2024-2025學年江蘇省南通市高一（下）期末數(shù)學試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.已知復數(shù)z={,則|z|等于（）

A.1B.72C.2D.2<2

2.南通軌道交通1號線從南通西站到孩兒巷共10個車站，某時刻各站上車的人數(shù)統(tǒng)計如下：10,20,30,

40,40,50,50,60,60,70,則這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為（）

A.25B.30C.55D.60

3.已知向量五，b滿足悶=\b\=1,a-b=-J,貝囁在不上的投影向量為（）

A.—HB.——SC.^bD.

4.在△ABC中，若警=嘿，貝必ABC的形狀是（）

A.等腰三角形B.等邊三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形

5.已知a,0,y是三個不同的平面，/是一條直線，則下列說法正確的是（）

A.若a1y,0上y,則仇〃SB.若〃/a,I///3,則a//0

C.若Sa,Z1/?,則a〃/?D.若1〃a,a//則

6.已知sin(a—^)=則sin(2a+弓)=()

7722

A-9B-9c-D--

9,9

7.已知圓臺的上、下底面半徑分別為1和2,它的側面展開圖是圓心角為兀的扇環(huán)，則該圓臺的體積為（）

A7/3n8/316-56

A.亍兀B.丁兀C.ITD.IT

8.如圖，用x,y,z三種不同元件連接成系統(tǒng)N,每個元件是否正常工作不受其它元件的影響.當元件x,y

都正常工作或Z正常工作時，系統(tǒng)N正常工作.已知元件X,y,Z正常工作的概率分別為0.7,0,8,0.9,則

系統(tǒng)N正常工作的概率為()

A.0.504B.0.846（系統(tǒng)N）

C.0.902D.0.956

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

9.下列等式中，正確的是（）

A.sin21°cos39°+cos21°sin39°=苧B.cos215°—sin215°=1

C.(tanio0+l)(tan350+1)=2D.二：窩=一門

10.依次拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，記“第一次向上的點數(shù)是1”為事件力，“第二次向上的點數(shù)是偶數(shù)”

為事件B,“兩次向上的點數(shù)之和是8”為事件C,貝1()

71

A.2與B相互獨立8.4與。互斥C.P(4+B)=SD.P(BC)=2

11.在正三棱柱ABC-中，4B=2,44i=4,M為8c的中點，點N在棱CC1上，且GN=3NC,則

()

A.AM1BN

B.〃平面AMCi

C.直線MN與平面ACC/i所成角為:

D.三棱錐C一4MN的外接球表面積為57r

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知數(shù)據(jù)2,4,a,6,8的平均數(shù)為5,則該組數(shù)據(jù)的方差為.

13.在△力BC中，AB=73,AC=273,CD=2DB,且而?旅=1,貝UNBAC=.

14.在AdBC中，cos2A+cos2B-cos2C=1,N4cB的角平分線交2B于D,CD=2/2,貝!]△ABC面積的

最小值為.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題13分)

已知向量乙獺足向=2,3=?,爭，N與附夾角為(

(1)求一||；

(2)若(kN—石)1@+2尤)，求k的值.

16.(本小題15分)

為調(diào)查學生體能狀況，現(xiàn)從某校高一年級參加體能測試的學生中隨機抽取100名學生的體能測試成績，這

組數(shù)據(jù)均在區(qū)間[40,100],其頻率分布直方圖如圖所示.

(1)求ni的值；

(2)用組中值估計該校高一學生的平均體能測試成績；

(3)現(xiàn)用分層抽樣的方法從區(qū)間[40,50),[80,90),[90,100]抽取5人，再從抽取的5人中隨機抽取2人，求這

2人體能測試成績在[80,90)的概率.

17.(本小題15分)

已知a,￡W(0,》sin(a+S)=5s譏(a-S).

/y、［、-tCLTlCC

⑴求司;

(2)右tan￡=求sin(2a-0)的值.

18.(本小題17分)

一副三角板按如圖所示的方式拼接，將ABC。折起，使得4B1CD.

(1)證明：平面ABC1平面BCD；

(2)求二面角4-BD-C的余弦值;

(3)設BD,CD的中點分別為M,N,平面4MN與平面2BC的交線為I,求直線/與BD所成角的余弦值.

19.(本小題17分)

在平面四邊形力BCD中，AB=2BC,ABAC=￡AD=1,CD=2.

o

(1)若4B,C,。四點共圓，求AC；

(2)若N&DC為銳角，且四邊形4BCD的面積為，求荏?詬；

(3)求BD的取值范圍.

答案解析

1.【答案】B

【解析】解:—三一2(l+i)

_1-1~(1-0(1+0—1+I

\z\=V_2.

故選：B.

利用復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，再由復數(shù)模的計算公式求解.

本題考查復數(shù)代數(shù)形式的乘法運算，考查復數(shù)模的求法，是基礎題.

2.【答案】D

【解析】解：數(shù)據(jù)10,20,30,40,40,50,50,60,60,70共10個數(shù),

因為10X75%=7.5,

所以這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為第8個數(shù)，等于60.

故選：D.

利用總體百分位數(shù)的定義求解即可.

本題考查百分位數(shù)的求法，是基礎題.

3.【答案】D

【解析】解：向量落3滿足|國=|后=1,a-b=~l，

則2在3上的投影向量為2=

網(wǎng)網(wǎng)2

故選：D.

結合投影向量的公式，即可求解.

本題主要考查投影向量的公式，屬于基礎題.

4.【答案】A

【解析】解：在△力BC中，因為寥=駕

DC/iC

由正弦定理可得*=駕

sinAsmB

則sinAcosB=cosAsinB,可得si九4cosB—cosAsinB—0,

得sin(4—B)=0,

因為力eBe（0,兀），

可得a—B=0,解得4=B,

即△力BC的形狀是等腰三角形，故A正確.

故選：A.

先利用正弦定理邊化角，再利用兩角差的正弦公式得到sin(A-B)=0,最后結合正弦函數(shù)的性質(zhì)得到4=

B,判斷三角形形狀即可.

本題主要考查了正弦定理在三角形形狀判斷中的應用，屬于基礎題.

5.【答案】C

【解析】解：若aly,Sly,則a,可能會相交也可能平行，所以力選項錯誤；

若〃/a,l//p,則a,￡可能會相交或平行，所以B選項錯誤；

若Zia,11￡,則戊〃0,所以C選項正確；

若〃/a,a//13,則”/6或lu￡,所以。選項錯誤.

故選：C.

根據(jù)空間中各要素的位置關系，逐一判斷即可.

本題考查空間中各要素的位置關系，屬基礎題.

6.【答案】A

【解析】解：已知sin(a—弓)=金,則sin(2a+弓)=cos,—(2a+))]=cos。-2a)

=cos(2a—^)=1—2sin2(a—^)=1—2x1=^,

故選：A.

由題意利用誘導公式、二倍角公式，求得sin(2a+g)的值.

本題主要考查誘導公式、二倍角公式的應用，屬于基礎題.

7.【答案】A

【解析】解：因為圓臺的上、下底面半徑分別為1和2,

圓臺的側面展開圖是圓心角為兀的扇環(huán)，

所以圓臺的母線長度為2"(2T)=2,

71

所以圓臺的高為h=J22_(2—1尸=/3,

所以圓臺的體積為g兀X/3X(12+1X2+22)=殍兀.

故選：A.

利用圓臺的性質(zhì)求出母線長度，結合勾股定理求出高，再利用體積公式求解即可.

本題考查圓臺的體積的求解，屬基礎題.

8.【答案】D

【解析】解：根據(jù)題意，元件X,匕Z正常工作的概率分別為0.7,0,8,0.9,

貝UP(X)=0.7,P(r)=0.8,P(Z)=0.9,

又由系統(tǒng)N正常工作的對立事件為系統(tǒng)x,丫不都正常工作且z也不正常工作，

而每個元件是否正常工作不受其它元件的影響，則x,y,z相互獨立，

可得X,丫不都正常工作的概率為1—0.7x0.8=0.44,

故系統(tǒng)N不正常工作的概率為0.44X(1-0.9)=0.044,

故系統(tǒng)N正常工作的概率為1一0.044=0,956.

故選：D.

利用對立事件的概率公式將目標事件合理轉化，再結合獨立事件的概率公式求解即可.

本題考查相互獨立事件的概率計算，涉及對立事件的性質(zhì)，屬于基礎題.

9【答案】AC

【解析】解:根據(jù)sin21%os39。+cos21°sin390=sin(21°+39°)=sin60°=?，可知A正確；

根據(jù)二倍角的余弦公式，可得cos215。-411215。=?0530。=?,可知B項錯誤；

由兩角和的正切公式，可得tcm45。=tan(10°+35。)=一普普案=1,

所以tcml00+tan350=1—tanl0°tan35°,

可得(汝幾10°+l)(tan350+1)=tanl00tan350+tan!00+tan350+1

=tan10°tan350+(1—tanl0°tan35°)+1=2,所以C項正確；

根據(jù)兩角差的正切公式，

可得牖=:鬻武霖=tan(45。-75。)=tan(-3。。)=T即3°°=-早故D項錯誤?

故選：AC.

根據(jù)兩角和的正弦公式判斷出a項的正誤；根據(jù)二倍角的余弦公式判斷出B項的正誤；利用兩角和的正切公

式判斷出c項的正誤；利用兩角差的正切公式判斷出。項的正誤，進而可得本題答案.

本題主要考查兩角和與差的三角函數(shù)公式與二倍角公式、特殊角的三角函數(shù)值等知識，屬于基礎題.

10.【答案】ABC

【解析】解：根據(jù)題意可知，共有62=36個基本事件，

第一次向上的點數(shù)是1有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),共6種情況，

由古典概型概率公式得P(2)=￡=3

3。o

第二次向上的點數(shù)是偶數(shù)有(1,2),(1,4),(1,6),(2,2),(2,4),(2,6)

(3,2),(3,4),(3,6),(4,2),(4,4),(4,6),(5,2),

(5,4),(5,6),(6,2),(6,4),(6,6),共18種情況，

由古典概型概率公式得P⑻=￡=；，

兩次向上的點數(shù)之和是8有(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2),共5種情況，

由古典概型概率公式得P(C)=￡,

而事件4B表示第一次向上的點數(shù)是1且第二次向上的點數(shù)是偶數(shù)，

符合條件的有(1,2),(1,4),(1,6),共3種，則PQ4B)=,=。,

下面，我們開始分析各個選項，

對于2,由已知得PG48)=jP(X).P(B)=ix|

1ZOZ1Z

滿足P(4B)=P(4)-P(8),則力與B相互獨立，故A正確；

對于8,事件a+C表示第一次向上的點數(shù)是1或兩次向上的點數(shù)之和是8,

符合條件的有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)

(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2),共11個，故P(4+C)=(,

滿足PQ4+C)=PQ4)+P(C),可得4與C互斥，故8正確；

對于C,由概率加法公式得PQ4+B)=PQ4)+P(B)-PQ4B)

='+J—白=，，即C正確；

oZIz1Z

對于D,題意得共有62=36個基本事件，

則BC表示第二次向上的點數(shù)是偶數(shù)且兩次且向上點數(shù)之和是8,

符合條件的有(2,6),(6,4),(2,2),共3種，則P(BC)=2=專，故。錯誤.

故選：ABC.

利用古典概型公式求出P(4),P(B),P(C),進一步結合獨立事件的概率公式和互斥事件的定理逐個選項

判斷即可.

本題考查了獨立事件的概率公式和互斥事件的定理，屬于中檔題.

11.【答案】ABD

【解析】解：對于4選項：因為平面4BC,4Mu平面48C,

所以4M1CG，又正三角形力BC中，M為BC的中點，

所以力MJ.BC,又AMlCCi，BCnCCr=C,

所以4M_L平面BCGBi，又BNu平面BCC/i，

所以4MlBN,所以4選項正確；

對于B選項：如圖，連接AC〉&C兩線相交于點0,再連接0M,

易知四邊形為長方形,

所以點。為直線4C的中點，又M為8c的中點，

所以力/〃。M,又&BC平面OMu平面

所以〃平面2MG，所以8選項正確;

對于C選項：如圖，找直線CQ的中點“，直線2C的中點G,連接BH,BG,HG,

因為C】N=3NC,

所以點N是CCi的四等分點,

所以點N為CH的中點，又M為BC的中點，所以

所以直線MN與平面ACCiA所成角即為直線與平面2CG4所成角，

因為CC】_L平面力BC,BGu平面4BC,所以BG1CQ,

又三角形2BC為正三角形，G為2C的中點，所以BG14C,又力CnCC】=C,

所以BG1平面

所以NBHG即為所求線面角，設線面角為。，

因為HG=、I?+22=8G=V22—/=所以B"=J=2，^,

所以s譏。=第=冬=苧4］所以。選項錯誤；

DH27242

對于。選項：因為CN1平面AMC,

所以球心到平面AMC的距離為2CN=p

又三角形2MC的外接圓圓心為r=|xA*。=1,

2sm90

所以三棱錐C-4MN的外接球半徑R=J12+(1)2=等，

所以三棱錐C-4MN的外接球表面積為4兀/?2=5兀，所以。選項正確.

故選：ABD.

對于力：先證明AM1平面BCQBi，利用線面垂直的性質(zhì)定理即可證明；

對于B：利用線面平行判定定理即可證明；

對于C：找出線面角即可求得結果；

對于。：求出外接球的半徑即可得到結果.

本題考查立體幾何的綜合應用，屬中檔題.

12.【答案】4

【解析】解：???數(shù)據(jù)2,4,a,6,8的平均數(shù)為5,

a=5x5—2—4—6—8=5,

該組數(shù)據(jù)的方差為：

1

S2=1[(2-5)2+(4-5)2+(5-5)2+(6-5)2+(8-5)2]=4.

故答案為：4.

利用平均數(shù)、方差的定義求解.

本題考查平均數(shù)、方差的定義等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題.

13.【答案】y

【解析】解：由而=2麗,可得前=力露

則同=AB+BD=AB+^(AC-AB)=|AB+^AC,

又AB=gAC=20,AD-BC=1,

則有(|南+,硝■(XC-AB)=~1AB2+^AC2+^AB-AC

211

-—-x3+@x12+gXV-3x2V_3cosZ.^i4C

——2+4+2cos乙BAC—1,解得cosZ^BAC———,

又4BACe（0,兀），所以NBAC=y.

故答案為：y.

根據(jù)題意，結合平面向量的線性運算，得前=|荏+彳而，再根據(jù)數(shù)量積的運算求得COSNBAC=-，，即

可得出結果.

本題考查平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及運算，屬中檔題.

14.【答案】8

【解析】解：設在AABC中，角4B,C所對的邊分別為a,b,c,

根據(jù)題意可知，cos2A+cos2B—cos2C=1,???1—2sin2A+1-2sin2B—1+2sin2C=1,

???sin2yl+sin2F=sin2C,

根據(jù)正弦定理可得c2=a2+h2,故乙4cB=p

根據(jù)題意可知，CD為乙4cB的角平分線，.??乙4C。=MC。=3，

4

c

根據(jù)SAACD+S&BCD=S^ACB，得Jbx2<2sinj+|ax2<2sin^=^ab,

整理得a+/?=;ab,即4+：=

2ab2

?.-l+|=i>2.-.ah>16,當且僅當a=b=4時取等號，

ab27ab

???S^ACB=/吐>8,故△ZBC面積的最小值為8.

故答案為：8.

根據(jù)二倍角公式以及正弦定理邊角轉化可得乙4cB為直角，由等面積法得工+:=:，結合基本不等式即可

ab2

求解

本題考查了解三角形，屬于中檔題.

15.【答案】/3；

【解析】(1)因為另=G，苧)，所以|3|=1即+(爭2=1,

所以N-b—2x1xcosg=L

所以G—3)2=a2-2a-b+b2=22-2X1+12=3,

所以口一瓦=，Z；

(2)因為。左―3)1(a-2b),所以—■(a+2b)=0,

即k片+(2k-l)3-3—232=o,

所以4k+(2fc-l)-2=0,解得k=I，

(1)根據(jù)模長公式即可求解，

(2)根據(jù)垂直的向量關系，結合數(shù)量積的運算律，即可代入求解.

本題考查了平面向量的數(shù)量積運算問題，是基礎題.

16.【答案】m-0.012；

67.8；

3

10,

【解析】(1)由題意可得10(0.004x2+0.20x2+m+0.40)=1,解得m=0.012；

(2)平均數(shù)為45X0.004X10+55X0.020x10+65x0.040X10+75x0.020x10+85X0.012X10+

95x0.004X10=67.8,

故該校高一學生的平均體能測試成績?yōu)?7.8；

(3)[40,50),[80,90),[90,100]的頻率分別為0.04,0.12,0.04,故之比為1：3：1,

所以從[40,50),[80,90),[90,100]抽取5個人,

所以需要從[40,50),[80,90),[90,100]分別抽取的人數(shù)為1,3,1,

設[40,50)的1個人為4[80,90)的3個人為a,b,c,[90,100]的1一個人為B,

因此樣本空間為。={{Ad),(砌,(Ac),(AB),(ab),(ac),(aB),(bc),(bB>(cB)},共有10個，

則2人體能測試成績在[80,90)的樣本點有{(ab),(ac),(6c)}共有3個，

故2人體能測試成績在[80,90)的概率為磊.

(1)根據(jù)頻率之和為1即可求解，

(2)根據(jù)平均數(shù)的計算公式即可求解，

(3)列舉樣本點，即可根據(jù)古典概型的概率公式即可求解.

本題考查頻率分布直方圖的應用，屬于中檔題.

17.【答案】|；

9/10

50,

【解析】(1)由sin(a+￡)=5s沆(a-0),

得sinacosG+cosasin^=Ssinacos^—Scosasin(3,

化簡得3cosas譏/?=2sinacos^,

因為a、/?都是銳角，所以cosaH0,sina0,

可得駕=型空，即3tm0=2tma,故駕

cospcosa廠tanp2

131

(2)若tan/3=貝！Jtcma=-tan^=

由tan/?=§,且/?為銳角,

同理可得sina=~^1=,cosa=2

所以sin2a=2sinacosa—%cos2a—cos2a—sin2a=|,

所以sin(2a—S)=sin2acosp—cos2asin0=x^==—|x^i==

(1)根據(jù)兩角和與差的正弦公式化簡已知等式，可得3cosas譏￡=2sinacos^,結合同角三角函數(shù)的基本關

系求出答案；

(2)根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關系、二倍角公式及兩角差的正弦公式進行求解，可得答案.

本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關系、兩角和與差的三角函數(shù)公式與二倍角公式，考查了計算能力、邏

輯推理能力，屬于中檔題.

18.【答案】證明見解答；g殍.

【解析】(1)證明：因為CD1BC,CDLAB,ABCBC=B,AB,8Cu平面48C,

所以CD_L平面4BC.

因為CDu平面BCD,

所以平面ABC_L平面BCD.

(2)在ABC。中，取BC的中點。，過。作。H1BD,垂足為H,連結AH,

A

因為4B=4C,。為BC的中點，

所以4。1BC.

因為平面ABC_L平面BCD,

平面力BCn平面BCD=BC,

AOu平面ABC,

所以4。1平面BCD,

因為BDu平面BCD,

所以力。1BD,

因為。H18D,OHCtAO=0,OH,2。u平面4?！?

所以8D1平面4。”，

因為月“u平面4?！保?/p>

所以BDLAH,

所以N2H。為二面角力-BD-。的平面角，

不妨設BC=2,貝熊。=1,?！?：

AH=yjAO2+OH2=J1+(1)2=手

1

,...〃八OH7V-5

在中，cos^AHO=—=,

/inq5□

~T

所以二面角A-BD-C的余弦值為號；

(3)在ABC。中，M,N分別為BD,CD的中點,

A

所以〃可為4BCD的中位線，

所以MN//BC.

因為MNC平面ABC,BCu平面4BC,

所以MN〃平面ABC.

因為MNu平面4MN,平面2MNC平面ABC=I,

所以MN〃1,

因為MN〃BC,

所以〃/BC,

所以1與8。所成角為“8D,

在出△BCD中，XBD7,

所以COSNCBD=苧，

所以直線I與BD所成角的余弦值為苧.

(1)先證CD1平面力BC,再利用面面垂直的判定定理即可得證；

(2)先證乙4"。為二面角A-BD-C的平面角，再解三角形即可求解;

⑶先證〃/BC,得出嗚BD所成角為NCBD,再解三角形即可求解.

本題考查面面垂直的判定，以及空間角的計算，屬于中檔題.

19.【答案】77；

-1;

,/395/3-.

【解析】解：（1）在△ABC中，AB=2BCf^BAC=

由正弦定理得48BC

sin乙4cBsinZ.BAC7

2BC_BC

即sin/ZCB一~'

2

可得sin乙4cB=1,

所以N478=會

乙ABC=全

因為力，B,C,。四點共圓，

所以N4DC=|兀，

在△4CD中，AD=1,CD=2,

由余弦定理得心=AD2+CD2-2AD-CD-cos乙4DC=l+4=2xlx2x(―1)=7,

可得力c=77；

(2)設BC=%,貝U4B=2x,AC=<3x,^ADC=9,

在△4(：￡)中，由余弦定理可得AC?=AD2+CD2_2AD-CD-coszXDC,

即3/=1+4-2x1x2cos6,

整理可得3久2=5-4cos8,

所以/=上磬，

所以S四邊形ABCD=S4DC+S—BC=sine+苧/=sind+苧X汽”。

2AA3573

=sind---—cos34——-

3