8.6三角形內(nèi)角和定理學(xué)習(xí)目標(biāo)：三角形內(nèi)角和定理的證明.三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用.學(xué)習(xí)準(zhǔn)備：1.如圖，∠A=60°，∠B=70°，∠C的度數(shù)是____根據(jù)________________________2.你還記得這個(gè)結(jié)論是如何得出的嗎？50°三角形內(nèi)角和等于180°ABC三角形內(nèi)角和定理的證明三角形內(nèi)角和定理：___________________已知:求證：證明：思考：你能否由拼圖得到啟示，在△ABC上適當(dāng)?shù)靥砭€，達(dá)到把三個(gè)角“湊”到一起的目的嗎？三角形內(nèi)角和等于180°△ABC∠A+∠B+∠C=180°ABC你有哪些添加輔助線的方法？試著說說你的思路。多種方法證明歸納證明方法：過某個(gè)頂點(diǎn)作對邊的平行線小明的想法是把三個(gè)角“湊”到A處，他過點(diǎn)A作直線PQ∥BC，他的想法可行嗎？如果可行，你能寫出證明過程嗎？我的形狀最小，那我的內(nèi)角和最小.我的形狀最大，那我的內(nèi)角和最大.不對，我有一個(gè)鈍角，所以我的內(nèi)角和才是最大的.一天，三類三角形通過對自身的特點(diǎn)，講出了自己對三角形內(nèi)角和的理解，請同學(xué)們作為小判官給它們評判一下吧.情境引入我們在小學(xué)已經(jīng)知道，任意一個(gè)三角形的內(nèi)角和等于180°。與三角形的形狀、大小無關(guān)，所以它們的說法都是錯(cuò)誤的.思考：有什么辦法可以驗(yàn)證三角形的內(nèi)角和為180°呢?銳角三角形測量48°72°60°60°＋48°＋72°＝180°.（請同學(xué)們運(yùn)用學(xué)科工具——量角器測量演示）剪拼ABC（小組合作，討論剪拼方法.各小組代表板演剪拼過程）21三角形的三個(gè)內(nèi)角拼到一起恰好構(gòu)成一個(gè)平角.觀測的結(jié)果不一定可靠，還需要通過數(shù)學(xué)知識來證明.從上面的操作過程，你能發(fā)現(xiàn)證明的思路嗎？還有其他的拼接方法嗎？探究：在紙上任意畫一個(gè)三角形，將它的內(nèi)角撕下來拼合在一起.三角形的內(nèi)角和定理的證明驗(yàn)證結(jié)論三角形內(nèi)角的和等于180°.求證：∠A+∠B+∠C=180°.已知：△ABC.證法1：過點(diǎn)

A作

l∥BC，則∠B=∠1，∠C=∠2(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等).∵∠1+∠2+∠BAC=180°，∴∠B+∠C+∠BAC=180°.12證法2：延長

BC到

D，過點(diǎn)

C作CE∥BA，則∠A=∠1(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等)，∠B=∠2(兩直線平行，同位角相等).又∵∠1+∠2+∠ACB=180°，∴∠A+∠B+∠ACB=180°.CBAED12CBAEDF證法3：過

D作

DE∥AC，DF∥AB.∴∠C=∠EDB，∠B=∠FDC(兩直線平行，同位角相等)，∠A+∠AED=180°，∠EDF+∠AED=180°(兩直線平行，同旁內(nèi)角相補(bǔ)).∴∠A=∠EDF.∵∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°，∴∠C+∠A+∠B=180°.思考：多種方法證明三角形內(nèi)角和等于180°的核心是什么？借助平行線“移角”的功能，將三個(gè)角轉(zhuǎn)化到一個(gè)平角上.CAB12345lACB12345lP6mABCDEC24AB3EQDFPGH1試一試：請同學(xué)們按照上圖中的輔助線，給出證明過程.BGC24A3EDFH1知識要點(diǎn)在這里，為了證明的需要，在原來的圖形上添畫的線叫做輔助線.在平面幾何里，輔助線通常畫成虛線.思路總結(jié)為了證明三個(gè)角的和為

180°，轉(zhuǎn)化為一個(gè)平角或同旁內(nèi)角等，這種轉(zhuǎn)化思想是數(shù)學(xué)中的常用方法.作輔助線知識要點(diǎn)在這里，為了證明的需要，在原來的圖形上添畫的線叫做輔助線.在平面幾何里，輔助線通常畫成虛線.思路總結(jié)為了證明三個(gè)角的和為180°,轉(zhuǎn)化為一個(gè)平角或同旁內(nèi)角互補(bǔ)等，這種轉(zhuǎn)化思想是數(shù)學(xué)中的常用方法.作輔助線例1

如圖，在△ABC中，∠BAC=40°,∠B=75°,AD是△ABC的角平分線，求∠ADB的度數(shù).ABCD解：由∠BAC=40°,AD是△ABC的角平分線，得∠BAD=∠BAC=20°.在△ABD中，∠ADB=180°-∠B-∠BAD=180°-75°-20°=85°.三角形的內(nèi)角和定理的運(yùn)用二、例2

如圖，△ABC中，D在BC的延長線上，過D作DE⊥AB于E，交AC于F.已知∠A＝30°，∠FCD＝80°，求∠D.解：∵DE⊥AB，∴∠FEA＝90°．∵在△AEF中，∠FEA＝90°，∠A＝30°，∴∠AFE＝180°－∠FEA－∠A＝60°.又∵∠CFD＝∠AFE，∴∠CFD＝60°.∴在△CDF中，∠CFD＝60°，∠FCD＝80°，∠D＝180°－∠CFD－∠FCD＝40°.基本圖形由三角形的內(nèi)角和定理易得∠A+∠B=∠C+∠D.由三角形的內(nèi)角和定理易得∠1+∠2=∠3+∠4.總結(jié)歸納4ABC證明：過點(diǎn)A作AE∥BC.E∴∠C=∠CAE(兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等)∠EAC+∠BAC+∠B=180°(兩直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ))∴∠C+∠BAC+∠B=180°(等量代換)已知：如圖，△ABC。求證：∠A+∠B+∠C=180°求證：三角形的內(nèi)角和等于180°例1如圖，在△ABC中，∠B=38°，∠C=62°，AD是△ABC的角平分線，求∠ADB的度數(shù).∴∠BAC=180°－38°－62°=80°（等式的性質(zhì)）∴∠ADB=180°－38°－40°=102°（等式的性質(zhì)）.解：在△ABC中，∠B+∠C+∠BAC=180°（三角形內(nèi)角和定理）.∵∠B=38°,∠C=62°(已知)，∵AD平分∠BAC（已知）.在△ADB中，∠B+∠BAD+∠ADB=180°(三角形內(nèi)角和定理).∵∠B=38°(已知),∠BAD=40°（已證）定理應(yīng)用（角平分線的定義）（3）不知任何一個(gè)角的度數(shù)，只知道三個(gè)角之間的關(guān)系，一般根據(jù)“三角形內(nèi)角和為180°”這個(gè)隱含的等量關(guān)系列方程（或方程組）求解.(1)若已知兩個(gè)角的度數(shù)，求第三個(gè)角的度數(shù)，直接利用三角形內(nèi)角和定理求解；(2)若已知一個(gè)角的度數(shù)及另兩個(gè)角之間的等量關(guān)系；求三角形內(nèi)角度數(shù)的方法：方法總結(jié)∠A，∠B，∠C是△ABC的三個(gè)內(nèi)角.（1）已知∠A=40°，∠B=∠C，求∠B，∠C的度數(shù)；（2）已知∠A-∠B=16°，∠C=54°，求∠A，∠B的度數(shù)；導(dǎo)引：緊扣三角形內(nèi)角和定理建立方程（組）求解.解得x=70，∴∠B=∠C=70°

.（2）設(shè)∠A=x°，∠B=y°，∵∠A+∠B+∠C=180°，隨堂練習(xí)∴∠A=71°，∠B=55°.解：（1）設(shè)∠B=∠C=x°，∵∠A+

∠B+∠C=180°，即

40+x+x=180，課堂小結(jié)三角形內(nèi)角和定理三角形的內(nèi)角和等于180°內(nèi)容小結(jié)：方法小結(jié)：（3）不