2025年裂項考試試題及答案本文借鑒了近年相關(guān)經(jīng)典試題創(chuàng)作而成，力求幫助考生深入理解測試題型，掌握答題技巧，提升應(yīng)試能力。一、填空題（每空2分，共20分）1.在裂項法求和時，若某一通項公式可以表示為\(\frac{a_n}{b_n}\)，且\(b_n\)可以分解為\(b_n=b_{n+1}-b_{n-1}\)，則裂項公式通常表示為__________。2.裂項法求和常用于解決哪些類型的級數(shù)問題？請列舉至少兩種類型。3.若一個級數(shù)的通項公式為\(\frac{1}{n(n+1)}\)，則通過裂項法可以將其分解為__________。4.在裂項法求和中，若通項公式為\(\frac{1}{a^n-b^n}\)，則通常需要將其分解為__________的形式。5.裂項法求和的基本思路是什么？6.若一個級數(shù)的通項公式為\(\frac{1}{(n+1)(n+2)}\)，則通過裂項法可以將其分解為__________。7.在裂項法求和中，若通項公式為\(\frac{1}{n^2+1}\)，則通常需要將其分解為__________的形式。8.裂項法求和常用于解決哪些類型的級數(shù)問題？請列舉至少三種類型。9.若一個級數(shù)的通項公式為\(\frac{1}{n(n+1)(n+2)}\)，則通過裂項法可以將其分解為__________。10.裂項法求和的基本思路是什么？二、選擇題（每題3分，共30分）1.下列哪個級數(shù)適合使用裂項法求和？A.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\)B.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\)C.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}\)D.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+2)}\)2.若一個級數(shù)的通項公式為\(\frac{1}{n(n+1)}\)，則通過裂項法可以將其分解為：A.\(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\)B.\(\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}\)C.\(\frac{1}{n^2}-\frac{1}{(n+1)^2}\)D.\(\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n+1)^2}\)3.裂項法求和的基本思路是什么？A.將通項公式分解為多個部分B.將通項公式合并為一個部分C.將通項公式求導D.將通項公式積分4.若一個級數(shù)的通項公式為\(\frac{1}{(n+1)(n+2)}\)，則通過裂項法可以將其分解為：A.\(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}\)B.\(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}\)C.\(\frac{1}{(n+1)^2}-\frac{1}{(n+2)^2}\)D.\(\frac{1}{(n+1)^2}+\frac{1}{(n+2)^2}\)5.下列哪個級數(shù)不適合使用裂項法求和？A.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}\)B.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\)C.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+2)}\)D.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)(n+2)}\)6.若一個級數(shù)的通項公式為\(\frac{1}{n^2+1}\)，則通常需要將其分解為：A.\(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\)B.\(\frac{1}{n^2}-\frac{1}{(n+1)^2}\)C.\(\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}\)D.\(\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n+1)^2}\)7.裂項法求和常用于解決哪些類型的級數(shù)問題？請列舉至少兩種類型。A.等差數(shù)列求和B.等比數(shù)列求和C.分式級數(shù)求和D.無窮級數(shù)求和8.若一個級數(shù)的通項公式為\(\frac{1}{n(n+1)(n+2)}\)，則通過裂項法可以將其分解為：A.\(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\)B.\(\frac{1}{n(n+1)}-\frac{1}{(n+1)(n+2)}\)C.\(\frac{1}{n^2}-\frac{1}{(n+1)^2}\)D.\(\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n+1)^2}\)9.裂項法求和的基本思路是什么？A.將通項公式分解為多個部分B.將通項公式合并為一個部分C.將通項公式求導D.將通項公式積分10.下列哪個級數(shù)適合使用裂項法求和？A.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\)B.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\)C.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}\)D.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+2)}\)三、計算題（每題5分，共40分）1.求級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}\)的和。2.求級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n+1)(n+2)}\)的和。3.求級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)(n+2)}\)的和。4.求級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2+1}\)的和。5.求級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+2)}\)的和。6.求級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n+1)(n+3)}\)的和。7.求級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}\)的和。8.求級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+2)}\)的和。四、解答題（每題10分，共30分）1.請詳細解釋裂項法求和的基本思路，并舉例說明。2.請詳細解釋裂項法求和的基本思路，并舉例說明。3.請詳細解釋裂項法求和的基本思路，并舉例說明。答案及解析一、填空題1.\(\frac{a_n}{b_n}=\frac{A}{b_{n+1}}-\frac{B}{b_{n-1}}\)2.等差數(shù)列求和、等比數(shù)列求和、分式級數(shù)求和3.\(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\)4.\(\frac{1}{a^n-b^n}=\frac{1}{a-b}\left(\frac{1}{a^{n-1}}-\frac{1}{a^n}\right)\)5.將通項公式分解為多個部分，使其在求和時能夠相互抵消6.\(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}\)7.\(\frac{1}{n^2}-\frac{1}{(n+1)^2}\)8.等差數(shù)列求和、等比數(shù)列求和、分式級數(shù)求和9.\(\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}\right)\)10.將通項公式分解為多個部分，使其在求和時能夠相互抵消二、選擇題1.C2.A3.A4.A5.A6.B7.C8.B9.A10.C三、計算題1.求級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}\)的和。解：\(\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\)所以，級數(shù)可以分解為：\[\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)\]這是一個望遠鏡級數(shù)，求和時大部分項會抵消，剩下：\[1-\frac{1}{\infty}=1\]所以，級數(shù)的和為1。2.求級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n+1)(n+2)}\)的和。解：\(\frac{1}{(n+1)(n+2)}=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}\)所以，級數(shù)可以分解為：\[\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}\right)\]這是一個望遠鏡級數(shù)，求和時大部分項會抵消，剩下：\[\frac{1}{2}-\frac{1}{\infty}=\frac{1}{2}\]所以，級數(shù)的和為\(\frac{1}{2}\)。3.求級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)(n+2)}\)的和。解：\(\frac{1}{n(n+1)(n+2)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n}-\frac{2}{n+1}+\frac{1}{n+2}\right)\)所以，級數(shù)可以分解為：\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n}-\frac{2}{n+1}+\frac{1}{n+2}\right)\]這是一個望遠鏡級數(shù)，求和時大部分項會抵消，剩下：\[\frac{1}{2}\left(1-\frac{2}{2}+\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{4}\]所以，級數(shù)的和為\(\frac{1}{4}\)。4.求級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2+1}\)的和。解：這個級數(shù)不適合使用裂項法求和，因為\(\frac{1}{n^2+1}\)不能分解為簡單的望遠鏡形式。通常需要使用其他方法，如傅里葉級數(shù)或復(fù)變函數(shù)方法。5.求級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+2)}\)的和。解：\(\frac{1}{n(n+2)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}\right)\)所以，級數(shù)可以分解為：\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}\right)\]這是一個望遠鏡級數(shù)，求和時大部分項會抵消，剩下：\[\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{2}\right)=\frac{3}{4}\]所以，級數(shù)的和為\(\frac{3}{4}\)。6.求級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n+1)(n+3)}\)的和。解：\(\frac{1}{(n+1)(n+3)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+3}\right)\)所以，級數(shù)可以分解為：\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+3}\right)\]這是一個望遠鏡級數(shù)，求和時大部分項會抵消，剩下：\[\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right)=\frac{5}{12}\]所以，級數(shù)的和為\(\frac{5}{12}\)。7.求級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}\)的和。解：\(\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\)所以，級數(shù)可以分解為：\[\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)\]這是一個望遠鏡級數(shù)，求和時大部分項會抵消，剩下：\[1-\frac{1}{\infty}=1\]所以，級數(shù)的和為1。8.求級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+2)}\)的和。解：\(\frac{1}{n(n+2)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}\right)\)所以，級數(shù)可以分解為：\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}\right)\]這是一個望遠鏡級數(shù)，求和時大部分項會抵消，剩下：\[\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{2}\right)=\frac{3}{4}\]所以，級數(shù)的和為\(\frac{3}{4}\)。四、解答題1.請詳細解釋裂項法求和的基本思路，并舉例說明。解：裂項法求和的基本思路是將通項公式分解為多個部分，使其在求和時能夠相互抵消。具體來說，通常將通項公式分解為兩個部分，其中一個部分是前一項的逆，另一個部分是后一項的逆。這樣在求和時，大部分項會相互抵消，只剩下首尾幾項。舉例說明：求級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}\)的和。解：\(\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\)所以，級數(shù)可以分解為：\[\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)\]這是一個望遠鏡級數(shù)，求和時大部分項會抵消，剩下：\[1-\frac{1}{\infty}=1\]所以，級數(shù)的和為1。2.請詳細解釋裂項法求和的基本思路，并舉例說明。解：裂項法求和的基本思路是將通項公式分解為多個部分，使其在求和時能夠相互抵消。具體來說，通常將通項公式分解為兩個部分，其中一個部分是前一項的逆，另一個部分是后一項的逆。這樣在求和時，大部分項會相互抵消，只剩下首尾幾項。舉例說明：求級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n+1)(n+2)}\)的和。解：\(\frac{1}{(n+1)(n+2)}=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}\)所以，級數(shù)可以分解為：\[\