第02講實際問題與一元二次方程本講義亮度：1構(gòu)建知識體系明確學(xué)習(xí)目標(biāo)，深入淺出，力求打扎實基礎(chǔ)；2例題經(jīng)典力求熟練掌握各常考題型，提高分析能力；【題型一】增長率問題【題型二】傳播問題【題型三】銷售問題【題型四】與圖形有關(guān)的問題【題型五】幾何問題3課后分層練習(xí)進(jìn)一步鞏固所學(xué)內(nèi)容.1.掌握列一元二次方程解應(yīng)用題的解題步驟；2.會用一元二次方程解決實際問題，包括增長率問題、傳播問題、銷售問題與幾何問題等.1列一元二次方程解應(yīng)用題的解題步驟①審題；②設(shè)未知數(shù)；③列一元二次方程；④解一元二次方程；⑤檢驗根是否有意義；⑥作答.2常見應(yīng)用題①平均增長率問題公式b=a1±xn，a表示基數(shù)，x表示平均增長率(降低率)，n表示變化次數(shù)，b表示②利潤問題單利潤=售價成本，總利潤=單利潤*件數(shù)，利潤率=利潤/成本.③傳播問題④握手、比賽問題n個人之間相互握手的次數(shù)是n(n-1)2；x支球隊相互進(jìn)行主客場比賽，總場數(shù)為x(x-1)場⑤幾何問題【題型一】增長率問題【典題1】（2425八年級下·黑龍江哈爾濱·期中）強(qiáng)德村2022年某農(nóng)作物平均每公頃產(chǎn)量7200kg，2024年平均每公頃產(chǎn)量8712kg．(1)求該農(nóng)作物每公頃產(chǎn)量的年平均增長率；(2)2022年該農(nóng)作物平均每千克的成本為2元，每千克的售價為3元，2023年該農(nóng)作物平均每千克的成本增加到2.2元，若2023年平均每公頃的利潤與2022年平均每公頃的利潤的差值不少于720元，則2023年平均每千克的售價最少應(yīng)為多少元？【答案】(1)10%(2)2023年平均每千克該農(nóng)作物的售價最少應(yīng)該為3.2元【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是：①根據(jù)增長率找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程；②根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出不等式．（1）設(shè)某農(nóng)作物每公頃產(chǎn)量的年平均增長率為x，2022年平均每公頃產(chǎn)7200kg，2024年平均每公頃產(chǎn)8712（2）設(shè)2023年平均每千克該農(nóng)作物的售價為a元，利用平均每公頃該農(nóng)作物的利潤=每千克的利潤×平均每公頃的產(chǎn)量，結(jié)合2023年平均每公頃該農(nóng)作物的利潤比2022年平均每公頃的利潤的差值不少于720元，即可列出關(guān)于a的不等式，解出取其最小值即可得出答案．【詳解】（1）解：設(shè)某農(nóng)作物每公頃產(chǎn)量的年平均增長率為x，根據(jù)題意可列方程：72001+x解得：x1=0.1答：該農(nóng)作物每公頃產(chǎn)量的年平均增長率為10%；（2）解：設(shè)2023年平均每千克該農(nóng)作物的售價為a元，根據(jù)題意可列不等式：a-2.2×7200解得：a≥3.2，答：2023年平均每千克該農(nóng)作物的售價至少為應(yīng)為3.2元．變式練習(xí)1（2425八年級下·浙江金華·期中）某市積極響應(yīng)國家的號召“房子是用來住的，不是用來炒的”，在宏觀調(diào)控下，商品房成交價由今年1月份的每平方米20000元下降到3月份的每平方米16200元，且今年房價每月的下降率保持一致，則每月的下降率為（）A．9% B．10% C．19%【答案】B【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，設(shè)每月的下降率為x，根據(jù)題意列出方程即可求解，根據(jù)題意找到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)每月的下降率為x，由題意得，200001-x解得x1=0.1=10%∴每月的下降率為10%故選：B．2（2025·廣東江門·一模）由于共享單車的投放使用，自行車正逐漸成為人們喜愛的交通工具．某商城的自行車銷售量逐月增加，據(jù)統(tǒng)計，該商城5月份銷售自行車64輛，7月份銷售100輛．(1)若該商城5月至7月的自行車銷售的月平均增長率相同，求自行車銷售的月平均增長率．(2)考慮到自行車需求不斷增加，該商場準(zhǔn)備再購進(jìn)一批兩種規(guī)格的自行車共100輛．已知A型車的進(jìn)價為每輛500元，售價為每輛700元；B型車的進(jìn)價為每輛1000元，售價為每輛1300元．假設(shè)所購進(jìn)的車輛全部售完，為使利潤不低于26000元，該商場購進(jìn)A型車不超過多少輛？【答案】(1)25(2)40輛【分析】本題主要考查了一元二次方程的實際應(yīng)用，一元一次不等式的實際應(yīng)用，正確理解題意列出方程和不等式是解題的關(guān)鍵．（1）設(shè)自行車銷售的月平均增長率為x，根據(jù)該商城5月份銷售自行車64輛，7月份銷售100輛建立方程求解即可；（2）設(shè)該商場購進(jìn)A型車m輛，則購進(jìn)B型車100-m輛，分別求出A型車和B型車的利潤，再根據(jù)總利潤不低于26000元建立不等式求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)自行車銷售的月平均增長率為x，依題意得：641+x解得：x1答：自行車銷售的月平均增長率為25%（2）解：設(shè)該商場購進(jìn)A型車m輛，則購進(jìn)B型車100-m輛，依題意得：700-500m+解得：m≤40，答：該商場購進(jìn)A型車不超過40輛．【題型二】傳播問題【典題1】（2425九年級上·全國·階段練習(xí)）“埃博拉”病毒是一種能引起人類和靈長類動物產(chǎn)生“出血熱”的烈性傳染病毒，傳染性極強(qiáng)．一個美國人在非洲旅游時不慎感染了“埃博拉”病毒，經(jīng)過兩輪傳染后，共有64人受到感染．(1)每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人？(2)如果不及時控制，第三輪將又有多少人被傳染？【答案】(1)每輪傳染中平均一個人傳染了7個人(2)第三輪將又有448人被傳染【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．（1）設(shè)每輪傳染中平均一個人傳染了x個人，根據(jù)經(jīng)過兩輪傳染后共有64人受到感染，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論；（2）第三輪被傳染人數(shù)就是用第二輪感染的64人乘以每人每輪的傳染人數(shù)7即可．【詳解】（1）解∶設(shè)每輪傳染中平均每人傳染了x人，根據(jù)題意得1+x+xx+1解得x=7或x=-9(舍)．答∶每輪傳染中平均一個人傳染了7個人．（2）由（1）可知每輪傳染中平均一個人傳染7個人，經(jīng)過兩輪傳染后有64人感染．那么第三輪被傳染的人數(shù)為64×7=448人．答：第三輪將又有448人被傳染．變式練習(xí)1（2425九年級上·寧夏固原·階段練習(xí)）進(jìn)入秋冬季以來，全國流感呈現(xiàn)多點爆發(fā)，感染人數(shù)急速增長的新趨勢，若1人患病，經(jīng)過兩輪感染后患病人數(shù)竟高達(dá)324人，則每輪感染中，1個人會平均感染多少人？若設(shè)每輪感染中，1個人會平均感染x個人，則下列方程正確的是（

）A．1+x+x2=324C．1+x+1+x2=324【答案】B【分析】本題考查了一元二次方程的實際問題——傳播問題；理清每一輪感染后的人數(shù)是解題的關(guān)鍵．一輪傳播，1個人會平均感染x個人，此時共有1+x人；二輪傳播，每人會平均感染x個人即x1+x，此時共有1+x+x1+x人，即1+x2【詳解】解：設(shè)每輪感染中，1個人會平均感染x個人，則兩輪感染后的總?cè)藬?shù)為：1+x2故選：B．2（2425九年級上·云南昭通·期中）電腦病毒傳播快，如果一臺電腦被感染，經(jīng)過兩輪感染后就會有169臺電腦被感染，若每輪感染中平均一臺電腦會感染x臺電腦，下列方程正確的是（

）A．xx+1=169 BC．1+x+xx+1=169 D【答案】C【分析】此題主要考查了由實際問題抽象出一元二次方程，能夠正確表示每輪感染中，有多少臺電腦被感染是解決此題的關(guān)鍵．首先設(shè)每輪感染中平均一臺電腦會感染x臺電腦，則經(jīng)過一輪感染，1臺電腦感染給了x臺電腦，這x+1臺電腦又感染給了xx+1臺電腦．利用等量關(guān)系：經(jīng)過兩輪感染后就會有169【詳解】解：設(shè)每輪感染中平均一臺電腦會感染x臺電腦，根據(jù)題意，得1+x+xx+1故選：C．3（2023·廣東陽江·一模）雞瘟是一種傳播速度很強(qiáng)的傳染病，一輪傳染為一天時間，紅發(fā)養(yǎng)雞場某日發(fā)現(xiàn)一例兩天后發(fā)現(xiàn)共有169只雞患有這種病，若每例病雞傳染健康雞的只數(shù)均相同．(1)求每輪傳染中平均每只病雞傳染了多少只健康雞？(2)如果不及時控制，三輪傳染后，患病的雞共有多少只？【答案】(1)12只(2)2197只【分析】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是找出題目中的等量關(guān)系式．（1）平均每只病雞傳染了x只健康雞，則第一天有x只雞被傳染，第二天有xx+1只雞被傳染，所以經(jīng)過兩天的傳染后感染患病的雞共有：1+x+xx+1只，根據(jù)經(jīng)過兩天的傳染后使雞場感染患病的雞（2）根據(jù)經(jīng)過三輪傳染后患病的雞＝經(jīng)過兩輪傳染后患病的雞數(shù)+經(jīng)過兩輪傳染后患病的雞數(shù)×12，即可求出結(jié)論．【詳解】（1）解：設(shè)每只病雞傳染了x只健康雞，由題意得：1+x+xx+1解，得x1=12，x2=-14，答：每只病雞傳染健康雞12只；（2）解：169+169×12=2197，答：三輪傳染后，患病的雞共有2197只．【題型三】銷售問題【典題1】（2025·山西晉中·三模）某電器商場從廠家購進(jìn)了A，B兩種型號的電烤箱，已知一臺A型電烤箱的進(jìn)價比一臺B型電烤箱的進(jìn)價多400元，用7600元購進(jìn)A型電烤箱和用6000元購進(jìn)B型電烤箱的臺數(shù)相同．(1)求一臺A型電烤箱和一臺B型電烤箱的進(jìn)價各為多少元？(2)在銷售過程中，A型電烤箱因為造型精致，噪音小而更受消費者的歡迎．該商場決定停止購進(jìn)B型電烤箱，并對庫存貨品進(jìn)行降價銷售，力求盡快清空庫存貨品．經(jīng)市場調(diào)查，當(dāng)B型電烤箱的售價為2400元時，每天可售出4臺，在此基礎(chǔ)上，售價每降低50元，每天將多售出1臺，如果每天該商場銷售B型電烤箱的利潤為5600元，請問該商場應(yīng)將B型電烤箱的售價定為多少元？【答案】(1)一臺A型電烤箱的進(jìn)價為1900元，一臺B型電烤箱的進(jìn)價為1500元(2)該商場應(yīng)將B型電烤箱的售價定為1900元【分析】本題考查了分式方程的應(yīng)用，一元二次方程的應(yīng)用，正確得到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．（1）設(shè)一臺B型電烤箱的進(jìn)價為x元，則一臺A型電烤箱的進(jìn)價為x+400元，根據(jù)題意列分式方程即可解答；（2）設(shè)該商場應(yīng)將B型電烤箱在2400元的基礎(chǔ)上降價m元，根據(jù)每天該商場銷售B型電烤箱的利潤為5600元，列放出即可解答．【詳解】（1）解：設(shè)一臺B型電烤箱的進(jìn)價為x元，則一臺A型電烤箱的進(jìn)價為x+400元．根據(jù)題意，得6000x解得x=1500．經(jīng)檢驗，x=1500是原方程的解．∴x+400=1900．答：一臺A型電烤箱的進(jìn)價為1900元，一臺B型電烤箱的進(jìn)價為1500元；（2）解：設(shè)該商場應(yīng)將B型電烤箱在2400元的基礎(chǔ)上降價m元．根據(jù)題意，得2400-m-15004+解得，m1因為力求盡快清空庫存，所以應(yīng)降價500元．2400-500=1900（元）．答：該商場應(yīng)將B型電烤箱的售價定為1900元．變式練習(xí)1（2425八年級下·重慶北碚·階段練習(xí)）一商店銷售某種進(jìn)價為20元/件的商品，當(dāng)售價為60元時，平均每天可售出20件、為了擴(kuò)大銷售，增加盈利，該店采取了降價措施．經(jīng)過一段時間銷售，發(fā)現(xiàn)銷售單價每降低1元，平均每天可多售出4件，若該商店每天要實現(xiàn)1400元的利潤，每件需降價多少元？設(shè)每件商品降價x元，由題意可列方程（）A．60-x20+4x=1400 BC．60-x20+2x=1400 D【答案】B【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，等量關(guān)系式：降價后每件商品獲得的利潤×降價后的銷售量=1400元，據(jù)此列方程，即可求解；找出等量關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由題意得60-20-x20+4x故選：B．2（2025·江蘇泰州·一模）景點商店銷售某種紀(jì)念品，每件成本為50元，經(jīng)市場調(diào)研，該紀(jì)念品的月銷售量y（件）與銷售單價x（元）x≥50之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，其圖像如圖所示．(1)求該紀(jì)念品的月銷售量y與銷售單價x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)若商店某月銷售這種紀(jì)念品共獲利12000元，求該紀(jì)念品當(dāng)月的銷售單價．【答案】(1)y=-20x+2000(2)70或80元【分析】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，一元二次方程的應(yīng)用等知識，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)待定系數(shù)法求解即可；（2）令（1）中y=12000，然后解方程即可．【詳解】（1）解：設(shè)y=kx+b，代入50,1000，60,800，則50k+b=100060k+b=800解得k=-20∴y=-20x+2000．（2）解：x-50-20x+2000解得x1=70，答：當(dāng)獲利12000元時，該紀(jì)念品的銷售單價是70或80元．3（2425八年級下·重慶·期中）在繁華的商業(yè)街上，有一家頗受歡迎的數(shù)碼產(chǎn)品店．一月份，該店新上架了兩款電話手表，一款是功能更強(qiáng)大、帶有攝像頭的升級款，另一款則是基礎(chǔ)實用、不帶攝像頭的普通款．已知普通款的單價是升級款的85%，一月份升級款電話手表的銷售額達(dá)到了45000元，普通款的銷售額為29750元，兩款電話手表總共售出80(1)分別求出升級款電話手表和普通款電話手表的單價；(2)隨著二月份開學(xué)季的臨近，數(shù)碼店為了吸引更多學(xué)生和家長購買，開展了降價促銷活動．在一月份價格的基礎(chǔ)上，升級款電話手表每只降價a元，而普通款的單價維持不變．活動開展后，升級款電話手表的銷量增加了25a只，普通款電話手表的銷量減少了110a只，最終二月份兩款電話手表總的銷售額比一月份增加了【答案】(1)升級款電話手表的單價為1000元，普通款電話手表的單價為850元；(2)a的值為50【分析】本題考查分式方程的應(yīng)用、一元二次方程的應(yīng)用，理解題意，正確列出方程是解答的關(guān)鍵．（1）設(shè)升級款電話手表的單價為x元，則普通款電話手表的單價為85%（2）先求出一月份的升級款電話手表和普通款電話手表的銷量，再根據(jù)題意列關(guān)于a的方程求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)升級款電話手表的單價為x元，則普通款電話手表的單價為85%根據(jù)題意，得45000x解得x=1000，經(jīng)檢驗，x=1000是所列方程的解，85%答：升級款電話手表的單價為1000元，普通款電話手表的單價為850元；（2）解：一月份升級款電話手表的銷量為450001000=45（只），普通款電話手表的銷量為根據(jù)題意，得1000-a45+解得a1=50，答：a的值為50．【題型四】與圖形有關(guān)的問題【典題1】（2025·湖北恩施·二模）數(shù)學(xué)興趣小組利用長方形紙板制作禮品盒，選擇長為60cm，寬為40(1)當(dāng)禮盒底面的長是寬的4倍時，求該長方體禮品盒的體積；(2)當(dāng)禮盒的側(cè)面ABCD的面積為750cm【答案】(1)4368(2)5【分析】本題考查了一元二次方程和一元一次方程的實際應(yīng)用，長方體的體積公式，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．（1）設(shè)小正方形的邊長為x，則禮盒底面的長是1260-2x=30-x，寬為x，根據(jù)禮盒底面的長是寬的4（2）設(shè)剪去的小正方形的邊長為m，由題意得：30-m40-2m【詳解】（1）解：設(shè)小正方形的邊長為x，則禮盒底面的長是1260-2x=30-x由題意得：30-x=4x，解得：x=6，∴長為30-4=26，寬為6，高為40-2×6=28，∴體積為：26×6×28=4368cm（2）解：設(shè)剪去的小正方形的邊長為m，由題意得：30-m40-2m整理得：m2解得：m=5或m=45（舍），∴剪去的小正方形的邊長為5cm變式練習(xí)1（2425八年級下·海南省直轄縣級單位·期中）在寬為20m，長為32m的矩形田地中央修筑同樣寬的兩條互相垂直的道路，把矩形田地分成四個相同面積的小矩形田地，作為良種試驗田，要使每小塊試驗田的面積為135m2，設(shè)道路的寬為xA．(32-x)(20-x)=135 B．(32-x)(20-x)=135C．1432-x20-x【答案】C【分析】本題考查了一元二次方程的實際應(yīng)用，屬于簡單題，平移道路形成新的矩形是解題關(guān)鍵．將陰影部分推至左上角，計算空白部分面積即可．【詳解】如下圖，將道路推至左上角，形成新矩形田地，∵道路的寬為x米，∴新矩形田地長為(32-x)m，寬為(20-x)∵每小塊試驗田的面積為135m2，即新矩形面積為∴(32-x)(20-x)=4×135，整理得14故選：C．2（2425九年級上·四川南充·階段練習(xí)）如圖是一個用28米長的籬笆圍成的矩形菜園ABCD，一邊靠墻（墻長15米），并在BC邊上開一道2米寬的門（門不使用籬笆），若設(shè)AB為x(1)BC的長為米（用含x的代數(shù)式表示）(2)當(dāng)菜園的面積為112m2時，求(3)菜園的面積能為120m2嗎？若能，求出【答案】(1)30-2x(2)8米(3)不能，理由見解析【分析】本題考查了實際問題與一元二次方程：與圖形有關(guān)的問題(一元二次方程的應(yīng)用)，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．（1）因為設(shè)AB的長為x米，則BC=28+2-2x（2）根據(jù)題意得到x30-2x（3）根據(jù)題意得到函數(shù)關(guān)系x30-2x【詳解】（1）解：設(shè)AB的長為x米，∵要建一個矩形倉庫ABCD，一邊靠墻（墻長15m)，并在BC邊上開一道2m寬的門，現(xiàn)在可用的材料為28米長的木板∴BC=AD=28+2-2x=30-2x故答案為：30-2x；（2）解：根據(jù)題意得，x30-2x解得：x1=7，當(dāng)x1=7時，當(dāng)x2=8時，∴AB=8米；（3）解：根據(jù)題意得，x30-2x∴2∴x則Δ該方程無實數(shù)解∴倉庫的面積不能為120m3（2425八年級下·浙江杭州·期中）綜合實踐——用矩形硬紙片制作無蓋紙盒．如圖1，有一張長30cm，寬16cm的長方形硬紙片，裁去角上同樣大小的四個小正方形之后，折成圖(1)若紙盒的底面積為240cm(2)如圖3，小明先在原矩形硬紙片的兩個角各剪去一個同樣大小的正方形（陰影部分），經(jīng)過思考他發(fā)現(xiàn)，再剪去兩個同樣大小的矩形后，可將剩余部分折成一個有蓋紙盒．若折成的有蓋長方體紙盒的表面積為412cm【答案】(1)3(2)2【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，理解題意，正確列出一元二次方程是解此題的關(guān)鍵．（1）設(shè)減去的正方形的邊長為xcm，則紙盒底面長方形的長為30-2xcm，寬為（2）設(shè)剪去的正方形的邊長為acm【詳解】（1）解：設(shè)減去的正方形的邊長為xcm，則紙盒底面長方形的長為30-2xcm，寬為由題意得：30-2x16-2x解得：x=3或x=20（舍去），∴剪去正方形的邊長為3cm（2）解：設(shè)剪去的正方形的邊長為acm由題意得：a16-2a解得：a=2或a=-17（不符合題意，舍去），∴剪去的正方形的邊長為2cm【題型五】幾何問題【典題1】（2425九年級上·遼寧營口·期中）如圖，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，點P從點A開始以1cm/s的速度沿AB邊向B移動，點Q從點B開始以2cm/s的速度沿BC邊向點C移動．如果P、Q分別從A、B同時出發(fā)，設(shè)移動的時間為(1)當(dāng)t為多少時，△PQD的面積等于8cm(2)當(dāng)t為多少時，△PQD是以PD為斜邊的直角三角形？【答案】(1)不存在某一時刻使得△PQD的面積等于8(2)當(dāng)t為32秒或6秒時，△PQD是以PD【分析】本題考查了三角形的面積公式，勾股定理，一元二次方程的應(yīng)用，熟練掌握一元二次方程的解法是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)三角形的面積公式列出方程可得出答案．（2）用含t的代數(shù)式分別表示圖中各線段，在Rt△ADP中，利用勾股定理可求出DP2，同理，在Rt△DPQ中利用勾股定理也可以求出DP【詳解】（1）解：不存在．設(shè)出發(fā)秒x時△DPQ的面積等于8cm∵S∴6×12-1∴x∵Δ=∴原方程無實數(shù)根，即不存在某一時刻使得△PQD的面積等于8cm（2）解：∵∠A=∠B=∠C=90°，∴PD2=t2∵△PQD是以DP為斜邊的直角三角形，∴PD2=P整理得2t解之得t1=6，即當(dāng)t為32秒或6秒時，△PQD是以PD變式練習(xí)1（2223九年級上·四川資陽·階段練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，點P從點B沿BA方向向點A以1cm/s運動，點Q從點B沿BC方向向點C以2cm/s運動，若P、A．6+26 B．C．6+26或6-26 D【答案】B【分析】本題主要考查了一元二次方程的實際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形，得出數(shù)量關(guān)系，列出方程求解．設(shè)當(dāng)運動時間為ts時0≤t≤6，AP=6-tcm，BP=tcm，BQ=2tcm【詳解】6÷1=6s，12÷2=6當(dāng)運動時間為ts時0≤t≤6，AP=6-tcm，BP=tcm，根據(jù)題意得：12×6-1整理得：t2解得：t1=6-26，t2=6+2∴6-26秒時△DPQ的面積是故選：B．2（2025·天津河?xùn)|·二模）如圖，在△ABC中，∠B=90°，AB=12mm，BC=24mm，動點P從點A開始沿邊AB向點B以2mm/s的速度移動，動點Q從點B開始沿邊BC向點C以4mm/s的速度移動，如果P，Q兩點分別從A，B兩點同時出發(fā)，設(shè)出發(fā)時間為ts．有下列結(jié)論：①當(dāng)t=2s時，PQ=82mm；②△PBQ的面積可以為35A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】C【分析】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，勾股定理，根據(jù)題意可得BQ=4tmm，BP=12-2tmm，據(jù)此求出t=2s時，BQ，BP的長，再利用勾股定理求出此時PQ的長即可判斷①；根據(jù)三角形面積計算公式得到S△BQP=-4t2+24t，則可建立方程-4【詳解】解：由題意得，AP=2tmm∴BP=AB-AP=12-2t當(dāng)t=2s時，則BP=8∵∠B=90°，∴PQ=BP2S△BQP當(dāng)△PBQ的面積為35mm2時，則整理得4t2-24t+35=0，解得t=∵0<t<12∴△PBQ的面積可以為35mm2，故當(dāng)t=1s時，S當(dāng)t=5s時，S∴當(dāng)t=1s時和當(dāng)t=5s時，又∵四邊形APQC的面積=S∴當(dāng)t=1s時和當(dāng)t=5s時，四邊形APQC的面積相等，故故選：C．3（2425八年級下·新疆阿克蘇·期中）如圖所示，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°,AB=6cm,AD=24cm，BC=28cm，動點P從點A出發(fā)沿AD方向向點D以1cm/s的速度運動，動點Q從點C開始沿著CB方向向點(1)當(dāng)運動t秒時，線段AP=_____cm,CQ=_____cm（用含有t(2)經(jīng)過多長時間，四邊形PQBA是矩形？(3)經(jīng)過多長時間，PQ的長為10cm【答案】(1)t，3(2)7(3)經(jīng)過5秒或9秒，PQ的長為10【分析】此題主要考查一元二次方程的應(yīng)用，矩形的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟知矩形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵（1）根據(jù)路程=速度乘以時間列式即可；（2）四邊形PQBA為矩形，根據(jù)AP=BQ，列方程求解即可；（3）根據(jù)勾股定理，根據(jù)PQ【詳解】（1）由題意，得線段AP=tcm故答案為：t，3t（2）解：∵四邊形PQBA為矩形，則AP=BQ，即t=28-3t，解得：t=7；（3）解：過點P作PE⊥BC于點E在Rt△PEQ中，根據(jù)勾股定理P已知PQ=10cmPE=6cm則可得方程102即100=36+28-4t移項可得28-4t2兩邊同時開平方得28-4t=±8；當(dāng)28-4t=8時，移項可得-4t=8-28=-20，解得t=5；當(dāng)28-4t=-8時，移項可得-4t=-8-28=-36，解得t=9；所以，經(jīng)過5秒或9秒，PQ的長為10cm4（2425九年級上·廣東深圳·階段練習(xí)）如圖，A、B、C、D為矩形的四個頂點，AB=8cm，AD=3cm，動點P、Q分別從A、C同時出發(fā)，點P以1?cm/s的速度向點B移動，點Q以相同的速度向點D移動，當(dāng)點P到達(dá)點B時，點P(1)當(dāng)t=________秒時，四邊形PBCQ為矩形．(2)運動過程中，四邊形PBQD可能為菱形嗎？若能，求出運動時間t，若不能，請說明理由．(3)運動過程中，點P和點Q的距離可能是35?cm嗎？若能，求出運動時間【答案】(1)4(2)能，55(3)能，1?s或【分析】本題是四邊形綜合題，主要考查了動點在幾何圖形的運動，勾股定理矩形和菱形的性質(zhì)，靈活掌握相關(guān)知識是解決問題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)當(dāng)BP=CQ時，四邊形PBCQ為矩形，列出方程，求出解即可；（2）根據(jù)當(dāng)BQ=DQ時，四邊形PBQD為菱形，在Rt△BCQ（3）先作出輔助線，表示PE，再根據(jù)勾股定理列出方程，求出解即可．【詳解】（1）解：∵點P、Q分別從點A、C同時出發(fā)，速度相同．∴PA=CQ=tcm∵四邊形ABCD為矩形，∴∠B=∠C=90°，BP∥CQ，∴則BP=DQ=8-t根據(jù)題意得，∵四邊形ABCD為矩形，∴∠B=∠C=90°，BP∥∴當(dāng)BP=CQ時，四邊形PBCQ為矩形，8-t=t，解得t=4，∴t=4秒時，四邊形PBCQ為矩形，故答案為：4；（2）解：運動過程中，四邊形PBQD可以為菱形，連接BQ、PD，∵點P、Q分別從點A、C同時出發(fā)，速度相同，∴PA=CQ，∵四邊形ABCD為矩形，∴AB∥CD∴PB∥DQ，∴四邊形PBQD為平行四邊形，∴當(dāng)BQ=DQ時，四邊形PBQD為菱形在Rt△BCQ中，CQ=tcm，DQ=∴C即t解得t=55∴運動時間為5516?s時，四邊形（3）點P和點Q的距離可以是35過點Q作QE⊥AB于點E，則四邊形EBCQ為矩形，∴CQ=BE=tcm，AP=t∴PE=AB-AP-BE=8-2t在Rt△PEQ中，有P即8-2t2解得t1=1，∴當(dāng)運動時間為1?s或7?s時，點P和點Q的距離是【A組基礎(chǔ)題】1（2025·云南臨滄·二模）某新興科技產(chǎn)業(yè)園區(qū)在2025年第一季度的營業(yè)收入為2億元，隨著各項扶持政策的落實以及創(chuàng)新技術(shù)的應(yīng)用，預(yù)計到2025年第三季度的營業(yè)收入為4.5億元．設(shè)該產(chǎn)業(yè)園區(qū)營業(yè)收入的季度平均增長率為x．根據(jù)題意，可列出方程（

）A．2(1+x)2=4.5B．2(1-x)2=4.5【答案】A【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，理解題意并根據(jù)題意建立等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．根據(jù)第一季度的營業(yè)收入為2億元，預(yù)計到2025年第三季度的營業(yè)收入為4.5億元，列方程即可．【詳解】解：根據(jù)題意，得2(1+x)故選A．2（2425九年級上·新疆阿克蘇·期中）新年里，一個小組有若干人，若每人給小組的其它成員贈送一張賀年卡，則全組送賀卡共90張，設(shè)小組有x人，列方程正確的是（

）A．xx-1=90 BC．xx+1=90 D【答案】A【分析】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系、正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．設(shè)該小組共有x人，則每人贈送x-1張賀卡，與全組共送賀卡90張，據(jù)此列出關(guān)于x的一元二次方程即可解答．【詳解】解：設(shè)該小組共有x人，則每人贈送x-1張賀卡，依題意得：xx-1故選A．3（2425九年級上·湖北省直轄縣級單位·階段練習(xí)）某商場要經(jīng)營一種新上市的文具，進(jìn)價為20元/件．試營銷階段發(fā)現(xiàn)：當(dāng)銷售單價足25元時，每天的銷售置為250件；銷售單價每上漲1元，每天的銷售量就減少10件．要使每天所得的銷售利潤為2000元，則銷售單價為（

）A．30元 B．40元 C．30元或40元 D．10元或20元【答案】C【分析】本題考查一元二次方程的實際應(yīng)用，關(guān)鍵是找到等量關(guān)系列出方程．設(shè)該文具銷售單價為x元，根據(jù)銷售利潤為2000元列一元二次方程求解．【詳解】解：設(shè)該文具銷售單價為x元，根據(jù)題意得：x-20250-10解得，x=30或x=40，故選C．4（2425八年級下·山東煙臺·期中）《增刪算法統(tǒng)宗》中記載：“今有門廳一座，不知門廣高低，長午橫進(jìn)使歸室，爭奈門狹四尺，隨即豎竿過去，亦長二尺無疑，兩隅斜去恰方齊，請問三色各幾？”．其大意是今有一房門，不知寬與高，長竿橫著進(jìn)門，門的寬度比竿小4尺進(jìn)不了；將竿豎著進(jìn)門，竿比門長2尺；將竿斜著穿過門的對角，恰好進(jìn)門．試問門的寬、高和竿長各是多少？如圖所示，所求竿長為（

）A．10尺 B．12尺C．2尺或10尺 D．12尺或10尺【答案】A【分析】本題考查一元二次方程的實際應(yīng)用．找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．設(shè)竿長AC為x尺，則BC為x-4尺，AB為x-2尺，利用勾股定理，可得出關(guān)于x的一元二次方程，解方程，即可求解．【詳解】解：設(shè)竿長AC為x尺，則BC為x-4尺，AB為x-2尺，根據(jù)題意得：(x-4)2解得：x=2（舍去）或x=10故選：A．5（2025·河北·模擬預(yù)測）張偉計劃用家里現(xiàn)有的籬笆圍建一個矩形羊圈．他計算了一下，如果把10米長的墻作為所圍的矩形的一邊，則這個矩形的面積是單純利用籬笆圍成的最大矩形面積的2倍．張偉家里現(xiàn)有的籬笆總共長度是（

）A．20米 B．24米 C．28米 D．32米【答案】A【分析】本題考查一元二次方程與幾何綜合，設(shè)現(xiàn)有的籬笆總共長度是x米，分別表示出兩個矩形的面積，然后列方程求解即可．【詳解】解：設(shè)現(xiàn)有的籬笆總共長度是x米，∴把10米長的墻作為所圍的矩形的一邊，這個矩形的另一邊長為x-102，面積為x-10設(shè)單純利用籬笆圍成的矩形一邊長為a米，則矩形的另一邊長為x-2a2，面積為x-2a∴當(dāng)a=14x∴5x-50=2×1解得x1故選：A．6（2425八年級下·安徽安慶·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AC=50m，BC=40m，∠C=90°，點P從點A出發(fā)，以2m/s的速度沿AC邊向點C勻速運動，同時另一點Q從點C出發(fā)，以3m/s的速度沿射線A．5s B．20s C．5s或20s D．5s或10s【答案】C【分析】本題考查一元二次方程的應(yīng)用，三角形的面積公式等知識，解題的關(guān)鍵是把問題轉(zhuǎn)化為方程，屬于基礎(chǔ)題，中考?？碱}型．根據(jù)三角形的面積公式列出方程即可解決問題．【詳解】解：設(shè)運動時間為t秒，則有AP=2t，CQ=3t，∴PC=50-2t，∴12∴12解得t=20或5，∴t=20s或5s時，△PCQ的面積為故選：D．7（2324九年級上·江蘇無錫·期中）如圖，在矩形ABCD中，AB=16cm，BC=6cm，點P從點A出發(fā)沿AB以3cm/s的速度向點B移動，一直到達(dá)點B為止;同時，點Q從點C出發(fā)沿邊CD以2cm/s的速度向點D移動．設(shè)運動時間為t，當(dāng)

A．83 B．85或4 C．85或24【答案】C【點評】此題考查了一元二次方程的運用．利用作垂線，構(gòu)造直角三角形，運用勾股定理列方程是解題關(guān)鍵．作PH⊥CD，垂足為H，設(shè)運動時間為t秒，用t表示線段長，用勾股定理列方程求解．【詳解】解：設(shè)P，Q兩點從出發(fā)經(jīng)過t秒時，點P，Q間的距離是10cm作PH⊥CD，垂足為H，

則PH=BC=6，PQ=10，HQ=CD-AP-CQ=16-5t.∵PH可得：16-5t2解得t1=4.8，答：P，Q兩點從出發(fā)經(jīng)過1.6或4.8秒時，點P，Q間的距離是10cm故答案為：C.8（2025·廣東深圳·二模）如圖，AO=BO=50cm，OC是一條射線，OC⊥AB，一只螞蟻由點A以2cm/s的速度向點B爬行，同時另一只螞蟻由點O以3cm/s的速度沿OC【答案】10或15或30【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，培養(yǎng)了學(xué)生的抽象思維能力，使學(xué)生學(xué)會用運動的觀點來觀察事物，解題的關(guān)鍵是分兩種情況進(jìn)行討論．分兩種情況進(jìn)行討論：（1）當(dāng)?shù)谝恢晃浵佋贏O上運動時，列方程進(jìn)行求解即可；（2）當(dāng)螞蟻在OB上運動，根據(jù)三角形的面積公式即可列方程求解．【詳解】解：設(shè)xs后兩只螞蟻與O點組成的三角形面積為有兩種情況：（1）如圖1，當(dāng)?shù)谝恢晃浵佋贏O上運動時，由題意得12×3x×(50-2x)=450整理得x2-25x+150=0解得x1=15，（2）如圖2，當(dāng)?shù)谝恢晃浵佋贠B上運動時，由題意得12×3x(2x-50)=450整理得x2-25x-150=0解得x1=30，綜上所述，在15s,10s,30s9（2425八年級下·山東煙臺·期中）第九屆亞冬會于2025年2月7日至2月14日在我國冰城哈爾濱勝利召開．徽章作為亞冬會第一批特許商品早于2024年2月4日開售，并深受大家的喜愛．某商店以每枚45元的價格購進(jìn)某款亞冬會徽章，以每枚68元的價格出售，經(jīng)統(tǒng)計，2024年2月份的銷售量為256枚，2024年4月份的銷售量為400枚．(1)求該款徽章2024年2月份到4月份銷售量的月平均增長率；(2)從4月份起，商場決定采用降價促銷的方式回饋顧客，經(jīng)試驗，發(fā)現(xiàn)該款徽章每降價1元，月銷售量就會增加20枚，當(dāng)該款徽章降價多少元時，月銷售利潤達(dá)8400元？【答案】(1)該款徽章2024年2月份到4月份銷售量的月平均增長率為25%(2)當(dāng)該款徽章降價8元時，月銷售利潤達(dá)8400元．【分析】本題主要考查了一元二次方程的實際應(yīng)用，正確理解題意列出方程是解題的關(guān)鍵．（1）設(shè)該款徽章2024年2月份到4月份銷售量的月平均增長率為x，根據(jù)2月份到4月份銷售量從256變成400建立方程求解即可；（2）設(shè)該款徽章降價m元，則每枚的利潤為68-45-m元，月銷售量為400+20m枚，根據(jù)總利潤為8400元建立方程求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)該款徽章2024年2月份到4月份銷售量的月平均增長率為x，根據(jù)題意，得2561+x解得x1答：該款徽章2024年2月份到4月份銷售量的月平均增長率為25%（2）解：設(shè)該款徽章降價m元，則每枚的利潤為68-45-m元，月銷售量為400+20m枚，根據(jù)題意，得68-45-m400+20m整理得m2解得m1=8，m2=-5m1=8答：當(dāng)該款徽章降價8元時，月銷售利潤達(dá)8400元．10（2025·湖南長沙·一模）某社區(qū)計劃將一個長12米、寬8米的長方形花壇擴(kuò)建為公共休息區(qū)．?dāng)U建方案是在花壇四面修建一條寬度相同的小道，使擴(kuò)建后的長方形公共休息區(qū)的總面積為192平方米．(1)求這條小道的寬度；(2)如果用籬笆圍住擴(kuò)建后的休息區(qū)，需要多少米籬笆？【答案】(1)這條小道的寬度為2米(2)需要56米籬笆【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確建立方程是解題關(guān)鍵．（1）設(shè)這條小道的寬度為x米，根據(jù)擴(kuò)建后的長方形公共休息區(qū)的總面積為192平方米建立方程，解方程即可得；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果求出擴(kuò)建后的長方形公共休息區(qū)的長與寬，再利用長方形的周長公式計算即可得．【詳解】（1）解：設(shè)這條小道的寬度為x米，由題意得：8+2x12+2x解得x=2或x=-12<0（不符合題意，舍去），答：這條小道的寬度為2米．（2）解：由（1）可知，擴(kuò)建后的長方形公共休息區(qū)的長為12+2×2=16（米），寬為8+2×2=12（米），則2×12+16答：如果用籬笆圍住擴(kuò)建后的休息區(qū)，需要56米籬笆．【B組提高題】1（2023·江蘇蘇州·一模）如圖，一塊正方形地磚的圖案是由4個全等的五邊形和1個小正方形組成的，已知小正方形的面積和五邊形的面積相等，并且圖中線段a的長度為10-2，則這塊地磚的面積為（

A．50 B．40 C．30 D．20【答案】B【分析】如圖，根據(jù)題意易知，點O為正方形ABCD，EFGH的中心，利用圖中的面積關(guān)系最終可推出14S正方形ABCD=5S△EOF，設(shè)正方形ABCD的邊長為2x【詳解】解：如圖，根據(jù)題意易知，點O為正方形ABCD，∴S△EOF=14S∵S五邊形∴S五邊形∵S五邊形∴14設(shè)正方形ABCD的邊長為2x,則OF=OE=x-a,∴14?2x?2x=5∵a=10∴x=10或7∵710∴x=10∴S正方形故選：B．【點睛】本題主要考查全等圖形、正方形的性質(zhì)、二次根式的應(yīng)用、一元二次方程的應(yīng)用等知識點，利用已知條件，得到各部分圖形之間的面積關(guān)系并列出方程是解題關(guān)鍵．2（2025·山東濰坊·一模）在數(shù)學(xué)綜合與實踐課上，李老師讓同學(xué)們以“正方形折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動．【具體操作】如圖1，在正方形ABCD中，將∠B沿過點A的直線AE翻折，點B落在正方形ABCD內(nèi)部的點M處，得到Rt△AME，折痕為AE；再將∠D沿過點A的直線AF翻折，使AD與AM重合，得到Rt△AMF，折痕為AF．由以上操作，不難發(fā)現(xiàn)E，M，【問題解決】（1）請直接寫出∠EAF=；（2）若BE=2，DF=3，求正方形ABCD的邊長；【深入探究】（3）如圖2，再將△ECF沿EF所在直線折疊，點C恰好落在線段AF的點N處，得到△ENF，線段AM與EN相交于點P，請寫出NP，BE，DF三條線段的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】（1）45°；（2）正方形的邊長為6；（3）2NP=BE+DF，見解析【分析】（1）由正方形的性質(zhì)可得∠DAB=90°，由折疊的性質(zhì)可得∠DAF=∠MAF，∠BAE=∠MAE，再由∠EAF=∠MAE+∠MAF計算即可得解；（2）由折疊可知，EM=BE=2，F(xiàn)M=DF=3，設(shè)正方形邊長為a，則CE=a-2，CF=a-3，再由勾股定理計算即可得解；（3）由正方形的性質(zhì)可得∠B=∠C=90°，由折疊的性質(zhì)可知，BE=ME，DF=MF，∠AME=∠B=∠C=∠ENF=90°，證明△ANP≌△EN