1/7《換底公式》教學(xué)設(shè)計二教學(xué)設(shè)計一、復(fù)習(xí)導(dǎo)入1.復(fù)習(xí)對數(shù)的定義及運算性質(zhì).（1）對數(shù)定義：一般地，如果a（）的b次冪等于N，即，那么數(shù)b稱為以a為底N的對數(shù).（2）對數(shù)的運算性質(zhì)：如果，則有：（1）；（2）；（3）.2.思考：我們能否直接求出log25的值呢？借助科學(xué)計算器呢？有些計算器上只有常用對數(shù)鍵“LOG”（即“l(fā)g”）和自然對數(shù)鍵“LN（即“l(fā)n”），對一般底數(shù)的對數(shù)沒法直接計算.3.如果能將其他底的對數(shù)轉(zhuǎn)化成以10為底或以e為底的對數(shù)就能方便地求出以任意不等于1的正數(shù)為底數(shù)的對數(shù)值那么，如何轉(zhuǎn)換呢設(shè)計意圖：以問題引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)回顧前面學(xué)習(xí)的對數(shù)的定義及對數(shù)的運算性質(zhì)，思考能否用計算器直接計算出的值，引入本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，讓學(xué)生體會學(xué)習(xí)這節(jié)內(nèi)容的必要性.二、研探新知，建構(gòu)概念閱讀教材，回答以下問題：（通過投影儀提出問題，提供5分鐘時間讓學(xué)生自學(xué)探究，適時引導(dǎo)）問題1：如何使用科學(xué)計算器計算對數(shù)？問題2：你能把用以10或以e為底的對數(shù)來表示嗎?問題3：更一般地，上述結(jié)論成立嗎？如何證明?問題4：你能用自己的話概括出換底公式嗎？問題5：換底公式的意義是什么？有什么作用？活動：學(xué)生針對提出的問題，交流討論，回顧所學(xué)，力求轉(zhuǎn)化，教師適時指導(dǎo)，必要時提示學(xué)生解題的思路，給學(xué)生創(chuàng)造一個互動的學(xué)習(xí)環(huán)境，培養(yǎng)學(xué)生的自學(xué)能力與創(chuàng)造性思維能力.對于問題1，考慮利用對數(shù)的定義，轉(zhuǎn)化成指數(shù)方程再兩邊取常用對數(shù)或自然對數(shù)來求解.對于問題2，考慮參考問題1的思路和結(jié)果的形式，借助對數(shù)的定義可以表示.對于問題3，借助問題1、2的思路，利用對數(shù)的定義來證明.問題4抓住問題的實質(zhì)，用準(zhǔn)確的語言描述出來，一般是按照從左到右的形式.一個數(shù)的對數(shù)，等于同一底數(shù)的原對數(shù)真數(shù)的對數(shù)與原對數(shù)底數(shù)的對數(shù)的商，這樣就把一個對數(shù)變成了與原來對數(shù)的底數(shù)不同的兩個同底對數(shù)的商換底公式的意義就在于把對數(shù)的底數(shù)改變，把不同底對數(shù)問題轉(zhuǎn)化為同底對數(shù)問題，為使用對數(shù)的運算性質(zhì)創(chuàng)造條件，更方便化簡求值.設(shè)計意圖：設(shè)計5個問題，引導(dǎo)學(xué)生由特殊到一般地思考得出換底公式，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的由特殊到一般的思維方法，這也是我們得出數(shù)學(xué)結(jié)論常用的方法.探究1設(shè)，根據(jù)對數(shù)的定義，寫成指數(shù)式得.①對①式兩邊取常用對數(shù)，得到，所以.這樣我們可以用科學(xué)計算器中常用對數(shù)鍵“LOG”算出的值：.如果對①式兩邊取自然對數(shù)，得到，所以.這樣我們可以用科學(xué)計算器中的自然對數(shù)鍵“LN”算出的值.探究2如果對①式兩邊取以c（）為底的對數(shù)，得所以.探究3證明：設(shè)，根據(jù)對數(shù)定義，寫成指數(shù)式，得.根據(jù)相等的兩個正數(shù)的同底對數(shù)相等，兩邊取以c（）為底的對數(shù)，得，所以.由于，所以.換底公式：一般地，若，且，則，這個結(jié)論稱為對數(shù)的換底公式.設(shè)計意圖：探究過程體現(xiàn)了由特殊到一般的思維過程，探究1是取常用對數(shù)，探究2取更一般的字母c，探究3全部換成字母，得出一般結(jié)論.三、質(zhì)疑答辯，發(fā)展思維例1用科學(xué)計算器計算（精確到0.001）：（1）；（2）；（3）；（4）.分析：先利用換底公式改寫成自然對數(shù)或常用對數(shù)的商的形式，再利用計算器計算.解：（1）.（2）.（3）.（4）.設(shè)計意圖：讓學(xué)生通過合作學(xué)習(xí)，使用計算器完成.看誰算得快，增強合作與競爭意識.例2計算：（1）；（2）；（3）（，且）.分析：（1）利用換底公式換成以3為底的對數(shù)；（2）（3）換成以10為底或以e為底的對數(shù)進(jìn)行計算（當(dāng)然也可以換成其他底數(shù)）.解：（1）.（2）.（3）.例3計算：（1）；（2）.分析：（1）先利用換底公式換成同底的對數(shù)，化簡之后利用對數(shù)的運算性質(zhì)（逆用）計算；（2）利用換底公式換成同底對數(shù)，然后化簡.解：根據(jù)對數(shù)的換底公式，得（1）.（2）師生活動：學(xué)生觀察題目，思考討論，互相交流，教師適時提示，使用換底公式統(tǒng)一底數(shù)在講授時可通過實物展示臺放映學(xué)生解答過程分析解答情況.師指出：在對數(shù)運算中，要特別注意觀察對數(shù)的特點，若是同底數(shù)對數(shù)的加減運算，通常運用對數(shù)的運算性質(zhì)，先將對數(shù)之間的加減運算轉(zhuǎn)化為真數(shù)之間的乘除運算，然后再進(jìn)行對數(shù)運算；若不是同底數(shù)對數(shù)，則要考慮使用換底公式化為同底數(shù)對數(shù)再計算.設(shè)計意圖：讓學(xué)生體會要根據(jù)題目的特點，底數(shù)不同，要考慮把底數(shù)統(tǒng)一起來，可以化成常用對數(shù)或自然對數(shù)當(dāng)然以2為底或以3為底的對數(shù)也可，靈活應(yīng)用對數(shù)的換底公式是解決問題的關(guān)鍵.例4分別計算下列各式，你能得出什么結(jié)論？（1）；（2）；（3）.分析：利用換底公式化為同底數(shù)對數(shù)然后進(jìn)行計算.解：（1）.（2）.（3）.師生活動：讓學(xué)生先計算，然后分析、觀察，教師引導(dǎo)總結(jié)規(guī)律.結(jié)論：.例5設(shè)，且，利用對數(shù)的換底公式證明：（1）；（2）.分析：（1）利用換底公式換成以b為底的對數(shù)；（2）利用換底公式換成以a為底的對數(shù).解：（1）.（2）.設(shè)計意圖：從例題的解答過程中，引導(dǎo)學(xué)生思考一般性結(jié)論，強調(diào)底數(shù)的次方數(shù)為分母，真數(shù)的次方數(shù)為分子.四、鞏固練習(xí)教材第104頁練習(xí)第2，4，6題.五、課堂小結(jié)1.換底公式可以完成不同底數(shù)的對數(shù)式之間的轉(zhuǎn)化，該公式既可以正用，也可逆用，使用時的關(guān)鍵是選擇底數(shù)，換底的目的是實現(xiàn)對數(shù)式的化簡所以在對數(shù)的運算中，應(yīng)盡量化為同底的對數(shù)，以便用于運算.2.不論是指數(shù)和對數(shù)的互化，還是把底數(shù)不同的對數(shù)轉(zhuǎn)化為底數(shù)相同的對數(shù)，都用到了轉(zhuǎn)化與化歸的思想、方程思想.板書設(shè)計2.2換底公式1.換底公式般地，若，且，則，這個結(jié)論稱為對數(shù)的換底公式證明：2.典型例題例1例2例3例4結(jié)論：例5設(shè)，且，利用對數(shù)的換底公式證明：（1）；（2）3.課堂小結(jié)（1）換底公式可以完成不同底數(shù)的對數(shù)式之間的轉(zhuǎn)化，該公式既可以正用，也可逆用，使用時的關(guān)鍵是選擇底數(shù)，換底的目的是實現(xiàn)對數(shù)式的化簡所以在對數(shù)的運算中，應(yīng)盡量化為同底的對數(shù)，以便用于運算（2）不論是指數(shù)和對數(shù)的互化，還是把底數(shù)不同的對數(shù)轉(zhuǎn)化為底數(shù)相同的對數(shù)，都用到了轉(zhuǎn)化與化歸的思想、方程思想教學(xué)研討本課是在學(xué)習(xí)了對數(shù)的概念和運算性質(zhì)的基礎(chǔ)上來研究換底公式，利用換底公式統(tǒng)一對數(shù)底數(shù)，即“化異為同”是解決有關(guān)對數(shù)計算問題的基本思想方法，一般利用它將對數(shù)轉(zhuǎn)化為常用對數(shù)或自然對數(shù)來計算，在具體解題過程中，不僅要能正用換底公式，還要能熟練地逆用換底公式，本案例的設(shè)計以問題引導(dǎo)教學(xué)，問題的設(shè)計由易到難，由特殊到一般，層次性強.讓學(xué)生在問題的引導(dǎo)下不斷地深入思考，發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)，得出數(shù)學(xué)結(jié)論.由特殊到般的思維方法，也就是歸納一猜想一證明的思維方法是我們發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論常用的