第1頁/共1頁丹東市2024~2025學(xué)年度（下）期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測高一數(shù)學(xué)總分：150分時間：120分鐘本試卷共19題，共150分，共4頁.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.2.答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡求值.【詳解】.故選：B【點睛】本題主要考查誘導(dǎo)公式化簡求值，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.2.已知復(fù)數(shù)滿足（i為虛數(shù)單位），則對應(yīng)的點在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【分析】由復(fù)數(shù)除法可得，據(jù)此可得答案.【詳解】因為，所以，則其對應(yīng)坐標(biāo)為，在第一象限.故選：A3.已知圓錐的母線長為2，底面半徑為1，則圓錐的側(cè)面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】直接由圓錐的側(cè)面積公式得到.【詳解】因為，所以圓錐的側(cè)面積.故選：C.4.將函數(shù)的圖像向右平移個單位，得到函數(shù)的圖像，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由三角函數(shù)圖像的平移法則，結(jié)合誘導(dǎo)公式進(jìn)行求解.【詳解】將函數(shù)的圖像向右平移個單位，得到圖像，所以函數(shù)，故選：A.5.正四面體的側(cè)棱與底面所成角的正弦值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)正四面體的性質(zhì)求解即可.【詳解】在正四面體中，不妨取邊長為1，設(shè)為底面的中心，為的中點連接，則平面，所以就是側(cè)棱與底面所成角，又，所以，故正四面體的側(cè)棱與底面所成角的正弦值為.故選：A.6.在中，，，，點D滿足，則（）A.6 B.8 C. D.12【答案】D【解析】【分析】由題意可得，結(jié)合向量的運(yùn)算律及數(shù)量積定義求解即可.詳解】解：由題意可得，所以.故選：D.7.已知正四棱臺的上下底面的邊長分別為和，體積為，則該正四棱臺的外接球體積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由棱臺的體積公式可得棱臺的高，再求棱臺的外接球體積即可.【詳解】由題可知，，設(shè)棱臺高為，則，解得，根據(jù)正四棱臺的特性，正四棱臺的外接球半徑即為四邊形外接圓半徑，又，，所以，則，所以為直角三角形，故為四邊形外接圓直徑，正四棱臺的外接球半徑，體積.故選：B.8.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由二倍角公式，同角三角函數(shù)關(guān)系可得，據(jù)此可得答案.【詳解】因，則..則.故選：C二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知i為虛數(shù)單位，則下列說法正確是（）A.若，，則 B.若，則C.若，則的虛部為 D.若，則【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的相關(guān)概念及除法運(yùn)算即可逐項判斷.【詳解】對于A，由純虛數(shù)不能比較大小，故A錯誤；對于B，因為，所以，故B正確；對于C，若，則的虛部為，故C正確；對于D，，則，故D錯誤.故選：BC.10.已知向量，，均為單位向量，，則（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】由，所以，再平方可得，再逐項驗證即可.【詳解】因為，所以，即，所以，故A正確；又，故B錯誤；因為，所以，故C正確；由，所以，故D正確.故選：ACD.11.已知函數(shù)，則（）A.的值域為 B.的最小正周期為πC.在區(qū)間上單調(diào)遞增 D.在上有2個零點【答案】AD【解析】【分析】由題可化簡.對于A，由化簡式及三角函數(shù)值域知識可判斷選項正誤；對于B，通過特殊值驗證可判斷選項正誤；對于C，由題可得在區(qū)間上的解析式，據(jù)此可得單調(diào)區(qū)間；對于D，由題可得在上的解析式，據(jù)此可得零點.【詳解】..又，；，，.則，.對于A，，，，.其中，則，故A正確；對于B，注意到，，則B錯誤；對于C，，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故C錯誤.對于D，，則，即有2個零點，故D正確.故選：AD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知向量與的夾角為，則__________.【答案】1【解析】【分析】根據(jù)向量數(shù)量積和模長的運(yùn)算即可得出結(jié)果.【詳解】∵，∴，整理得，解得（舍），故答案為：1.13.已知等邊的邊長為，是邊上的高，以為折痕將折起，使，則三棱錐外接球的表面積為______.【答案】52π【解析】【分析】由題可得三棱錐為側(cè)棱垂直于底面的三棱錐，據(jù)此可由圖確定外接球球心，據(jù)此可得答案.【詳解】由題，折疊后可得，又平面，則易得平面.設(shè)為外接圓圓心，過做平面垂線，則垂線上所有點到頂點距離相等.又垂線與平行，從而垂線與共面，過A做垂線的垂線，垂足為，則易得四邊形為矩形.取中點為，則，從而為三棱錐外接球球心.易得，由正弦定理可得，則外接球半徑滿足.則外接球的表面積為.故答案為：.14.的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，，則周長的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】由正弦定理邊角互化結(jié)合余弦定理可得，則，然后由和差化積公式結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)可得答案.【詳解】因，所以，由正弦定理得,則由余弦定理得，又，所以.則.因，則，由和差化積公式得：.因，則，.從而，則.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù).（1）求的最小正周期；（2）求的值域及單調(diào)遞增區(qū)間.【答案】（1）（2）值域為，增區(qū)間為【解析】【分析】（1）由兩角差的余弦定理結(jié)合輔助角公式可得，據(jù)此可得周期；（2）由正弦函數(shù)值域及單調(diào)區(qū)間可得答案.【小問1詳解】因為所以因為，所以的最小正周期為π；【小問2詳解】當(dāng)，時，，則，，有最大值為，當(dāng)，時，，則，，有最小值為，所以的值域為當(dāng)時，解得得的單調(diào)遞增區(qū)間為.16.如圖，四面體中，點G是的重心，點E在上，.（1）求證：平面；（2）設(shè)過點G，E，C的平面為，與四面體的面相交，交線圍成一個多邊形.（i）請在圖中畫出這個多邊形（不必說出畫法和理由）；（ii）求出將四面體分成兩部分幾何體體積之比.【答案】（1）證明見解析（2）（i）答案見解析；（ii）【解析】【分析】（1）連接并延長交于點F，連接，由比例關(guān)系得，即可證明；（2）（i）連接并延長交于點H，連接，，則平面即為.（ii）由（i）知，將四面體分成兩部分，由的面積與四邊形的面積之比為1:2進(jìn)行求解.【小問1詳解】連接并延長交于點F，連接，因為，所以，平面，平面，所以平面.【小問2詳解】（i）連接并延長交于點H，連接，，則平面即為.（ii）由（i）知，將四面體分成兩部分，分別為三棱錐與四棱錐，很顯然兩個棱錐的高相等，記為h，的面積與的面積之比為，所以的面積與四邊形的面積之比為1:2，則.17.在中，已知的平分線與邊相交于點.（1）求證：；（2）若，，，求.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）分別對和采用正弦定理可得，，兩式聯(lián)立即可.（2）解法一：由，得與，左右兩側(cè)同時平方解得與的長度，再通過余弦定理求解即可.解法二：由，得，通過等面積法可求解與的長度，再通過余弦定理求解即可.【小問1詳解】在和中，如圖所示：由正弦定理得：，，因為，所以，所以，即，又因為為的角平分線，所以，所以，，兩式相除得，所以得證.【小問2詳解】解法一：，所以，平方得，由（1）可得：，，解得，，則，，所以.解法二：由，由（1）得，所以，因為為的角平分線,，所以，則，解得，，則，，所以.18.如圖，三棱柱的所有棱長均為2，為等邊三角形.（1）求證：平面；（2）求點到平面的距離；（3）求二面角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）作出輔助線，根據(jù)三線合一性質(zhì)得到，，從而證明出線面垂直；（2）解法1：設(shè)點到平面的距離為，先求出點到的距離，由（1）知，平面，先計算出，并求出，由等體積法求出；解法2：過C作，垂足為E，由（1）得面面垂直，推出平面，則即為點到平面的距離，求出點到的距離，根據(jù)三角形面積得到方程，求出，點C到平面的距離為；（3）求出，由余弦定理得，由勾股定理逆定理得，，連接，即為二面角的平面角，由勾股定理逆定理得，求出，得到答案.【小問1詳解】證明：設(shè)，連接，因為四邊形為菱形，所以，，又因為為等邊三角形，所以，因為，平面，所以平面.【小問2詳解】解法1：設(shè)點到平面的距離為，在中，，，可得點到的距離為，由（1）知，平面，所以，又因為，所以.解法2：由（1）知，平面，平面，所以平面平面，平面平面，過C作，垂足為E，所以平面，則即為點到平面的距離，在中，，，可得點到的距離為，所以，則，所以點C到平面的距離為；【小問3詳解】由（2）知，，，中，，則，在中，由余弦定理得，解得，又，則，所以，故四邊形為矩形，，又為等邊三角形，故，又，則，所以，設(shè)，連接，，所以，又，所以即為二面角的平面角，因為，，，所以，由勾股定理逆定理得，所以，所以二面角的正弦值為.19.記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且面積為S.（1）若，，求C；（2）求證：；（3）求的最小值.【答案】（1）