2025年二項式性質(zhì)試題及答案本文借鑒了近年相關(guān)經(jīng)典試題創(chuàng)作而成，力求幫助考生深入理解測試題型，掌握答題技巧，提升應試能力。一、選擇題1.在二項式定理\((a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k\)中，若\(n\)為奇數(shù)，則展開式中系數(shù)最大的項是：A.\(\binom{n}{\frac{n}{2}}a^{\frac{n}{2}}b^{\frac{n}{2}}\)B.\(\binom{n}{\frac{n-1}{2}}a^{\frac{n-1}{2}}b^{\frac{n-1}{2}}\)C.\(\binom{n}{\frac{n+1}{2}}a^{\frac{n+1}{2}}b^{\frac{n+1}{2}}\)D.\(\binom{n}{\frac{n}{2}}a^{\frac{n}{2}-1}b^{\frac{n}{2}+1}\)2.若\((1+x)^n\)的展開式中第\(r\)項與第\(r+2\)項的系數(shù)相等，則\(n\)的值為：A.\(2r-1\)B.\(2r+1\)C.\(4r\)D.\(4r-1\)3.在二項式展開式\((a+b)^n\)中，若第\(r\)項系數(shù)為12，第\(r+1\)項系數(shù)為20，則\(n\)的值為：A.6B.7C.8D.94.若\((1+x)^n\)的展開式中第\(r\)項系數(shù)為\(\binom{n}{r}\)，第\(r+1\)項系數(shù)為\(\binom{n}{r+1}\)，則第\(r+2\)項系數(shù)為：A.\(\binom{n}{r+2}\)B.\(\binom{n}{r}\)C.\(\binom{n}{r+1}\)D.\(\binom{n}{r-1}\)5.在二項式定理\((a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k\)中，若\(a=1\)，\(b=1\)，則\(2^n\)的展開式為：A.\(2^n\)B.\(2n\)C.\(n^2\)D.\(n(n-1)\)二、填空題1.在二項式展開式\((1+x)^n\)中，若第\(r\)項系數(shù)為120，則\(n\)的可能值為：2.若\((a+b)^n\)的展開式中第\(r\)項系數(shù)為6，第\(r+1\)項系數(shù)為15，則\(n\)的值為：3.在二項式展開式\((1-x)^n\)中，若第\(r\)項系數(shù)為\(-\binom{n}{r}\)，則\(n\)的值為：4.若\((1+x)^n\)的展開式中第\(r\)項系數(shù)為\(\binom{n}{r}\)，第\(r+1\)項系數(shù)為\(\binom{n}{r+1}\)，則第\(r+2\)項系數(shù)為：5.在二項式展開式\((a+b)^n\)中，若第\(r\)項系數(shù)為12，第\(r+1\)項系數(shù)為20，則第\(r+2\)項系數(shù)為：三、解答題1.在二項式展開式\((1+x)^n\)中，若第\(r\)項系數(shù)為120，求\(n\)的值。2.在二項式展開式\((a+b)^n\)中，若第\(r\)項系數(shù)為6，第\(r+1\)項系數(shù)為15，求\(n\)的值。3.在二項式展開式\((1-x)^n\)中，若第\(r\)項系數(shù)為\(-\binom{n}{r}\)，求\(n\)的值。4.在二項式展開式\((1+x)^n\)中，若第\(r\)項系數(shù)為\(\binom{n}{r}\)，第\(r+1\)項系數(shù)為\(\binom{n}{r+1}\)，求第\(r+2\)項系數(shù)。5.在二項式展開式\((a+b)^n\)中，若第\(r\)項系數(shù)為12，第\(r+1\)項系數(shù)為20，求第\(r+2\)項系數(shù)。四、證明題1.證明在二項式展開式\((a+b)^n\)中，若第\(r\)項系數(shù)為\(\binom{n}{r}\)，則第\(r+1\)項系數(shù)為\(\binom{n}{r+1}\)。2.證明在二項式展開式\((1+x)^n\)中，若第\(r\)項系數(shù)為\(\binom{n}{r}\)，第\(r+1\)項系數(shù)為\(\binom{n}{r+1}\)，則第\(r+2\)項系數(shù)為\(\binom{n}{r+2}\)。答案及解析選擇題1.C-解析：在二項式展開式中，若\(n\)為奇數(shù)，則展開式中系數(shù)最大的項為中間項，即\(\binom{n}{\frac{n+1}{2}}a^{\frac{n+1}{2}}b^{\frac{n+1}{2}}\)。2.A-解析：第\(r\)項系數(shù)為\(\binom{n}{r}\)，第\(r+2\)項系數(shù)為\(\binom{n}{r+2}\)，由\(\binom{n}{r}=\binom{n}{r+2}\)得\(n=2r-1\)。3.B-解析：由\(\binom{n}{r}=12\)，\(\binom{n}{r+1}=20\)得\(\frac{n!}{r!(n-r)!}=12\)，\(\frac{n!}{(r+1)!(n-r-1)!}=20\)，解得\(n=7\)。4.A-解析：由\(\binom{n}{r}\)，\(\binom{n}{r+1}\)得第\(r+2\)項系數(shù)為\(\binom{n}{r+2}\)。5.A-解析：\((1+1)^n=2^n\)，展開式為\(2^n\)。填空題1.5,6-解析：由\(\binom{n}{r}=120\)得\(n=5,6\)。2.5-解析：由\(\binom{n}{r}=6\)，\(\binom{n}{r+1}=15\)得\(n=5\)。3.偶數(shù)-解析：由\(-\binom{n}{r}=-\frac{n!}{r!(n-r)!}=-12\)得\(n\)為偶數(shù)。4.\(\binom{n}{r+2}\)-解析：由\(\binom{n}{r}\)，\(\binom{n}{r+1}\)得第\(r+2\)項系數(shù)為\(\binom{n}{r+2}\)。5.28-解析：由\(\binom{n}{r}=12\)，\(\binom{n}{r+1}=20\)得\(\binom{n}{r+2}=28\)。解答題1.解：-由\(\binom{n}{r}=120\)得\(\frac{n!}{r!(n-r)!}=120\)，解得\(n=7\)。2.解：-由\(\binom{n}{r}=6\)，\(\binom{n}{r+1}=15\)得\(\frac{n!}{r!(n-r)!}=6\)，\(\frac{n!}{(r+1)!(n-r-1)!}=15\)，解得\(n=5\)。3.解：-由\(-\binom{n}{r}=-12\)得\(n\)為偶數(shù)，解得\(n=6\)。4.解：-由\(\binom{n}{r}\)，\(\binom{n}{r+1}\)得第\(r+2\)項系數(shù)為\(\binom{n}{r+2}\)。5.解：-由\(\binom{n}{r}=12\)，\(\binom{n}{r+1}=20\)得\(\binom{n}{r+2}=28\)。證明題1.證明：-由\(\binom{n}{r}=\frac{n!}{r!(n-r)!}\)，\(\binom{n}{r+1}=\frac{n!}{(r+1)!(n-r-1)!}\)得\(\binom{n}{r+1}=\frac{n!}{(r+1)!(n-r-1)!}=\frac{n!