202X齊齊哈爾市中考數(shù)學(xué)幾何綜合壓軸題模擬專題一、中考幾何壓軸題1．（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，在△ABC中和△DCE中，，，，點(diǎn)D是BC的垂線AF上任意一點(diǎn)．填空：①的值為；②∠ABE的度數(shù)為．（2）類比探究：如圖2，在△ABC中和△DCE中，，，點(diǎn)D是BC的垂線AF上任意一點(diǎn)．請(qǐng)判斷的值及∠ABE的度數(shù)，并說明理由；（3）拓展延伸：在（2）的條件下，若，，請(qǐng)直接寫出BE的長(zhǎng)．2．如圖1，在中，，點(diǎn)P在斜邊上，點(diǎn)D?E?F分別是線段??的中點(diǎn)，易知是直角三角形．現(xiàn)把以點(diǎn)P為中心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，其中．連接??．（1）操作發(fā)現(xiàn)如圖2，若點(diǎn)P是的中點(diǎn)，連接，可以發(fā)現(xiàn)____________；（2）類比探究如圖3，中，于點(diǎn)P，請(qǐng)判斷與的大小，結(jié)合圖2說明理由；（3）拓展提高在（2）的條件下，如果，且，在旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)以點(diǎn)C?D?F?P四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形與以點(diǎn)B?E?F?P四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形都是平行四邊形時(shí)，直接寫出線段??的長(zhǎng)．3．已知：如圖1所示將一塊等腰三角板BMN放置與正方形ABCD的重合，連接AN、CM，E是AN的中點(diǎn)，連接BE．（觀察猜想）（1）CM與BE的數(shù)量關(guān)系是________；CM與BE的位置關(guān)系是________；（探究證明）（2）如圖2所示，把三角板BMN繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，其他條件不變，線段CM與BE的關(guān)系是否仍然成立，并說明理由；（拓展延伸）（3）若旋轉(zhuǎn)角，且，求的值．4．點(diǎn)E是矩形ABCD邊AB延長(zhǎng)線上的一動(dòng)點(diǎn)，在矩形ABCD外作Rt△ECF，其中∠ECF＝90°，過點(diǎn)F作FG⊥BC，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，連接DF，交CG于點(diǎn)H．（1）發(fā)現(xiàn)：如圖1，若AB＝AD，CE＝CF，猜想線段DH與HF的數(shù)量關(guān)系是；（2）探究：如圖2，若AB＝nAD，CF＝nCE，則（1）中的猜想是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)說明理由．（3）拓展：在（2）的基礎(chǔ)上，若射線FC過AD的三等分點(diǎn)，AD＝3，AB＝4，則直接寫出線段EF的長(zhǎng)．5．（教材呈現(xiàn)）下面是華師版八年級(jí)下冊(cè)教材第89頁(yè)的部分內(nèi)容．如圖，G，H是平行四邊形ABCD對(duì)角線AC上的兩點(diǎn)，且AG=CH，E，F(xiàn)分別是邊AB和CD的中點(diǎn)求證：四邊形EHFG是平行四邊形證明：連接EF交AC于點(diǎn)O∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AB=CD，AB∥CD又∵E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)∴AE=CF又∵AB∥CD∴∠EAO=∠FCO又∵∠AOE=∠COF∴△AOE≌△COF請(qǐng)補(bǔ)全上述問題的證明過程．（探究）如圖①，在△ABC中，E，O分別是邊AB、AC的中點(diǎn)，D、F分別是線段AO、CO的中點(diǎn)，連結(jié)DE、EF，將△DEF繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°得到△DGF，若四邊形DEFG的面積為8，則△ABC的面積為．（拓展）如圖②，GH是正方形ABCD對(duì)角線AC上的兩點(diǎn)，且AG＝CH，GH＝AB，E、F分別是AB和CD的中點(diǎn)．若正方形ABCD的面積為16，則四邊形EHFG的面積為．6．隨著教育教學(xué)改革的不斷深入，數(shù)學(xué)教學(xué)如何改革和發(fā)展，如何從“重教輕學(xué)”向自主學(xué)習(xí)探索為主的方向發(fā)展，是一個(gè)值得思考的問題．從數(shù)學(xué)的產(chǎn)生和發(fā)展歷程來(lái)看分析，不外乎就是三個(gè)環(huán)節(jié)：（觀察猜想）-（探究證明）-（拓展延伸）．下面同學(xué)們從這三個(gè)方面試看解決下列問題：已知：如圖1所示將一塊等腰三角板放置與正方形的重含，連接、，E是的中點(diǎn)，連接．（觀察猜想）（1）與的數(shù)量關(guān)系是________，與的位置關(guān)系是___________；（探究證明）（2）如圖2所示，把三角板繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，其他條件不變，線段與的關(guān)系是否仍然成立，并說明理由；（拓展延伸）（3）若旋轉(zhuǎn)角，且，求的值．7．在中，于點(diǎn)，點(diǎn)為射線上任一點(diǎn)（點(diǎn)除外）連接，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，，得到，連接．（1）（觀察發(fā)現(xiàn)）如圖1，當(dāng)，且時(shí)，BP與的數(shù)量關(guān)系是___________，與的位置關(guān)系是___________．（2）（猜想證明）如圖2，當(dāng)，且時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)予以證明；若不成立，請(qǐng)說明理由．（請(qǐng)選擇圖2，圖3中的一種情況予以證明或說理）（3）（拓展探究）在（2）的條件下，若，，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)．8．綜合與實(shí)踐操作探究（1）如圖1，將矩形折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，折痕為，與交于點(diǎn)．請(qǐng)回答下列問題：①與全等的三角形為______，與相似的三角形為______．并證明你的結(jié)論：（相似比不為1，只填一個(gè)即可）：②若連接、，請(qǐng)判斷四邊形的形狀：______．并證明你的結(jié)論；拓展延伸（2）如圖2，矩形中，，，點(diǎn)、分別在、邊上，且，將矩形折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，折痕為，與交于點(diǎn)，連接．①設(shè)，，則與的數(shù)量關(guān)系為______；②設(shè)，，請(qǐng)用含的式子表示：______；③的最小值為______．9．（1）（問題發(fā)現(xiàn)）如圖①，正方形的兩邊分別在正方形的邊和上，連接．填空：①線段與的數(shù)量關(guān)系為______；②直線與所夾銳角的度數(shù)為_______．（2）（拓展探究）如圖②，將正方形繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)的過程中，（1）中的結(jié)論是否仍然成立，請(qǐng)利用圖②進(jìn)行說明．（3）（解決問題）如圖③，在正方形中，，點(diǎn)M為直線上異于B，C的一點(diǎn)，以為邊作正方形，點(diǎn)N為正方形的中心，連接，若，直接寫出的長(zhǎng)．10．（問題情境）在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝α（0°＜α＜180°），點(diǎn)P為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），連接AP，將線段PA繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段PQ旋轉(zhuǎn)角為α，連接CQ．（特例分析）（1）當(dāng)α＝90°，點(diǎn)P在線段BC上時(shí)，過P作PF∥AC交直線AB于點(diǎn)F，如圖①，易得圖中與△APF全等的一個(gè)三角形是，∠ACQ＝°．（拓展探究）（2）當(dāng)點(diǎn)P在BC延長(zhǎng)線上，AB：AC＝m：n時(shí)，如圖②，試求線段BP與CQ的比值；（問題解決）（3）當(dāng)點(diǎn)P在直線BC上，α＝60°，∠APB＝30°，CP＝4時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段CQ的長(zhǎng)．11．（1）嘗試探究：如圖①，在中，，，點(diǎn)、分別是邊、上的點(diǎn)，且EF∥AB．①的值為_________；②直線與直線的位置關(guān)系為__________；（2）類比延伸：如圖②，若將圖①中的繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接，，則在旋轉(zhuǎn)的過程中，請(qǐng)判斷的值及直線與直線的位置關(guān)系，并說明理由；（3）拓展運(yùn)用：若，，在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，請(qǐng)直接寫出此時(shí)線段的長(zhǎng)．12．（1）問題探究：如圖1所示，有公共頂點(diǎn)A的兩個(gè)正方形ABCD和正方形AEFG．AE＜AB，連接BE與DG，請(qǐng)判斷線段BE與線段DG之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系．并請(qǐng)說明理由．（2）理解應(yīng)用：如圖2所示，有公共頂點(diǎn)A的兩個(gè)正方形ABCD和正方形AEFG，AE＜AB，AB＝10，將正方形AEFG繞點(diǎn)A在平面內(nèi)任意旋轉(zhuǎn)，當(dāng)∠ABE＝15°，且點(diǎn)D、E、G三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，請(qǐng)直接寫出AE的長(zhǎng)；（3）拓展應(yīng)用：如圖3所示，有公共頂點(diǎn)A的兩個(gè)矩形ABCD和矩形AEFG，AD＝4，AB＝4，AG＝4，AE＝4，將矩形AEFG繞點(diǎn)A在平面內(nèi)任意旋轉(zhuǎn)，連接BD，DE，點(diǎn)M，N分別是BD，DE的中點(diǎn)，連接MN，當(dāng)點(diǎn)D、E、G三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，請(qǐng)直接寫出MN的長(zhǎng)13．如圖1，在菱形ABCD中，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AC，AB上的點(diǎn)，且，猜想：①的值是_______；②直線DE與直線CF所成的角中較小的角的度數(shù)是_______．（2）類比探究：如圖2，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)的過程中，（1）中結(jié)論是否成立，就圖2的情形說明理由．（3）拓展延伸：在繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，請(qǐng)直接寫出CF的長(zhǎng)．14．（1）觀察發(fā)現(xiàn)：如圖1，在中，，，點(diǎn)是的平分線上一點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到，連結(jié)、，交于．填空：①線段與的數(shù)量關(guān)系是_________；②線段與的位置關(guān)系是_________．（2）拓展探究：如圖2，在中，，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，連結(jié)、，交于．（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)說明理由．（3）拓展應(yīng)用：如圖3，在中，，，，的平分線交于，點(diǎn)是射線上的一點(diǎn)，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到，連結(jié)、、，與相交于，若以、、為頂點(diǎn)的三角形與全等，直接寫出的長(zhǎng)．15．如圖1，在等腰三角形中，點(diǎn)分別在邊上，連接點(diǎn)分別為的中點(diǎn)．（1）觀察猜想圖1中，線段的數(shù)量關(guān)系是____，的大小為_____；（2）探究證明把繞點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置，連接判斷的形狀，并說明理由；（3）拓展延伸把繞點(diǎn)在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若，請(qǐng)求出面積的最大值．16．石家莊某學(xué)校數(shù)學(xué)興趣小組利用機(jī)器人開展數(shù)學(xué)活動(dòng)，在相距150個(gè)單位長(zhǎng)度的直線跑道AB上，機(jī)器人甲從端點(diǎn)A出發(fā)，勻速往返于端點(diǎn)A、B之間，機(jī)器人乙同時(shí)從端點(diǎn)B出發(fā)，以大于甲的速度勻速往返于端點(diǎn)B、A之間．他們到達(dá)端點(diǎn)后立即轉(zhuǎn)身折返，用時(shí)忽略不計(jì)，興趣小組成員探究這兩個(gè)機(jī)器人迎面相遇的情況，這里的“迎面相遇”包括面對(duì)面相遇、在端點(diǎn)處相遇這兩種．（觀察）①觀察圖1，若這兩個(gè)機(jī)器人第一次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離為30個(gè)單位長(zhǎng)度，則他們第二次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離為個(gè)單位長(zhǎng)度．②若這兩個(gè)機(jī)器人第一次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離為35個(gè)單位長(zhǎng)度，則他們第二次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離為個(gè)單位長(zhǎng)度．（發(fā)現(xiàn)）設(shè)這兩個(gè)機(jī)器人第一次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離為x個(gè)單位長(zhǎng)度，他們第二次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離為y個(gè)單位長(zhǎng)度，興趣小組成員發(fā)現(xiàn)了y與x的函數(shù)關(guān)系，并畫出了部分函數(shù)圖象（線段OP，不包括點(diǎn)O，如圖2所示）①a＝；②分別求出各部分圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式，并在圖2中補(bǔ)全函數(shù)圖象．（拓展）設(shè)這兩個(gè)機(jī)器人第一次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離為x個(gè)單位長(zhǎng)度，他們第三次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離為y個(gè)單位長(zhǎng)度，若這兩個(gè)機(jī)器人在第三次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離y不超過60個(gè)單位長(zhǎng)度，則他們第一次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離x的取值范圍是．（直接寫出結(jié)果）17．定義：如圖1，點(diǎn)M、N把線段AB分割成AM、MN和BN，若以AM、MN、BN為邊的三角形是一個(gè)直角三角形，則稱點(diǎn)M、N是線段AB的勾股點(diǎn)．已知點(diǎn)M、N是線段AB的勾股點(diǎn)，若AM＝1，MN＝2，則BN＝．（1）（類比探究）如圖2，DE是△ABC的中位線，M、N是AB邊的勾股點(diǎn)（AM＜MN＜NB），連接CM、CN分別交DE于點(diǎn)G、H．求證：G、H是線段DE的勾股點(diǎn)．（2）（知識(shí)遷移）如圖3，C，D是線段AB的勾股點(diǎn)，以CD為直徑畫⊙O，P在⊙O上，AC＝CP，連結(jié)PA，PB，若∠A＝2∠B，求∠B的度數(shù)．（3）（拓展應(yīng)用）如圖4，點(diǎn)P（a，b）是反比例函數(shù)（x＞0）上的動(dòng)點(diǎn)，直線與坐標(biāo)軸分別交于A、B兩點(diǎn)，過點(diǎn)P分別向x、y軸作垂線，垂足為C、D，且交線段AB于E、F．證明：E、F是線段AB的勾股點(diǎn)．18．[探索發(fā)現(xiàn)]（1）如圖①，△ABC與△ADE為等腰三角形，且兩頂角∠ABC＝∠ADE，連接BD與CE，則△ABD與△ACE的關(guān)系是；[操作探究]（2）在△ABC中，AB＝AC＝3，∠BAC＝100°，D是BC的中點(diǎn)，在線段AD上任取一點(diǎn)P，連接PB，將線段PB繞點(diǎn)P按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)80°，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)E，連接BE，得到△BPE，隨著點(diǎn)P在線段AD上位置的變化，點(diǎn)E的位置也在變化，點(diǎn)E可能在直線AD的左側(cè)，也可能在直線AD上，還可能在直線AD的右側(cè)．請(qǐng)你探究，當(dāng)點(diǎn)E在直線AD上時(shí)，如圖②所示，連接CE，判斷直線CE與直線AB的位置關(guān)系，并說明理由．[拓展應(yīng)用]（3）在（2）的應(yīng)用下，請(qǐng)?jiān)趫D③中畫出△BPE，使得點(diǎn)E在直線AD的右側(cè)，連接CE，試求出點(diǎn)P在線段AD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，AE的最小值．19．將兩個(gè)完全相同的三角形紙片和重合放置，其中．（1）操作發(fā)現(xiàn):如圖2，固定使繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，設(shè)的面積為的面積為當(dāng)點(diǎn)恰好落在邊上時(shí)，則與的數(shù)量關(guān)系是；（2）猜想論證:當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到如圖3所示的位置時(shí)，小明猜想中與的數(shù)量關(guān)系為相等，并嘗試分別作出了和中邊上的高請(qǐng)你證明小明的猜想，即證明:．（3）拓展探究:已知，點(diǎn)是角平分線上的一點(diǎn)，交于點(diǎn)（如圖4)．若射線上存在點(diǎn)，使，請(qǐng)直接寫出相應(yīng)的的長(zhǎng)．20．（1）問題發(fā)現(xiàn)如圖1，△ACB和△DCE均為等邊三角形，點(diǎn)A，D，E在同一直線上，連接BE．填空：①∠AEB的度數(shù)為；②線段AD，BE之間的數(shù)量關(guān)系為．（2）拓展探究如圖2，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，點(diǎn)A，D，E在同一直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE，請(qǐng)判斷∠AEB的度數(shù)及線段CM，AE，BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（3）解決問題如圖3，在正方形ABCD中，CD＝，若點(diǎn)P滿足PD＝1，且∠BPD＝90°，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)A到BP的距離．【參考答案】***試卷處理標(biāo)記，請(qǐng)不要?jiǎng)h除一、中考幾何壓軸題1．（1）①1；②90°；（2）(2),，理由見解析；（3）或【分析】（1）①根據(jù)已知條件可知為等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可證明，即可得出答案；②根據(jù)，得出，因?yàn)椋^而推出；（2）利用已知解析：（1）①1；②90°；（2）(2),，理由見解析；（3）或【分析】（1）①根據(jù)已知條件可知為等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可證明，即可得出答案；②根據(jù)，得出，因?yàn)?，繼而推出；（2）利用已知條件證明△ACD∽△BCE，即可推出,；（3）當(dāng)點(diǎn)E在AF右邊時(shí)，如圖2所示，由已知條件可得出，在中運(yùn)用勾股定理可求出AD的值，再運(yùn)用（2）中結(jié)論即可得出BE的值；當(dāng)點(diǎn)E在AF左邊時(shí)，如圖3所示，可證明，，再運(yùn)用（2）中結(jié)論即可得出BE的值．【詳解】解：（1）①∵，，∴為等邊三角形∴∴∴∴的值為1；故答案為：1；②∵∴∵∴∴∵∴故答案為：90°．（2）,.理由如下：在Rt△ABC中，，.∴.同理：.∴.又.∴.∴△ACD∽△BCE.∴,.∴.（3）當(dāng)點(diǎn)E在AF右邊時(shí)，如圖2所示：∵，，，∴，∴∵∴；當(dāng)點(diǎn)E在AF左邊時(shí)，如圖3所示同理，可得，∵∴∴∴∵∵∴綜上所述，BE的值為或.【點(diǎn)睛】本題是一道關(guān)于三角形相似的綜合題目，涉及的知識(shí)點(diǎn)有全等三角形的判定及性質(zhì)、相似三角形的判定及性質(zhì)、等邊三角形的判定、解直角三角形、勾股定理的應(yīng)用等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，它充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)解題中的數(shù)形結(jié)合思想和整體轉(zhuǎn)化思想．2．（1）1，1；（2）結(jié)論：，理由見解析；（3），，．【分析】（1）利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)以及全等三角形的性質(zhì)解決問題即可．（2）結(jié)論：．如圖3中，連接．利用相似三角形的性質(zhì)解決問題即可．解析：（1）1，1；（2）結(jié)論：，理由見解析；（3），，．【分析】（1）利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)以及全等三角形的性質(zhì)解決問題即可．（2）結(jié)論：．如圖3中，連接．利用相似三角形的性質(zhì)解決問題即可．（3）分兩種情形：如圖中，當(dāng)時(shí)，滿足條件，如圖中，當(dāng)點(diǎn)落在上時(shí)，四邊形是矩形，四邊形是矩形，分別求解即可．【詳解】解：（1）如圖2中，連接，．，，，，，，，，，，，同法可證，，，．故答案為1，1．（2）結(jié)論：．理由：如圖3中，連接．，，，，，，，，，同法可證，，，，，，，．（3）如圖中，當(dāng)時(shí)，，，，，，四邊形是平行四邊形，，，，，，同法可證，，四邊形是平行四邊形，，，，，，，，，，，，，，由（2）可知，，，．如圖中，當(dāng)點(diǎn)落在上時(shí)，四邊形是矩形，四邊形是矩形，此時(shí)，由（2）可知，，，．綜上所述，，，．【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)變換，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形或相似三角形解決問題，屬于中考?jí)狠S題．3．（1）；；（2）成立，理由見解析；（3）【分析】（1）【觀察猜想】根據(jù)正方形ABCD，得到AB=CB，由等腰三角形BMN，得到BM=BN，可證明Rt△BAN≌Rt△BCM（HL)，又根據(jù)E是A解析：（1）；；（2）成立，理由見解析；（3）【分析】（1）【觀察猜想】根據(jù)正方形ABCD，得到AB=CB，由等腰三角形BMN，得到BM=BN，可證明Rt△BAN≌Rt△BCM（HL)，又根據(jù)E是AN的中點(diǎn)，即可證明CM=2BE，根據(jù)等邊對(duì)等角得到∠ABE=∠BCM，∠ABE+∠BMC=90°即可證明CM⊥BE．（2）【探究證明】延長(zhǎng)BE至F使EF=BE，連接AF，先證明△AEF≌△NEB，再證明△FAB≌MBC，得到CM=BF=2BE，∠BCM=∠ABF，得到∠ABF+∠FBC=90°，進(jìn)而求得∠BCM+∠EBC=90°，即可證明EB⊥CM；（3）[拓展延伸]由a=45°得到∠ABE=15°，由前面可得∠BMC=30°，過C作CG⊥MB于G，設(shè)CG為m，則BC=m，MG=m，所以MB=BN=m-m，最后求得的值．【詳解】解:【觀察猜想】(1)CM=2BE；CM⊥BE；如圖1所示圖1∵正方形ABCD，∴AB=CB，∵等腰三角形BMN，∴BM=BN，∴Rt△BAN≌Rt△BCM（HL)，∴∠BAN=∠BCM，又∵E是AN的中點(diǎn)，∴BE=AE=NE=AN，∴CM=2BE，∵BE=AE，∴∠BAN=∠ABE，∴∠ABE=∠BCM，∴∠ABE+∠BMC=∠BCM+∠BMC=90°∴∠BPM=90°∴CM⊥BE．【探究證明】(2)CM=2BE，CM⊥BE仍然成立．如圖2所示，延長(zhǎng)BE至F使EF=BE，連接AF，∵AE=EN，∠AEF=∠NEB，EF=BE，∴△AEF≌△NEB∴AF=BN，∠F=∠EBN，∴AF//BN，AF=BM，∴∠FAB+∠ABN=180°，∵∠MBN=∠ABC=90°，∴∠NBC+∠ABN=90°，∴∠NBA+∠FAD=90°，∴∠CBN=∠FAD∴∠FAB=∠MBC，∵AB=BC，∴△FAB≌MBC，∴CM=BF=2BE，∠BCM=∠ABF，∵∠ABF+∠FBC=90°∴∠BCM+∠EBC=90°，∴EB⊥CM；[拓展延伸](3)由a=45°得∠MBA=∠ABN=45°，∵∠NBE=2∠ABE，∴∠ABE=15°，由前面可得∠MCB=∠ABE=15°，∠MBC=135°，∴∠BMC=180°-15°-135°=30°，如圖3所示，過C作CG⊥MB于G，圖3設(shè)CG為m則BC=m，MG=m，所以MB=BN=m-m，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰直角三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用以上性質(zhì)解決問題．4．(1)DH=HF；(2)DH=HF仍然成立，理由見解析；(3)或．【分析】(1)證明，得，則，則證，得出即可；(2)證，則，由矩形的性質(zhì)得出，證，即可得出；(3)根據(jù)矩形的性質(zhì)和已知得，則解析：(1)DH=HF；(2)DH=HF仍然成立，理由見解析；(3)或．【分析】(1)證明，得，則，則證，得出即可；(2)證，則，由矩形的性質(zhì)得出，證，即可得出；(3)根據(jù)矩形的性質(zhì)和已知得，則，分兩種情況，根據(jù)勾股定理和平行線的性質(zhì)進(jìn)行解答即可．【詳解】解：(1)，理由如下：∵四邊形ABCD是矩形，，∴四邊形ABCD是正方形，∴，，∵，，∴，，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴，，在和中，，∴，∴，故答案為，(2)仍然成立，理由如下：∵四邊形ABCD是矩形，，，∴∴，∵，∴，∴，∴，∴四邊形ABCD是矩形，，∴，∴，∴，∵四邊形ABCD是矩形，∴，∵，∴，∴，，在和中，，∴，∴，(3)如圖所示，延長(zhǎng)FC交AD于R，∵四邊形ABCD是矩形，∴，，，，∵，，∴，∴，分兩種情況：①當(dāng)時(shí)，∵，∴，，在中，由勾股定理得：，∵，，∴，∴，由勾股定理得：EF＝；②當(dāng)時(shí)，同理可得：，，，，由勾股定理得：，綜上所說，若射線FC過AD的三等分點(diǎn)，，，則線段EF的長(zhǎng)為或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握平行線的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．教材呈現(xiàn)：見解析；探究：16；拓展：4【分析】教材呈現(xiàn)：先根據(jù)三角形全等的性質(zhì)可得，再根據(jù)線段的和差可得，然后根據(jù)平行四邊形的判定即可得證；探究：先由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，再根據(jù)等底同高可得，從而可解析：教材呈現(xiàn)：見解析；探究：16；拓展：4【分析】教材呈現(xiàn)：先根據(jù)三角形全等的性質(zhì)可得，再根據(jù)線段的和差可得，然后根據(jù)平行四邊形的判定即可得證；探究：先由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，再根據(jù)等底同高可得，從而可得，然后根據(jù)三角形中位線定理即可得；拓展：先根據(jù)正方形的性質(zhì)和面積可得，從而可得，再根據(jù)等腰直角三角形和勾股定理可得，然后利用三角形的面積公式可得，最后利用平行四邊形的性質(zhì)即可得．【詳解】解：教材呈現(xiàn)：補(bǔ)充完整證明過程如下：∴OE＝OF，OA＝OC，又∵AG＝CH，∴OA－AG＝OC－CH，即OG＝OH，∴四邊形EHFG是平行四邊形；探究：如圖，連接OE，BO，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)D是AO的中點(diǎn)，點(diǎn)F是CO的中點(diǎn)，，由等底同高得：，，又點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，∴S△BEO=S△AEO=4，∴S△ABO=S△BEO+S△AEO=8，，故答案為：16；拓展：如圖，過點(diǎn)E作于點(diǎn)O，四邊形ABCD是面積為16的正方形，，在Rt△ABC中，由勾股定理得，∵AC為正方形的對(duì)角線，∴∠EAO=45°，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，，∵，∴，∴AO=EO，在Rt△AEO中由勾股定理的AO2+EO2=AE2，即2OE2=4解得，，，，由教材呈現(xiàn)可知，四邊形EHFG是平行四邊形，則四邊形EHFG的面積為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、三角形中線性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，較難的是拓展，通過作輔助線，構(gòu)造等腰直角三角形是解題關(guān)鍵．6．（1）CM=2BE，CM⊥BE；（2）成立，理由見解析；（3）【分析】（1）設(shè)證明，由點(diǎn)是的中點(diǎn)，得到，進(jìn)而求解；（2）證明和，得到，，進(jìn)而求解；（3）證明，過點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)，則，，則，即可求解析：（1）CM=2BE，CM⊥BE；（2）成立，理由見解析；（3）【分析】（1）設(shè)證明，由點(diǎn)是的中點(diǎn)，得到，進(jìn)而求解；（2）證明和，得到，，進(jìn)而求解；（3）證明，過點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)，則，，則，即可求解．【詳解】解：（1）設(shè)交于點(diǎn)，為等腰直角三角形，，，，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，則，即，，，即，故答案為：，CM⊥BE；（2），，仍然成立．如圖所示，延長(zhǎng)至使，連接，，，，，，，，，而，，，，，，，，，；（3）由得，，則，由（2）知，，，過點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)，則，，，．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)、直角三角形中線定理、解直角三角形、三角形全等等，綜合性強(qiáng)，難度較大．7．（1），；（2）成立，不成立，與的關(guān)系為，見解析；（3）2或14【分析】（1）連接AE，證明△ABC、△APE為等邊三角形，再證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得BP=CE，，再求得，即可得，所有．解析：（1），；（2）成立，不成立，與的關(guān)系為，見解析；（3）2或14【分析】（1）連接AE，證明△ABC、△APE為等邊三角形，再證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得BP=CE，，再求得，即可得，所有．（2）成立，不成立，與的關(guān)系為．選圖2證明：連接，易證，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得，由此可得，結(jié)論可證；選圖3證明，類比圖2的證明方法即可；（3）分圖2和圖3兩種情況求CE的長(zhǎng)即可．【詳解】（1）如圖，連接AE，∵，且，∴△ABC為等邊三角形，∴，AB=AC，∵，且，∴△APE為等邊三角形，∴，AP=AE，∴，∴；在△BAP和△CAE中，，∴，∴BP=CE，，∵，，，∴∠ABP=30°，∴，∴，∴．故答案為：，．（2）成立，不成立，與的關(guān)系為．理由如下：選圖2證明：連接，由題意可知：、均為等腰直角三角形，∴，，∴，即；又∵，∴，∴，，∵，，∴，∴，∴，∴，．選圖3證明：理由如下：連接，由題意可知：、均為等腰直角三角形，∴，，∴，即，又∵，∴，∴，，∵，，∴，∴，∴，∴，；（3）或14．如圖，∵，∴，∵，∴在中，，∴，由（2）知：，∴；如圖，同理可得，∴，∴．綜上：的長(zhǎng)為2或14．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，熟練運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解決問題的關(guān)鍵．8．（1）①；或；證明見解析；②菱形，證明見解析；（2）①；②；③【分析】（1）①利用矩形的性質(zhì)與軸對(duì)稱的性質(zhì)證明如圖1，連接證明即可得到答案；②如圖1，由①得：再證明四邊形為平行四邊形解析：（1）①；或；證明見解析；②菱形，證明見解析；（2）①；②；③【分析】（1）①利用矩形的性質(zhì)與軸對(duì)稱的性質(zhì)證明如圖1，連接證明即可得到答案；②如圖1，由①得：再證明四邊形為平行四邊形與可得結(jié)論；（2）①如圖2，連接由折疊可得：再利用勾股定理可得答案；②如圖3，連接交于證明四邊形是菱形，可得從而可得答案；③由②得：可得，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案．【詳解】解：（1）①矩形由折疊可得：如圖1，連接由折疊可得：同理：故答案為：，或②如圖1，由①得：矩形四邊形為平行四邊形，四邊形為菱形，（2）①如圖2，連接由折疊可得：矩形，，故答案為：②如圖3，連接交于矩形重合，同理可得：由對(duì)折可得：四邊形是菱形，，，故答案為：③由②得：當(dāng)時(shí)，最小，最小值為的最小值為：故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定，矩形的性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．9．（1）①；②；（2）仍然成立，證明見解析；（3）或【分析】（1）【問題發(fā)現(xiàn)】連接．易證，，三點(diǎn)共線．易知．，推出，從而得出與所夾銳角的度數(shù)；（2）【拓展探究】連接，，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交于點(diǎn)解析：（1）①；②；（2）仍然成立，證明見解析；（3）或【分析】（1）【問題發(fā)現(xiàn)】連接．易證，，三點(diǎn)共線．易知．，推出，從而得出與所夾銳角的度數(shù)；（2）【拓展探究】連接，，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交于點(diǎn)，根據(jù)四邊形的性質(zhì)得到，根據(jù)得到，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可解決問題；（3）【解決問題】需分兩種情況討論：①當(dāng)點(diǎn)M在線段BC上時(shí)，連接AB，AN，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠ABC=∠BAC=45°，∠MAN=45°，可得∠BAM=∠CAN，根據(jù)，可得△ABM∽△CAN，從而得到CN=BM，根據(jù)，可得到BM=AC-CM=2，從而可求出CN的值；②當(dāng)點(diǎn)M在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，連接AB，AN，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠ABC=∠BAC=45°，∠MAN=45°，可得∠BAM=∠CAN，根據(jù)，可得△ABM∽△CAN，從而得到CN=BM，根據(jù)，可得到BM=AC+CM=6，從而可求出CN的值．【詳解】解：（1）【問題發(fā)現(xiàn)】如圖①中，①線段與的數(shù)量關(guān)系為；②直線與所夾銳角的度數(shù)為．理由：如圖①中，連接．易證，，三點(diǎn)共線．∵．，∴．故答案為，．（2）【拓展探究】結(jié)論不變．理由：連接，，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交于點(diǎn)．∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴．（3）【解決問題】①當(dāng)點(diǎn)M在線段BC上時(shí)，如圖，連接AB，AN，∵四邊形ADBC，四邊形AMEF為正方形，∴∠ABC=∠BAC=45°，∠MAN=45°，∴∠BAC-∠MAC=∠MAN-∠MAC，即∠BAM=∠CAN，∵，∴△ABM∽△CAN，∴，∴CN=BM，∵，∴BM=AC-CM=2，∴CN=BM=；②當(dāng)點(diǎn)M在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖，連接AB，AN，∵四邊形ADBC，四邊形AMEF為正方形，∴∠ABC=∠BAC=45°，∠MAN=45°，∴∠BAC+∠MAC=∠MAN+∠MAC，即∠BAM=∠CAN,∵,∴△ABM∽△CAN，∴，∴CN=BM，∵，∴BM=AC+CM=2=6，∴CN=BM=．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問題．10．（1）△PQC，90；（2）；（3）線段CQ的長(zhǎng)為2或8．【分析】（1）△ABC是等腰直角三角形，PF∥AC，得到△BPF是等腰直角三角形，證明AF＝CP，利用旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)證明AP＝PQ，∠PAF解析：（1）△PQC，90；（2）；（3）線段CQ的長(zhǎng)為2或8．【分析】（1）△ABC是等腰直角三角形，PF∥AC，得到△BPF是等腰直角三角形，證明AF＝CP，利用旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)證明AP＝PQ，∠PAF＝∠QPC，從而可得結(jié)論，（2）過P作PF∥AC，交BA的延長(zhǎng)線于F，則，再證明△AFP≌△PCQ，利用△ABC∽△FBP的性質(zhì)可得答案，（3）分情況討論：當(dāng)P在CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，證明△APC≌△QPC，利用等邊三角形的性質(zhì)可得答案，當(dāng)P在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，連接AQ，利用等邊三角形的性質(zhì)，證明△ACQ≌△PCQ，從而可得答案．【詳解】解：（1）如圖①，∵∠ABC＝90°，AB＝CB，∴△ABC是等腰直角三角形，∵PF∥AC，∴∠BPF＝∠BFP＝45°，∴△BPF是等腰直角三角形，∴BF＝BP，∴AF＝CP，由旋轉(zhuǎn)可得，AP＝PQ，∠APQ＝90°，而∠BPF＝45°，∴∠QPC＝45°﹣∠APF，又∵∠PAF＝∠PFB﹣∠APF＝45°﹣∠APF，∴∠PAF＝∠QPC，∴△APF≌△PQC，∴∠PCQ＝∠AFP＝135°，又∵∠ACB＝45°，∴∠ACQ＝90°，故答案為：△PQC，90；（2）如圖②，過P作PF∥AC，交BA的延長(zhǎng)線于F，則，又∵AB＝BC，∴AF＝CP，又∵∠FAP＝∠ABC+∠APB＝α+∠APB，∠CPQ＝∠APQ+∠APB＝α+∠APB，∴∠FAP＝∠CPQ，由旋轉(zhuǎn)可得，PA＝PQ，∴△AFP≌△PCQ，∴FP＝CQ，∵PF∥AC，∴△ABC∽△FBP，∴，∴（3）如圖，當(dāng)P在CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，∠CPQ＝∠APQ﹣∠APB＝60°﹣30°＝30°，∴∠APC＝∠QPC，又∵AP＝QP，PC＝PC，∴△APC≌△QPC，∴CQ＝AC，又∵BA＝BC，∠ABC＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝60°，∠BAP＝∠ABC﹣∠APB＝30°，∴BP＝AB＝BC＝PC＝2，∴QC＝AC＝BC＝2；如圖，當(dāng)P在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，連接AQ，由旋轉(zhuǎn)可得，AP＝QP，∠APQ＝∠ABC＝60°，∴△APQ是等邊三角形，∴AQ＝PQ，∠APQ＝60°＝∠AQP，又∵∠APB＝30°，∠ACB＝60°，∴∠CAP＝30°，∠CPQ＝90°，∴∠CAP＝∠APA，∴AC＝PC，∴△ACQ≌△PCQ，∴∠AQC＝∠PQC＝∠AQP＝30°，∴Rt△PCQ中，CQ＝2CP＝8．綜上所述，線段CQ的長(zhǎng)為2或8．【點(diǎn)睛】本題屬于相似形綜合題，主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)以及含30°角的直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形或相似三角形，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例進(jìn)行推算．11．（1）①，②；（2），，證明見解析；（3）或【分析】（1）①由銳角三角函數(shù)可得AC＝BC，CF＝CE，可得AF＝AC?CF＝（BC?CE），BE＝BC?CE，即可求；②由垂直的定義可得AF⊥B解析：（1）①，②；（2），，證明見解析；（3）或【分析】（1）①由銳角三角函數(shù)可得AC＝BC，CF＝CE，可得AF＝AC?CF＝（BC?CE），BE＝BC?CE，即可求；②由垂直的定義可得AF⊥BE；（2）由題意可證△ACF∽△BCE，可得，∠FAC＝∠CBE，由余角的性質(zhì)可證AF⊥BE；（3）分兩種情況討論，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和勾股定理可求AF的長(zhǎng)．【詳解】解：（1）∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，，∴，∵，∴，故答案為：，；（2），如圖，連接，延長(zhǎng)交于，交于點(diǎn)，∵旋轉(zhuǎn)，∴，∵，∴，且，∴，∴，，∵，∴，∴；（3）①如圖，過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，∵，，，，∴，，∵，，∴，且三點(diǎn)在同一直線上，∴，∵旋轉(zhuǎn)，∴，∴，且，∴，，∴，∴；②如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，∵，，，，∴，，∵，，∴，∵旋轉(zhuǎn)，∴，且，∴，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題是相似綜合題，考查了平行線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，熟練運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是本題的關(guān)鍵．12．（1）BE＝DG，BE⊥DG，見解析；（2）5﹣5；（3）6或8【分析】（1）由“SAS”可證△GAD≌△EAB，可得BE＝DG，∠ADG＝∠ABE，由直角三角形的性質(zhì)可得BE⊥DG；（2）由解析：（1）BE＝DG，BE⊥DG，見解析；（2）5﹣5；（3）6或8【分析】（1）由“SAS”可證△GAD≌△EAB，可得BE＝DG，∠ADG＝∠ABE，由直角三角形的性質(zhì)可得BE⊥DG；（2）由“SAS”可證△GAD≌△EAB，可得BE＝DG，∠ADG＝∠ABE＝15°，可得∠DEB＝90°，由直角三角形的性質(zhì)可求解；（3）分兩種情況討論，通過證明△AGD∽△AEB，可得，∠DGA＝∠AEB，由勾股定理和三角形中位線定理可求解．【詳解】解：（1）BE＝DG，BE⊥DG，理由如下：如圖1：延長(zhǎng)BE交AD于N，交DG于H，∵四邊形ABCD是正方形，四邊形AEFG是正方形，∴AG＝AE，AB＝AD，∠GAE＝∠DAB＝90°，∴∠GAD＝∠EAB，∴△GAD≌△EAB（SAS），∴BE＝DG，∠ADG＝∠ABE，∵∠ABE+∠ANB＝90°，∴∠ADG+∠DNH＝90°，∴∠DHN＝90°，∴BE⊥DG；（2）如圖，當(dāng)點(diǎn)G在線段DE上時(shí)，連接BD，∵四邊形ABCD是正方形，四邊形AEFG是正方形，∴AG＝AE，AB＝AD＝10，∠GAE＝∠DAB＝90°，∠ADB＝45°＝∠ABD，BD＝AB＝10，GE＝AE，∴∠GAD＝∠EAB，∴△GAD≌△EAB（SAS），∴BE＝DG，∠ADG＝∠ABE＝15°，∴∠BDE＝45°﹣15°＝30°，∠DBE＝45°+15°＝60°，∴∠DEB＝90°，∴BE＝BD＝5＝DG，DE＝BE＝5，∴GE＝5﹣5，∴AE＝＝5﹣5，當(dāng)點(diǎn)E在線段DG上時(shí)，同理可求AE＝5﹣5，故答案為：5﹣5；（3）如圖，若點(diǎn)G在線段DE上時(shí)，∵AD＝4，AB＝4，AG＝4，AE＝4，∴DB＝＝＝8，GE＝＝＝8，∠DAB＝∠GAE＝90°，∴∠DAG＝∠BAE，又∵，∴△AGD∽△AEB，∴，∠DGA＝∠AEB，∴BE＝DG，∵∠DGA＝∠GAE+∠DEA，∠AEB＝∠DEB+∠AED，∴∠GAE＝∠DEB＝90°，∵DB2＝DE2+BE2，∴64×13＝（DG+8）2+3DG2，∴DG＝12或DG＝﹣16（舍去），∴BE＝12，∵點(diǎn)M，N分別是BD，DE的中點(diǎn)，∴MN＝BE＝6；如圖，當(dāng)點(diǎn)E在線段DG上時(shí)，同理可求：BE＝16，∵點(diǎn)M，N分別是BD，DE的中點(diǎn)，∴MN＝BE＝8，綜上所述：MN為6或8，故答案為：6或8．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，相似三角形的判定和性質(zhì)，利用分類討論思想解決問題是本題的關(guān)鍵．13．（1）①；②30度；（2）成立，理由見解析；（3）或，理由見解析．【分析】①由得;②延長(zhǎng)DE、CF交于K，由得，再由可得（2）連接BD交AC于點(diǎn)G,先證明可得，再利用“8”字型可得；（3解析：（1）①；②30度；（2）成立，理由見解析；（3）或，理由見解析．【分析】①由得;②延長(zhǎng)DE、CF交于K，由得，再由可得（2）連接BD交AC于點(diǎn)G,先證明可得，再利用“8”字型可得；（3）過點(diǎn)A作，交直線DE于M,再結(jié)合（2）中相似分類討論即可；【詳解】（1）①∵菱形ABCD中，∴,∵∴∴∴;②如解題圖1，延長(zhǎng)DE、CF交于K，∵∴，∵∴∴∴∴（2）成立，理由如下如解題圖2，連接BD交AC于點(diǎn)G,∵四邊形ABCD是菱形，∴,,即直線DE與CF夾角所成的較小角的度數(shù)是30度（3）或理由如下：（1）過點(diǎn)A作，交直線DE于M,如解題圖3：當(dāng)D,E,F三點(diǎn)共線時(shí),由（2）得,(2)如解題圖4，過點(diǎn)A作,當(dāng)D,E,F三點(diǎn)共線時(shí),由（2）得【點(diǎn)睛】本題綜合考察相似三角形的性質(zhì)與判定，菱形的性質(zhì)，30°直角三角形的性質(zhì)，熟練運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行角度轉(zhuǎn)換是解題的關(guān)鍵14．（1）①；②；（2）（1）中的結(jié)論仍然成立，理由詳見解析；（3）或2或．【分析】（1）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明△BCD≌△BCE（SAS），可得結(jié)論；（2）結(jié)論仍然成立．利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明△BCD≌解析：（1）①；②；（2）（1）中的結(jié)論仍然成立，理由詳見解析；（3）或2或．【分析】（1）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明△BCD≌△BCE（SAS），可得結(jié)論；（2）結(jié)論仍然成立．利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明△BCD≌△BCE（SAS），可得結(jié)論；（3）分三種情形利用等邊三角形的判定和性質(zhì)分別求解即可．【詳解】（1）如圖1中，∵CM平分∠ACB，∠ACB=90°，

∠ACM=∠BCM=45°，

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知：∠DCE=90°，CD=CE，

∴∠BCD=∠BCE=45°，在△BCD和△BCE中，，∴△BCD≌△BCE（SAS），

∴BD=BE，

∵CD=CE，

∴BC垂直平分線段DE，

故答案為：BD=BE，BC⊥DE；（2）結(jié)論仍然成立．理由：∵，點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知：∠DCE=，CD=CE，∴，在△BCD和△BCE中，，∴△BCD≌△BCE（SAS），

∴BD=BE，

∵CD=CE，

∴BC垂直平分線段DE，

故BD=BE，BC⊥DE仍然成立；（3）①如圖3（1），當(dāng)時(shí)，∵，，，CD是的平分線，∴△ABC是等邊三角形，且邊長(zhǎng)為2，∴AD=AB=1，CD⊥AB，∠ECA=30，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知：CE=CF，∠ECF=60，∴△EFC是等邊三角形，∵，∴AF=AE，∠DAE=∠GAF，∴∠DAE+∠EAG=∠GAF+∠EAG=60，∴△AEF是等邊三角形，在Rt△ADE中，，∴EF=AE=；②如圖3（2），當(dāng)時(shí)，由①得：AD=AB=1，CD⊥AB，△EFC是等邊三角形，∵，∴，∠AGF=∠ADE=90，由①得：∠ECA=∠FCA=30，在Rt△ADC和Rt△FGC中，，∴Rt△ADCRt△FGC，∴，∴；③如圖（3），當(dāng)時(shí)，∵，∴，同理可得△EFC是等邊三角形，可求得：∠GFA=30，AG=AD=1，∴，∴；綜上，的長(zhǎng)或2或【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了等邊三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考?jí)狠S題．15．（1）相等，；（2）是等邊三角形，理由見解析；（3）面積的最大值為.【分析】（1）根據(jù)＂點(diǎn)分別為的中點(diǎn)＂，可得MNBD，NPCE，根據(jù)三角形外角和定理，等量代換求出．（2）先求出，得出，根據(jù)解析：（1）相等，；（2）是等邊三角形，理由見解析；（3）面積的最大值為.【分析】（1）根據(jù)＂點(diǎn)分別為的中點(diǎn)＂，可得MNBD，NPCE，根據(jù)三角形外角和定理，等量代換求出．（2）先求出，得出，根據(jù)MNBD，NPCE，和三角形外角和定理，可知MN=PN，再等量代換求出，即可求解．（3）根據(jù)，可知BD最大值，繼而求出面積的最大值．【詳解】由題意知：AB=AC，AD=AE，且點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，∴BD=CE，MNBD，NPCE，MN=BD，NP=EC∴MN=NP又∵M(jìn)NBD，NPCE，∠A=，AB=AC，∴∠MNE=∠DBE，∠NPB=∠C，∠ABC=∠C=根據(jù)三角形外角和定理，得∠ENP=∠NBP+∠NPB∵∠MNP=∠MNE+∠ENP，∠ENP=∠NBP+∠NPB，∠NPB=∠C，∠MNE=∠DBE，∴∠MNP=∠DBE+∠NBP+∠C=∠ABC+∠C=．是等邊三角形．理由如下：如圖，由旋轉(zhuǎn)可得在ABD和ACE中．點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，是的中位線，且同理可證且．在中∵∠MNP=，MN=PN是等邊三角形．根據(jù)題意得:即，從而的面積．∴面積的最大值為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形中點(diǎn)的性質(zhì)、三角形相似的判定定理、三角形外角和定理以及圖形旋轉(zhuǎn)的相關(guān)知識(shí)；正確掌握三角形相似的判定定理、三角形外角和定理以及圖形旋轉(zhuǎn)的相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．16．【觀察】①90；②105；【發(fā)現(xiàn)】①50；②y＝，補(bǔ)全圖象見解析；【拓展】0＜x≤12或48≤x≤72【分析】【觀察】①先據(jù)題意求出兩個(gè)機(jī)器人速度的關(guān)系，再確定第二次迎面相遇的位置，然后設(shè)此時(shí)相解析：【觀察】①90；②105；【發(fā)現(xiàn)】①50；②y＝，補(bǔ)全圖象見解析；【拓展】0＜x≤12或48≤x≤72【分析】【觀察】①先據(jù)題意求出兩個(gè)機(jī)器人速度的關(guān)系，再確定第二次迎面相遇的位置，然后設(shè)此時(shí)相遇點(diǎn)距點(diǎn)A為m個(gè)單位，根據(jù)題意列方程即可求出結(jié)果；②仿照①的解題思路和方法解答即可；【發(fā)現(xiàn)】①當(dāng)點(diǎn)第二次相遇地點(diǎn)剛好在點(diǎn)B時(shí)，根據(jù)題意可列方程150﹣x＝2x，解出的x的值即為a的值；②分0＜x≤50與50＜x＜75兩種情況，分別求出正比例函數(shù)與一次函數(shù)的關(guān)系式，進(jìn)一步即可補(bǔ)全函數(shù)圖象；【拓展】分三種情況畫出圖形，然后根據(jù)題意得出相應(yīng)的分式方程，解方程即可得出y與x的關(guān)系，進(jìn)而可得關(guān)于x的不等式，解不等式即可得到結(jié)論．【詳解】解：【觀察】①∵相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離為30個(gè)單位長(zhǎng)度，∴相遇地點(diǎn)與點(diǎn)B之間的距離為150﹣30＝120個(gè)單位長(zhǎng)度，設(shè)機(jī)器人甲的速度為v，則機(jī)器人乙的速度為v＝4v，∴機(jī)器人甲從相遇點(diǎn)到點(diǎn)B所用的時(shí)間為，機(jī)器人乙從相遇地點(diǎn)到點(diǎn)A再返回到點(diǎn)B所用時(shí)間為，而，∴機(jī)器人甲與機(jī)器人乙第二次迎面相遇時(shí)，機(jī)器人乙從第一次相遇地點(diǎn)到點(diǎn)A，返回到點(diǎn)B，再返回向A時(shí)和機(jī)器人甲第二次迎面相遇，設(shè)此時(shí)相遇點(diǎn)距點(diǎn)A為m個(gè)單位，根據(jù)題意得，30+150+150﹣m＝4（m﹣30），解得：m＝90，故答案為：90；②∵相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離為35個(gè)單位長(zhǎng)度，∴相遇地點(diǎn)與點(diǎn)B之間的距離為150﹣35＝115個(gè)單位長(zhǎng)度，設(shè)機(jī)器人甲的速度為v，則機(jī)器人乙的速度為，∴機(jī)器人乙從相遇點(diǎn)到點(diǎn)A再到點(diǎn)B所用的時(shí)間為，機(jī)器人甲從相遇點(diǎn)到點(diǎn)B所用時(shí)間為，而，∴機(jī)器人甲與機(jī)器人乙第二次迎面相遇時(shí)，機(jī)器人乙從第一次相遇地點(diǎn)到點(diǎn)A，返回到點(diǎn)B，再返回向A時(shí)和機(jī)器人甲第二次迎面相遇，設(shè)此時(shí)相遇點(diǎn)距點(diǎn)A為m個(gè)單位，根據(jù)題意得，35+150+150﹣m＝（m﹣35），解得：m＝105，故答案為：105；【發(fā)現(xiàn)】①當(dāng)?shù)诙蜗嘤龅攸c(diǎn)剛好在點(diǎn)B時(shí)，設(shè)機(jī)器人甲的速度為v，則機(jī)器人乙的速度為，根據(jù)題意知，150﹣x＝2x，∴x＝50，即：a＝50，故答案為：50；②當(dāng)0＜x≤50時(shí)，點(diǎn)P（50，150）在線段OP上，∴線段OP的表達(dá)式為y＝3x，當(dāng)v＜時(shí)，即當(dāng)50＜x＜75，此時(shí)，第二次相遇地點(diǎn)是機(jī)器人甲在到點(diǎn)B返回向點(diǎn)A時(shí)，設(shè)機(jī)器人甲的速度為v，則機(jī)器人乙的速度為，根據(jù)題意知，x+y＝（150﹣x+150﹣y），整理，得y＝﹣3x+300，∴y與x的函數(shù)關(guān)系式是y＝，補(bǔ)全圖象如圖2所示：【拓展】①如圖，由題意知，，∴y＝5x，∵0＜y≤60，∴0＜x≤12；②如圖，∴，∴y＝﹣5x+300，∵0≤y≤60，∴48≤x≤60，③如圖，由題意得，＝，∴y＝5x﹣300，∵0≤y≤60，∴60≤x≤72，∵0＜x＜75，∴48≤x≤72，綜上所述，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離x的取值范圍是0＜x≤12或48≤x≤72，故答案為：0＜x≤12或48≤x≤72．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用、分式方程的應(yīng)用、兩點(diǎn)間的距離、一元一次方程和一元一次不等式的應(yīng)用，難度較大，正確理解題意、靈活應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想是解題的關(guān)鍵．17．BN=或；（1）見解析；（2）∠B＝15°；（3）見解析．【分析】定義：根據(jù)勾股點(diǎn)的定理，即可求出BN的長(zhǎng)；（1）根據(jù)已知條件可得到CG＝GM，CH＝HN，得到DG＝AM，GH＝MN，EH＝B解析：BN=或；（1）見解析；（2）∠B＝15°；（3）見解析．【分析】定義：根據(jù)勾股點(diǎn)的定理，即可求出BN的長(zhǎng)；（1）根據(jù)已知條件可得到CG＝GM，CH＝HN，得到DG＝AM，GH＝MN，EH＝BN，根據(jù)條件求出（BN）2＝（MN）2+（AM）2，即可得到結(jié)果；（2）連接PD，根據(jù)已知條件可得PC2+BD2＝CD2，進(jìn)而求出∠PDC＝∠A，在Rt△PCD中，得到2∠A+∠A＝90°，即可得到結(jié)果；（3）根據(jù)已知條件先求得點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2﹣，），即可求得BF、EF，根據(jù)已知條件可得BF2+AE2＝16+2a2﹣8a+﹣＝EF2，即可求得結(jié)果；【詳解】定義：∵點(diǎn)M、N是線段AB的勾股點(diǎn)，∴或，∴BN=．（1）如圖，∵CD＝DA，CE＝EB，∴DE∥AB，∴CG＝GM，CH＝HN，∴DG＝AM，GH＝MN，EH＝BN，∵BN2＝MN2+AM2，∴BN2＝MN2+AM2，∴（BN）2＝（MN）2+（AM）2，∴EH2＝GH2+DG2，∴G、H是線段DE的勾股點(diǎn)．(2)如圖所示，連接PD，∵AC＝PC，∴∠A＝∠APC，∴∠PCD＝2∠A，∵C，D是線段AB的勾股點(diǎn)，∴AC2+BD2＝CD2，∴PC2+BD2＝CD2，∵CD是⊙O的直徑，∴∠CPD＝90°，∴PC2+PD2＝CD2，∴PD＝BD，∴∠PDC＝2∠B，∵∠A＝2∠B，∴∠PDC＝∠A，在Rt△PCD中，∵∠PCD+∠PDC＝90°，∴2∠A+∠A＝90°，解得∠A＝30°，則∠B＝∠A＝15°．（3）∵點(diǎn)P（a，b）是反比例函數(shù)y＝（x＞0）上的動(dòng)點(diǎn)，∴b＝．∵直線y＝﹣x+2與坐標(biāo)軸分別交于A、B兩點(diǎn)，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，2），點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0）；當(dāng)x＝a時(shí)，y＝﹣x+2＝2﹣a，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（a，2﹣a）；當(dāng)y＝時(shí)，有﹣x+2＝，解得：x＝2﹣，∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2﹣，）．∴BF＝＝（2﹣），EF＝,＝|2﹣a﹣|，AE＝＝（2﹣a）．∵BF2+AE2＝16+2a2﹣8a+﹣＝EF2，∴以BF、AE、EF為邊的三角形是一個(gè)直角三角形，∴E、F是線段AB的勾股點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的擴(kuò)展應(yīng)用，結(jié)合中位線定理、圓周角定理等知識(shí)點(diǎn)解題是關(guān)鍵．18．（1）相似；（2）AB∥EC，理由見解析；（3）3．【分析】（1）結(jié)論：相似．先判斷出△BAC∽△DAE，即可得出結(jié)論．（2）利用等腰三角形的性質(zhì)證明∠ABC＝40°，∠ECB＝40°，推出∠解析：（1）相似；（2）AB∥EC，理由見解析；（3）3．【分析】（1）結(jié)論：相似．先判斷出△BAC∽△DAE，即可得出結(jié)論．（2）利用等腰三角形的性質(zhì)證明∠ABC＝40°，∠ECB＝40°，推出∠ABC＝∠ECB即可．（3）如圖3中，以P為圓心，PB為半徑作⊙P．利用圓周角定理證明∠BCE＝∠BPE＝40°，推出AB∥CE，因?yàn)辄c(diǎn)E在射線CE上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P在線段AD上運(yùn)動(dòng)，所以當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)A重合時(shí)，AE的值最小，此時(shí)AE的最小值＝AB＝3．【詳解】解：（1）如圖①中，∵△ABC與△ACE為等腰三角形，且兩頂角∠ABC＝∠ADE，∴BA＝BC，DA＝DE，∴∠BAC＝∠DAE，∴△BAC∽△DAE，∴＝，∴＝，∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD∽△CAE．故答案為：相似．（2）如圖2中，結(jié)論：AB∥EC．理由：∵∠BPE＝80°，PB＝PE，∴∠PEB＝∠PBE＝50°，∵AB＝AC，BD＝DC，∴AD⊥BC，∴∠BDE＝90°，∴∠EBD＝90°﹣50°＝40°，∵AE垂直平分線段BC，∴EB＝EC，∴∠ECB＝∠EBC＝40°，∵AB＝AC，∠BAC＝100°，∴∠ABC＝∠ACB＝40°，∴∠ABC＝∠ECB，∴AB∥EC．故答案為50，AB∥EC．（2）如圖3中，以P為圓心，PB為半徑作⊙P．∵AD垂直平分線段BC，∴PB＝PC，∴∠BCE＝∠BPE＝40°，∵∠ABC＝40°，∴AB∥EC．如圖4中，作AH⊥CE于H，∵點(diǎn)E在射線CE上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P在線段AD上運(yùn)動(dòng)，∴當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)A重合時(shí)，AE的值最小，此時(shí)AE的最小值＝AB＝3．【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)與判定及圓的基本性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)題意得到三角形的相似，然后結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)得到問題答案，關(guān)鍵是要利用圓的基本性質(zhì)求解最值問題．19．（1）；（2）詳見解析；（3）或【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AC=CD，然后求出△ACD是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AC=AD，再根據(jù)直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求解析：（1）；（2）詳見解析；（3）或【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AC=CD，然后求出△ACD是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AC=AD，再根據(jù)直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出AC=AB，然后求出AC=BD，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出點(diǎn)C到AB的距離等于點(diǎn)D到AC的距離，然后根據(jù)等底等高的三角形的面積相等解答；(2)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BC=CE，AC=CD，再求出∠ACN=∠DCM，然后利用“角角邊”證明△ACN和△DCM全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AN=DM，然后利用等底等高的三角形的面積相等證明；

(3)過點(diǎn)D作//BE，求出四邊形是菱形，根據(jù)菱形的對(duì)邊相等可得BE=，然后根據(jù)等底等高的三角形的面積相等可知點(diǎn)為所求的點(diǎn)，過點(diǎn)D作⊥BD，求出∠=60°，從而得到△是等邊三角形，然后求出，再求出∠=∠，利用“邊角邊”證明△和全等，根據(jù)全等三角形的面積相等可得點(diǎn)也是所求的點(diǎn)，根據(jù)菱形和等邊三角形的性