2025福建省成考專升本高等數(shù)學(xué)考試題庫(kù)及答案一、函數(shù)、極限和連續(xù)1.函數(shù)部分-題目：已知函數(shù)$f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$，求其定義域，并化簡(jiǎn)該函數(shù)。-解答：對(duì)于分式函數(shù)，分母不能為零，即$x-2\neq0$，所以函數(shù)$f(x)$的定義域?yàn)?x\neq2$，也就是$(-\infty,2)\cup(2,+\infty)$。化簡(jiǎn)函數(shù)時(shí)，對(duì)分子進(jìn)行因式分解，$x^2-4=(x+2)(x-2)$，則$f(x)=\frac{(x+2)(x-2)}{x-2}=x+2$（$x\neq2$）。-題目：設(shè)$f(x+1)=x^2+2x+3$，求$f(x)$的表達(dá)式。-解答：令$t=x+1$，則$x=t-1$。將$x=t-1$代入$f(x+1)=x^2+2x+3$中，得到$f(t)=(t-1)^2+2(t-1)+3$。展開式子：$f(t)=t^2-2t+1+2t-2+3=t^2+2$。因?yàn)楹瘮?shù)的自變量可以用任意字母表示，所以$f(x)=x^2+2$。2.極限部分-題目：求$\lim\limits_{x\to2}\frac{x^2-5x+6}{x-2}$。-解答：當(dāng)$x\to2$時(shí)，分子分母都趨于零，屬于$\frac{0}{0}$型極限。先對(duì)分子進(jìn)行因式分解，$x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$。則$\lim\limits_{x\to2}\frac{x^2-5x+6}{x-2}=\lim\limits_{x\to2}\frac{(x-2)(x-3)}{x-2}=\lim\limits_{x\to2}(x-3)$，將$x=2$代入$x-3$，得到$\lim\limits_{x\to2}(x-3)=2-3=-1$。-題目：求$\lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{2}{x})^x$。-解答：這是一個(gè)重要極限$\lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^x=e$的形式。令$t=\frac{x}{2}$，則$x=2t$，當(dāng)$x\to\infty$時(shí)，$t\to\infty$。所以$\lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{2}{x})^x=\lim\limits_{t\to\infty}(1+\frac{1}{t})^{2t}=\left[\lim\limits_{t\to\infty}(1+\frac{1}{t})^t\right]^2$，根據(jù)重要極限$\lim\limits_{t\to\infty}(1+\frac{1}{t})^t=e$，可得$\left[\lim\limits_{t\to\infty}(1+\frac{1}{t})^t\right]^2=e^2$。3.連續(xù)部分-題目：討論函數(shù)$f(x)=\begin{cases}x+1,&x\lt1\\2x,&x\geq1\end{cases}$在$x=1$處的連續(xù)性。-解答：函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)的充要條件是$\lim\limits_{x\tox_0^-}f(x)=\lim\limits_{x\tox_0^+}f(x)=f(x_0)$。先求左極限：$\lim\limits_{x\to1^-}f(x)=\lim\limits_{x\to1^-}(x+1)$，將$x=1$代入$x+1$，得到$\lim\limits_{x\to1^-}(x+1)=1+1=2$。再求右極限：$\lim\limits_{x\to1^+}f(x)=\lim\limits_{x\to1^+}2x$，將$x=1$代入$2x$，得到$\lim\limits_{x\to1^+}2x=2\times1=2$。然后求函數(shù)值：$f(1)=2\times1=2$。因?yàn)?\lim\limits_{x\to1^-}f(x)=\lim\limits_{x\to1^+}f(x)=f(1)=2$，所以函數(shù)$f(x)$在$x=1$處連續(xù)。二、一元函數(shù)微分學(xué)1.導(dǎo)數(shù)的定義與求導(dǎo)法則-題目：用導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)$f(x)=x^2$在$x=1$處的導(dǎo)數(shù)。-解答：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義$f^\prime(x_0)=\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{f(x_0+\Deltax)-f(x_0)}{\Deltax}$，對(duì)于$f(x)=x^2$，$x_0=1$。則$f(1+\Deltax)=(1+\Deltax)^2=1+2\Deltax+(\Deltax)^2$，$f(1)=1^2=1$。所以$f^\prime(1)=\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{(1+2\Deltax+(\Deltax)^2)-1}{\Deltax}=\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{2\Deltax+(\Deltax)^2}{\Deltax}=\lim\limits_{\Deltax\to0}(2+\Deltax)=2$。-題目：求函數(shù)$y=(2x+1)^3$的導(dǎo)數(shù)。-解答：令$u=2x+1$，則$y=u^3$。根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}$。先對(duì)$y=u^3$關(guān)于$u$求導(dǎo)，$\frac{dy}{du}=3u^2$；再對(duì)$u=2x+1$關(guān)于$x$求導(dǎo)，$\frac{du}{dx}=2$。所以$\frac{dy}{dx}=3u^2\cdot2=3(2x+1)^2\cdot2=6(2x+1)^2$。2.導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用-題目：求函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+2$的單調(diào)區(qū)間和極值。-解答：首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)$f^\prime(x)=3x^2-6x$，令$f^\prime(x)=0$，即$3x^2-6x=3x(x-2)=0$，解得$x=0$和$x=2$。然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)性來(lái)確定單調(diào)區(qū)間：當(dāng)$x\lt0$時(shí)，$f^\prime(x)=3x(x-2)\gt0$，函數(shù)$f(x)$在$(-\infty,0)$上單調(diào)遞增；當(dāng)$0\ltx\lt2$時(shí)，$f^\prime(x)=3x(x-2)\lt0$，函數(shù)$f(x)$在$(0,2)$上單調(diào)遞減；當(dāng)$x\gt2$時(shí)，$f^\prime(x)=3x(x-2)\gt0$，函數(shù)$f(x)$在$(2,+\infty)$上單調(diào)遞增。接著求極值，$f(0)=0^3-3\times0^2+2=2$，$f(2)=2^3-3\times2^2+2=8-12+2=-2$。所以函數(shù)的極大值為$f(0)=2$，極小值為$f(2)=-2$。三、一元函數(shù)積分學(xué)1.不定積分-題目：求$\int(2x^3-3\sinx+5)dx$。-解答：根據(jù)不定積分的運(yùn)算法則$\int(f(x)\pmg(x))dx=\intf(x)dx\pm\intg(x)dx$和基本積分公式$\intx^ndx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$（$n\neq-1$），$\int\sinxdx=-\cosx+C$。則$\int(2x^3-3\sinx+5)dx=2\intx^3dx-3\int\sinxdx+5\intdx$。$2\intx^3dx=2\times\frac{x^{4}}{4}+C_1=\frac{1}{2}x^4+C_1$，$-3\int\sinxdx=-3\times(-\cosx)+C_2=3\cosx+C_2$，$5\intdx=5x+C_3$。所以$\int(2x^3-3\sinx+5)dx=\frac{1}{2}x^4+3\cosx+5x+C$（$C=C_1+C_2+C_3$）。-題目：求$\int\frac{1}{x\sqrt{1+\lnx}}dx$。-解答：令$u=1+\lnx$，則$du=\frac{1}{x}dx$。所以$\int\frac{1}{x\sqrt{1+\lnx}}dx=\int\frac{1}{\sqrt{u}}du$，根據(jù)基本積分公式$\intu^ndu=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C$（$n\neq-1$），這里$n=-\frac{1}{2}$。$\int\frac{1}{\sqrt{u}}du=\intu^{-\frac{1}{2}}du=\frac{u^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1}+C=2\sqrt{u}+C$，將$u=1+\lnx$代回，得到$\int\frac{1}{x\sqrt{1+\lnx}}dx=2\sqrt{1+\lnx}+C$。2.定積分-題目：計(jì)算$\int_{0}^{1}(x^2+2x)dx$。-解答：根據(jù)牛頓-萊布尼茨公式$\int_{a}^f(x)dx=F(b)-F(a)$，其中$F(x)$是$f(x)$的一個(gè)原函數(shù)。先求$f(x)=x^2+2x$的原函數(shù)$F(x)$，$F(x)=\int(x^2+2x)dx=\frac{1}{3}x^3+x^2+C$。則$\int_{0}^{1}(x^2+2x)dx=\left[\frac{1}{3}x^3+x^2\right]_0^1=\left(\frac{1}{3}\times1^3+1^2\right)-\left(\frac{1}{3}\times0^3+0^2\right)=\frac{1}{3}+1=\frac{4}{3}$。-題目：計(jì)算$\int_{-1}^{1}|x|dx$。-解答：因?yàn)?|x|=\begin{cases}-x,&x\lt0\\x,&x\geq0\end{cases}$，所以$\int_{-1}^{1}|x|dx=\int_{-1}^{0}-xdx+\int_{0}^{1}xdx$。對(duì)于$\int_{-1}^{0}-xdx=-\frac{1}{2}x^2\big|_{-1}^0=-\left(0-\frac{1}{2}\times(-1)^2\right)=\frac{1}{2}$；對(duì)于$\int_{0}^{1}xdx=\frac{1}{2}x^2\big|_0^1=\frac{1}{2}\times1^2-0=\frac{1}{2}$。所以$\int_{-1}^{1}|x|dx=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$。四、多元函數(shù)微積分學(xué)1.偏導(dǎo)數(shù)-題目：設(shè)$z=x^2y+\sin(xy)$，求$\frac{\partialz}{\partialx}$和$\frac{\partialz}{\partialy}$。-解答：求$\frac{\partialz}{\partialx}$時(shí)，把$y$看作常數(shù)。$\frac{\partialz}{\partialx}=\frac{\partial}{\partialx}(x^2y)+\frac{\partial}{\partialx}(\sin(xy))$。根據(jù)求導(dǎo)公式，$\frac{\partial}{\partialx}(x^2y)=2xy$，對(duì)于$\frac{\partial}{\partialx}(\sin(xy))$，令$u=xy$，則$\frac{\partial}{\partialx}(\sin(xy))=\cos(xy)\cdoty$。所以$\frac{\partialz}{\partialx}=2xy+y\cos(xy)$。求$\frac{\partialz}{\partialy}$時(shí)，把$x$看作常數(shù)。$\frac{\partialz}{\partialy}=\frac{\partial}{\partialy}(x^2y)+\frac{\partial}{\partialy}(\sin(xy))$。$\frac{\partial}{\partialy}(x^2y)=x^2$，$\frac{\partial}{\partialy}(\sin(xy))=\cos(xy)\cdotx$。所以$\frac{\partialz}{\partialy}=x^2+x\cos(xy)$。2.二重積分-題目：計(jì)算$\iint_{D}x