易錯(cuò)拔尖：利用勾股定理作圖和計(jì)算易錯(cuò)點(diǎn)易錯(cuò)點(diǎn)1忽視題目中條件而求不出答案1．（2012秋?白塔區(qū)校級(jí)期中）把長(zhǎng)方形紙條ABCD沿EF，GH同時(shí)折疊，B、C兩點(diǎn)恰好都落在A(yíng)D邊的P點(diǎn)處，若∠FPH＝90°，PF＝8，PH＝6，則長(zhǎng)方形ABCD的面積為多少？思路引領(lǐng)：如圖，作輔助線(xiàn)；運(yùn)用勾股定理求出FH；進(jìn)而求出PM；求出BC的長(zhǎng)度，即可解決問(wèn)題．解：作PM⊥BC于M．∵∠FPH＝90°，PF＝8，PH＝6，∴FH＝10，AB＝PM=PF?PH由題意得：BF＝PF、GH＝PH，∴BC＝PF+PH+FH＝24，∴矩形ABCD的面積＝AB?BC＝115.2．思路引領(lǐng)：該題主要考查了翻折變換的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、勾股定理等幾何知識(shí)點(diǎn)及其應(yīng)用問(wèn)題；解題的關(guān)鍵是作輔助線(xiàn)，靈活運(yùn)用勾股定理等知識(shí)點(diǎn)來(lái)分析、推理、解答．易錯(cuò)點(diǎn)2考慮不全面漏解2．（2021春?萬(wàn)榮縣校級(jí)月考）已知，如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形OABC是長(zhǎng)方形，點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為A（0，10）、C（4，0），點(diǎn)D是OA的中點(diǎn)，點(diǎn)P在BC邊上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)△ODP是腰長(zhǎng)為5的等腰三角形時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為．思路引領(lǐng)：分OP＝OD、PD＝OD和PO＝PD三種情況，結(jié)合矩形的性質(zhì)和勾股定理可求得P點(diǎn)的坐標(biāo)．解：∵A（0，10）、C（4，0），且四邊形OABC是矩形，∴OA＝BC＝10，OC＝AB＝4，∵D是OA的中點(diǎn)，∴OD＝5，當(dāng)△ODP是腰長(zhǎng)為5的等腰三角形時(shí)，則有PO＝OD＝5、PD＝OD＝5或PO＝PD＝5，當(dāng)PO＝OD＝5時(shí)，在Rt△OPC中，OC＝4，OP＝5，由勾股定理可求得PC＝3，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（4，3）；當(dāng)PD＝OD＝5時(shí)，過(guò)P作PE⊥OA于點(diǎn)E，如圖，在Rt△PED中，PE＝OC＝4，PD＝5，由勾股定理可求得DE＝3，且OD＝5，則OE＝5﹣3＝2，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（4，2），（4，8）；當(dāng)PO＝PD＝5時(shí)，過(guò)P作PE⊥OA于點(diǎn)E，如圖，在Rt△POE中，PE＝4，PO＝5，由勾股定理可求得OE＝3，則OD＝6，與已知矛盾，故該情況不存在．綜上可知點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，3）或（4，2）或（4，8）．故答案為：（4，3）或（4，2）或（4，8）．思路引領(lǐng)：此題主要考查了矩形的性質(zhì)以及坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)△ODP是腰長(zhǎng)為5的等腰三角形進(jìn)行分類(lèi)討論是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．拔尖角度角度1利用勾股定理作長(zhǎng)度為的線(xiàn)段及作已知面積的圖形3．（2021秋?古田縣校級(jí)月考）如圖，正方形網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)都是1，每個(gè)小格的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)分別按下列要求畫(huà)三角形．（1）在圖1中，畫(huà)一個(gè)三角形，使它的三邊長(zhǎng)都是有理數(shù)；（2）在圖2中，畫(huà)一個(gè)三角形，使它的三邊長(zhǎng)分別為3，22，5；（3）在圖3中，畫(huà)一個(gè)鈍角三角形，使它的面積為4．思路引領(lǐng)：（1）作出邊長(zhǎng)分別為3，4，5的三角形即可．（2）根據(jù)要求作出圖形即可．（3）作出底為2，高為4的鈍角三角形即可．解：（1）如圖1中，△ABC即為所求（答案不唯一）．（2）如圖2中，△ABC即為所求（答案不唯一）．（3）如圖3中，△ACB即為所求（答案不唯一）．思路引領(lǐng)：本題考查作圖﹣應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，勾股定理，勾股定理的逆定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．4．（2019春?宜州區(qū)期中）如圖，網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，小正方形的頂點(diǎn)叫格點(diǎn)．（1）在圖1中，AB=5，以格點(diǎn)為端點(diǎn)，畫(huà)線(xiàn)段MN=（2）在圖2中，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)，畫(huà)正方形ABCD，使它的面積為10．思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)13=22+3（2）構(gòu)造邊長(zhǎng)為10的正方形即可．解：（1）如圖1，線(xiàn)段MN即為所求（畫(huà)法不唯一）．（2）如圖2，正方形ABCD即為所求（畫(huà)法不唯一）．思路引領(lǐng)：本題考查作圖﹣應(yīng)用與設(shè)計(jì)，勾股定理，正方形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問(wèn)題，屬于中考常考題型．角度2利用勾股定理求線(xiàn)段的長(zhǎng)（構(gòu)造法）5．（2022秋?沈北新區(qū)期中）在四邊形ABCD中，AB＝AD＝8，∠A＝60°，∠D＝150°，若四邊形ABCD的周長(zhǎng)為32，求它的面積．思路引領(lǐng)：連接BD，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于D，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出AE，根據(jù)勾股定理求出DE，進(jìn)而求出S△ABD，根據(jù)勾股定理求出CD，根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算，得到答案．解：連接BD，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于D，∵AB＝AD，∠A＝60°，∴△ABD為等邊三角形，∴BD＝AD＝8，∠ADB＝60°，∵AB＝AD，DE⊥AB，∠A＝60°，∴AE=12AB＝4，∠DAE＝∴DE=AD2∴S△ABD=12AB?DE=12×8×∵∠ADC＝150°，∠ADB＝60°，∴∠CDB＝90°，∴BD2+CD2＝BC2，∵四邊形ABCD的周長(zhǎng)為32，AB＝AD＝8，∴CB+CD＝16，∴82+CD2＝（16﹣CD）2，解得：CD＝6，∴S△CBD=12×8×6∴S四邊形ABCD＝S△ABD+S△CBD＝163+24思路引領(lǐng)：本題考查的是勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的面積計(jì)算，根據(jù)勾股定理列方程求出CD是解題的關(guān)鍵．角度2利用勾股定理求三角形的三邊關(guān)系6．（2016?徐州模擬）一、閱讀理解：在△ABC中，BC＝a，CA＝b，AB＝c；（1）若∠C為直角，則a2+b2＝c2；（2）若∠C為銳角，則a2+b2與c2的關(guān)系為：a2+b2＞c2；（3）若∠C為鈍角，試推導(dǎo)a2+b2與c2的關(guān)系．探究問(wèn)題：在△ABC中，BC＝a＝3，CA＝b＝4，AB＝c，若△ABC是鈍角三角形，求第三邊c的取值范圍．思路引領(lǐng)：一、（1）由勾股定理即可得出結(jié)論；（2）作AD⊥BC于D，則BD＝BC﹣CD＝a﹣CD，由勾股定理得出AB2﹣BD2＝AD2，AC2﹣CD2＝AD2，得出AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，整理得出a2+b2＝c2+2a?CD，即可得出結(jié)論；（3）作AD⊥BC于D，則BD＝BC+CD＝a+CD，由勾股定理得出AD2＝AB2＝BD2，AD2＝AC2﹣CD2，得出AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，整理即可得出結(jié)論；二、分兩種情況：①當(dāng)∠C為鈍角時(shí)，由以上（3）得：a2+b2＜c＜a+b，即可得出結(jié)果；②當(dāng)∠B為鈍角時(shí)，得：b﹣一、解：（1）∵∠C為直角，BC＝a，CA＝b，AB＝c，∴a2+b2＝c2；（2）作AD⊥BC于D，如圖1所示：則BD＝BC﹣CD＝a﹣CD，在△ABD中，AB2﹣BD2＝AD2，在△ACD中，AC2﹣CD2＝AD2，∴AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，∴c2﹣（a﹣CD）2＝b2﹣CD2，整理得：a2+b2＝c2+2a?CD∵a＞0，CD＞0，∴a2+b2＞c2；（3）作AD⊥BC于D，如圖2所示：則BD＝BC+CD＝a+CD，在△ABD中，AD2＝AB2﹣BD2，在△ACD中，AD2＝AC2﹣CD2，∴AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，∴c2﹣（a+CD）2＝b2﹣CD2，整理得：a2+b2＝c2﹣2a?CD，∵a＞0，CD＞0，∴a2+b2＜c2；二、解：當(dāng)∠C為鈍角時(shí)，由以上（3）得：a2+b2＜c即5＜c＜7；當(dāng)∠B為鈍角時(shí)，得：b﹣a＜c＜b即1＜c＜7綜上所述：第三邊c的取值范圍為5＜c＜7或1＜c＜7思路引領(lǐng)：本題考查了勾股定理的綜合運(yùn)用、完全平方公式；熟練掌握勾股定理，通過(guò)作輔助線(xiàn)運(yùn)用勾股定理是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．角度3利用勾股定理證明平方7．（2021春?利辛縣期中）如圖1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D為AB中點(diǎn)，DE，DF分別交AC于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，且DE⊥DF．（1）如果AC＝BC，求證：AE2+BF2＝EF2；（2）如圖2，如果AC＜BC，（1）中結(jié)論AE2+BF2＝EF2還能成立嗎？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．思路引領(lǐng)：（1）過(guò)點(diǎn)A作AM∥BC，交FD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)M，連接EM，則根據(jù)三角形內(nèi)角和和平行線(xiàn)的性質(zhì)可得∠EAM＝90°；利用“ASA”判斷出△ADM≌△BDF，從而將AM＝BF，DM＝DF；再利用中垂線(xiàn)得到EF＝EM；即可在Rt△EAM中得證；（2）延長(zhǎng)FD至點(diǎn)N，使得DF＝DN，連接AN，EN，先利用中垂線(xiàn)得到EF＝EN，再利用“SAS”證△ADN≌△BDF，從而B(niǎo)F＝AM，∠B＝∠DAN；最后利用∠C＝90°得到∠EAM＝90°，在Rt△EAM中得證．（1）證明：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AM∥BC，交FD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)M，連接EM，∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，∴AD＝BD，∵AM∥BC，∴∠DAM＝∠B，在△ADM和△BDF中，∠DAM=∠BAD=BD∴△ADM≌△BDF（ASA），∴AM＝BF，DM＝DF，∵DE⊥DF，∴ED是MF的中垂線(xiàn)，∴EF＝EM，∵∠ACB＝90°，∴∠B+∠CAB＝90°＝∠DAM+∠CAB＝∠EAM＝90°，在Rt△EAM中，EM2＝AE2+AM2，∴EF2＝AE2+BF2．（2）解：AE2+BF2＝EF2成立，理由如下：延長(zhǎng)FD至點(diǎn)N，使得DF＝DN，連接AN，EN，∵DE⊥DF，∴ED是NF的中垂線(xiàn)，∴EF＝EN．∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，∴AD＝BD，在△ADN和△BDF中，AD=BD∠ADN=∠BDF∴△ADN≌△BDF（SAS）．∴AN＝BF，∠B＝∠DAN，∵∠C＝90°，∴∠B+∠CAB＝90°＝∠CAB+∠DAN＝∠EAN，在Rt△EAN中，EN2＝AE2+AN2，即EF2＝AE2+BF2．思路引領(lǐng)：本題考查了三角形全等的性質(zhì)和判定、線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)、勾股定理等知，解題關(guān)鍵是構(gòu)造全等轉(zhuǎn)化邊．角度4利用勾股定理求代數(shù)式的最值8．（2022秋?東陽(yáng)市期中）數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)的重要思想和解題方法，如：“當(dāng)0＜x＜12時(shí)，求代數(shù)式x2+4+(12-x)2+9的最小值”，其中x2+4可看作兩直角邊分別為x和2的Rt△ACP的斜邊長(zhǎng)，(12-x)2+9