/龍巖市學年第二學期期末高二教學質量檢查數學試題（考試時間：分鐘滿分：分）注意事項：考生將自己的姓名、準考證號及所有的答案均填寫在答題卡上.答題要求見答題卡上的“填涂樣例”和“注意事項”.8小題，每小題5分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設函數，若，則（）A.3B.2C.1D.02.已知隨機變量，且，則（）A.0.14B.0.36C.0.86D.0.643.已知，，，為空間中四點，任意三點不共線，且，若，，，四點共面，則的值為（）A.2B.1C.D.04.現有6張卡片，分別寫上數字1，2，3，4，5，6.從這6張卡片中隨機抽取3張，記所抽取卡片上數字的最小值為，則（）A.B.C.D.5.如圖，在平行六面體中，已知，，則直線與所成角的余弦值為（）A.B.C.D.6.已知函數在上單調遞減，則實數的取值范圍為（）A.B.C.D.7.一個箱子里有4個球，分別標號為1，2，3，4，每次取一個球，若有放回的取三次，記至少取出一次的球的個數為，則（）A.B.C.D.8.設函數，若存在（為自然對數的底數，）使成立，則實數的取值范圍為（）A.B.C.D.3小題，每小題6分在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知函數，則（）A.在上單調遞增B.有兩個極值點C.有一個零點D.點是曲線的對稱中心10.近年來我國新能源汽車行業(yè)蓬勃發(fā)展，新能源汽車不僅對環(huán)境保護具有重大的意義，而且還能夠減少對不可再生資源的開發(fā)，是全球汽車發(fā)展的重要方向.某地區(qū)近幾年新能源汽車的購買情況如下表所示：年份20202021202220232024新能源汽車購買數量（萬輛）0.400.701.101.501.80則關于的（）A.線性回歸系數B.線性回歸系數C.相關系數D.相關系數參考公式：，，.參考數值：，已知正三棱柱的底面邊長為1，滿足，，下列選項正確的是（）A.當時，三棱錐的體積為定值B.當時，有且僅有一個點，使得平面C.當時，的最小值為D.當時，的最小值為二、填空題：本題共3小題，每小題5分，共分.12.已知，，，若，則的值為_.13.投籃測試中，每人投3次，至少投中2次才能通過測試.已知某同學每次投籃投中的概率為0.4，且各次投籃是否投中相互獨立，則該同學通過測試的概率為_.14.已知函數恰有一個零點，則的取值范圍為_.四、解答題：本題共5小題，共分解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.（本題滿分13分）已知函數.（1）求曲線在處的切線方程；（2）求函數的極大值.16.（本題滿分15分）某疾病預防中心隨機調查了340名50歲以上的公民，研究吸煙習慣與慢性氣管炎患病的關系，調查數據如下表所示.不吸煙者吸煙者總計不患慢性氣管炎者120160280患慢性氣管炎者154560總計135205340（1）是否有95%的把握認為患慢性氣管炎與吸煙有關？（2）現從不患慢性氣管炎者的樣本中，按分層抽樣的方法選出7人，從這7人里再隨機選取3人，求這3人中，吸煙者的人數的數學期望.附：，0.1000.0500.0102.7063.8416.63517.（本題滿分15分）如圖，在三棱錐中，，，平面.（1）求證：平面平面；（2）若，為線段的中點，點為線段的動點，且二面角的余弦值為，求.18.（本題滿分17分）已知函數.（1）求函數的單調區(qū)間；（2）若，證明：；（3）已知對于任意，直線與曲線有唯一公共點的實數的值組成的集合為，求證：.19.（本題滿分17分）..（1）若進行一次交換后，從甲袋中任取一個球，求這個球是黑球的概率；（2）求的數學期望；（3.編號的黑白小球實驗可以在一定程度上對信息傳遞與整合進行簡單的信息模擬.現有個不同的袋子，每個袋子裝有一黑一白兩個小球，這些小球除顏色和編號外，其它均相同，袋中的黑白小球代表該信息源所擁有的基礎信息單元.若將每個黑球和白球看作不同的信息單元，每個袋子代表一個信息源.現將袋中的所有反映了信息的組織和整合形式.若這串圓環(huán)上的小球黑白相間且同個袋子中的黑白兩球相鄰，這樣產生了種不同的信號.求證：.龍巖市～學年第二學期期末高二教學質量檢查數學試題參考答案一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共分.題號12345678選項DACCCBCB二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共分.題號910選項ACDBCABD8.解：易知在定義域內單調遞增，若，則，若，則.故存在使成立，則，即在上有解.故，設，則，在上單增，在上單減，故又，，故.對于A.設，為，的中點，∵∴，∴∴平面∴三棱錐的體積為定值∴A正確對于B.過在平面內作，以為原點，以、、為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，如圖.設，為，的中點，∵∴，∴，，設∴，∵平面∴，解得∴僅有一個點，使得平面∴B正確對于C.∵∴，把平面繞旋轉到與平面共面，當，，三點共線時的最小值∵∵∴∴∴的最小值為∴C不正確對于D.點P滿足，其中，，∴在含邊界的矩形區(qū)域內以為原點，以，為軸、軸建立平面直角坐標系設∴∴，∵∴∴的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓弧∴當，，三點共線時，最小∴的最小值為∴D正確三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共分.12.-313.14.14.解：，是單調遞增函數，則有一個根，當時，等式，不符合題意，故，等式轉化為有兩個根，即和有一個交點.設，求得，故當時，，單調遞減；當時，，單增.故的圖象如下，由圖可得，的取值范圍為.15.（131）因為，所以.又，所以所以在處的切線方程為：即（2）因為.由或；由.所以函數的單調遞增區(qū)間為，，單調遞減區(qū)間為所以函數在上單調遞減，在上單調遞增.所以是的極大值點.所以的極大值為.16.（151）零假設：患慢性氣管炎與吸煙無關，，由，而，從而否定原假設，即有95%的把握認為患慢性氣管炎與吸煙有關.（2）按分層抽樣，不吸煙者3人，吸煙者4人，的可能值為0，1，2，3.，，，，所以.17.（151）證明：∵平面，平面∴又∵平面∴平面平面∴平面平面（2在平面內作，，為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，如圖∵，∴∴，，，∵為中點，∴設設平面的法向量為∴令，，即由（1）知平面∴為平面的一個法向量設平面與平面所成角為∴解得或由（1）知，當為中點即時∴平面又∵二面角的余弦值為，∴二面角為銳角，∴∴∴∴∴18.（17分）1）.由可得，由可得，所以，函數的減區(qū)間為，增區(qū)間為（2）設，則令，，由于，所以從而，即，在上單調遞增.，即.∵，且在上單調遞增，∴，即.（3）法一：設，令，，則設，，所以，即存在使，所以，對于任意的及，直線與曲線有公共點.令以下證明，當，對任意，函數在區(qū)間上至多有一個零點.易知.①當時，，此時函數在區(qū)間內單調遞減，所以，函數在區(qū)間內至多有一個零點；②當時，關于的方程，即有兩個不同的實數根，分別記為，，不妨設，可得.易知，函數在區(qū)間和內單調遞減，在區(qū)間內單調遞增.所以函數的極小值..而，又，所以.所以在區(qū)間內至多有一個零點，得證.法二：由已知得，設，，則，所以在上單調遞增，在上單調遞減.當時，，即，即在上單調遞減，當時，；當時，當時，直線與曲線有唯一公共點.19.（17分）1）假設一次交換后甲的黑球為0個，1個、2個的事件分別為，，，再從甲口袋任取一個球為黑球的記為事件.則（