高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省南通市海安市2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期4月期中學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)考生在答題前請(qǐng)認(rèn)真閱讀本注意事項(xiàng)及各題答題要求1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知平面向量，，，則（）A. B. C.6 D.8【答案】B【解析】由得，，解得，故選：B．2.復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部分別為（）A.、 B.、 C.、 D.、【答案】B【解析】因?yàn)椋詮?fù)數(shù)的實(shí)部為，虛部為.故選：B.3.已知圓錐的高為1，母線長為2，則底面圓的周長為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】圓錐的底面半徑為，所以底面圓的周長為，故選：D.4.將曲線向左平移個(gè)單位長度后，所得曲線為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】曲線向左平移個(gè)單位長度得，，故選：C．5.用斜二測(cè)法畫水平放置的邊長為的正三角形，所得直觀圖的面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】如下圖所示，在等邊三角形中，為的中點(diǎn)，則，且，在其斜二測(cè)直觀圖中，，則點(diǎn)到的距離為，所以的直觀圖面積為.故選：A.6.若函數(shù)在區(qū)間上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由可得，因?yàn)椋?dāng)時(shí)，，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，所以，，解得，即的最小值為.故選：C.7.已知平面向量，的夾角為（為常數(shù)），，，的最小值為3，則（）A. B.或 C. D.或【答案】D【解析】的幾何意義如圖所示，因?yàn)榈淖钚≈禐?，所以在中，，所以，所以，因?yàn)榕c的夾角有兩種情況，即或，所以或，故選：D．8.若，則（）A.－3 B. C. D.3【答案】B【解析】，故選：B．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知，，則（）A. B.C. D.【答案】CD【解析】對(duì)于A，設(shè)，，則，，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，設(shè)，，則，但與不能比較大小，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，設(shè)，且，，則，故C正確；對(duì)于D，在復(fù)平面內(nèi)，對(duì)應(yīng)的向量為，則對(duì)應(yīng)的向量為如圖所示，由三角不等式可得，，即，故D正確；故選：CD．10.下列結(jié)論正確的是（）A.半圓繞其直徑旋轉(zhuǎn)一周后形成的幾何體為球B.棱柱至少有5個(gè)面C.任意面體都可以分割成個(gè)棱錐D.棱，，延長后交于一點(diǎn)的多面體一定是三棱臺(tái)【答案】ABC【解析】A，根據(jù)球的定義可知A正確；B，面最少的棱柱為三棱柱，其共有5個(gè)平面，故B正確；C，任意面體，在其內(nèi)部任取一點(diǎn)，則以點(diǎn)為頂點(diǎn)，以面體的個(gè)面為底面即可構(gòu)成個(gè)棱錐，故C正確；D，用一個(gè)平面去截三棱錐，要求該平面與側(cè)棱均相交，但不與底面平行，所形成的多面體不是三棱臺(tái)，故D錯(cuò)誤.故選：ABC11.已知函數(shù)，，則（）A.若，則B.若，則C.若，，則D.若，，則【答案】ABD【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)?，則，所以，，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)?，則，所以，所以，為銳角，且，所以，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)?，為銳角，且，不妨取，，則，，此時(shí)，但，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)椋?，所以，，因?yàn)?，為銳角，則，不妨設(shè)，則，所以，所以，故，D對(duì).故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.試寫出的兩個(gè)值：_____、_____，使得為奇函數(shù)．【答案】0，【解析】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以滿足題意；當(dāng)時(shí)，，，因?yàn)?，為奇函?shù)，所以滿足題意，故答案為：0，．13.為測(cè)量河北岸兩點(diǎn)，之間的距離（不可到達(dá)），現(xiàn)在河南岸選定兩點(diǎn)，，并測(cè)得，，，則_____．【答案】【解析】由，，得，，所以，在中，，由正弦定理得，，則，在中，由余弦定理得，，解得，故答案為：．14.已知平面向量，的夾角為，，，則_____；若非零向量滿足：，則的最小值為_____．【答案】；【解析】，所以；，且，不妨設(shè)且，則，由得，，即，則，由，則，解得，則，所以，所以的最小值為；故答案為：；．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知是虛數(shù)，．（1）求證：是實(shí)數(shù)；（2）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在射線上，，求實(shí)數(shù)，的值．（1）證明：設(shè)，且，．（2）解：由題可知，，則，解得或（舍），所以，代入方程得，，整理得，，所以，解得．16.已知函數(shù)．（1）求的最小正周期；（2）若，，，均為銳角，求．解：（1），所以．（2），則，因?yàn)?，所以，又，所以，則，所以，所以，由，為銳角，所以，解得，由，均為銳角，則，，所以．17.在平面四邊形中，，．（1）設(shè)、分別為、的中點(diǎn)．（i）證明：；（ii）若，求與夾角的余弦值．（2）求的值．解：（1）（i）如下圖所示：因?yàn)?、分別為、的中點(diǎn)，所以，，因?yàn)?，兩個(gè)等式相加得；（ii）因?yàn)椋瑒t，即，解得，即與夾角的余弦值為.（2），因此.18.在中，角所對(duì)的邊分別為，，，且．（1）求的值；（2）點(diǎn)在邊上，，．（i）求面積的最大值；（ii）求的最小值．解：（1）因，由正弦定理邊角互化可得：；（2）（i）因，則，又注意到，，則，由基本不等式，，又由（1），，則.當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).（ii）設(shè)，則，其中.又，則.由（1）可得，則.注意到.對(duì)于，令，其中.則，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).則，則.19.設(shè)單位圓上三點(diǎn)、、等分圓周，為圓上一點(diǎn)，定義：為“距積”，為“距和”．（1）為便于解答（2）、（3），請(qǐng)你選擇合適的變量表示出、、；（2）求“距和”的最大值；（3）求“距積”的最大值．解：（1）以圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S的正