第1頁（共1頁）2025年四川省遂寧市中考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共10個小題，每小題4分，共40分．在每個小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．小明在一條東西向的跑道上進行往返跑訓(xùn)練，如果向東跑20米記為“+20米”，那么向西跑20米記為（）A．+20米 B．﹣20米 C．+40米 D．﹣40米2．漢字作為中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的根脈和重要載體，在發(fā)展過程中演變出多種字體，給人以美的享受．下面是“遂寧之美”四個字的篆書，能看作是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．3．統(tǒng)計數(shù)據(jù)顯示，截止2025年3月15日電影《哪吒2》全球票房（含預(yù)售及海外）超150億元，位列全球影史票房榜第五位．將數(shù)據(jù)150億用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．150×108 B．15×109 C．1.5×1010 D．1.5×10114．如圖，圓柱的底面直徑為AB，高為AC，一只螞蟻在點C處，沿圓柱的側(cè)面爬到點B處，現(xiàn)將圓柱側(cè)面沿AC剪開，在側(cè)面展開圖上畫出螞蟻爬行的最短路線，正確的是（）A．B．C．D．5．下列運算中，計算正確的是（）A．2x2﹣3x2＝x2 B．（﹣2x）3＝﹣6x3 C．x2?x3＝x5 D．（x+1）2＝x2+16．已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣3x+m+1＝0有實數(shù)根，則實數(shù)m的取值范圍是（）A．m＜54 B．m≥54 C．7．已知一個凸多邊形的內(nèi)角和是外角和的4倍，則該多邊形的邊數(shù)為（）A．10 B．11 C．12 D．138．若關(guān)于x的分式方程3?ax2?x=aA．2 B．3 C．0或2 D．﹣1或39．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，結(jié)合尺規(guī)作圖痕跡提供的信息，求出線段AQ的長為（）A．213 B．215 C．6 10．如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+c（a、b、c為常數(shù)，且a≠0）的對稱軸是直線x＝1，且拋物線與x軸的一個交點坐標是（4，0），與y軸交點坐標是（0，m）且2＜m＜3．有下列結(jié)論：①abc＜0；②9a﹣3b+c＞0；③94＜y最大值＜278；④關(guān)于x的一元二次方程ax2+（b﹣1）x+c﹣2＝0必有兩個不相等實根；⑤若點A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）在拋物線y＝ax2+bx+c上，且n＜x1＜n+1＜x2＜n+2＜x3＜n+3，當y1＜y3＜其中正確的有（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個二、填空題（本大題共5個小題，每小題4分，共20分）11．實數(shù)m在數(shù)軸上對應(yīng)點的位置如圖所示，則m+10．（填“＞”“＝”或“＜”）12．已知x＝2是方程3a﹣2x＝2的解，則a＝．13．某公司要招聘一名職員，根據(jù)實際需要，從學(xué)歷、經(jīng)驗、能力和態(tài)度四個方面對甲、乙、丙三名應(yīng)聘者進行了測試．測試成績?nèi)绫恚喉椖繎?yīng)聘者甲乙丙學(xué)歷988經(jīng)驗869能力788態(tài)度575公司將學(xué)歷、經(jīng)驗、能力和態(tài)度得分按2：1：3：2的比例確定每人的最終得分，并以此為依據(jù)確定錄用者，則將被擇優(yōu)錄用．（請選擇填寫甲、乙或丙）14．綜合與實踐﹣硬幣滾動中的數(shù)學(xué)將兩枚半徑為r的硬幣放在桌面上，固定白色硬幣，深色硬幣沿其邊緣滾動一周，深色硬幣的圓心移動的路徑如圖1；將三枚半徑均為r的硬幣連貫的放在桌面上，固定兩枚白色硬幣，深色硬幣沿其邊緣滾動一周，深色硬幣的圓心移動的路徑如圖2；現(xiàn)將四枚半徑均為r的硬幣按圖3、圖4擺放在桌面上，固定三枚白色硬幣，深色硬幣沿其邊緣滾動一周，則在圖3與圖4這兩種情形中深色硬幣的圓心移動路徑長的比值為．15．如圖，在邊長為1的正方形ABCD的對角線BD上取一點E，使∠BAE＝15°，連結(jié)CE并延長至點F，連結(jié)BF，使BF＝BC，CF與AB相交于點H．有下列結(jié)論：①AE＝CE；②BE+AE＝EF；③AHHB=23?1；④點M是BC邊上一動點，連結(jié)HM，將△BHM沿HM翻折，點B落在點P處，連結(jié)BP交HM于點Q，連結(jié)DQ，則其中正確的結(jié)論有．（填序號）三、解答題（本大題共10個小題，共90分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）16．（7分）計算：(?117．（7分）先化簡，再求值：(a+1+1a?1)÷a3?218．（8分）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，點E，F(xiàn)在對角線BD上，BE＝EF＝FD，且AF⊥AB，CE⊥CD．（1）求證：△ABF≌△CDE；（2）連結(jié)AE，CF，若∠ABD＝30°，請判斷四邊形AECF的形狀，并說明理由．19．（8分）在綜合實踐活動中，為了測得摩天輪的高度CF，在A處用高為1.6米的測角儀AD測得摩天輪頂端C的仰角α＝37°，再向摩天輪方向前進30米至B處，又測得摩天輪頂端C的仰角β＝50°．求摩天輪CF的高度．（結(jié)果精確到0.1米）（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）20．（8分）我們知道，如果一個四邊形的四個頂點在同一個圓上，那么這個四邊形叫這個圓的內(nèi)接四邊形．我們規(guī)定：若圓的內(nèi)接四邊形有一組鄰邊相等，則稱這個四邊形是這個圓的“鄰等內(nèi)接四邊形”．（1）請同學(xué)們判斷下列分別用含有30°和45°角的直角三角形紙板拼出如圖所示的4個四邊形．其中是鄰等內(nèi)接四邊形的有（填序號）．（2）如圖，四邊形ABCD是鄰等內(nèi)接四邊形，且∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，AB＝AD．求四邊形ABCD的面積．21．（10分）為了建設(shè)美好家園，提高垃圾分類意識，某社區(qū)決定購買A、B兩種型號的新型垃圾桶．現(xiàn)有如下材料：材料一：已知購買3個A型號的新型垃圾桶和購買2個B型號的新型垃圾桶共380元；購買5個A型號的新型垃圾桶和購買4個B型號的新型垃圾桶共700元．材料二：據(jù)統(tǒng)計該社區(qū)需購買A、B兩種型號的新型垃圾桶共200個，但總費用不超過15300元，且B型號的新型垃圾桶數(shù)量不少于A型號的新型垃圾桶數(shù)量的23請根據(jù)以上材料，完成下列任務(wù)：任務(wù)一：求A、B兩種型號的新型垃圾桶的單價？任務(wù)二：有哪幾種購買方案？任務(wù)三：哪種方案更省錢，最低購買費用是多少元？22．（10分）DeepSeek橫空出世，猶如一聲驚雷劈開壟斷，躋身世界最強大模型行列，開啟中國人工智能嶄新的春天．為激發(fā)青少年崇尚科學(xué)，探索未知的熱情，某校開展了“逐夢科技強國”為主題的活動．下面是該校某調(diào)查小組對活動中模具設(shè)計水平的調(diào)查報告，請完成報告中相應(yīng)問題．模型設(shè)計水平調(diào)查報告調(diào)查主題“逐夢科技強國”活動中模具設(shè)計水平調(diào)查目的通過數(shù)據(jù)分析，獲取信息，能在認識及應(yīng)用統(tǒng)計圖表和百分數(shù)的過程中，形成數(shù)據(jù)觀念，發(fā)展應(yīng)用意識．調(diào)查對象某校學(xué)生模具設(shè)計成績調(diào)查方式抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)收集與表示隨機抽取全校部分學(xué)生的模具設(shè)計成績（成績?yōu)榘俜种?，用x表示），并整理，將其分成如下四組：A：60≤x＜70，B：70≤x＜80，C：80≤x＜90，D：90≤x≤100．下面給出了部分信息：其中C組的成績?yōu)椋?0，81，82，82，83，84，84，84，85，85，86，86，86，87，87，88，88，89，89，89．數(shù)據(jù)分析與應(yīng)用根據(jù)以上信息解決下列問題：（1）本次共抽取了名學(xué)生的模具設(shè)計成績，成績的中位數(shù)是分，在扇形統(tǒng)計圖中，C組對應(yīng)圓心角的度數(shù)為．（2）請補全頻數(shù)分布直方圖；（3）請估計全校1200名學(xué)生的模具設(shè)計成績不低于80分的人數(shù)；（4）學(xué)校決定從模具設(shè)計優(yōu)秀的甲、乙、丙、丁四位同學(xué)中隨機選擇兩名同學(xué)作經(jīng)驗交流，請用畫樹狀圖或列表的方法求出所選的兩位同學(xué)恰為甲和丙的概率．23．（10分）如圖，一次函數(shù)y＝mx+n（m，n為常數(shù)，m≠0）的圖象與反比例函數(shù)y=kx（k≠0）的圖象交于A（﹣2，﹣2）、B（（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的關(guān)系式；（2）結(jié)合圖形，請直接寫出不等式kx?（3）點P（0，b）是y軸上的一點，若△ABP是以AB為直角邊的直角三角形，求b的值．24．（10分）如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上的一點，連結(jié)AC、BC，延長AB至點D，連結(jié)CD，使∠BCD＝∠A．（1）求證：CD是⊙O的切線．（2）點E是AC的中點，連結(jié)BE，交AC于點F，過點E作EH⊥AB交⊙O于點H，交AB于點G，連結(jié)BH，若BD＝2，CD＝4，求BF?BH的值．25．（12分）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y＝x2+bx+c（b、c為常數(shù)）的圖象與x軸交于A（﹣1，0）、B兩點，交y軸于點C，對稱軸為直線x＝1．（1）求二次函數(shù)關(guān)系式．（2）連結(jié)AC、BC，拋物線上是否存在點P，使∠CBP+∠ACO＝45°，若存在，求出點P的坐標，若不存在，說明理由．（3）在x軸上方的拋物線上找一點Q，作射線AQ，使∠BAQ＝2∠ACO，點M是線段AQ上的一動點，過點M作MN⊥x軸，垂足為點N，連結(jié)BM，求BM+MN的最小值．

2025年四川省遂寧市中考數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）題號12345678910答案B．DC．BCDADAB一、選擇題（本大題共10個小題，每小題4分，共40分．在每個小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．小明在一條東西向的跑道上進行往返跑訓(xùn)練，如果向東跑20米記為“+20米”，那么向西跑20米記為（）A．+20米 B．﹣20米 C．+40米 D．﹣40米【分析】在一對具有相反意義的量中，先規(guī)定其中一個為正，則另一個就用負表示．【解答】解：“正”和“負”相對，所以，如果向東跑20米記為“+20米”，那么向西跑20米記為﹣20米．故選：B．【點評】此題主要考查了正負數(shù)的意義，解題關(guān)鍵是理解“正”和“負”的相對性，明確什么是一對具有相反意義的量．2．漢字作為中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的根脈和重要載體，在發(fā)展過程中演變出多種字體，給人以美的享受．下面是“遂寧之美”四個字的篆書，能看作是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)軸對稱圖形的定義判斷即可．【解答】解：A，B，C選項文字均無法找到一條直線，使圖形沿直線折疊后，直線兩旁的部分能夠重合，不是軸對稱圖形；D選項的文字能找到一條直線，使圖形沿直線折疊后，直線兩旁的部分能夠重合，為軸對稱圖形；故選：D．【點評】本題考查了軸對稱圖形，如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形．3．統(tǒng)計數(shù)據(jù)顯示，截止2025年3月15日電影《哪吒2》全球票房（含預(yù)售及海外）超150億元，位列全球影史票房榜第五位．將數(shù)據(jù)150億用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．150×108 B．15×109 C．1.5×1010 D．1.5×1011【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當原數(shù)絕對值≥10時，n是正數(shù)；當原數(shù)的絕對值＜1時，n是負數(shù)．【解答】解：150億1.5×1010．故選：C．【點評】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．4．如圖，圓柱的底面直徑為AB，高為AC，一只螞蟻在點C處，沿圓柱的側(cè)面爬到點B處，現(xiàn)將圓柱側(cè)面沿AC剪開，在側(cè)面展開圖上畫出螞蟻爬行的最短路線，正確的是（）A． B． C． D．【分析】利用圓柱的側(cè)面展開圖是矩形，而點B是展開圖的一邊的中點，再利用螞蟻爬行的最近路線為線段可以得出結(jié)論．【解答】解：將圓柱側(cè)面沿AC“剪開”，側(cè)面展開圖為矩形，∵圓柱的底面直徑為AB，∴點B是展開圖的一邊的中點，∵螞蟻爬行的最近路線為線段，∴B選項符合題意，故選：B．【點評】本題主要考查了平面展開﹣最短路徑問題，圓柱的側(cè)面展開圖，掌握兩點之間線段最短是解題的關(guān)鍵．5．下列運算中，計算正確的是（）A．2x2﹣3x2＝x2 B．（﹣2x）3＝﹣6x3 C．x2?x3＝x5 D．（x+1）2＝x2+1【分析】利用完全平方公式，合并同類項，同底數(shù)冪乘法，積的乘方法則逐項判斷即可．【解答】解：2x2﹣3x2＝﹣x2，則A不符合題意，（﹣2x）3＝﹣8x3，則B不符合題意，x2?x3＝x5，則C符合題意，（x+1）2＝x2+2x+1，則D不符合題意，故選：C．【點評】本題考查完全平方公式，合并同類項，同底數(shù)冪乘法，積的乘方，熟練掌握相關(guān)運算法則是解題的關(guān)鍵．6．已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣3x+m+1＝0有實數(shù)根，則實數(shù)m的取值范圍是（）A．m＜54 B．m≥54 C．【分析】根據(jù)方程的系數(shù)，結(jié)合根的判別式Δ＝b2﹣4ac≥0，可得出5﹣4m≥0，解之即可得出實數(shù)m的取值范圍．【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程x2﹣3x+m+1＝0有實數(shù)根，∴Δ＝（﹣3）2﹣4×1×（m+1）＝5﹣4m≥0，解得：m≤5∴實數(shù)m的取值范圍是m≤5故選：D．【點評】本題考查了根的判別式，牢記“當Δ≥0時，方程有實數(shù)根”是解題的關(guān)鍵．7．已知一個凸多邊形的內(nèi)角和是外角和的4倍，則該多邊形的邊數(shù)為（）A．10 B．11 C．12 D．13【分析】任何多邊形的外角和是360°，即這個多邊形的內(nèi)角和是4×360°，n邊形的內(nèi)角和是（n﹣2）?180°，如果已知多邊形的邊數(shù)，就可以得到一個關(guān)于邊數(shù)的方程，解方程就可以求出多邊形的邊數(shù)．【解答】解：設(shè)多邊形的邊數(shù)為n，根據(jù)題意，得（n﹣2）?180＝4×360，解得n＝10，則該多邊形的邊數(shù)為10．故選：A．【點評】本題考查了多邊形的內(nèi)角與外角，解題的關(guān)鍵是利用多邊形的內(nèi)角和公式并熟悉多邊形的外角和為360°．8．若關(guān)于x的分式方程3?ax2?x=aA．2 B．3 C．0或2 D．﹣1或3【分析】去分母、去括號、一箱、合并同類項、系數(shù)化為1，求出x，根據(jù)方程無解，可得x﹣2＝0或a+1＝0，據(jù)此求出a．【解答】解：3?ax2?x3?ax2?x3?ax2?x3﹣ax＝﹣a+x﹣2，ax+x＝a+5，x（a+1）＝a+5，x=a+5因為關(guān)于x的分式方程無解，所以有a+5a+1=2或解得：a＝3或a＝﹣1．故選：D．【點評】本題考查了分式方程的解，解決本題的關(guān)鍵是按照解分式方程的步驟解方程即可．9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，結(jié)合尺規(guī)作圖痕跡提供的信息，求出線段AQ的長為（）A．213 B．215 C．6 【分析】先根據(jù)勾股定理求出AC，設(shè)BG，AC交于點M，作MN⊥AB于點N，如圖，利用角平分線的性質(zhì)可得CM＝MN，利用等積法求出CM，進而可得BM，證明△ABQ∽△MBC，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解即可．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，∴AC=1由題意可得：BG平分∠ABC，即∠CBG＝∠ABG，設(shè)BG，AC交于點M，作MN⊥AB于點N，如圖，則CM＝MN，設(shè)CM＝MN＝x，∵S△ABC＝S△MBC+S△ABM，∴12即5×12＝5x+13x，解得：x=103，即則BM=5由作圖痕跡可知：AQ⊥BH，∴∠AQB＝∠C＝90°，∵∠CBG＝∠ABG，∴△ABQ∽△MBC，∴AQCM=AB解得：AQ=213故選：A．【點評】本題考查了角平分線和垂線的尺規(guī)作圖、角平分線的性質(zhì)、勾股定理以及相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，熟練掌握相關(guān)圖形的性質(zhì)與判定是關(guān)鍵．10．如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+c（a、b、c為常數(shù)，且a≠0）的對稱軸是直線x＝1，且拋物線與x軸的一個交點坐標是（4，0），與y軸交點坐標是（0，m）且2＜m＜3．有下列結(jié)論：①abc＜0；②9a﹣3b+c＞0；③94＜y最大值＜278；④關(guān)于x的一元二次方程ax2+（b﹣1）x+c﹣2＝0必有兩個不相等實根；⑤若點A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）在拋物線y＝ax2+bx+c上，且n＜x1＜n+1＜x2＜n+2＜x3＜n+3，當y1＜y3＜其中正確的有（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【分析】根據(jù)函數(shù)圖象結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，先判斷a，b，c的符號即可判斷①；進而根據(jù)對稱性得出另一個交點坐標為（﹣2，0），則當x＝﹣3時，y＝9a﹣3b+c＜0，即可判斷②；根據(jù)b＝﹣2a，2＜c＜3，結(jié)合拋物線的頂點坐標，即可判斷③；求得a的范圍進而根據(jù)一元二次方程根的判別式判斷一元二次方程的解情況即可判斷④；根據(jù)y1＜y3＜y2，結(jié)合函數(shù)圖象分析，即可得出?12＜n＜0【解答】解：根據(jù)函數(shù)圖象可得拋物線開口向下，則a＜0，對稱軸為直線x＝1，則?b∴b＝﹣2a＞0，又∵拋物線與y軸交點坐標是（0，m），即c＝m，∵2＜m＜3，即c＞0，∴abc＜0，故①正確；∵拋物線與x軸的一個交點坐標是（4，0），對稱軸為直線x＝1，∴另一個交點坐標為（﹣2，0），∴當x＝﹣3時，y＝9a﹣3b+c＜0，故②錯誤；∵（﹣2，0），（4，0）在拋物線y＝ax2+bx+c的圖象上，∴4a﹣2b+c＝0，又∵b＝﹣2a，∴4a+4a+c＝0，∴8a+c＝0即c＝﹣8a，∵2＜m＜3，即2＜c＜3，∴2＜﹣8a＜3，∴2×98＜?8a×當x＝1時，y取得最大值，最大值為a+b+c＝a﹣2a﹣8a＝﹣9a，∴y最大值＝﹣9a，∴94＜y∵ax2+（b﹣1）x+c﹣2＝0，b＝﹣2a，c＝﹣8a，即ax2+（﹣2a﹣1）x﹣8a﹣2＝0，∵Δ＝（﹣2a﹣1）2+4（8a+2）＝4a2+36a+9，對稱軸為直線a=?362×4=?92又∵2＜﹣8a＜3，∴?3∴當a=?38時，∴當?38＜a＜?14時，Δ＞0恒成立，即ax2+（b﹣1）x若點A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）在拋物線y＝ax2+bx+c上，且n＜x1＜n+1＜x2＜n+2＜x3＜n+3，∴2n+1＜x1+x2＜2n+3，2n+3＜x2+x3＜2n+5，2n+2＜x1+x3＜2n+4，∵y1＜y3＜y2，∴x1+x即2n+32＞1，解得：n＞?1∴?12＜n＜0故正確的有①③④，共3個．故選：B．【點評】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，一元二次方程根的判別式，熟練掌握以上知識點是解題的關(guān)鍵．二、填空題（本大題共5個小題，每小題4分，共20分）11．實數(shù)m在數(shù)軸上對應(yīng)點的位置如圖所示，則m+1＜0．（填“＞”“＝”或“＜”）【分析】觀察數(shù)軸可知，m＜0且|m|＞1，即可得出m+1的范圍．【解答】解：觀察數(shù)軸可知，m＜0且|m|＞1，∴m＜﹣1，∴m+1＜0．故答案為：＜．【點評】本題考查了實數(shù)的大小比較，實數(shù)與數(shù)軸，掌握實數(shù)的大小比較是解題的關(guān)鍵．12．已知x＝2是方程3a﹣2x＝2的解，則a＝2．【分析】把x＝2代入方程3a﹣2x＝2，可得3a﹣4＝2，解一元一次方程即可得出答案．【解答】解：把x＝2代入方程3a﹣2x＝2，得3a﹣2×2＝2，即3a﹣4＝2，移項、合并同類項，得3a＝6，將系數(shù)化為1，得a＝2．故答案為：2．【點評】本題考查了解一元一次方程，一元一次方程的解，掌握解一元一次方程的方法，一元一次方程解的定義是解題的關(guān)鍵．13．某公司要招聘一名職員，根據(jù)實際需要，從學(xué)歷、經(jīng)驗、能力和態(tài)度四個方面對甲、乙、丙三名應(yīng)聘者進行了測試．測試成績?nèi)绫恚喉椖繎?yīng)聘者甲乙丙學(xué)歷988經(jīng)驗869能力788態(tài)度575公司將學(xué)歷、經(jīng)驗、能力和態(tài)度得分按2：1：3：2的比例確定每人的最終得分，并以此為依據(jù)確定錄用者，則乙將被擇優(yōu)錄用．（請選擇填寫甲、乙或丙）【分析】根據(jù)加權(quán)平均數(shù)的定義列式計算得出三人的平均成績，再比較大小即可得出答案．【解答】解：甲最終得分為9×2+8×1+7×3+5×22+1+3+2乙最終得分為8×2+6×1+8×3+7×22+1+3+2丙最終得分為8×2+9×1+8×3+5×22+1+3+2∵7.5＞7.375＞7.125，∴乙將被擇優(yōu)錄用．故答案為：乙．【點評】本題主要考查加權(quán)平均數(shù)，解題的關(guān)鍵是掌握加權(quán)平均數(shù)的定義．14．綜合與實踐﹣硬幣滾動中的數(shù)學(xué)將兩枚半徑為r的硬幣放在桌面上，固定白色硬幣，深色硬幣沿其邊緣滾動一周，深色硬幣的圓心移動的路徑如圖1；將三枚半徑均為r的硬幣連貫的放在桌面上，固定兩枚白色硬幣，深色硬幣沿其邊緣滾動一周，深色硬幣的圓心移動的路徑如圖2；現(xiàn)將四枚半徑均為r的硬幣按圖3、圖4擺放在桌面上，固定三枚白色硬幣，深色硬幣沿其邊緣滾動一周，則在圖3與圖4這兩種情形中深色硬幣的圓心移動路徑長的比值為109【分析】先理解題意，把深色硬幣的圓心移動路徑都畫出來，根據(jù)三邊都等于2r，證明△AEF是等邊三角形，同理得出其他三角形都是等邊三角形，再求出每條弧長，再加起來得出圖3與圖4這兩種情形中深色硬幣的圓心移動路徑長，再進行求解，即可作答．【解答】解：依題意，AE＝EF＝AF＝2r，則△AEF是等邊三角形；則∠AEF＝∠AFE＝60°，同理得△CEF、△BFG、△DFG是等邊三角形，則∠BFG＝∠BGF＝∠FGD＝∠GFD＝∠CEF＝∠EFC＝60°，∴∠AFB＝180°﹣60°﹣60°＝∠CFD，∴AC=(360°?60°?60°)×π×2r180°∴AB=(180°?60°?60°)×π×2r180°∴2πr3依題意，AE＝EF＝AF＝2r，∴△AEF是等邊三角形；則∠AEF＝∠AFE＝∠FAE＝60°，同理得△CAB、△AEB、△DEB是等邊三角形，則FD=CD=CF=則2πr×3＝6πr，則20πr3故答案為：109【點評】本題考查了弧長公式，等邊三角形的判定與性質(zhì)，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．15．如圖，在邊長為1的正方形ABCD的對角線BD上取一點E，使∠BAE＝15°，連結(jié)CE并延長至點F，連結(jié)BF，使BF＝BC，CF與AB相交于點H．有下列結(jié)論：①AE＝CE；②BE+AE＝EF；③AHHB=23?1；④點M是BC邊上一動點，連結(jié)HM，將△BHM沿HM翻折，點B落在點P處，連結(jié)BP交HM于點Q，連結(jié)DQ，則其中正確的結(jié)論有①②④．（填序號）【分析】證明△ADE≌△CDE（SAS）即可判斷①，在FC上取一點G，使得BG＝BE，證明△FBG≌△CBE（SAS），進而判斷②；過點A，B分別作FC的垂線，垂足分別為K，N，則△AHK∽△BHN，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可判斷③，取HB的中點T，連接TD，根據(jù)題意得出O在以HB為直徑的圓上運動，進而得出當O在TD上時，DQ取得最小值，最小值為DT的長，勾股定理求得TD的長，即可求解．【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，點E是正方形ABCD的對角線BD上的點，∴∠ADE＝∠CDE，AD＝CD，DE＝DE，∴△ADE≌△CDE（SAS），∴AE＝EC，故①正確；如圖，在FC上取一點G，使得BG＝BE，∵四邊形ABCD是正方形，BD是對角線，∴∠ADE＝45°，∠BAD＝90°，AD＝CD，∵∠BAE＝15°，∴∠DAE＝90°﹣15°＝75°，∴∠AED＝180°﹣45°﹣75°＝60°，∵△ADE≌△CDE，∴∠AED＝∠CED＝60°，∠DAE＝∠DCE＝75°，∴∠HEB＝∠CED＝60°，∠BCE＝∠BAE＝15°，∴△GEB是等邊三角形，∴∠EBG＝60°，EG＝BE，又∵BF＝BC，∴∠F＝∠BCF＝15°，∴∠FBC＝180°﹣15°﹣15°＝150°，∴∠DBC＝45°，∴∠FBG＝∠FBC﹣∠GBE﹣∠CBE＝150°﹣60°﹣45°＝45°＝∠CBE，∴△FBG≌△CBE（SAS），∴FG＝CE，∴EF＝EG+FG＝EC+BE＝AE+BE，即BE+AE＝EF，故②正確；如圖，連接AC交BD于點O，則∠DAO＝45°，過點A，B分別作FC的垂線，垂足分別為K，N，∵AB＝1，∴AO=BO=22AB=∵∠DAE＝75°，∠DAO＝45°，∴∠EAO＝30°，∵在正方形ABCD中，AC⊥BD，∴EO=AOtan∠EAO=3∴BE=OB?OE=2∵∠BCE＝15°，∠ACB＝45°，∴∠ACK＝30°，∴AK=1在Rt△BEN中，BN=sin∠NEB×BE=sin60°×BE=3∵AK⊥FC，BN⊥FC，∴KA∥BN，∴△AHK∽△BHN，∴AHHB=AK如圖，∵AB＝AH+HB＝1，AH=(3∴(3即HB=1∵點M是BC邊上一動點，連結(jié)HM，將△BHM沿HM翻折，點B落在點P處，∴PQ⊥HM，∴∠HQB＝90°，∴Q在以HB為直徑的圓上運動，取HB的中點T，連接TD，∴當Q在TD上時，DQ取得最小值，最小值為DT的長，∴BT=1∴AT=AB?BT=3∴TD=A∴DT?12HB=故答案為：①②④．【點評】本題考查了折疊的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，解直角三角形，全等三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，求一點到圓上的距離的最值問題，勾股定理，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．三、解答題（本大題共10個小題，共90分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）16．（7分）計算：(?1【分析】利用負整數(shù)指數(shù)冪，算術(shù)平方根的定義，絕對值的性質(zhì)，特殊銳角三角函數(shù)值計算后再算加減即可．【解答】解：原式＝4﹣3+2?3+＝4﹣3+2?＝3．【點評】本題考查實數(shù)的運算，熟練掌握相關(guān)運算法則是解題的關(guān)鍵．17．（7分）先化簡，再求值：(a+1+1a?1)÷a3?2【分析】先算括號里面的，再算除法并約分，然后將已知數(shù)值代入計算即可．【解答】解：原式＝（a2?1=a2a?1=a?2∵a2﹣4＝0，a﹣2≠0，∴a＝﹣2，原式=?2?2【點評】本題考查分式的化簡求值，熟練掌握相關(guān)運算法則是解題的關(guān)鍵．18．（8分）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，點E，F(xiàn)在對角線BD上，BE＝EF＝FD，且AF⊥AB，CE⊥CD．（1）求證：△ABF≌△CDE；（2）連結(jié)AE，CF，若∠ABD＝30°，請判斷四邊形AECF的形狀，并說明理由．【分析】（1）根據(jù)AB∥CD得∠ABF＝∠CDE，根據(jù)AF⊥AB，CE⊥CD得∠BAF＝∠DCE＝90°，再根據(jù)BE＝EF＝FD得BF＝DE，由此可依據(jù)“AAS”判定△ABF和△CDE全等；（2）根據(jù)平行線性質(zhì)得∠CDB＝∠ABD＝30°，進而根據(jù)直角三角形斜邊中線性質(zhì)及含有30°角的直角三角形性質(zhì)得AE＝AF=12BF，CE＝CF=12DE，再根據(jù)BF＝DE得AE＝AF＝CE＝【解答】（1）證明：∵AB∥CD，∴∠ABF＝∠CDE，∵AF⊥AB，CE⊥CD∴∠BAF＝∠DCE＝90°，∵BE＝EF＝FD，∴BE+EF＝FD+EF，即BF＝DE，在△ABF和△CDE中，∠ABF=∠CDE∠BAF=∠DCE=90°∴△ABF≌△CDE（AAS）；（2）解：四邊形AECF是菱形，理由如下：如圖所示：∵∠ABD＝30°，AB∥CD，∴∠CDB＝∠ABD＝30°，∵BE＝EF，∠BAF＝90°，∴AE是Rt△ABF斜邊BF上的中線，∴AE=12在Rt△ABF中，∠ABD＝30°，∴AF=12∴AE＝AF=12同理：CE＝CF=12∵BF＝DE，∴AE＝AF＝CE＝CF，又∵∠EAF≠90°，∴四邊形AECF是菱形．【點評】此題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，菱形的判定，含有含有30°角的直角三角形性質(zhì)，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．19．（8分）在綜合實踐活動中，為了測得摩天輪的高度CF，在A處用高為1.6米的測角儀AD測得摩天輪頂端C的仰角α＝37°，再向摩天輪方向前進30米至B處，又測得摩天輪頂端C的仰角β＝50°．求摩天輪CF的高度．（結(jié)果精確到0.1米）（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）【分析】連接DE，延長線交CF于點G，設(shè)CG＝xm，在Rt△CEG中，利用tanβ=CGEG求出EG，然后在Rt△CDG中，利用tanα=CG【解答】解：連接DE，延長線交CF于點G，∴DG⊥CF，∵DA⊥AF，BE⊥AF，CF⊥AF，∴四邊形DEBA和四邊形EGFB是矩形，∴DE＝AB＝30m，BE＝GF＝1.6m，設(shè)CG＝xm，在Rt△CEG中，tan∠CEG＝tanβ=CG∴EG=CG∴DG＝DE+EG＝30+x在Rt△CDG中，tan∠CDG＝tanα=CG∴x30+解得x≈60.85，經(jīng)檢驗x是方程的解，∴CF＝CG+GF＝60.85+1.6＝62.45≈62.5（m），答：摩天輪CF的高度約為62.5米．【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．20．（8分）我們知道，如果一個四邊形的四個頂點在同一個圓上，那么這個四邊形叫這個圓的內(nèi)接四邊形．我們規(guī)定：若圓的內(nèi)接四邊形有一組鄰邊相等，則稱這個四邊形是這個圓的“鄰等內(nèi)接四邊形”．（1）請同學(xué)們判斷下列分別用含有30°和45°角的直角三角形紙板拼出如圖所示的4個四邊形．其中是鄰等內(nèi)接四邊形的有③（填序號）．（2）如圖，四邊形ABCD是鄰等內(nèi)接四邊形，且∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，AB＝AD．求四邊形ABCD的面積．【分析】（1）根據(jù)鄰等對補四邊形的定義進行逐個分析，即可作答；（2）先根據(jù)勾股定理算出BC=AB2+AC2=5，設(shè)OH＝x，AH=52?x，結(jié)合勾股定理整理得BO2﹣OH2＝AB2﹣AH2，代入數(shù)值得x＝0.7，再證明OH是△BDC的中位線，則DC＝2【解答】解：（1）依題意，圖①、圖②和圖④沒有對角互補，不是鄰等對補四邊形，圖③對角互補且有一組鄰邊相等，是鄰等對補四邊形，故答案為：③；（2）∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，∴BC=A∵四邊形ABCD是鄰等內(nèi)接四邊形，∠BAC＝90°，∴A，B，C，D四點共圓，且BC為直徑，把BC的中點記為點O，即A，B，C，D四點在⊙O上，連接BD，AO，相交于點H，∵BC＝5，∴BO=OA=5設(shè)OH＝x，AH=5∵AB＝AD，∴AO⊥BD，BH＝DH，則在Rt△ABH中，BH2＝AB2﹣AH2，在Rt△BOH中，BH2＝BO2﹣OH2，∴BO2﹣OH2＝AB2﹣AH2，即(5解得x＝0.7，∴AH＝2.5﹣0.7＝1.8，則BH=3即BD＝2.4×2＝4.8，∵BC是直徑，∴∠BDC＝90°，∵BH＝DH，BO＝OC，∴OH是△BDC的中位線，∴DC＝2HO＝1.4，則S△BDCS△BDA∴四邊形ABCD的面積＝S△BDC+S△BDA＝3.36+4.32＝7.68．【點評】本題考查了新定義，勾股定理，垂徑定理，圓內(nèi)接四邊形，中位線的判定與性質(zhì)，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．21．（10分）為了建設(shè)美好家園，提高垃圾分類意識，某社區(qū)決定購買A、B兩種型號的新型垃圾桶．現(xiàn)有如下材料：材料一：已知購買3個A型號的新型垃圾桶和購買2個B型號的新型垃圾桶共380元；購買5個A型號的新型垃圾桶和購買4個B型號的新型垃圾桶共700元．材料二：據(jù)統(tǒng)計該社區(qū)需購買A、B兩種型號的新型垃圾桶共200個，但總費用不超過15300元，且B型號的新型垃圾桶數(shù)量不少于A型號的新型垃圾桶數(shù)量的23請根據(jù)以上材料，完成下列任務(wù)：任務(wù)一：求A、B兩種型號的新型垃圾桶的單價？任務(wù)二：有哪幾種購買方案？任務(wù)三：哪種方案更省錢，最低購買費用是多少元？【分析】（任務(wù)一）設(shè)A型號的新型垃圾桶的單價是x元，B型號的新型垃圾桶的單價是y元，根據(jù)“購買3個A型號的新型垃圾桶和購買2個B型號的新型垃圾桶共380元；購買5個A型號的新型垃圾桶和購買4個B型號的新型垃圾桶共700元”，可列出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（任務(wù)二）設(shè)購買m個A型號的新型垃圾桶，則購買（200﹣m）個B型號的新型垃圾桶，根據(jù)“總費用不超過15300元，且B型號的新型垃圾桶數(shù)量不少于A型號的新型垃圾桶數(shù)量的23”，可列出關(guān)于m的一元一次不等式組，解之可得出m的取值范圍，再結(jié)合m（任務(wù)三）利用總價＝單價×數(shù)量，可求出選擇各方案所需費用，比較后，即可得出結(jié)論．【解答】解：（任務(wù)一）設(shè)A型號的新型垃圾桶的單價是x元，B型號的新型垃圾桶的單價是y元，根據(jù)題意得：3x+2y=3805x+4y=700解得：x=60y=100答：A型號的新型垃圾桶的單價是60元，B型號的新型垃圾桶的單價是100元；（任務(wù)二）設(shè)購買m個A型號的新型垃圾桶，則購買（200﹣m）個B型號的新型垃圾桶，根據(jù)題意得：60m+100(200?m)≤15300200?m≥解得：2352≤又∵m為正整數(shù)，∴m可以為118，119，120，∴共3種購買方案，方案1：購買118個A型號的新型垃圾桶，82個B型號的新型垃圾桶；方案2：購買119個A型號的新型垃圾桶，81個B型號的新型垃圾桶；方案3：購買120個A型號的新型垃圾桶，80個B型號的新型垃圾桶；（任務(wù)三）選擇方案1所需費用為60×118+100×82＝15280（元）；選擇方案2所需費用為60×119+100×81＝15240（元）；選擇方案3所需費用為60×120+100×80＝15200（元），∵15280＞15240＞15200，∴方案3更省錢，最低購買費用是15200元．【點評】本題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及一元一次不等式組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（任務(wù)一）找準等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（任務(wù)二）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式組；（任務(wù)三）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，求出選擇各方案所需費用．22．（10分）DeepSeek橫空出世，猶如一聲驚雷劈開壟斷，躋身世界最強大模型行列，開啟中國人工智能嶄新的春天．為激發(fā)青少年崇尚科學(xué)，探索未知的熱情，某校開展了“逐夢科技強國”為主題的活動．下面是該校某調(diào)查小組對活動中模具設(shè)計水平的調(diào)查報告，請完成報告中相應(yīng)問題．模型設(shè)計水平調(diào)查報告調(diào)查主題“逐夢科技強國”活動中模具設(shè)計水平調(diào)查目的通過數(shù)據(jù)分析，獲取信息，能在認識及應(yīng)用統(tǒng)計圖表和百分數(shù)的過程中，形成數(shù)據(jù)觀念，發(fā)展應(yīng)用意識．調(diào)查對象某校學(xué)生模具設(shè)計成績調(diào)查方式抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)收集與表示隨機抽取全校部分學(xué)生的模具設(shè)計成績（成績?yōu)榘俜种疲脁表示），并整理，將其分成如下四組：A：60≤x＜70，B：70≤x＜80，C：80≤x＜90，D：90≤x≤100．下面給出了部分信息：其中C組的成績?yōu)椋?0，81，82，82，83，84，84，84，85，85，86，86，86，87，87，88，88，89，89，89．數(shù)據(jù)分析與應(yīng)用根據(jù)以上信息解決下列問題：（1）本次共抽取了50名學(xué)生的模具設(shè)計成績，成績的中位數(shù)是83.5分，在扇形統(tǒng)計圖中，C組對應(yīng)圓心角的度數(shù)為144°．（2）請補全頻數(shù)分布直方圖；（3）請估計全校1200名學(xué)生的模具設(shè)計成績不低于80分的人數(shù)；（4）學(xué)校決定從模具設(shè)計優(yōu)秀的甲、乙、丙、丁四位同學(xué)中隨機選擇兩名同學(xué)作經(jīng)驗交流，請用畫樹狀圖或列表的方法求出所選的兩位同學(xué)恰為甲和丙的概率．【分析】（1）用條形統(tǒng)計圖中D的人數(shù)除以扇形統(tǒng)計圖中D的百分比可得本次共抽取的學(xué)生人數(shù)；根據(jù)中位數(shù)的定義可得答案；用360°乘以C的人數(shù)所占的百分比，即可得出答案．（2）求出B組的人數(shù)，補全頻數(shù)分布直方圖即可．（3）根據(jù)用樣本估計總體，用1200乘以C，D組人數(shù)所占的百分比之和，即可得出答案．（4）列表可得出所有等可能的結(jié)果數(shù)以及所選的兩位同學(xué)恰為甲和丙的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：（1）本次共抽取了10÷20%＝50（名）學(xué)生的模具設(shè)計成績．將50名學(xué)生的模具設(shè)計成績按照從小到大的順序排列，排在第25和26名的成績分別為83，84，∴成績的中位數(shù)是（83+84）÷2＝83.5（分）．在扇形統(tǒng)計圖中，C組對應(yīng)圓心角的度數(shù)為360°×20故答案為：50；83.5；144°．（2）B組的人數(shù)為50×30%＝15（人）．補全頻數(shù)分布直方圖如圖所示．（3）1200×20+10∴估計全校1200名學(xué)生的模具設(shè)計成績不低于80分的人數(shù)約720人．（4）列表如下：甲乙丙丁甲（甲，乙）（甲，丙）（甲，?。┮遥ㄒ遥祝ㄒ?，丙）（乙，丁）丙（丙，甲）（丙，乙）（丙，丁）?。ǘ?，甲）（丁，乙）（丁，丙）共有12種等可能的結(jié)果，其中所選的兩位同學(xué)恰為甲和丙的結(jié)果有：（甲，丙），（丙，甲），共2種，∴所選的兩位同學(xué)恰為甲和丙的概率為212【點評】本題考查列表法與樹狀圖法、全面調(diào)查與抽樣調(diào)查、用樣本估計總體、頻數(shù)（率）分布直方圖、中位數(shù)、概率公式，能夠讀懂統(tǒng)計圖，掌握列表法與樹狀圖法、用樣本估計總體、中位數(shù)的定義、概率公式是解答本題的關(guān)鍵．23．（10分）如圖，一次函數(shù)y＝mx+n（m，n為常數(shù)，m≠0）的圖象與反比例函數(shù)y=kx（k≠0）的圖象交于A（﹣2，﹣2）、B（（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的關(guān)系式；（2）結(jié)合圖形，請直接寫出不等式kx?（3）點P（0，b）是y軸上的一點，若△ABP是以AB為直角邊的直角三角形，求b的值．【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法即可得到答案；（2）根據(jù)圖象和A，B兩點坐標可得出不等式kx?x＜0的（3）根據(jù)直線AB的解析式和題意設(shè)出另一條直角邊的解析式，然后分兩種情況分別討論即可求得P的坐標．【解答】解：（1）∵A（﹣2，﹣2）在反比例函數(shù)y=kx（∴k＝（﹣2）×（﹣2）＝4，∴反比例函數(shù)的解析式為y=4又∵B（a，1）在反比例函數(shù)y=4∴a＝3，∴B（4，1），把A（﹣2，﹣2），B（4，1）代入y＝mx+n（m≠0）得：?2m+n=?24m+n=1解得m=1∴一次函數(shù)解析式為y=12（2）解方程組y=xy=4x得x=2∴不等式kx?x＜0的解集為﹣2＜x＜0或（3）∵P（0，b）是y軸上的一點，且滿足△ABP是以AB為直角邊的直角三角形，AB的解析式為y=12∴設(shè)另一條直角邊的解析式為y=?12x+當直角頂點是A時，則有﹣2=?12×解得b＝﹣3，當直角頂點是B時，則有1=?12×解得b＝3，∴點P的坐標是（0，﹣3）或（0，3）．【點評】本題是反比例函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，求不等式的解集，直角三角形的性質(zhì)，正確地求出函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵．24．（10分）如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上的一點，連結(jié)AC、BC，延長AB至點D，連結(jié)CD，使∠BCD＝∠A．（1）求證：CD是⊙O的切線．（2）點E是AC的中點，連結(jié)BE，交AC于點F，過點E作EH⊥AB交⊙O于點H，交AB于點G，連結(jié)BH，若BD＝2，CD＝4，求BF?BH的值．【分析】（1）連接OC，由圓周角定理得∠1+∠2＝90°，又由等腰三角形的性質(zhì)及已知可得∠BCD＝∠1，即得∠BCD+∠2＝90°，進而即可求證；（2）連接EC，由△BCD∽△CAD得4AD=BCAC=24，即得AD＝8，BCAC=12，即得到AB＝AD﹣BD＝6，設(shè)BC＝a，則AC＝2a，由勾股定理得（2a）2+a2＝62，解得BC=655，再證明△CEB∽△FAB，得BEAB=BCBF，即得BE?BF＝AB?【解答】（1）證明：連接OC，∵AB是直徑，∴∠ACB＝90°，即∠1+∠2＝90°，∵OA＝OB，∴∠A＝∠1，∵∠BCD＝∠A，∴∠BCD＝∠1，∴∠BCD+∠2＝90°，即∠OCD＝90°，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切線；（2）解：連接EC，∵∠BCD＝A，∠D＝∠D，∴△BCD∽△CAD，∴CDAD∵BD＝2，CD＝4，∴4AD∴AD＝8，BCAC∴AB＝AD﹣BD＝8﹣2＝6，設(shè)BC＝a，則AC＝2a，∵AC2+BC2＝AB2，∴（2a）2+a2＝62，∴a=6∴BC=6∵點E是AC的中點，∴AE=∴∠3＝∠4，∵∠CEB＝∠A，∴△CEB∽△FAB，∴BEAB即BE?BF＝AB?BC，∵EH⊥AB，∴AB垂直平分EH，∴BE＝BH