專題14函數(shù)的應(yīng)用（一）

1、會利用已知函數(shù)模型解決實(shí)際問題（一次函數(shù)、二次函數(shù)、分段函數(shù)模型）

2、能建立函數(shù)模型解決實(shí)際問題

3、運(yùn)用函數(shù)思想理解和處理現(xiàn)實(shí)生活和社會中的簡單問題

（新知速通J

知識點(diǎn)一：常見幾類函數(shù)模型

函數(shù)模型函數(shù)解析式

一次函數(shù)模型于(x)=kx+b(k,〃為常數(shù)，k/0)

二次函數(shù)模型f(x)=ax2+bx+c,b,。為常數(shù)，

/(x),xeD[

力(x),X&D

分段函數(shù)模型f(x)=<2

/(x),xeDn

塞函數(shù)模型以4=超+b（k,b,a為常數(shù)，kwO）

知識點(diǎn)二：對鉤函數(shù)（耐克函數(shù)）

1、對鉤函數(shù)（一般模型）：對勾函數(shù)是一種類似于反比例函數(shù)的一般雙曲函數(shù)，又被稱為“雙勾函數(shù)”、

b

“勾函數(shù)”、“對號函數(shù)”、“雙飛燕函數(shù)”；所謂的對勾函數(shù)，是形如：/（%）=?%+-（a>0,b>0）

①定義域：(一8,。)(。,+8)；

h

②/(x)=ox+—是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱；

X

③/(x)=ox+。在(-*,0),(0“2)上單調(diào)遞減；a(-00,-./-),(J),+8)上單調(diào)遞增;

尤\a、aNa、a

④當(dāng)xeQ+oo)時(shí)，/(x)min=/(J-)=2V^;當(dāng)xe(—8,0)時(shí)，/(x)max=/(-J-)=-2^;

Vava

2、(高頻考試模型)特別的，對鉤函數(shù)的簡易形式：/(%)=%+-(。＞0)其圖象如圖：

X

②/。)=尤+g(。＞0)是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱；

X

③/(x)=x+3在(-，?,0),(0,J3)上單調(diào)遞減；在(-00,-6),(、7,+00)上單調(diào)遞增；

X

④當(dāng)xe(0,+oo)時(shí)，/⑴1nm=/(6)=2^；當(dāng)xe(—8,0)時(shí)，=/(—&)=—2而；

對點(diǎn)集訓(xùn)一：一次函數(shù)模型

典型例題

例題1.(24-25高一上?廣東?階段練習(xí))已知某個(gè)店鋪銷售的某商品價(jià)格為40元/件，購物節(jié)期間這家店

鋪對該商品進(jìn)行促銷，顧客支付款不超過100元的部分按照20%返現(xiàn)，超過100元的部分按照30%返現(xiàn).

若促銷活動(dòng)期間在該店鋪購買尤(xeN*)件商品，所需費(fèi)用(支付款減去返現(xiàn))為了(X)元，則天23時(shí)，

〃x)=,

【答案】28x+10

【知識點(diǎn)】分段函數(shù)模型的應(yīng)用

【分析】根據(jù)題意分析得3時(shí)的原價(jià)，進(jìn)而求得促銷后的費(fèi)用〃x）的解析式，從而得解.

【詳解】因?yàn)楫?dāng)x23時(shí)，40x23x40=120元，

所以“X）=100x0.8+（40x—100）X0.7=28x+10.

故答案為：28x+10.

例題2.（24-25高一上?全國?課后作業(yè)）某廠家對某品牌熱銷按摩椅的銷售情況做了統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)月銷售量了

（臺）與零售價(jià)x（元）間滿足：y=kx+b（k^0）,已知第一、二月份銷售情況如下表所示：

月份1月2月

零售價(jià)X（元）60006500

月銷售量.V（臺）6055

（1）若廠家某月將該按摩椅定價(jià)為6700元/臺，則該廠家這個(gè)月能銷售多少臺按摩椅？

（2）若廠家生產(chǎn)一臺按摩椅的成本為4000元，則該廠家應(yīng)該如何定價(jià)才能使廠家每月利潤最大？最大利潤

是多少？

【答案】（1）53臺

（2）當(dāng)該按摩椅定價(jià)為8000元/臺時(shí)，月利潤最大，最大利潤為160000元

【知識點(diǎn)】求二次函數(shù)的值域或最值、建立擬合函數(shù)模型解決實(shí)際問題、利用二次函數(shù)模型解決實(shí)際問題

【分析】（1）待定系數(shù)法得到>=-0。卜+120,將x=6700代入，求出答案；

（2）設(shè)月利潤為z元，貝IJz=-0.01（*-8000）2+160000,從而得到最大利潤.

【詳解】（1）由題意知，將x=6000,y=60和x=6500,y=55分另IJ代入>

得60=6000左+6,55=6500k+6,解得左=-0.01,6=120,故y=-0.01x+120.

當(dāng)x=6700時(shí)，y=-0.01x6700+120=53,故該廠家這個(gè)月能銷售53臺按摩椅.

（2）設(shè)月利潤為z元，貝IJZ=（X—4000）（—0.01X+120）=—0.01（X—8000）2+160000,

當(dāng)x=8000元時(shí)，2max=160000,故當(dāng)該按摩椅定價(jià)為8000元/臺時(shí)，月利潤最大，

最大利潤為160000元.

精練

1.（多選）（22-23高一?全國?單元測試）某部影片的盈利額（即影片的票房收入與固定成本之差）記為y,

觀影人數(shù)記為X,y關(guān)于X的函數(shù)圖像如圖（1）所示.由于目前該片盈利未達(dá)到預(yù)期，相關(guān)人員提出了兩

種調(diào)整方案，圖（2）、圖（3）中的實(shí)線分別為調(diào)整后y關(guān)于X的函數(shù)圖像.給出下列四種說法，其中

正確的說法是（）

A.圖（2）對應(yīng)的方案是：提高票價(jià)，并提高固定成本

B.圖（2）對應(yīng)的方案是：保持票價(jià)不變，并降低固定成本

C.圖（3）對應(yīng)的方案是：提高票價(jià)，并保持固定成本不變

D.圖（3）對應(yīng)的方案是：提高票價(jià)，并降低固定成本

【答案】BC

【知識點(diǎn)】函數(shù)圖象的應(yīng)用

【分析】由圖（1）可設(shè)V關(guān)于x的函數(shù)為y=Ax+6,k>0,b<0,分析出人為票價(jià)，為固定成本，

根據(jù)圖（2）和圖（3）圖像的變化，即可分析出正確答案.

【詳解】由圖（1）可設(shè)，關(guān)于x的函數(shù)為y=^+6,k>0,b<0,左為票價(jià)，

當(dāng)左=0時(shí)，y=b,則-。為固定成本；

由圖（2）知，直線向上平移，左不變，即票價(jià)不變，b變大，則-匕變小，固定成本減小，故A錯(cuò)誤，B

正確；

由圖（3）知，直線與V軸的交點(diǎn)不變，直線斜率變大，即k變大，票價(jià)提高，b不變，即-6不變，固

定成本不變，故C正確，D錯(cuò)誤；

故選：BC.

2.（23-24高一?上海?課堂例題）某物流公司在上海及杭州的倉庫分別有某機(jī)器12臺和6臺，現(xiàn)決定銷售

給A市10臺、B市8臺.已知上海調(diào)運(yùn)一臺機(jī)器到A、B市的運(yùn)費(fèi)分別為400元和800元；杭州調(diào)運(yùn)一臺

機(jī)器到A、3市的運(yùn)費(fèi)分別為300元和500元.設(shè)從上海調(diào)運(yùn)x臺機(jī)器往A市，求總運(yùn)費(fèi)y（單位：元）關(guān)

于x（單位：臺）的函數(shù)關(guān)系.

【答案】j=-200x+10600（4<x<10,xeZ）

【知識點(diǎn)】建立擬合函數(shù)模型解決實(shí)際問題

【分析】設(shè)從上海調(diào)運(yùn)x臺到4市，則從上海調(diào)運(yùn)（12-”臺到3市，從杭州調(diào)運(yùn)（10-尤）臺到A市，根據(jù)

題意，列出函數(shù)關(guān)系即可.

【詳解】設(shè)從上海調(diào)運(yùn)x臺到4市，貝IJ從上海調(diào)運(yùn)（12-x）臺到5市，從杭州調(diào)運(yùn)。0-同臺到4市，

從杭州調(diào)運(yùn)6-（10-耳=（1）臺到|8市，

根據(jù)題意，y=400x+800(12-x)+300(10-x)+500(%-4)--200.A；+10600,

x>0

n-x>o

其中s、八且xeZ,解得4W尤410,尤eZ,

ll)-x>0

x-4>0

所以y=-200x+10600(4WxW10”Z).

對點(diǎn)集訓(xùn)二：二次函數(shù)模型

典型例題

例題（24-25高三上?安徽安慶?階段練習(xí)）隨著我國經(jīng)濟(jì)發(fā)展，醫(yī)療消費(fèi)需求增長，人們健康觀念轉(zhuǎn)變

以及人口老齡化進(jìn)程加快等影響，醫(yī)療器械市場近年來一直保持了持續(xù)增長的趨勢.某醫(yī)療器械公司為了

進(jìn)一步增加市場力，計(jì)劃改進(jìn)技術(shù)生產(chǎn)某產(chǎn)品.已知生產(chǎn)該產(chǎn)品的年固定成本為300萬元，最大產(chǎn)能為100

2x2+80x,0<x<40

臺，每生產(chǎn)x臺，需另投入成本G（尤）萬元，且G（x）=3600，由市場調(diào)研知，該

‘'''201龍+------2100,40<^<100

.x

產(chǎn)品每臺的售價(jià)為200萬元，且全年內(nèi)生產(chǎn)的該產(chǎn)品當(dāng)年能全部銷售完.

（D寫出年利潤w（x）萬元關(guān)于年產(chǎn)量X臺的函數(shù)解析式（利潤=銷售收入-成本）；

（2）當(dāng)該產(chǎn)品的年產(chǎn)量為多少時(shí)，公司所獲利潤最大？最大利潤是多少？

-2x2+120x-300,0cxW40

【答案】⑴”[++券￥18。。,4。<皿00

（2）年產(chǎn)量為60臺時(shí)，公司所獲利潤最大，最大利潤是1680萬元

【知識點(diǎn)】分式型函數(shù)模型的應(yīng)用、基本（均值）不等式的應(yīng)用、求二次函數(shù)的值域或最值、分段函數(shù)模

型的應(yīng)用

【分析】⑴分0<x<40和40<xV100兩種情況，進(jìn)行求解利潤；

（2）0<xW40時(shí)，可利用二次函數(shù)的特點(diǎn)求最大利潤值，40<xW100時(shí)，利用基本不等式求最值，最后

要對兩個(gè)最值比較，得出最大利潤.

【詳解】（1）當(dāng)0<xV40時(shí)，W（x）=200x—（2x2+80x）—300=—2x2+120x—300；

當(dāng)40<E00時(shí)，W（x）=200x-（201x+畫^-210（）］一300=一、+國^+1800,

-2X2+120X-300,0<X<40

W（x）=《（3600>.

'7-卜+----+1800,40<x<100

(2)若0<xW40,W(x)=—20-30)2+1500,當(dāng)x=30時(shí)，卬(尤)詼=1500萬元；

若40<xV100,

W（x）=-^+^^j+1800<+1800=-120+1800=1680,

當(dāng)且僅當(dāng)苫=理時(shí)，即x=60時(shí)，W（x）a=1680萬元，

X

由于1680>1500,故該產(chǎn)品的年產(chǎn)量為60臺時(shí)，公司所獲利潤最大，

最大利潤是1680萬元.

例題2.（23-24高一上?上海?期中）近幾年來，“盲盒文化”廣為流行，這種文化已經(jīng)在中國落地生根，

并發(fā)展處具有中國特色的盲盒經(jīng)濟(jì)，某盲盒生產(chǎn)及銷售公司今年初用98萬購進(jìn)一批盲盒生產(chǎn)線，每年可有

50萬的總收入，已知生產(chǎn)此盲盒x年（x為正整數(shù)）所用的各種費(fèi)用總計(jì)為2—+10x萬元.

（1）該公司第幾年首次盈利（總收入超過總支出，今年為第一年）？

（2）該公司第幾年年平均利潤最大，最大是多少？

【答案】（1）第3年

（2）第7年平均利潤最大，為12萬元

【知識點(diǎn)】基本（均值）不等式的應(yīng)用、利用二次函數(shù)模型解決實(shí)際問題

【分析】（1）先求得利潤的表達(dá)式，由此列不等式來求得正確答案.

（2）先求得平均利潤的表達(dá)式，然后利用基本不等式求得正確答案.

【詳解】（1）設(shè)利潤為'，貝1_|、=50工一（98+2寸+1。勾=一2爐+4。了一98卜€(wěn)]\[*）,

由一2尤2+40元一98>0整理得f-20x+49<0,

解得10—庖<x<10+庖，由于無eN*,

所以xe{xeN*|3VxV17},所以第3年首次盈利.

（2）首先xe{xeN*13VxV17},

由（1）得平均利潤）=-20+”]+404-2x2、守+=萬元，

X<X）\X

當(dāng)且僅當(dāng)彳=竺49，x=7萬元時(shí)等號成立，

x

綜上，第7年，平均利潤最大，為12萬元.

精練

1.（23-24高一上,浙江臺州?開學(xué)考試）某公司生產(chǎn)的某種時(shí)令商品每件成本為22元，經(jīng)過市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，

這種商品在未來40天內(nèi)的日銷售量加（件）與x（天）的關(guān)系如表：

時(shí)間X（天）1361036

日銷售量加（件）9490847624

未來40天內(nèi)，前20天每天的價(jià)格％=；x+25(”x420且x為整數(shù))，后20天每天的價(jià)格為=-；尤+40

(20<xW40且x為整數(shù)).

(1)請利用一次函數(shù)，二次函數(shù)，反比例函數(shù)的知識，直接寫出曰銷售量機(jī)與時(shí)間x(天)之間的關(guān)系式；

(2)請預(yù)測示來40天中哪一天的日銷售利潤最大，最大日銷售利潤是多少？

(3)在實(shí)際銷售的前20天中，該公司決定每銷售一件商品就捐贈4元利潤(。44.5)給希望工程.公司通

過銷售記錄發(fā)現(xiàn)，前20天中，每天扣除捐贈后的日銷售利潤隨時(shí)間x(天)的增大而增大，求。的取值范

圍.

【答案】(l)m=-2^+96

(2)第18天的日銷售利潤最大，最大日銷售利潤為450元；

3

(3)-<tz<4.5

【知識點(diǎn)】待定系數(shù)法、利用二次函數(shù)模型解決實(shí)際問題

【分析】(1)利用待定系數(shù)法求解即可；

(2)分和214x(40兩種情況，根據(jù)“總利潤=單件利潤x銷售量”列出函數(shù)解析式，結(jié)合二次函

數(shù)的性質(zhì)可得；

(3)根據(jù)前20天的售價(jià)由“總利潤=單件利潤x銷售量”列出函數(shù)解析式，并配方成頂點(diǎn)式結(jié)合二次函數(shù)

的性質(zhì)和OV4.5即可.

【詳解】(1)通過表格可知機(jī)與X之間的關(guān)系為一次函數(shù)，

設(shè)一次函數(shù)為m=kx+b,把(1,94)和(3,90)代入，

解得左=-2/=96,

m=—2x+96;

把(6,84)代入檢驗(yàn)，%=-2x6+96=84,符合題意，

二日銷售量機(jī)與時(shí)間X(天)之間的關(guān)系式為m=-2x+96;

(2)設(shè)銷售利潤為W元，

①當(dāng)1VXW20時(shí)，W=(-2X+96)(；X+25-22)=-J(X-18)2+450,

,當(dāng)x=18時(shí)，W有最大值450,

②當(dāng)214x440時(shí)，W=(-2x+96)，gx+40-22]=(x-42)2-36,

.??當(dāng)214x(40時(shí)，W隨x增大而減小，

???x=21時(shí)，憶=405,

405<450,

???未來40天中第18天日銷售利潤最大，最大日銷售利潤為450元；

(3)由題意知W=(-2x+96)1%+25-22一aJ=-g[x-2(a+9)f+2/-60a+450

二次函數(shù)開口向下，對稱軸是尤=2(。+9),

要使日銷售利潤隨時(shí)間x的增大而增大，貝！12(“+9)>19.5,

3

??a>一,

4

又a44.5,

3

**?—<a?4.5.

4

2.(23-24高一上?湖南衡陽?階段練習(xí))某工廠2022年年初用100萬元購進(jìn)一臺新的設(shè)備，并立即投入使

用，該設(shè)備使用后，每年的總收入預(yù)計(jì)為50萬元.設(shè)使用x年后該設(shè)備的維修、保養(yǎng)費(fèi)用為2f+5x(xeN*)

萬元，盈利總額為y萬元.

(1)寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

(2)從第幾年開始，使用該設(shè)備開始盈利？

2

【答案】(1)y=-2x+45x-100,xeN*

(2)第三年

【知識點(diǎn)】利用二次函數(shù)模型解決實(shí)際問題、解不含參數(shù)的一元二次不等式

【分析】(1)根據(jù)題意，即可得出函數(shù)；

(2)由>>0,得出不等式，求解即可得出答案.

【詳解】(1)由已知可得，y=50%-100-(2x2+5x)=-2x2+45-100,%eN*.

(2)當(dāng)y>0時(shí)，開始盈利，

BP-2x2+45x-100>0,整理可得2x2-45.x+100<0,

解得g<x<20.

又xeN*,所以x23,即從第三年開始盈利.

3.(24-25高一上■山東濟(jì)南?期末)已知某企業(yè)生產(chǎn)某種設(shè)備的最大產(chǎn)能為70臺，每臺設(shè)備的售價(jià)為80

萬元.記該企業(yè)生產(chǎn)尤(無?N*)臺設(shè)備需要投入的總成本為S(x)(單位：萬元)，且

x2+20x+400,0<x<40,

S(尤)=14400八假設(shè)生產(chǎn)的設(shè)備全部都能售完.

'784尤+-------1300,40<%<70.

(1)求利潤/(X)(單位：萬元)關(guān)于生產(chǎn)臺數(shù)X的函數(shù)解析式，并求該企業(yè)生產(chǎn)20臺設(shè)備時(shí)的利潤(利潤=

銷售額-成本)；

(2)當(dāng)生產(chǎn)多少臺該設(shè)備時(shí)，該企業(yè)所獲利潤最大？最大利潤是多少萬元？

—x2+60x—400,0<x<40,

【答案】（1）〃尤）=,14400，400萬元.

'7-4x----------+1300,40<x<70.

.尤

（2）生產(chǎn)60臺該設(shè)備時(shí)，該企業(yè)所獲利潤最大，最大利潤為820萬元.

【知識點(diǎn)】求分段函數(shù)解析式或求函數(shù)的值、基本不等式求和的最小值、求二次函數(shù)的值域或最值、分段

函數(shù)模型的應(yīng)用

【分析】（1）根據(jù)分段函數(shù)表示的總成本函數(shù)，結(jié)合利潤=銷售額-成本，易得利潤“X）的解析式，代值

計(jì)算即得生產(chǎn)20臺設(shè)備時(shí)的利潤；

（2）根據(jù)（1）求得的利潤函數(shù)，分段求出每段函數(shù)的最大值，比較即得最大利潤.

【詳解】（1）當(dāng)0<x<40（尤eN*）時(shí)，/（x）=80x-（x2+20%+400）=-x2+60x-400；

當(dāng)40Vx<70（尤eN*）時(shí)，/（x）=80x-（84x+^^-1300）=—4X一^^+1300；

—X2+60尤-400,0<x<40,

綜上，〃無）=[14400

'7一4尤------+1300,40<x<70.

.尤

當(dāng)％=20臺時(shí)，/（20）=—2（）2+60x20—400=400萬元，

所以該企業(yè)生產(chǎn)20臺該設(shè)備時(shí)，所獲利潤為400萬元.

（2）當(dāng)0<xW40（xeN*）時(shí)，/（x）=-x2+60x-400=-（x-3O）2+500,

故當(dāng)x=30臺時(shí)，“X）取得最大值，最大值為500萬元；

當(dāng)40<xW70（xwN*）時(shí)，

f（x）=一（4尤+出嗎+1300V也因+1300=820,

xVx

14400

當(dāng)且僅當(dāng)4x=——,即x=60時(shí)，等號成立，

x

故當(dāng)x=60臺時(shí)，/（x）取得最大值，最大值為820萬元；

因?yàn)?20>500,所以當(dāng)生產(chǎn)60臺該設(shè)備時(shí)，該企業(yè)所獲利潤最大，最大利潤為820萬元.

對點(diǎn)集訓(xùn)三：分式函數(shù)模型（基本不等式工具）

典型例題

例題1.（23-242高一上?甘肅慶陽?期末）某呼吸機(jī)生產(chǎn)企業(yè)計(jì)劃投資固定成本500萬元引進(jìn)先進(jìn)設(shè)備，

用于生產(chǎn)救治新冠患者的無創(chuàng)呼吸機(jī)，需要投入成本了（工）（單位：萬元）與年產(chǎn)量x（單位：百臺）的函

5元2+150x,0<x<20

數(shù)關(guān)系式為〃x)=<6400，據(jù)以往出口市場價(jià)格，每臺呼吸機(jī)的售價(jià)為3萬元，且依據(jù)

30U+---------1700,x220

國外疫情情況，預(yù)測該年度生產(chǎn)的無創(chuàng)呼吸機(jī)能全部售完.

(1)求年利潤g(x)(單位：萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x的函數(shù)解析式(利潤=銷售額-投入成本-固定成本)；

(2)當(dāng)年產(chǎn)量為多少時(shí)，年利潤最大？并求出最大年利潤.

-5X2+150X-500,0<X<20

【答案】(l)g(x)=<

>20

(2)當(dāng)年產(chǎn)量為8000臺時(shí)，年利潤最大，且最大年利潤為1040萬元

【知識點(diǎn)】求分段函數(shù)解析式或求函數(shù)的值、求二次函數(shù)的值域或最值、基本(均值)不等式的應(yīng)用、分

段函數(shù)的值域或最值

【分析】(1)根據(jù)已知條件，分0<x<20,轉(zhuǎn)20兩種情況討論，即可求解.

(2)當(dāng)0<x<20時(shí)，通過二次函數(shù)的配方法可得，g(x)取得最大值g(15)=625,當(dāng)x220時(shí)，結(jié)合均值

不等式公式可得，g(x)取得最大值g(80)=1040,即可求解.

【詳解】⑴當(dāng)0<x<20時(shí)

g(x)=100x-3-(5x2+150%)-500=-5x2+150x-500,

當(dāng)x220時(shí)，

g(x)=100x.3一1301尤+竺^一170()]一500=1200一1+"B,

-5x2+150x-500,0<x<20

(2)當(dāng)0cx<20時(shí)

g(x)--5x2+150x-500--5(x-15)2+625,

當(dāng)x=15時(shí),g(x)取得最大值g(15)=625,

當(dāng)％之20時(shí),

g(無)=1200一卜+<1200一2日畫^=1040,

當(dāng)且僅當(dāng)了=幽，即尤=80時(shí)等號成立，

因?yàn)?040>625,所以當(dāng)x=80時(shí)，g(x)取得最大值g(80)=1040,

綜上，當(dāng)年產(chǎn)量為8000臺時(shí)，年利潤最大，且最大年利潤為1040萬元.

例題2.(2024海南省直轄縣級單位?模擬預(yù)測)某公司生產(chǎn)一類電子芯片，且該芯片的年產(chǎn)量不超過35

萬件，每萬件電子芯片的計(jì)劃售價(jià)為16萬元.已知生產(chǎn)此類電子芯片的成本分為固定成本與流動(dòng)成本兩個(gè)

部分，其中固定成本為30萬元/年，每生產(chǎn)x萬件電子芯片需要投入的流動(dòng)成本為了(x)(單位：萬元)，

當(dāng)年產(chǎn)量不超過14萬件時(shí)，/(%)=|%2+4X;當(dāng)年產(chǎn)量超過14萬件時(shí)，〃尤)=17x+邛-80.假設(shè)該公

司每年生產(chǎn)的芯片都能夠被銷售完.

(1)寫出年利潤g(x)(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量、(萬件)的函數(shù)解析式；(注：年利潤=年銷售收入一固定成本

-流動(dòng)成本)

(2)如果你作為公司的決策人，為使公司獲得的年利潤最大，每年應(yīng)生產(chǎn)多少萬件該芯片？

--X2+12X-30,0<X<14,

【答案】(l)g(x)=「

50—尤----,14<x<35.

.x

(2)公司獲得的年利潤最大，每年應(yīng)生產(chǎn)9萬件該芯片

【知識點(diǎn)】分段函數(shù)模型的應(yīng)用、基本(均值)不等式的應(yīng)用

【分析】(1)分04x414和14<xW35兩種情況，分別求出函數(shù)解析式；

(2)結(jié)合二次函數(shù)及基本不等式求出函數(shù)的最大值，即可得解.

【詳解】(1)根據(jù)題意得，

2

當(dāng)0VXV14時(shí)，g(x)=16;c-/(x)-30=-§_r+12x-30,

當(dāng)14<x^35時(shí)，g(x)=16x—/(元)-30=50—x----,

2,

——X2+12X-30,0<X<14,

故g(x)=,3

50-x--,14<x<35.

X

2

(2)當(dāng)0Vx<14時(shí)，g(x)=--x2+12x-30,且當(dāng)0W尤(9時(shí)，g(x)單調(diào)遞增，當(dāng)9Vx<14時(shí)，g(x)單

調(diào)遞減，

2

止匕時(shí)就力惠歐=g(9)=—§x81+12x9—30=24.

當(dāng)14v%W35時(shí)，g(x)=50-x-竺^W50-2jx?竺=10,當(dāng)且僅當(dāng)20時(shí)，等號成立.

xVx

因?yàn)?4>10,故當(dāng)x=9時(shí)，g(x)取得最大值24,

即為使公司獲得的年利潤最大，每年應(yīng)生產(chǎn)9萬件該芯片.

精練

1.（23-24高一上?上海浦東新?期末）要建造一個(gè)高為3米，容積為48立方米的無蓋長方體蓄水池.已知

池底的造價(jià)為每平方米1500米，池壁的造價(jià)為每平方米looo元.該蓄水池的總造價(jià)y（元）關(guān)于池底一邊

的長度X（米）的函數(shù)關(guān)系為：.

【答案】^=6000^+^+1500x16,x>0

【知識點(diǎn)】建立擬合函數(shù)模型解決實(shí)際問題

【分析】根據(jù)條件便可得到池底面積為4平方米，底面的另一邊長史，從而便可得到總造價(jià)y與龍的解析

X

式.

【詳解】根據(jù)條件，該蓄水池的總造價(jià)）元，池底一邊的長度X米，底面另一邊長為3米，

X

???長方體的底面積為16,側(cè)面積為3X2（X+T；由題意得：

j=6000^x+—^+1500x16,x>0,

故答案為：y=6000^x+—^+1500x16,x>0.

2.（23-24高一上?四川涼山?期末）某企業(yè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品的年固定成本為1000萬元，每生產(chǎn)x千件，需另

投入生產(chǎn)成本C（x）（萬元）.若年產(chǎn)量x低于100千件，則生產(chǎn)成本。（力=%2_90工+1200；若年產(chǎn)量工不

低于100千件時(shí)，則生產(chǎn)成本=+-1390.每千件產(chǎn)品售價(jià)為10萬元，且生產(chǎn)的產(chǎn)品能全部

售完.（“年利潤”=“年總收入”-“生產(chǎn)成本”-“固定成本”）

（1）寫出年利潤y（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量K（千件）的函數(shù)解析式；

（2）當(dāng)年產(chǎn)量為多少千件時(shí)，企業(yè)所獲得年利潤最大？最大利潤是多少？

--+100x-2200,0<x<100

【答案】⑴尸"幽+39。,,。。

I4尤

（2）當(dāng)年產(chǎn)量為120千件時(shí)，年利潤最大，最大值為330萬元

【知識點(diǎn)】分段函數(shù)模型的應(yīng)用、基本不等式求和的最小值、求二次函數(shù)的值域或最值

【分析】（1）根據(jù)題意，分段求出年利潤即可求解；

（2）對每一段函數(shù)求出最大值，再進(jìn)行比較即可求解.

【詳解】（1）當(dāng)0<x<100時(shí)，y=10%-%2+90%-1200-1000=-x2+100%-2200,

當(dāng)x?100時(shí)，y=10x---^^+1390-1000----^^+390,

4x4x

—x^+1OOx—2200,0<x<100

所以y氣工3600

"4—~+390,%>100

(2)當(dāng)0<x<100時(shí)，、二—/+1。0%—2200=—(%—50y+300,

所以當(dāng)％=50時(shí)，利潤y取最大值300,

『+390＜一2目等

當(dāng)100時(shí)，y=—二3600x

+390=-4++390=330

4x

x

當(dāng)且僅當(dāng)9=36巴00，即x=120時(shí)等號成立，此時(shí)利潤y取最大值330,

4x

因?yàn)?30＞300,所以該企業(yè)年產(chǎn)量為120千件時(shí)，所獲得的利潤最大，為330萬元.

3.（24-25高一上?江蘇泰州?期中）冬季流感高發(fā)，口罩供不應(yīng)求，某口罩廠日夜加班生產(chǎn).生產(chǎn)口罩的固

定成本為400萬元，每生產(chǎn)x萬箱，需另投入成本p（x）萬元，當(dāng)產(chǎn)量不足40萬箱時(shí)p（x）=/+80x；當(dāng)產(chǎn)

量不小于40萬箱時(shí)，p（x）=141.r+--1100,若每箱口罩售價(jià)140元，通過市場分析，該口罩廠生產(chǎn)

X

的口罩可以全部銷售完.

（1）求口罩銷售利潤y（萬元）關(guān)于產(chǎn)量x（萬箱）的函數(shù)關(guān)系式；（銷售利潤=銷售總價(jià)-固定成本-生產(chǎn)

成本）

（2）當(dāng)產(chǎn)量為多少萬箱時(shí)，該口罩生產(chǎn)廠所獲得利潤最大，最大利潤值是多少（萬元）？

—f+60x—400,0＜x＜40

【答案】（l）y={,3600、

700-（%+----）,x＞40

（2）當(dāng)產(chǎn)量為60萬箱時(shí)，該口罩生產(chǎn)廠所獲得利潤最大，最大利潤值是580萬元

【知識點(diǎn)】求二次函數(shù)的值域或最值、分段函數(shù)模型的應(yīng)用、基本（均值）不等式的應(yīng)用

【分析】（1）分為。＜尤＜40,無240分別求解即可；

（2）分為。＜尤＜40,尤240兩種情況，利用二次函數(shù)、基本不等式求解即可.

【詳解】(1)當(dāng)0cx<4。時(shí)，y=140x-(x2+80%)-400=-x2+60x-400

當(dāng)xN40時(shí)，y=140x-(14k+^^-1100)-400=700-a+^^),

-x2+60x-400,0<x<40

所以y=700-(x+生嗎，尤240

X

(2)當(dāng)0<x<40時(shí)，y=—/+60x—400=—(x—30)2+500,

.??當(dāng)x=30時(shí)，y取得最大值為500;

當(dāng)XW40時(shí)，y=700-(x+^^)<700-2.=580,

XX

當(dāng)且僅當(dāng)苫=——，即x=60時(shí)，y取得最大值580,

x

綜上，當(dāng)產(chǎn)量為60萬箱時(shí)，該口罩生產(chǎn)廠所獲得利潤最大，最大利潤值是580萬元.

對點(diǎn)集訓(xùn)四：分段函數(shù)模型

典型例題

例題1.（24-25高一上?上海嘉定?期末）某商場的購物優(yōu)惠活動(dòng)如下：一次購物總額不滿199元的不予優(yōu)惠；

一次購物總額滿199元，但不滿299元的，減28元；一次購物總額滿299元，不滿499元的，減48元；一

次購物總額滿499元的，按購物總額給予九折優(yōu)惠.設(shè)某位顧客一次購物總額為x元（假設(shè)x可?。?,+8）上

的一切實(shí)數(shù)），所享受到的優(yōu)惠率（即原價(jià)與折扣價(jià)之差占原價(jià)的百分比）記為上

Q）試寫出》關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系，并求該函數(shù)的最大值；

（2）若該顧客這次購物所享受到的優(yōu)惠超過九折，且不超過八五折，求x的取值范圍.

0,0<x<199

—,199<x<299AQ

X

【答案】（i）y=

48299

—,299<x<499

X

0.1,x>499

（2）［199,280）［320,480）

【知識點(diǎn)】分段函數(shù)模型的應(yīng)用、方程與不等式、函數(shù)

【分析】（1）根據(jù)題意列出分段函數(shù)式，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性即可求解最值；

（2）根據(jù)y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，得到不等式，即可求解.

0,0<x<199

x-(x-28)

—--------^,199<x<299

X

【詳解】（1）由題知，>=?x-(x-48)?

—--------^,299<x<499

X

x-0.9x、

----------,x>499

0,0<尤<199

—,199<x<299

即尸；8

—,299<x<499

x

0.1,x>499

所以》在［199,299）上遞減，此時(shí)為云=m14,

AQ

且y在［299,499）上遞減，此時(shí)>2=蕓名?！?,

48

綜上，該函數(shù)的最大值為爵.

Q,0<x<199

28

—,199<x<299

x

（2）由（1）知，y=<

48

—,299<x<499

x

0.1,x>499

貝IJ令0.1〈”W0.15,解得理《犬<280,

x3

所以此時(shí)199W280;

令0.1<—40.15,解得320<xv480,

x

綜上，X的取值范圍為［199,280）［320,480）.

例題2.（24-25高一上?全國?課后作業(yè)）某科技公司生產(chǎn)某種產(chǎn)品的固定成本為2萬元，每月生產(chǎn)x件，

%2*

需要另外投入成本R萬元，其中R=W+4x，0<“<7,xeN,每件產(chǎn)品的售價(jià)為g萬元，若該公司所生產(chǎn)

10X-32,X>7,XGN*

的產(chǎn)品本年度都可以銷售完畢，求：

（1）將利潤P（單位：萬元）表示為月產(chǎn)量X的函數(shù)；

（2）為了讓公司所獲得利潤戶不低于10萬元，求月產(chǎn)量x的取值范圍.

-x2*

r/安】P一~—+4%-2,0<x<7,%eN

【答案】（l）P=j3;

-2x+30,%>7,xeN*

（2）6<x<10（xeN*）.

【知識點(diǎn)】利用二次函數(shù)模型解決實(shí)際問題、分段函數(shù)模型的應(yīng)用、建立擬合函數(shù)模型解決實(shí)際問題、解

不含參數(shù)的一元二次不等式

【分析】（1）利用銷售收入減去投入成本R（x）再減去固定成本2萬元即可求解.

⑵根據(jù)條件列不等式，解不等式時(shí)要注意xeN*.

【詳解】（1）由題可知利潤表示總收入減去固定成本和投入成本所得，

8x--+4x-2,0<x<7,xeN"

故尸=(3J

8x-(10%-32)-2,x>7,xeN*

f*

——+4x-2,0<x<7,xeN

所以利潤尸表示為月產(chǎn)量x的函數(shù)為2=3

-2x+30,x>7,xeN*

（2）當(dāng)0Wx<7時(shí)，P=——+4無一2,令——+4x-2>10,解得x=6;

33

當(dāng)了27時(shí)，P=-2x+30,令一2x+30N10,解得x<10,所以7WxW10,

所以月產(chǎn)量x的取值范圍是6<x<10（xeN*）.

精練

1.（2024?海南?模擬預(yù)測）某飲料公司推出了一種時(shí)尚運(yùn)動(dòng)功能飲料，一上市就受到年輕人的喜愛，該公

司統(tǒng)計(jì)了該飲料一年中每個(gè)月份的盈利情況，得至I月利潤$萬元與銷售月份/之間的關(guān)系為

一t+{5-t,0<fV5,

2

（1）求一年中最高月利潤及對應(yīng)的月份；

（2）求該飲料月利潤超過3萬元的月份.

【答案】（1）第8個(gè)月的月利潤最大，為7萬元

（2）第6,7,8,9,10月.

【知識點(diǎn)】利用函數(shù)單調(diào)性求最值或值域、利用二次函數(shù)模型解決實(shí)際問題、分段函數(shù)模型的應(yīng)用、解不

含參數(shù)的一元二次不等式

【分析】（1）對分段函數(shù)s⑺進(jìn)行分段考慮，運(yùn)用換元法和配方法分別求出s⑺的最大值，最后綜合比較

即得；

（2）根據(jù)（1）的結(jié)果判斷超過3萬元的月份只可能在后面的7個(gè)月中，通過解不等式求得

8-2也</<8+2&,取整即得.

【詳解】（1）當(dāng)0<Y5時(shí)，令了=7^,,貝IJOWx〈如，且二=5-/,

貝!|s（無）=-g尤2+%+]=一：（》_，1）2+3,

因0Vx<6，故x=l時(shí)，即t=4時(shí)，s取得最大值3;

11

當(dāng)5</412時(shí)，s（f）=—5廣+—25=——8）?+7,

因5Vdi2,故f=8時(shí)，s取得最大值7.

綜上，第8個(gè)月的月利潤最大，為7萬元.

（2）由（1）可知前5個(gè)月中，最大月利潤為第3個(gè)月的3萬元，

故超過3萬元的月份只可能在后面的7個(gè)月里，

即5<tV12,由-5z+8f-25>3可得，』-6+56<0,

解得8-2忘<8+20.

又reN,所以6W10,

故月利潤超過3萬元的月份有第6,7,8,9,10月.

2.（23-24高一上?浙江嘉興?期中）我國是用水相對貧乏的國家，據(jù)統(tǒng)計(jì)，我國的人均水資源僅為世界平

均水平的;,因此我國在制定用水政策時(shí)明確提出“優(yōu)先滿足城鄉(xiāng)居民生活用水”，同時(shí)為了更好地提倡

節(jié)約用水，對水資源使用進(jìn)行合理配置，對居民自來水用水收費(fèi)采用階梯收費(fèi).某市經(jīng)物價(jià)部門批準(zhǔn)，對

居民生活用水收費(fèi)如下：第一檔，每戶每月用水不超過20立方米，則水價(jià)為每立方米3元；第二檔，若每

戶每月用水超過20立方米，但不超過30立方米，則超過部分水價(jià)為每立方米4元；第三檔，若每戶每月用

水超過30立方米，則超過部分水價(jià)為每立方米7元，同時(shí)征收其全月水費(fèi)20%的用水調(diào)節(jié)稅.設(shè)某戶某月

用水x立方米，水費(fèi)為y元.

Q）試求》關(guān)于x的函數(shù)；

（2）若該用戶當(dāng)月水費(fèi)為80元，試求該年度的用水量；

（3）設(shè)某月甲用戶用水〃立方米，乙用戶用水8立方米，若“力之間符合函數(shù)關(guān)系：Ur?+47a-530,則當(dāng)

兩戶用水合計(jì)達(dá)到最大時(shí)，一共需要支付水費(fèi)多少元？

3x,0<x<20

【答案】（l）y=4x-20,20<x<30

8.4x-132,x>30

（2）25立方米

（3）144元

【知識點(diǎn)】常見（一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等）的函數(shù)值域、求分段函數(shù)解析式或求函數(shù)的值、

分段函數(shù)模型的應(yīng)用

【分析】（1）根據(jù)題意分類討論可得函數(shù)解析式；（2）結(jié)合（1）中的函數(shù)解析式，代入求解；（3）根

據(jù)題意整理可得a+b=-（a-24）2+46,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)運(yùn)算求解.

【詳解】（1）因?yàn)槟硲粼撛掠盟畑立方米，

按收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)可知，當(dāng)0<xW20時(shí)，y=3x；

當(dāng)20<九<30時(shí)，y=20x3+4（x-20）=4x-20；

當(dāng)%>30時(shí)，j=[20x3+4x（30-20）+7（x-30）]xl.2=8.4x-132.

3x,0<x<20

所以y=14%-20,20<%〈30

8.4x-132,x>30

（2）由題可得，當(dāng)該用戶水費(fèi)為80元時(shí)，處于第二檔，

所以4x-20=80,解得尤=25.

所以該月的用水量為25立方米.

（3）因?yàn)閆>=-02+47a-530,

所以。+人=-。2+48。-530=-（。-24）2+46446.

當(dāng)。=24時(shí)，（a+b）“皿=46,此時(shí)》=22.

所以此時(shí)兩戶一共需要支付的水費(fèi)是>=4x24-20+4x22-20=144元.

3.（23-24高三上?遼寧葫蘆島?階段練習(xí)）某超市引進(jìn)A,8兩類有機(jī)蔬菜.在當(dāng)天進(jìn)貨都售完的前提下，

A類有機(jī)蔬菜的純利潤為3元/千克，8類有機(jī)蔬菜的純利潤為5元/千克.若當(dāng)天出現(xiàn)未售完的有機(jī)蔬菜,

次日將以5折售出，此時(shí)售出的A類蔬菜的虧損為1元/千克，8類蔬菜的虧損為3元/千克.已知當(dāng)天未

售完的有機(jī)蔬菜，次日5折促銷都能售完.假設(shè)該超市A,8兩類有機(jī)蔬菜當(dāng)天共進(jìn)貨100千克，其中A

類有機(jī)蔬菜進(jìn)貨MxeN,30WxW70）千克.假設(shè)A,8類有機(jī)蔬菜進(jìn)貨當(dāng)天可售完的質(zhì)量均為50千克.

Q）試求進(jìn)貨當(dāng)天及次日該超市這兩類有機(jī)蔬菜的總盈利/'（x）（單位：元）的表達(dá)式；

（2）若/（x）N322,求x的取值范圍.

__../、f6%+100,xeN,30<x<50,

【答案】（1）/（月=〈

'''）[700-6X,XGN,50<X<70.

（2）{XGN|37<X<63}

【知識點(diǎn)】求分段函數(shù)解析式或求函數(shù)的值、分段函數(shù)模型的應(yīng)用、解分段函數(shù)不等式

【分析】⑴分300元450、50〈尤<70寫出分段函數(shù)即可；

（2）解分段函數(shù)不等式，即可求出.

【詳解】（1）當(dāng)尤EN,30Wx<50時(shí)，/（x）=3x+50x5-3（100-x-50）=6x+100；

當(dāng)xcN,50〈尤<70時(shí)，/（X）=50X3+5X（100-A:）-1X（X-50）=700-6%,

，、J6x+100,xGN,30<x<50,

故—[700—6%,xwN,50<%<70.

（2）當(dāng)%cN,304%<50時(shí)，由6%+1002322,解得工237;

當(dāng)％cN,50〈犬<70時(shí)，由700—6%2322,解得了463.

故X的取值范圍是{xeN|37WxW63}.

對點(diǎn)集訓(xùn)五：對鉤函數(shù)及其應(yīng)用

典型例題

例題1.（23-24高三上?山東荷澤?期中）荷澤市某高中為了更好的開展高一社團(tuán)活動(dòng)，現(xiàn)要設(shè)計(jì)如圖的一

張矩形宣傳海報(bào)，該海報(bào)含有大小相等的左右兩個(gè)矩形欄目（即圖中陰影部分），這兩欄的面積之和為

32000cm2,四周空白的寬度為10cm,兩欄之間的中縫空白的寬度為5cm.

（1）怎樣確定矩形欄目高與寬的尺寸（單位：cm）,能使整個(gè)矩形海報(bào)面積最小，并求最小值；

（2）如果要求矩形欄目的寬度不小于高度的1.6倍，那么怎樣確定矩形欄目高與寬的尺寸（單