1．1．1算法的概念一、教學(xué)目標(biāo)：1、知識與技能：（1）了解算法的含義，體會算法的思想。（2）能夠用自然語言敘述算法。（3）掌握正確的算法應(yīng)滿足的要求。（4）會寫出解線性方程（組）的算法。2、過程與方法：通過求解二元一次方程組，體會解方程的一般性步驟，從而得到一個解二元一次方程組的步驟，這些步驟就是算法，不同的問題有不同的算法。由于思考問題的角度不同，同一個問題也可能有多個算法，能模仿求解二元一次方程組的步驟，寫出一個求有限整數(shù)序列中的最大值的算法。二、重點與難點：重點：算法的含義、解二元一次方程組和判斷一個數(shù)為質(zhì)數(shù)的算法設(shè)計。難點：把自然語言轉(zhuǎn)化為算法語言。三、學(xué)法與教學(xué)用具：學(xué)法：1、寫出的算法，必須能解決一類問題(如：判斷一個整數(shù)n(n>1)是否為質(zhì)數(shù)；求任意一個方程的近似解；……)，并且能夠重復(fù)使用。2、要使算法盡量簡單、步驟盡量少。3、要保證算法正確，且計算機能夠執(zhí)行，如：讓計算機計算1×2×3×4×5是可以做到的，但讓計算機去執(zhí)行“倒一杯水”“替我理發(fā)”等則是做不到的。四、教學(xué)設(shè)想：創(chuàng)設(shè)情境：算法作為一個名詞，在中學(xué)教科書中并沒有出現(xiàn)過，我們在基礎(chǔ)教育階段還沒有接觸算法概念。但是我們卻從小學(xué)就開始接觸算法，熟悉許多問題的算法。如，做四則運算要先乘除后加減，從里往外脫括弧，豎式筆算等都是算法，至于乘法口訣、珠算口訣更是算法的具體體現(xiàn)。我們知道解一元二次方程的算法，求解一元一次不等式、一元二次不等式的算法，解線性方程組的算法，求兩個數(shù)的最大公因數(shù)的算法等。因此，算法其實是重要的數(shù)學(xué)對象。探索研究算法(algorithm)一詞源于算術(shù)(algorism)，即算術(shù)方法，是指一個由已知推求未知的運算過程。后來，人們把它推廣到一般，把進(jìn)行某一工作的方法和步驟稱為算法。廣義地說，算法就是做某一件事的步驟或程序。菜譜是做菜肴的算法，洗衣機的使用說明書是操作洗衣機的算法，歌譜是一首歌曲的算法。在數(shù)學(xué)中，主要研究計算機能實現(xiàn)的算法，即按照某種機械程序步驟一定可以得到結(jié)果的解決問題的程序。比如解方程的算法、函數(shù)求值的算法、作圖的算法，等等。例題分析：例1閱讀課本例1，任意給定一個大于1的整數(shù)n，試設(shè)計一個程序或步驟對n是否為質(zhì)數(shù)做出判定。算法分析：根據(jù)質(zhì)數(shù)的定義，很容易設(shè)計出下面的步驟：第一步：判斷n是否等于2，若n=2，則n是質(zhì)數(shù)；若n>2，則執(zhí)行第二步。第二步：依次從2至（n-1）檢驗是不是n的因數(shù)，即整除n的數(shù)，若有這樣的數(shù)，則n不是質(zhì)數(shù)；若沒有這樣的數(shù)，則n是質(zhì)數(shù)。這是判斷一個大于1的整數(shù)n是否為質(zhì)數(shù)的最基本算法。例2用二分法設(shè)計一個求議程x2–2=0的近似根的算法。算法分析：回顧二分法解方程的過程，并假設(shè)所求近似根與準(zhǔn)確解的差的絕對值不超過0.005，則不難設(shè)計出以下步驟：第一步：令f(x)=x2–2。因為f(1)<0，f(2)>0，所以設(shè)x1=1，x2=2。第二步：令m=(x1+x2)/2，判斷f(m)是否為0，若則，則m為所長；若否，則繼續(xù)判斷f(x1)·f(m)大于0還是小于0。第三步：若f(x1)·f(m)>0，則令x1=m；否則，令x2=m。第四步：判斷|x1–x2|<0.005是否成立？若是，則x1、x2之間的任意取值均為滿足條件的近似根；若否，則返回第二步。小結(jié)：算法具有以下特性：(1)有窮性；(2)確定性；(3)順序性；(4)不惟一性；(5)普遍性例3給出求1+2+3+4+5的一個算法．解：算法1按照逐一相加的程序進(jìn)行．第一步：計算1+2，得到3；第二步：將第一步中的運算結(jié)果3與3相加，得到6；第三步：將第二步中的運算結(jié)果6與4相加，得到10；第四步：將第三步中的運算結(jié)果10與5相加，得到15．算法2運用公式直接計算．第一步：取=5；第二步：計算；第三步：輸出運算結(jié)果．算法3用循環(huán)方法求和．第一步：使，；第二步：使；第三步：使；第四步：使；第五步：如果，則返回第三步，否則輸出．說明：①一個問題的算法可能不唯一．②若將本例改為“給出求的一個算法”，則上述算法2和算法3表達(dá)較為方便．例4給出求解方程組的一個算法．分析：解線性方程組的常用方法是加減消元法和代入消元法，這兩種方法沒有本質(zhì)的差別，為了適用于解一般的線性方程組，以便于在計算機上實現(xiàn)，我們用高斯消元法（即先將方程組化為一個三角形方程組，在通過回代過程求出方程組的解）解線性方程組．解：用消元法解這個方程組，步驟是：第一步：方程①不動，將方程②中的系數(shù)除以方程①中的系數(shù)，得到乘數(shù)；第二步：方程②減去乘以方程①，消去方程②中的項，得到；第三步：將上面的方程組自下而上回代求解，得到，．所以原方程組的解為．引申：下面寫出求方程組的解的算法：說明：（1）．從例1、例2可以看出，算法具有兩個主要特點：①有限性：一個算法在執(zhí)行有限個步驟后必須結(jié)束．“有限性”往往指在合理的范圍之內(nèi)，如果讓計算機執(zhí)行一個歷時1000年才結(jié)束的算法，這雖然是有限的，但超過了合理的限度，人們也不把它視作有效算法．“合理限度”一般由人們的常識和需要以及計算機的性能而定．②確定性：算法的每一個步驟和次序應(yīng)當(dāng)是確定的．例如，一個健身操中一個動作“手舉過頭頂”，這個步驟就是不確定的、含糊的．是雙手都舉過頭，還是左手或右手？舉過頭頂多少厘米不同的人可以有不同的理解．算法中的每一個步驟不應(yīng)產(chǎn)生歧義，而應(yīng)當(dāng)是明確無誤的．（2）．一般來說，算法應(yīng)有一個或多個輸出，算法的目的是為了求解，沒有輸出的算法是沒有意義的．例5寫出一個求有限整數(shù)列中的最大值的算法。解：算法如下。S1先假定序列中的第一個整數(shù)為“最大值”。S2將序列中的下一個整數(shù)值與“最大值”比較，如果它大于此“最大值”，這時你就假定“最大值”是這個整數(shù)。S3如果序列中還有其他整數(shù)，重復(fù)S2。S4在序列中一直到?jīng)]有可比的數(shù)為止，這時假定的“最大值”就是這個序列中的最大值。六．回顧小結(jié)1．算法的概念：對一類問題的機械的、統(tǒng)一的求解方法．算法是由基本運算及規(guī)定的運算順序所構(gòu)成的完整的解題步驟，或者是按照要求設(shè)計好的有限的計算序列，并且這樣的步驟或序列能解決一類問題．2．算法的重要特征：（1）有限性：一個算法在執(zhí)行有限步后必須結(jié)束；（2）確切性：算法的每一個步驟和次序必須是確定的；（3）輸入：一個算法有0個或多個輸入，以刻劃運算對象的初始條件．所謂0個輸入是指算法本身定出了初始條件．（4）輸出：一個算法有1個或多個輸出，以反映對輸入數(shù)據(jù)加工后的結(jié)果．沒有輸出的算法是毫無意義的．課后作業(yè)1、寫出解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一個算法。2、寫出求1至1000的正數(shù)中的3倍數(shù)的一個算法（打印結(jié)果）1．有A、B、C三個相同規(guī)格的玻璃瓶，A裝著酒精，B裝著醋，C為空瓶，請設(shè)計一個算法，把A、B瓶中的酒精與醋互換．2．寫出解方程的一個算法．3．已知，，寫出求直線AB斜率的一個算法．4．“雞兔同籠”是我國隋朝時期的數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》中的一個有趣而具有深遠(yuǎn)影響的題目：“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？”請你先列出解決這個問題的方程組，并設(shè)計一個解該方程組的算法．1．一個人帶三只狼和三只羚羊過河，只有一條船，同船可以容納一個人和兩只動物．沒有人在的時候，如果狼的數(shù)量不少于羚羊的數(shù)量，狼就會吃掉羚羊．請設(shè)計過河的算法．解：算法或步驟如下：S1人帶兩只狼過河；S2人自己返回；S3人帶一只羚羊過河；S4人帶兩只狼返回；S5人帶兩只羚羊過河；S6人自己返回；S7人帶兩只狼過河；S8人自己返回；S9人帶一只狼過河．2．寫出求的一個算法．解：第一步：使，；第二步：使；第三步：使；第四步：使；第五步：使；第六步：如果，則返回第三步，否則輸出．1、寫出解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一個算法。2、寫出求1至1000的正數(shù)中的3倍數(shù)的一個算法（打印結(jié)果）6、評價標(biāo)準(zhǔn)1、解：算法如下S1計算△=b2-4acS2如果△〈0，則方程無解；否則x1=S3輸出計算結(jié)果x1，x2或無解信息。2、解：算法如下：S1使i=1S2i被3除，得余數(shù)rS3如果r=0，則打印i，否則不打印S4使i=i+1S5若i≤1000,則返回到S2繼續(xù)執(zhí)行，否則算法結(jié)束。7、作業(yè)：1、寫出解不等式x2-2x-3<0的一個算法。解：第一步：x2-2x-3=0的兩根是x1=3，x2=-1。第二步：由x2-2x-3<0可知不等式的解集為{x|-1<x<3}。評注：該題的解法具有一般性，下面給出形如ax2+bx+c>0的不等式的解的步驟（為方便，我們設(shè)a>0）如下：第一步：計算△=；第二步：若△>0，示出方程兩根（設(shè)x1>x2），則不等式解集為{x|x>x1或x<x2}；第三步：若△=0，則不等式解集為{x|x∈R且x}；第四步：若△<0，則不等式的解集為R。2、求過P(a1,b1)、Q(a2,b2)兩點的直線斜率有如下的算法：第一步：取x1=a1，y1=b1，x2=a2，y1=b2；第二步：若x1=x2；第三步：輸出