2.5.2圓與圓的位置關(guān)系(一)教材梳理填空?qǐng)A與圓位置關(guān)系的判定(1)幾何法：若兩圓的半徑分別為r1，r2，兩圓連心線的長(zhǎng)為d，則兩圓的位置關(guān)系的判斷方法如下：(二)基本知能小試1．判斷正誤(1)若兩圓沒(méi)有公共點(diǎn)，則兩圓一定外離．

(

)(2)若兩圓外切，則兩圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，反之也成立．

(

)(3)若兩圓有公共點(diǎn)，則|r1－r2|≤d≤r1＋r2. (

)答案：(1)×

(2)×

(3)√2．圓A：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0與圓B：x2＋y2－2x－6y＋1＝0的位置關(guān)系是(

)A．相交

B．外離C．外切

D．內(nèi)切3．圓C1：x2＋y2＝1與圓C2：x2＋(y－3)2＝1的內(nèi)公切線有且僅有

(

)A．1條

B．2條C．3條

D．4條解析：因?yàn)閮蓤A的圓心距為3，半徑之和為2，故兩圓外離，所以內(nèi)公切線的條數(shù)為2.答案：B

4．若兩圓的半徑R，r分別為5和2，圓心距d為3，則兩圓的位置關(guān)系是________．解析：因?yàn)镽＝5，r＝2，d＝3，所以d＝R－r，所以兩圓內(nèi)切．答案：內(nèi)切題型一圓與圓位置關(guān)系的判斷

【學(xué)透用活】[典例1]已知兩圓C1：x2＋y2－2ax＋4y＋a2－5＝0和C2：x2＋y2＋2x－2ay＋a2－3＝0.(1)當(dāng)a為何值時(shí)，兩圓外切？(2)當(dāng)a＝1時(shí)，試判斷兩圓的位置關(guān)系．(1)判斷兩圓的位置關(guān)系或利用兩圓的位置關(guān)系求參數(shù)的取值范圍有以下幾個(gè)步驟：①化成圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，寫(xiě)出圓心和半徑；②計(jì)算兩圓圓心的距離d；③通過(guò)d，r1＋r2，|r1－r2|的關(guān)系來(lái)判斷兩圓的位置關(guān)系或求參數(shù)的范圍，必要時(shí)可借助于圖形，數(shù)形結(jié)合．(2)應(yīng)用幾何法判定兩圓的位置關(guān)系或求參數(shù)的范圍是非常簡(jiǎn)單清晰的，要厘清圓心距與兩圓半徑的關(guān)系．

【對(duì)點(diǎn)練清】已知圓C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0，圓C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a>0)．試求a為何值時(shí)，兩圓C1，C2的位置關(guān)系為：(1)相切；(2)相交；(3)外離；(4)內(nèi)含．(1)當(dāng)|C1C2|＝r1＋r2＝5，即a＝5時(shí)，兩圓外切；當(dāng)|C1C2|＝r1－r2＝3，即a＝3時(shí)，兩圓內(nèi)切．(2)當(dāng)3<|C1C2|<5，即3<a<5時(shí)，兩圓相交．(3)當(dāng)|C1C2|>5，即a>5時(shí)，兩圓外離．(4)當(dāng)|C1C2|<3，即0<a<3時(shí)，兩圓內(nèi)含．題型二與兩圓相交的有關(guān)問(wèn)題

【學(xué)透用活】[典例2]已知兩圓C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0和C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0.(1)求證：圓C1與圓C2相交．(2)求公共弦所在的直線方程．(3)求公共弦的長(zhǎng)度．1．當(dāng)兩圓相交時(shí)，公共弦所在的直線方程的求法若圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0與圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，則兩圓公共弦所在的直線方程為(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.2．公共弦長(zhǎng)的求法(1)代數(shù)法：將兩圓的方程聯(lián)立，解出交點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求出弦長(zhǎng)．(2)幾何法：求出公共弦所在直線的方程，利用圓的半徑、半弦長(zhǎng)、弦心距構(gòu)成的直角三角形，根據(jù)勾股定理求解．

題型三圓與圓相切的問(wèn)題

[探究發(fā)現(xiàn)]若兩圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相切，則方程(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0表示的直線是什么？若兩圓相離呢？提示：當(dāng)圓C1，C2外切時(shí)，方程(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0就是兩圓的內(nèi)公切線；當(dāng)圓C1，C2內(nèi)切時(shí)，方程(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0就是兩圓的公切線；當(dāng)圓C1，C2相離時(shí)，方程(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0表示一條與兩圓連心線垂直的直線．

處理兩圓相切問(wèn)題的兩個(gè)步驟(1)定性：必須準(zhǔn)確把握是內(nèi)切還是外切，若只是告訴相切，則必須分兩圓內(nèi)切、外切兩種情況討論；(2)轉(zhuǎn)化：將兩圓相切的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩圓的圓心距等于兩圓半徑之差的絕對(duì)值(內(nèi)切時(shí))或兩圓半徑之和(外切時(shí))．【對(duì)點(diǎn)練清】1．兩圓x2＋y2＝1，(x＋4)2＋(y－a)2＝25相內(nèi)切，則實(shí)數(shù)a＝________.3．[變條件、變?cè)O(shè)問(wèn)]將本例2改為“若圓x2＋y2－2x＝0與圓x2＋y2－8x－8y＋m＝0相外切，試求實(shí)數(shù)m的值”，如何求解？【課堂思維激活】一、綜合性——強(qiáng)調(diào)融會(huì)貫通1．已知圓O：x2＋y2＝1，點(diǎn)P(3,4)，以O(shè)P為直徑的圓C與圓O交于A，B兩點(diǎn)．(1)PA與OA，PB與OB具有怎樣的位置關(guān)系？(2)由(1)還可以得到什么結(jié)論？你能否將這一結(jié)論推廣？解：(1)如圖，點(diǎn)A在圓C上，OP為圓的直徑，所以O(shè)A⊥PA，同理可得OB⊥PB.(2)由(1)還可以得到：PA是圓O的切線，PB也是圓O的切線．這一結(jié)論可以推廣為：圓O外一點(diǎn)P，以O(shè)P為直徑的圓與圓O交于A，B兩點(diǎn)，則PA，PB是圓O的切線．二、創(chuàng)新性——強(qiáng)調(diào)創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新思維2.我們把圓心在一條直線上，且相鄰兩圓彼此外切的一組圓叫作“串圓”．在如圖所示的“串圓”中，圓C1和圓C3的方程分別為x2＋y2＝1和(x－4)2＋(y－2)2＝1，若直線ax＋2by－2＝0(a，b>0)始終平分圓C2的周長(zhǎng)，則a＋b的值為_(kāi)_______．解析：圓C1和圓C3的方程分別為x2＋y2＝1和(x－4)2＋(y－2)2＝1，若直線ax