高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1浙江省浙里特色聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期4月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題考生須知：1．本試題卷共4頁，滿分150分，考試時間120分鐘.2．答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級、姓名、考場號、座位號及準(zhǔn)考證號.3．所有答案必須寫在答題卷上，寫在試卷上無效.4．考試結(jié)束后，只需上交答題卷.選擇題部分一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，不選、多選、錯選均不得分．）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，又在上單調(diào)遞增，，即，.，又在上單調(diào)遞增，，又，，..故選：D2.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】因為，其對應(yīng)點為，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第三象限，故選：C.3.若雙曲線的焦距為，則該雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，，因為該雙曲線的焦距為，則，解得，故，因此，該雙曲線的離心率為.故選：A.4.角終邊上一點的坐標(biāo)為，則的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為角終邊上一點的坐標(biāo)為，則，根據(jù)三角函數(shù)的定義可知：，，利用兩角差的正弦公式可知：.故選：D5.已知等差數(shù)列的前項和為，若，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，解得，故，因此，.故選：B.6.若，，且函數(shù)在處有極值，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，則，由題有，得到，所以，得到，當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號，故選：D.7.動直線分別交直線和曲線于，兩點，則的最小值為（）A.1 B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)過曲線上的點的切線方程與直線平行，則，所以，解得或（舍），即，則切點，切線方程為，化簡可得，則的最小值即為切線與直線的距離，所以.故選：C8.已知是遞增的等比數(shù)列．若，當(dāng)取得最小值時，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由題意可知且，則，故，因為是遞增的等比數(shù)列，則，所以，令，其中，則，由可得，由可得，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在時取得最小值，故當(dāng)取最小值時，，則，解得.故選：C.二、多項選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分．每小題列出的四個備選項中有多個是符合題目要求的，全部選對得6分，部分選對得部分分，不選、錯選得0分．）9.已知函數(shù)，，則下列命題正確的是（）A.函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)；B.函數(shù)的值域為；C.函數(shù)在點處的切線方程為D.關(guān)于的方程有2個不同的根當(dāng)且僅當(dāng)【答案】ACD【解析】由函數(shù)，可得，令，解得或；令，解得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，對于A中，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以A正確；對于B中，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以時，有極小值，且，又由，所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為，其值域為，所以B錯誤；對于C中，由，可得且，所以函數(shù)在點處的切線方程為，即，所以C正確；對于D中，由在遞減，在上遞增，且，要使得方程在區(qū)間上有兩解，則，所以D正確.故選：ACD10.若正項數(shù)列滿足，，設(shè)，，則下列說法中一定正確的是（）A.對任意的正整數(shù)，恒有 B.對任意的正整數(shù)，恒有C.對任意的正整數(shù)，恒有 D.對任意的正整數(shù)，恒有【答案】AD【解析】對于A：設(shè)函數(shù)，則，則當(dāng)時，當(dāng)時，可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在處取得極小值，也是最小值，故.又，則，故A正確；對于B：因為，所以，所以，故B錯誤；對于C：因為，即，故C錯誤；對于D：因為，即，所以，得，顯然，所以，故D正確；故選：AD.11.如圖，數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美，寓意美好的曲線，愛心曲線就是其中之一，下列結(jié)論正確的是（）A.曲線上的點的橫坐標(biāo)取值范圍是B.曲線上的點到原點的距離最大值為C.曲線恰好經(jīng)過6個整數(shù)點（即橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)均為整數(shù)）D.曲線所圍成“心形”區(qū)域面積大于3【答案】BCD【解析】對于A，根據(jù)題意，曲線，當(dāng)時，曲線的方程為，移項可得，關(guān)于的一元二次方程的判別式，解得，又因為，所以，當(dāng)時，曲線的方程為，則曲線關(guān)于軸對稱，所以曲線上的點的橫坐標(biāo)取值范圍是，故A錯誤；對于B，當(dāng)時，曲線的方程為，則有，變形可得，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，又由曲線關(guān)于軸對稱，則曲線上任意一點都滿足，曲線上的點到原點的距離最大值為，故B正確；對于C，曲線，當(dāng)時，，所以，即曲線經(jīng)過，；當(dāng)時，方程為，有，解得，所以只能取整數(shù)1，當(dāng)時，有，解得或，即曲線經(jīng)過，，根據(jù)對稱性可得曲線還經(jīng)過，，所以曲線一共經(jīng)過6個整點，C正確；對于D，因為在軸上方，曲線圍成圖形的面積大于四點，，，圍成的矩形面積，在軸下方，圖形面積大于三點，，圍成的等腰直角三角形的面積，故曲線所圍成的“心形”區(qū)域的面積大于3，D正確；故選：BCD非選擇題部分三、填空題（本大題共3小題，每個空5分，共15分．）12.已知，，若，則________．【答案】【解析】因為，，所以，又，所以，解得，故答案為：.13.已知圓，點，為圓上的動點，為軸上的動點，則的最小值為________．【答案】【解析】如下圖所示：點關(guān)于軸的對稱點為，圓的圓心為，半徑為，由于為軸上的動點，由對稱性知，所以，當(dāng)且僅當(dāng)、分別為線段與圓、軸的交點時，等號成立，因此，的最小值為.故答案為：.14.設(shè)函數(shù)，若存在實數(shù)使得恒成立，則的取值范圍是________．【答案】【解析】函數(shù)的定義域為，若存在實數(shù)使得恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立.設(shè)，則，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，函數(shù)取得最大值，即，設(shè)，，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，函數(shù)取得最小值，即，所以若存在實數(shù)，使得在上恒成立，只須，即，兩邊取對數(shù)后解得，所以的取值范圍為，故答案為：四、解答題（本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）15.已知等差數(shù)列的前項和為，數(shù)列為等比數(shù)列，且滿足，，．（1）求和的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和．解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，數(shù)列的等比為，依題意，，，，，即且，解得，，所以和的通項公式分別為，.（2）由（1）得，則，，因此，所以.16.如圖，在四棱錐中，側(cè)面為等邊三角形，底面為直角梯形，，，，．（1）求證：面面；（2）若直線與平面所成角的正切值為，求二面角的余弦值．解：（1）因為，，所以，又因為，，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）方法一：（定義法）因為為正三角形，取中點，連接，，則，又平面平面，平面，所以平面，所以即為直線與平面所成角，所以，設(shè)，則，所以，，又因為，所以，因為，，過點作垂線，垂足為，則，，，過點在平面內(nèi)作的垂線，交于點，因為，所以，所以，所以，因為且，所以，即點是等腰直角三角形斜邊上的中點，所以，即二面角的平面角，；方法二：（向量法）因為為正三角形，取中點，連接，，則，又平面平面，平面，所以平面，所以即為直線與平面所成角，所以，設(shè)，則，取中點，連接，以為原點，為軸，為軸，為軸，建系如圖，則，，，，所以，，，設(shè)平面與平面的法向量分別為，，這兩個平面所成的銳二面角為，則，所以，取，則，，所以，取，則，所以，即二面角的平面角的余弦值為.17.已知雙曲線的右焦點為且離心率為．（1）求雙曲線的方程；（2）已知點，不過點的直線與雙曲線交于，兩點，且，，的斜率依次成等比數(shù)列，求點到直線距離的取值范圍．解：（1）因為，，所以，又，所以雙曲線方程為.（2）由題意可知，直線的斜率存在且不為，設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立，消得，所以，又因為，即，所以，整理得到，又，∴∴，則，所以點到直線的距離，令，則，又因為，整理得，將代入得到，解得，∴，，則，當(dāng)時，，令，當(dāng)，，，，又，所以當(dāng)時，恒成立，∴在區(qū)間單調(diào)遞增，又當(dāng)時，，當(dāng)，，∴，即點到直線的距離的取值范圍為.18.已知函數(shù)，其中（1）當(dāng)時，求的值；（2）當(dāng)時，討論函數(shù)的單調(diào)性；（3）若函數(shù)存在兩個極值點，，且，證明：．解：（1）當(dāng)時，，，∴.（2）當(dāng)時，，令，當(dāng)時，恒成立，∴，∴在上單調(diào)遞減．當(dāng)時，有兩個根分別為，，當(dāng)時，，當(dāng)，，∴遞減區(qū)間為，，遞增區(qū)間為.綜上所述：當(dāng)時，在上單調(diào)遞減．當(dāng)時，在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（3）由（2）可知，，，，∴，，∴，構(gòu)造函數(shù)，，，記，，令，解得，（舍去），當(dāng)時，；當(dāng)時，，∴上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，∴時，，即，∴上單調(diào)遞減，∴，∴，綜上所述即證：.19.設(shè)有窮數(shù)列的項數(shù)，若正整數(shù)滿足，則稱為數(shù)列的“低洼點”．（1）若，求數(shù)列的“低洼點”；（2）已知有窮等比數(shù)列的公比為，前項和為，若數(shù)列存在“低洼點”，求正數(shù)的取值范圍；（3）若，數(shù)列的“低洼點”的個數(shù)為，證明：解：（1）因為，所以，，，，所以數(shù)列的“低洼點”為和.（2）依題意，，因為數(shù)列存在“低洼點”，所以存在，使得，所以，即，則，因為單調(diào)遞減，所以當(dāng)時的最大值為，所以