歷年函授高等數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.極限lim(x→2)(x^2-4)/(x-2)的值為多少？

A.0

B.2

C.4

D.不存在

2.函數(shù)f(x)=x^3-3x+2的導(dǎo)數(shù)f'(x)為多少？

A.3x^2-3

B.3x^2+3

C.2x^3-3x

D.3x^2-3x

3.曲線y=x^2-4x+5的拐點坐標(biāo)為多少？

A.(2,1)

B.(1,2)

C.(2,-1)

D.(-2,1)

4.不定積分∫(x^2+1)dx的結(jié)果為多少？

A.x^3/3+x+C

B.x^2/2+x+C

C.x^3/3+C

D.x^2/2+C

5.定積分∫(0to1)x^2dx的值為多少？

A.1/3

B.1/4

C.1/2

D.1

6.矩陣A=[[1,2],[3,4]]的行列式det(A)的值為多少？

A.-2

B.2

C.-5

D.5

7.方程組2x+3y=8,x-y=1的解為多少？

A.x=3,y=2

B.x=2,y=3

C.x=4,y=0

D.x=0,y=4

8.矩陣B=[[2,0],[0,3]]的逆矩陣B^(-1)為多少？

A.[[1/2,0],[0,1/3]]

B.[[1/2,0],[0,-1/3]]

C.[[2,0],[0,3]]

D.[[-1/2,0],[0,-1/3]]

9.級數(shù)∑(n=1to∞)(1/2^n)的和為多少？

A.1/2

B.1

C.2

D.∞

10.函數(shù)f(x)=e^x在點x=0處的泰勒展開式的前三項為多少？

A.1+x+x^2/2

B.1-x+x^2/2

C.1+x-x^2/2

D.1-x-x^2/2

二、多項選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在區(qū)間(-∞,+∞)上單調(diào)遞增的有哪些？

A.y=x^3

B.y=e^x

C.y=-2x+1

D.y=log(x)

2.下列函數(shù)中，在x=0處可導(dǎo)的有哪些？

A.y=|x|

B.y=x^2

C.y=sin(x)

D.y=x^3/2

3.下列函數(shù)中，在區(qū)間[0,1]上連續(xù)的有哪些？

A.y=1/x

B.y=sqrt(x)

C.y=tan(x)

D.y=arctan(x)

4.下列級數(shù)中，收斂的有哪些？

A.∑(n=1to∞)(1/n)

B.∑(n=1to∞)(1/n^2)

C.∑(n=1to∞)(-1)^n/n

D.∑(n=1to∞)(1/2^n)

5.下列說法中，正確的有有哪些？

A.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則f(x)在[a,b]上必有界。

B.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則f(x)在[a,b]上必有最大值和最小值。

C.若函數(shù)f(x)在x=c處可導(dǎo)，則f(x)在x=c處必連續(xù)。

D.若函數(shù)f(x)在x=c處連續(xù)，則f(x)在x=c處必可導(dǎo)。

三、填空題（每題4分，共20分）

1.極限lim(x→3)(x^2-9)/(x-3)的值為________。

2.函數(shù)f(x)=x^4-4x^3+6x^2-4x+1的導(dǎo)數(shù)f'(x)為________。

3.曲線y=x^3-3x^2+2的二階導(dǎo)數(shù)y''為________，其拐點坐標(biāo)為________。

4.不定積分∫(x^3-2x+1)dx的結(jié)果為________。

5.矩陣A=[[1,2,3],[0,1,4],[0,0,1]]的逆矩陣A^(-1)為________。

四、計算題（每題10分，共50分）

1.計算極限lim(x→0)(e^x-1-x)/x^2。

2.求函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2x-1的導(dǎo)數(shù)f'(x)，并求其在x=2處的值。

3.計算定積分∫(from0toπ)sin^2(x)dx。

4.解線性方程組：

2x+y-z=1

x-y+2z=-1

x+y+z=2

5.求解微分方程y'-y=e^x。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識點總結(jié)如下

一、選擇題答案及解析

1.C.4

解析：lim(x→2)(x^2-4)/(x-2)=lim(x→2)((x+2)(x-2))/(x-2)=lim(x→2)(x+2)=4

2.A.3x^2-3

解析：f'(x)=d/dx(x^3-3x+2)=3x^2-3

3.A.(2,1)

解析：y'=2x-4，y''=2，令y''=0得x=2，代入y=2^2-4*2+5=1，拐點為(2,1)

4.A.x^3/3+x+C

解析：∫(x^2+1)dx=∫x^2dx+∫1dx=x^3/3+x+C

5.A.1/3

解析：∫(0to1)x^2dx=[x^3/3]from0to1=1/3-0=1/3

6.A.-2

解析：det(A)=1*4-2*3=4-6=-2

7.A.x=3,y=2

解析：由x-y=1得x=y+1，代入2x+3y=8得2(y+1)+3y=8，解得y=2，x=3

8.A.[[1/2,0],[0,1/3]]

解析：B^(-1)=1/det(B)*[[d,-b],[-c,a]]=1/6*[[3,0],[0,2]]=[[1/2,0],[0,1/3]]

9.B.1

解析：這是一個等比級數(shù)，公比r=1/2，和為a/(1-r)=1/(1-1/2)=1

10.A.1+x+x^2/2

解析：e^x的泰勒展開為1+x+x^2/2!+x^3/3!+...，前三項為1+x+x^2/2

二、多項選擇題答案及解析

1.A.y=x^3,B.y=e^x

解析：y'=3x^2>0,y'=e^x>0，故單調(diào)遞增

2.B.y=x^2,C.y=sin(x)

解析：y'=2x,y'=cos(x)，均存在導(dǎo)數(shù)；y=|x|在x=0處不可導(dǎo)，y=x^3/2在x=0處不可導(dǎo)

3.B.y=sqrt(x),C.y=tan(x),D.y=arctan(x)

解析：y=1/x在x=0處不連續(xù)；其余三個函數(shù)在[0,1]上連續(xù)

4.B.∑(n=1to∞)(1/n^2),C.∑(n=1to∞)(-1)^n/n,D.∑(n=1to∞)(1/2^n)

解析：p-series測試，p=2>1收斂；交錯級數(shù)測試，絕對值級數(shù)1/n收斂；幾何級數(shù)r=1/2<1收斂

5.A.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則f(x)在[a,b]上必有界。

C.若函數(shù)f(x)在x=c處可導(dǎo)，則f(x)在x=c處必連續(xù)。

解析：根據(jù)連續(xù)性定義和可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系

三、填空題答案及解析

1.4

解析：lim(x→3)(x^2-9)/(x-3)=lim(x→3)((x+3)(x-3))/(x-3)=lim(x→3)(x+3)=6

2.4x^3-12x^2+12x-4

解析：f'(x)=4x^3-12x^2+12x-4

3.6x-6,(2,0)

解析：y'=3x^2-6x,y''=6x-6，令y''=0得x=2，代入y=2^3-3*2^2+2=0，拐點為(2,0)

4.x^4/4-2x^2/2+x^3/3+C=x^4/4-x^2+x^3/3+C

解析：∫(x^3-2x+1)dx=x^4/4-x^2+x^3/3+C

5.[[1,-2,5],[0,1,-4],[0,0,1]]

解析：使用行變換法求逆矩陣，將A化為單位矩陣，右邊對應(yīng)矩陣即為逆矩陣

四、計算題答案及解析

1.1/2

解析：lim(x→0)(e^x-1-x)/x^2=lim(x→0)(e^x-1-x)/x^2*(x/x)=lim(x→0)(e^x-1-x)/x^2*1/x=lim(x→0)(e^x-1-x)/x^2*(x→0時等價無窮小1/x)=lim(x→0)((e^x-1)/x-1)/x=lim(x→0)(e^x-1)/2x=1/2

2.f'(x)=3x^2-6x+2,f'(2)=-2

解析：f'(x)=3x^2-6x+2，f'(2)=3*2^2-6*2+2=12-12+2=-2

3.π/2

解析：∫(from0toπ)sin^2(x)dx=∫(from0toπ)(1-cos(2x))/2dx=[x/2-sin(2x)/4]from0toπ=π/2-0=π/2

4.x=1,y=0,z=1

解析：用加減消元法，(1)+(2)得3z=0,z=0，代入(3)得x+y=2，代入(1)得x=1，y=1

5.y=e^x(x-1)+C

解析：這是一個一階線性微分方程，y=e^(∫P(x)dx)[∫Q(x)e^(∫P(x)dx)dx+C]=e^x[∫e^xe^(-x)dx+C]=e^x[x+C]=e^x(x-1)+C

知識點總結(jié)

1.極限與連續(xù)

-極限計算：洛必達(dá)法則、等價無窮小替換、有理化等

-連續(xù)性判斷：函數(shù)在一點連續(xù)的充要條件

-閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：有界性、最值定理

2.導(dǎo)數(shù)與微分

-導(dǎo)數(shù)定義與幾何意義

-基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式

-求導(dǎo)法則：四則運(yùn)算法則、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)

-微分概念與計算

3.不定積分

-原函數(shù)與不定積分的概念

-基本積分公式

-換元積分法：第一類換元、第二類換元

-分部積分法

4.定積分

-定積分定義與幾何意義

-牛頓-萊布尼茨公式

-定積分計算方法：換元法、分部積分法

-定積分的應(yīng)用：面積、旋轉(zhuǎn)體體積等

5.級數(shù)

-數(shù)項級數(shù)收斂性判斷：正項級數(shù)測試、交錯級數(shù)測試、比值測試等

-函數(shù)項級數(shù)：冪級數(shù)收斂域、泰勒級數(shù)

6.多元函數(shù)微積分

-偏導(dǎo)數(shù)與全微分

-多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)

-隱函數(shù)求導(dǎo)

7.線性代數(shù)

-矩陣運(yùn)算：加法、乘法、轉(zhuǎn)置等

-行列式計算

-逆矩陣求法

-線性方程組求解：高斯消元法

題型考察知識點詳解及示例

1.選擇題

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