，得關(guān)于m的新方程并求解，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系或解方程求出方程的另一個解；（2）先利用根的判別式判斷方程解的情況，再利用根與系數(shù)的關(guān)系整體代入，得結(jié)論【解答】解：（1）把x1＝﹣1代入方程（x﹣1）（x﹣2）＝m2，得m2＝6，∴．∴（x﹣1）（x﹣2）＝6，即x2﹣3x﹣4＝0．∴（x﹣4）（x+1）＝0．∴x1＝﹣1，x2＝4．∴．（2）方程（x﹣1）（x﹣2）＝m2可化為x2﹣3x+2﹣m2＝0．∵Δ＝9﹣4（2﹣m2）＝4m2+1＞0，∴方程有兩個不相等的實數(shù)根．∵方程（x﹣1）（x﹣2）＝m2即x2﹣3x+2﹣m2＝0的兩根為x1、x2，∴x1+x2＝3，x1?x2＝2﹣m2．∴（x1﹣1）（x2﹣1）＝x1?x2﹣（x1+x2）+1＝2﹣m2﹣3+1＝﹣m2．∵m2≥0，∴﹣m2≤0，即（x1﹣1）（x2﹣1）≤0．【點評】本題主要考查了一元二次方程，掌握一元二次方程根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系、一元二次方程的解法等知識點是解決本題的關(guān)鍵．21．（10分）如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象交于點A（﹣3，1），B（1，n）．（1）求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式．（2）點C在反比例函數(shù)第二象限的圖象上，橫坐標(biāo)為a，過點C作x軸的垂線，交AB于點D，CD，求a的值．【分析】（1）先利用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)解析式，再求出點B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線的解析式即可；（2）由題意可得，D（a，﹣a﹣2），因為，所以，即2a2+11a﹣6＝0，然后解方程并檢驗即可．【解答】解：（1）設(shè)反比例函數(shù)解析式為，∵經(jīng)過點A（﹣3，1），∴k1＝﹣3，∴反比例函數(shù)為，∵B（1，n）在圖象上，n＝﹣3，∴B（1，﹣3），設(shè)一次函數(shù)解析式為y＝k2x+b（k2≠0），∴.，解得，∴一次函數(shù)為y＝﹣x﹣2；（2）∵CD⊥x軸，∴，D（a，﹣a﹣2），∵，∴，即2a2+11a﹣6＝0，∴a1＝﹣6，，∵點C在第二象限，∴a＝﹣6．【點評】此題考查了反比例函數(shù)和一次函數(shù)綜合，待定系數(shù)法求函數(shù)表達(dá)式，解一元二次方程等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識點．22．（10分）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點D，以CD為直徑的⊙O交BC于點E，交AC于點F，M為線段DB上一點，ME＝MD．（1）求證：ME是⊙O的切線．（2）若CF＝3，sinB，求OM的長．【分析】（1）連接OE，DF，證明△OME和△OMD全等得∠OEM＝∠ODM＝90°，再根據(jù)切線的判定即可得出結(jié)論；（2）證明∠B＝∠DCF得sin∠DCF，在Rt△DCF中，根據(jù)sin∠DCF，設(shè)DF＝4x，CD＝5x，則CF＝3x＝3，進(jìn)而得x＝1，則CD＝5，OD＝2.5，證明OM∥BC得∠OMD＝∠B，解Rt△ODM即可得出OM的長．【解答】（1）證明：連接OE，DF，如圖所示：∵CD為⊙O的直徑，點E在⊙O上，∴OD＝OE＝OC，在△OME和△OMD中，，∴△OME≌△OMD（SSS），∴∠OEM＝∠ODM，∵CD⊥AB，∴∠ODM＝90°，∴∠OEM＝90°，即OE⊥ME，又∵OE是⊙O的半徑，∴ME是⊙O的切線；（2）解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠A+∠B＝90°，∠A+∠DCF＝90°，∴∠B＝∠DCF，∵sinB，∴sin∠DCF＝4/5，∵CD為⊙O的直徑，∴∠DCF＝90°，在Rt△DCF中，sin∠DCF，設(shè)DF＝4x，CD＝5x，由勾股定理得：CF3x，∵CF＝3，∴3x＝3，解得：x＝1，∴CD＝5x＝5，∴ODCD＝2.5，由（1）可知：△OME≌△OMD，∴∠EOM＝∠DOM，∴∠DOE＝∠EOM+∠DOM＝2∠DOM，∵OE＝OC，∴∠OEC＝∠OCE，∵∠DOE是△OCE的外角，∴∠DOE＝∠OEC+∠OCE＝2∠OCE，∴2∠DOM＝2∠OCE，∴∠DOM＝∠OCE，∴OM∥BC，∴∠OMD＝∠B，∴sin∠OMD＝sin∠B，在Rt△ODM中，sin∠OMD，∴，∴OM．【點評】此題主要考查了切線的判定，平行線的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理，解直角三角形，理解平行線的判定與性質(zhì)，圓周角定理，熟練掌握切線的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，靈活運(yùn)用銳角三角函數(shù)的定義及勾股定理進(jìn)行計算是解決問題的關(guān)鍵．23．（10分）學(xué)校計劃租用客車送師生到某紅色基地，參加主題為“緬懷先烈，強(qiáng)國有我”的研學(xué)活動，請閱讀下列材料，并完成相關(guān)問題．材料一租車公司有A，B兩種型號的客車可供租用，在每輛車滿員情況下，每輛A型客車比每輛B型客車多載客15人；用A型客車載客600人與用B型客車載客450人的車輛數(shù)相同．材料二A型客車租車費(fèi)用為3200元/輛；B型客車租車費(fèi)用為3000元/輛．優(yōu)惠方案：租用A型客車m輛，租車費(fèi)用（3200﹣50m）元/輛；租用B型客車，租車費(fèi)用打八折．材料三租車公司最多提供8輛A型客車；學(xué)校參加研學(xué)活動師生共有530人，租用A，B兩種型號客車共10輛．（1）A，B兩種型號的客車每輛載客量分別是多少？（2）本次研學(xué)活動學(xué)校的最少租車費(fèi)用是多少？【分析】（1）設(shè)A型客車每輛載客量為x人，則B型客車每輛載客量為（x﹣15）人，根據(jù)用A型客車載客600人與用B型客車載客450人的車輛數(shù)相同，可列出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗后，可得出x的值（即A型客車每輛載客量），再將其代入（x﹣15）中，即可求出B型客車每輛載客量；（2）設(shè)租用A型客車m輛，則租用B型客車（10﹣m）輛，根據(jù)租用的兩種客車的總載客量不少于530人，可列出關(guān)于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范圍，設(shè)本次研學(xué)活動學(xué)校的租車總費(fèi)用為w元，利用租車總費(fèi)用＝每輛A型客車的租金×租用A型客車的數(shù)量+每輛B型客車的租金×租用B型客車的數(shù)量，可找出w關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可解決最值問題．【解答】解：（1）設(shè)A型客車每輛載客量為x人，則B型客車每輛載客量為（x﹣15）人，根據(jù)題意得：，解得：x＝60，經(jīng)檢驗，x＝60是所列方程的解，且符合題意，∴x﹣15＝60﹣15＝45（人）．答：A型客車每輛載客量為60人，B型客車每輛載客量為45人；（2）設(shè)租用A型客車m輛，則租用B型客車（10﹣m）輛，根據(jù)題意得：60m+45（10﹣m）≥530，解得：m，設(shè)本次研學(xué)活動學(xué)校的租車總費(fèi)用為w元，則w＝（3200﹣50m）m+3000×0.8（10﹣m）＝﹣50m2+800m+24000，∵拋物線的對稱軸為直線m8，∴m≤8時，w隨著m的增大而增大，∵m取正整數(shù)，且，∴當(dāng)m＝6時，w取得最小值，最小值為﹣50×62+800×6+24000＝27000（元）．答：本次研學(xué)活動學(xué)校的最少租車費(fèi)用是27000元．【點評】本題考查了分式方程的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用以及二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，找出w關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式．24．（10分）矩形ABCD中，AB＝10，AD＝17，點E是線段BC上異于點B的一個動點，連接AE，把△ABE沿直線AE折疊，使點B落在點P處．【初步感知】（1）如圖1，當(dāng)E為BC的中點時，延長AP交CD于點F，求證：FP＝FC．【深入探究】（2）如圖2，點M在線段CD上，CM＝4．點E在移動過程中，求PM的最小值．【拓展運(yùn)用】（3）如圖2，點N在線段AD上，AN＝4．點E在移動過程中，點P在矩形內(nèi)部，當(dāng)△PDN是以DN為斜邊的直角三角形時，求BE的長．【分析】（1）連接EF，證明Rt△EPF≌Rt△ECF，即可求證；（2）根據(jù)題意得點P在以A為圓心，10為半徑的⊙A的弧上，連接AM，當(dāng)點P在線段AM上時，PM有最小值，根據(jù)勾股定理求出AM，即可求解；（3）過點P作PH⊥AD于H，交BC于點G，證明△PHN∽△DHP，可得HP2＝HN?HD，設(shè)HN＝x，HD＝13﹣x，根據(jù)勾股定理得到關(guān)于x的方程，可得到HP＝6，AH＝8，HG＝AB＝10，PG＝4，BG＝AH＝8，設(shè)BE＝m，則PE＝m，GE＝8﹣m，在Rt△PGE中，根據(jù)勾股定理求出m＝5，即可求解．【解答】（1）證明：如圖，連接EF，由折疊可得∠APE＝∠B＝90°，PE＝BE，∵四邊形ABCD為矩形，∴∠C＝90°，∵E為BC的中點，∴BE＝EC，∴PE＝EC，在Rt△EPF與Rt△ECF中，∵EP＝EC，EF＝EF，∴Rt△EPF≌Rt△ECF（HL），∴FP＝FC；（2）解：∵AP＝AB＝10，點E在移動過程中，AP＝10不變．∴點P在以A為圓心，10為半徑的⊙A的弧上，連接AM，如圖，當(dāng)點P在線段AM上時，PM有最小值，∵AD＝17，AB＝CD＝10，CM＝4，∴DM＝6，∴，∴PM的最小值為；（3）解：過點P作PH⊥AD于H，延長HP交BC于點G，連接PD、NP，如圖，∵∠NPD＝90°，∴∠1+∠2＝90°，∴∠1+∠3＝90°，∴∠3＝∠2，∵∠PHN＝∠DHP，∴△PHN∽△DHP，∴，∴