專題09函數(shù)的概念

1、學(xué)會運用集合語言表示函數(shù),理解函數(shù)的定義及構(gòu)成要素，會求解簡單函數(shù)的定義域和值域

2、掌握函數(shù)相等與判定的方法

/------[HHHK.

(新知速通j

知識點一：函數(shù)的概念

1、初中學(xué)習(xí)的函數(shù)的傳統(tǒng)定義

設(shè)在一個變化的過程中，有兩個變量》和丁，如果給定了一個工值，相應(yīng)地就有唯一確定的一個丁值

與之對應(yīng)，那么我們就稱y是x的函數(shù)，其中x是自變量，y是因變量.它們描述的是兩個變量之間的依賴

關(guān)系.

2、函數(shù)的近代定義

一般地，設(shè)A,8是非空的實數(shù)集，如果對于集合A中的任意一個數(shù)X,按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系了,

在集合3中都有唯一確定的數(shù)y和它對應(yīng)，那么就稱3為從集合A到集合3的一個函數(shù)

(function),記作y=/(x),尤eA.其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與了的值

相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合｛/(?IxeA｝叫做函數(shù)的值域.顯然，值域是集合5的子集.

函數(shù)的四個特征：

①非空性：A,5必須為非空數(shù)集(注意不僅非空，還要是數(shù)集)，定義域或值域為空集的函數(shù)是不存在

的.

②任意性：即定義域中的每一個元素都有函數(shù)值.

③單值性：每一個自變量有且僅有唯一的函數(shù)值與之對應(yīng)(可以多對一，不能一對多).

④方向性：函數(shù)是一個從定義域到值域的對應(yīng)關(guān)系，如果改變這個對應(yīng)方向，那么新的對應(yīng)所確定

的關(guān)系就不一定是函數(shù)關(guān)系.

知識點二：函數(shù)的三要素

1、定義域：函數(shù)的定義域是自變量的取值范圍.

2、對應(yīng)關(guān)系：對應(yīng)關(guān)系/是函數(shù)的核心，它是對自變量了實施“對應(yīng)操作”的“程序”或者“方法”.

3、值域：與x的值相對應(yīng)的V值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合｛/(x)|xeA｝叫做函數(shù)的值域(range).

知識點三：函數(shù)相等

同一函數(shù)：只有當(dāng)兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系都分別相同時,這兩個函數(shù)才相等,即是同一個函數(shù).

知識點四：區(qū)間的概念

1區(qū)間的概念

設(shè)。，6是實數(shù)，且a<b,滿足aWxWb的實數(shù)》的全體，叫做閉區(qū)間，

記作3,用，BP，[a,b]={x\a<x<b}o如圖：a,b叫做區(qū)間的端點.在數(shù)軸上表示一個區(qū)間時，若

區(qū)間包括端點，則端點用實心點表示；若區(qū)間不包括端點，則端點用空心點表示.

11」111

"bxabx"hbx

a<x<ba<xWba^x<b

國"WxWb}{A*|a<x<b}{v|a<x^b\

M句(?.b)(a,何b)

閉區(qū)間開區(qū)間半開半閉區(qū)㈣半開半閉區(qū)間

集合{x\a<x<b]{x|a<x<b}{x\a<x<b}{x\a<x<b}

區(qū)間[a,b](a,b)(a,句[a])

2含有無窮大的表示

全體實數(shù)也可用區(qū)間表示為（-8,也），符號“+8”讀作“正無窮大“，“口”讀作“負(fù)無窮大”，即

R=(T?,+oo)o

」____________________________________U」1J

x

aA-axao,

x》axWax>ax<a

{NxMa}{x|*W0}{xjx>a}{Rjr<a]

[a.+ao)(-co#a](a.(-8.a)

集合{x\x>a}[x\x<a}{x\x>a}{x\x<a]

區(qū)間[a,+℃)(-00,a](a,+8)(—co,a)

對點氟川J

對點集訓(xùn)一：函數(shù)關(guān)系的判斷

典型例題

例題1.（24-25高一上?陜西?期末）下列圖象中，可以表示函數(shù)的為（）

例題2.（多選）（24-25高一上?河北邯鄲?期末）已知集合4={尤|-24》42且xW1},集合8={y|-lVyW2

精練

1.（24-25高一上?黑龍江大慶?期中）若函數(shù)y=/（x）的定義域為“={》|-2＜》＜2},值域為

2.（2024高三,全國?專題練習(xí)）已知A={x|04元42},8={1,2},下列圖形能表示以A為定義域，5為值域

的函數(shù)的是（）

對點集訓(xùn)二：集合與區(qū)間的轉(zhuǎn)化

典型例題

例題1.（24-25高一上?四川成都?期中）集合{x「l<xW5}用區(qū)間可表示為（）

A.（-1,5）B.[-1,5]C.（-1,5]D.[-1,5）

例題2.（24-25高一上?全國,課堂例題）用區(qū)間表示下列集合：

①{x|-2Vx-l<5}=；

②{x|3-xW3x}=;

③{f11<a}=.

精練

1.(24-25高一上?全國?隨堂練習(xí))用區(qū)間或集合表示下列數(shù)集：

(1){x|2<x<4}=;

⑵[-3,+oo)=.

2.(24-25高一上?全國?課后作業(yè))將下列集合用區(qū)間以及數(shù)軸表示出來：

(1){x\x<2}；

(2){x|-1<x<01<x<5}；

(3){%|2<%48且"5}；

(4){x13<x<5}.

3.(24-25高一上?全國?課后作業(yè))用區(qū)間表示下列數(shù)集.

(I){x|x>-1}；

(2){x|x<0}；

(3){x|-l<x<l};

⑷R；

(5){x|0<x<l^2<x<4).

對點集訓(xùn)三：同一個函數(shù)

典型例題

例題1.(24-25高一下?河北保定?階段練習(xí))下列四組函數(shù)中表示同一個函數(shù)的是()

A.7(%)=1與g(x)=J?B./(%)=Jx-l.Jx+l與g(x)=J%'—1

C.f(x)=與g(x)=1D.y(x)=與g(x)=

例題2.（24-25高一上?福建福州期中）下列各組函數(shù)中，是同一個函數(shù)的有（）

①〃x)=x+Lg(〃)=〃+l

(2)/(x)=^—g(x)=x-l

③/(x)=^,g("=x

④/(x)=2x+3,g(x)=54尤2+12x+9

⑤〃x)=2x-5,g(x)=^(2x-5)3

A.①(2X3)B.⑤c.①⑤D.①③@@

精練

1.（23-24高一上?北京?期末）在下列各組中，/（x）與g（x）表示同一函數(shù)的是（）

A./(x)=|x|,g(x)=(4)2

2+

B.f(x)=x(x-l)(xGR),^(x)=x-x(xeR)

x

C.7(x)=X,g(x)=一

X

x,x>0

D.f(x)=\x\,g(x)=

-x,x<0

2.（24-25高一上?廣東江門?階段練習(xí)）下列四組函數(shù)中，表示同一個函數(shù)的一組是（）

A./(x)=x°,g(x)=l

B1/(X)=A/?,§(X)=X

C-/(x)=V?-l,g(O=?-l

D■/(x)=Jx+1-Jx-l,g(x)=y/x1-1

3.（24-25高一上?山東濱州?階段練習(xí)）下列各組函數(shù)與g（x）的圖象相同的是（）

x,x>0

A.f(x)^x,g(x)=(?JB./(x)=|x|,g(x)=

—x,x<0

c./(x)=l,g(x)=x。D./(x)=x2,g(x)=(x+l)2

對點集訓(xùn)四：函數(shù)求值問題

典型例題

7

例題1.（24-25高一上?廣西來賓,期中）函數(shù)f（x）=5x-3,貝丫/

例題2.（24-25高一上?湖南邵陽?期中）已知"x）=±,g（x）=f+l.

（1）求〃x）,g（x）的定義域；

（2）求"2）,g（2）的值;

⑶求了（g（3））的值.

精練

1.（24-25高一上?陜西榆林?期末）已知尤-1,則/（2）=（）

A.9B.8C.3D.1

2.（24-25高一上?云南文山?期中）已知函數(shù)〃尤）=/?工，貝/"（2）]=

3.（24-25高一上?廣東江門?階段練習(xí)）已知函數(shù)了。）=而^+—二，

x+2

（1）求函數(shù)的定義域；

2

（2）求3）J（§）的值；

（3）當(dāng)。＞0時,求/（。），/（。-1）的值.

對點集訓(xùn)五：求函數(shù)的定義域

典型例題

例題1.（24-25高一下?安徽亳州?開學(xué)考試）函數(shù)〃司=乎1的定義域為（

A.[l,2）u（2,+oo）B.（1,+co）C.[1,2]D.

例題2.（24-25高一上?廣東清遠(yuǎn),期末）函數(shù)y=j42-3x的定義域是（）

A.k|B.(—8,0]uq,+a

4

c-[0'|jD.（-=o,0）1；，+°°]

精練

1.（24-25高一上,廣東汕尾?期末）下列函數(shù)中，其函數(shù)的定義域為R的是（）

A.J=7-2X2+12.X-18B.y=7-2x2+12x-17

c-y=y]x1-4x+9D.y=ylx2+4x-9

2.（24-25高一上?安徽馬鞍山?期中）函數(shù)y=〃x）的定義域為[0,4],則函數(shù)丫=任二1的定義域為（）

x-3

A.[1,3）B.（1,3]

C.[-2,6]D.[-2,3）U（3,6]

3.（24-25高一上?重慶?期中）已知函數(shù)〃x）=Jl-+,則函數(shù)〃x）的定義域為.

對點集訓(xùn)六：函數(shù)的值域

角度1：一次、二次、反比例函數(shù)的值域

典型例題

例題1.（23-24高一上?北京?期中）給出下列4個函數(shù)：①y=3-x；②y=f+2x；③>=，；④

X

，=|乂-1.其中值域為[T,—）的函數(shù)有（寫出所有正確的序號）

例題2.（23-24高一上?福建泉州?期中）函數(shù)/（力=/-2尤+2,xe[-l,4]的值域為.

精練

1.（23-24高一上?北京順義?期中）二次函數(shù)〃x）=-/+X-2,xe[-l,l],則函數(shù)在此區(qū)間上的值

域為（）

7-1「5-1「7-

A.-4,--B,-4,--C.M，-21D.-2,--

_4j14」L」|_4_

2.（24-25高一上?四川南充?期中）函數(shù)g（x）=-x+l,xe卜1,2]的值域為.

3.（24-25高三上?山東棗莊?階段練習(xí)）若函數(shù)=+a的定義域和值域均為[1,句，則?的值

為.

角度2:根式型值域

典型例題

例題1.（2024高一上?浙江杭州?專題練習(xí)）函數(shù)y=0T萬+的最大值是

例題2.（23-24高一上?廣西南寧?階段練習(xí)）函數(shù)"x）=x-VT萬的最小值為.

精練

1.（24-25高一上?上海?隨堂練習(xí)）函數(shù)y-2-y1-x2+4x，xG[0,4]的值域為（）.

A.[-2,2]B.[1,2]C.[0,2]D.[-四,忘]

2.（23-24高一上?山西太原?階段練習(xí)）函數(shù)〃尤）=U?石71的值域是（）

A.[0,2]B.[0,+oo）C.[2,+oo）D.（0,2）U（2,^o）

3.（23-24高一?全國?單元測試）求函數(shù)、=尤+2^/1二I的值域

角度3：分式型值域

典型例題

9Y+1

例題1,（23-24高一上?黑龍江雞西?階段練習(xí)）函數(shù)y=半^的值域為（）

x-3

A.1—8,7]u[不，+8]B.（-oo,2）U（2,+°°）

C.RD.[-，+o°

3丫+2

例題2.（2024高三?全國?專題練習(xí)）函數(shù)y=三三的值域為_______

x-1

例題3.（23-24高一上?全國?課后作業(yè)）函數(shù)y=上的值域是

-X2-X-6

精練

1.（23-24高一上?福建廈門?階段練習(xí)）已知x>-1,貝IJ函數(shù)y=丁+7x+10的最小值為

X+1

2.（23-24高一上?內(nèi)蒙古通遼?期中）函數(shù)y=三天在xe[0,E）上的值域是.

4x

3.（24-25高一上?河南鄭州?期中）設(shè)函數(shù)，（無）=/\,求函數(shù)的定義域和值域.

2x-l

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(基礎(chǔ)通關(guān)J

一、單選題

1.（23-24高一上?黑龍江哈爾濱?期中）已知區(qū)間[2aTll],則實數(shù)。的取值范圍是（）

A.（-oo,6）B.（6,+oo）C.（1,6）D.（-oo,6]

2.（24-25高一上?湖南湘潭?期末）函數(shù)〃x）=4^+工的定義域是（）

A.（-a）,-2）J（-2,1）（1,+w）B.（-?,-2）J（-2,-1]口,內(nèi)）

C.[-2,-DU（L+s）D.[-2,-DUD,+?0

3.（24-25高一上?浙江杭州?期中）函數(shù)〃力=今不的定義域為（）

A.（-oo,4]B,（1,4]C.（-00,1）（l,+oo）D.（^x）,l）u（l,4]

4.（23-24高一上?陜西西安?期中）已知函數(shù)y=/（x）的定義域為[-2,3],則函數(shù)〉=回士。的定義域為

X+1

（）

A.--JB.一展—1]（—1』C.[—3,7]D.[-3,-1）（—1,7]

5.（24-25高一上?新疆巴音郭楞?期末）下列函數(shù)中，與丫=》是同一個函數(shù)的是（）

A.y=（6）B.y=C.y=—D.y=（次）

6.（24-25高一上?內(nèi)蒙古包頭?期中）下列各組中的兩個函數(shù)是同一函數(shù)的是（）

①％=(X+3)(A5),%=x-5；②〃x)=x,g(x)=E;

③尤）=無，利（元）=泊；④"（x）=（j2x-5）-,f2（x）=2x-5.

A.①②B.（2X3）C.③D.③④

7.（24-25高一上?福建泉州?期末）已知函數(shù)/（"=尤2-2m-機(jī)+2的值域為[0,+8）,則實數(shù)的值為（）

A.一2或1B.-2C.1D.1或2

8.（24-25高一上?山東濟(jì)寧?期中）是“函數(shù)，。）=丁4—7的定義域為R”的（）

ax—2ax+l

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

二、多選題

9.（24-25高一上?安徽銅陵?期末）設(shè)A=[0,2],3=[0,2],下列選項能表示從集合A到集合3的函數(shù)關(guān)系

的是（）

10.（24-25高一上?安徽宿州?階段練習(xí)）下列對應(yīng)關(guān)系是集合A到集合3的函數(shù)的為（）

A.A=Z,B=Z,f:x^-y=x2

B.A=R,8={y|y>0},f:x^y=\^

C.A={-1,2,1},B={0},f：x^y=0

D.A=Z,B=Z,-y=2x

三、填空題

、2016

11,（24-25高一下?安徽亳州?開學(xué)考試）若函數(shù)/（x）=/,°的定義域是R,實數(shù)”的取值范圍

7ax+2ax+2

是■

12.（24-25高一上?江蘇揚州?階段練習(xí)）函數(shù)y=-尤2+2x+3（0VxV3）的值域.

四、解答題

13.（24-25高一上?河南鄭州?期中）已知函數(shù)，（元）=棄止（彳/3.

2x-l2

12

（1）求嗎）和/（1）,八0）和/（I）的值.

（2）猜想一