專題強(qiáng)化七圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問(wèn)題

學(xué)習(xí)目標(biāo)1.會(huì)分析水平面內(nèi)、豎直面內(nèi)及傾斜面內(nèi)物體做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力來(lái)

源及動(dòng)力學(xué)問(wèn)題。2.掌握分析判斷臨界問(wèn)題的方法。

考點(diǎn)一水平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問(wèn)題

1.運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)

(1)運(yùn)動(dòng)軌跡是水平面內(nèi)的圓。

(2)合外力沿水平方向指向圓心，提供向心力，豎直方向合力為零，物體在水平面

內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。

2.常見的兩種臨界極值問(wèn)題

(1)與摩擦力有關(guān)的臨界極值問(wèn)題

物體間恰好不發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)的臨界條件是物體間的靜摩擦力恰好達(dá)到最大靜摩擦

力。

(2)與彈力有關(guān)的臨界極值問(wèn)題

壓力、支持力的臨界條件是物體間的彈力恰好為零；繩上拉力的臨界條件是繩恰

好拉直且其上無(wú)彈力或繩上拉力恰好為最大承受力等。

例1(2024.安徽宣城質(zhì)檢)如圖1甲所示，質(zhì)量相等的物塊A、3放在水平圓盤上，

A、3和圓盤圓心。在同一直線上，讓圓盤繞過(guò)圓心。的豎直軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)A

剛要滑動(dòng)時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為。1,當(dāng)3剛要滑動(dòng)時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為02；若A、

5在圓盤上的位置不變，用細(xì)線將A、3連接，細(xì)線剛好伸直，如圖乙所示，讓

圓盤勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)A、3一起剛要滑動(dòng)時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為。3,兩物塊與盤面間

的動(dòng)摩擦因數(shù)相同，最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，則下列關(guān)系正確的是()

A.①1>①3>①2

C.CD1<CD2D.①1<①3

答案A

解析設(shè)物塊到圓心的距離為r,當(dāng)物塊剛要滑動(dòng)時(shí)，最大靜摩擦力提供向心力,

由牛頓第二定律有jumg=mco2r,可得華，故當(dāng)A剛要滑動(dòng)時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)的角

速度為01='杵，當(dāng)B剛要滑動(dòng)時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為02=、佛;若用細(xì)線將A、

3連接，當(dāng)它們一起剛要滑動(dòng)時(shí)，最大靜摩擦力和拉力合力提供向心力，對(duì)3物

塊由牛頓第二定律有T=maArB,對(duì)A物塊有fimg—T=moAr\,聯(lián)立解得①3

2陽(yáng)rA~\~rs

因?yàn)閞A<<rB,所以可得①1>①3>692,故A正確。

KA+fB92

另解當(dāng)A、5用細(xì)線連在一起時(shí)，可以把A、5看成一個(gè)整體，整體的質(zhì)量是

2m,整體重心在原來(lái)A、5的中點(diǎn)處。由牛頓第二定律有〃加可得。=

此臨界角速度與物體的質(zhì)量無(wú)關(guān)，只與離轉(zhuǎn)軸的遠(yuǎn)近有關(guān)。離轉(zhuǎn)軸越遠(yuǎn)臨

界角速度越小，因?yàn)橹匦乃詂?i>①3>。2,故A正確。

■1跟蹤訓(xùn)練

1.（多選）如圖2所示，在水平圓臺(tái)的轉(zhuǎn)軸上的。點(diǎn)固定一根結(jié)實(shí)的細(xì)繩，細(xì)繩長(zhǎng)

度為I,細(xì)繩的一端連接一個(gè)小木箱，木箱里坐著一只玩具小熊，此時(shí)細(xì)繩與轉(zhuǎn)

軸間的夾角為。=53。，且處于恰好伸直的狀態(tài)。已知小木箱與玩具小熊的總質(zhì)量

為如木箱與水平圓臺(tái)間的動(dòng)摩擦因數(shù)〃=0.2,最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，

sin53°=0.8,cos53°=0.6,重力加速度為g,不計(jì)空氣阻力。在可調(diào)速電動(dòng)機(jī)的

帶動(dòng)下，讓水平圓臺(tái)緩慢加速運(yùn)動(dòng)（）

圖2

A.當(dāng)圓臺(tái)的角速度①細(xì)繩中無(wú)張力

B.當(dāng)圓臺(tái)的角速度①細(xì)繩中有張力

C.當(dāng)圓臺(tái)的角速度①圓臺(tái)對(duì)木箱無(wú)支持力

D.當(dāng)圓臺(tái)的角速度0圓臺(tái)對(duì)木箱有支持力

解析細(xì)繩中恰好無(wú)張力時(shí)，靜摩擦力達(dá)到最大，由靜摩擦力提供向心力，有g(shù)

=mco2lsin0,解得①金可得當(dāng)①方時(shí)繩子無(wú)張力，①〉y裔時(shí)繩子有

張力，故A、B正確；圓臺(tái)對(duì)木箱恰好無(wú)支持力時(shí)，有機(jī)gtane=w7ft）2/sina解得

即當(dāng)0時(shí)，圓臺(tái)對(duì)木箱無(wú)支持力，故C正確，D錯(cuò)誤。

2.（多選）（2024?云南昆明高三期末）如圖3所示，質(zhì)量為m的小球由輕繩a和人分

別系于一輕質(zhì)細(xì)桿的A點(diǎn)和3點(diǎn)，當(dāng)輕桿繞軸。。以角速度①勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，小球

在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，a繩與水平面成。角，人繩平行于水平面且長(zhǎng)為/,

重力加速度為g,則下列說(shuō)法正確的是（）

A.小球一定受a繩的拉力作用

B.小球所受a繩的拉力隨角速度的增大而增大

C.當(dāng)角速度時(shí)，b繩將出現(xiàn)彈力

D.若人繩突然被剪斷，則。繩的彈力一定發(fā)生變化

答案AC

解析對(duì)小球受力分析，在豎直方向有mg=Tasin。，可知小球一定受a繩的拉力

作用，且小球所受。繩的拉力隨角速度的增大保持不變，故A正確，B錯(cuò)誤；當(dāng)

6繩剛要繃緊出現(xiàn)彈力時(shí)，水平方向根據(jù)牛頓第二定律，有￡cos6=m0乙聯(lián)立

解得、/就/，即當(dāng)角速度①＞弋言］時(shí)，人繩將出現(xiàn)彈力，故C正確；由

于方繩可能沒有彈力，故。繩突然被剪斷，a繩的彈力可能不變，故D錯(cuò)誤。

考點(diǎn)二豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問(wèn)題

兩種模型對(duì)比

物理情景輕繩模型輕桿模型

實(shí)例球與繩連接、水流星、沿內(nèi)軌球與桿連接、球在光滑管道中

道運(yùn)動(dòng)的“過(guò)山車”等運(yùn)動(dòng)等

最高點(diǎn)無(wú)支撐最高點(diǎn)有支撐

圖示①g）

在最高點(diǎn)除重力外，物體受到

受力在最高點(diǎn)除重力外，物體受到

的彈力方向向下、等于零或向

特征的彈力方向向下或等于零

上

受力

mgmgmgmgmg

不意圖0Io0oo

V2V2

力學(xué)方程mg+Fi=m-

FT=0

0=0

臨界0盆n

即R向=0

特征

即Vtnin=\[gTFz=mg

過(guò)最高點(diǎn)在最高點(diǎn)的速度

心0

的條件v^y[gr

模型il輕繩模型

例2（2024?陜西西安高三期末）如圖4所示，一質(zhì)量為m=0.5kg的小球（可視為質(zhì)

點(diǎn)），用長(zhǎng)為0.4m的輕繩拴著在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，g=10m/s2,下列說(shuō)法

不正確的是（）

圖4

A.小球要做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，在最高點(diǎn)的速度至少為2m/s

B.當(dāng)小球在最高點(diǎn)的速度為4m/s時(shí)，輕繩拉力為15N

C.若輕繩能承受的最大張力為45N,小球的最大速度不能超過(guò)4色m/s

D.若輕繩能承受的最大張力為45N,小球的最大速度不能超過(guò)4m/s

答案D

解析設(shè)小球通過(guò)最高點(diǎn)時(shí)的最小速度為00,則根據(jù)牛頓第二定律有mg=rrr^,

解得0o=2m/s,故A正確；當(dāng)小球在最高點(diǎn)的速度為加=4m/s時(shí)，設(shè)輕繩拉力

大小為無(wú)，根據(jù)牛頓第二定律有Fr+mg="k，解得Fr=15N,故B正確；小

球在軌跡最低點(diǎn)處速度最大，此時(shí)輕繩的拉力最大，根據(jù)牛頓第二定律有FTm-

2

"琢=器4解得0m=4gm/s,故C正確，D錯(cuò)誤。

■規(guī)律總結(jié)，

⑴最高點(diǎn)，若0小1蔬F彈+mg=mi,繩或軌道對(duì)球產(chǎn)生彈力歹彈。

（2）若。＜病，則不能到達(dá)最高點(diǎn)，即到達(dá)最高點(diǎn)前小球已經(jīng)脫離了圓軌道。

■跟蹤訓(xùn)練

3.（2024?浙江溫州高三期中）如圖5所示，豎直固定的光滑圓軌道內(nèi)有一質(zhì)量為m

的小球在做完整的圓周運(yùn)動(dòng)。已知軌道半徑為R,。為最高點(diǎn)，。為最低點(diǎn)，。和

d為與圓心。等高的點(diǎn)，e和/為關(guān)于圓心。的對(duì)稱點(diǎn)，重力加速度大小為g。下

列說(shuō)法正確的是（）

圖5

A.小球在a點(diǎn)的速度必須大于4客

B.小球在c點(diǎn)和d點(diǎn)時(shí)與軌道之間沒有彈力

C.小球在e點(diǎn)所受合力和在/點(diǎn)所受合力等大反向

D.若小球運(yùn)動(dòng)到。點(diǎn)時(shí)，速度為小尿,則小球?qū)壍赖膲毫Υ笮?mg

答案D

v2

解析小球若恰能經(jīng)過(guò)。點(diǎn)，則叫="灰，解得0min=4i^,即小球在4點(diǎn)的速

度大于等于血,A錯(cuò)誤；小球在c點(diǎn)和d點(diǎn)時(shí)軌道對(duì)小球的支持力提供向心力，

即與軌道之間都有彈力，B錯(cuò)誤；小球在e點(diǎn)和;■點(diǎn)受力情況如圖，可知小球在e

點(diǎn)所受合力和在/■點(diǎn)所受合力大小不相等，方向不是相反，C錯(cuò)誤；小球在。點(diǎn)

,(、/3gR)2一，

時(shí)，合力提供向心力，有FNa+mg=員,解得尸Na=2/ng,D正確。

模型級(jí)輕桿模型

例3(2024.浙江衢州高三月考)如圖6所示，有一根長(zhǎng)￡=4m的輕桿兩端各固定

一個(gè)質(zhì)量均為m=lkg的小球，。點(diǎn)為一穿過(guò)輕桿的轉(zhuǎn)軸，且位于輕桿的中點(diǎn)。

在外界作用力的影響下轉(zhuǎn)軸帶動(dòng)輕桿與小球做。=4rad/s的豎直平面上的勻速圓

周運(yùn)動(dòng)。某一時(shí)刻輕桿沿豎直方向，且A球在上方。

AQ

BO

圖6

(1)求該時(shí)刻B球線速度大小和向心加速度；

(2)求該時(shí)刻A球?qū)p桿的作用力；

(3)若A球質(zhì)量可改變，要使該時(shí)刻轉(zhuǎn)軸不受輕桿的作用力，A球質(zhì)量應(yīng)為多少？

21

答案(1)8m/s32mzs2,方向豎直向上(2)22N,方向豎直向上⑶五kg

解析(1)3球的線速度大小加=號(hào)=8m/s,3球的向心加速度大小

32m/s2,方向豎直向上。

(2)對(duì)A球，在最高點(diǎn)時(shí)，有機(jī)8十點(diǎn)=優(yōu)。*

代入數(shù)據(jù)得K=22N

由牛頓第三定律知，A球?qū)p桿的作用力RN&RN=22N,方向豎直向上。

(3)對(duì)A球，有mAg+FNA=mACO2^

對(duì)3球，有FNB—mg=ma>3

若輕桿不受轉(zhuǎn)軸的作用力，有RNA=RNB

21

聯(lián)立解得kgo

■規(guī)律總結(jié)■

1.在最高點(diǎn)，桿(或管道)的彈力與速度的關(guān)系

(1)當(dāng)0=0時(shí)，尸彈=77Zg,E彈背昌圓心。

v2

(2)當(dāng)0<0<、歷時(shí)，mg—F彈=%,R彈背離圓心并隨0的增大而減小。

(3)當(dāng)。=依天時(shí)，R彈=0。

(4)當(dāng)時(shí)，/ng+R彈=而及，R彈指向圓心并隨0的增大而增大。

2.解題技巧

(1)物體通過(guò)圓周運(yùn)動(dòng)最低點(diǎn)、最高點(diǎn)時(shí)，利用合力提供向心力列牛頓第二定律方

程。

(2)物體從某一位置到另一位置的過(guò)程中，用動(dòng)能定理找出兩處速度關(guān)系。

⑶注意：求對(duì)軌道的壓力時(shí)，轉(zhuǎn)換研究對(duì)象，先求物體所受支持力，再根據(jù)牛頓

第三定律求出壓力。

“跟蹤訓(xùn)練

4.(2024.北京豐臺(tái)高三期中)如圖7甲所示，小球在豎直放置的光滑圓形管道內(nèi)做

圓周運(yùn)動(dòng)。當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到圓形管道的最高點(diǎn)時(shí)，管道對(duì)小球的彈力與過(guò)最高點(diǎn)時(shí)

小球速度的平方的關(guān)系如圖乙所示(取豎直向下為正方向)。為通過(guò)圓心的一條

水平線。不計(jì)小球半徑、管道的粗細(xì)，重力加速度為g。下列說(shuō)法正確的是()

A.管道的半徑為近

B.小球質(zhì)量為葭

O

C.小球在MN以下的管道中運(yùn)動(dòng)時(shí)，內(nèi)側(cè)管壁對(duì)小球可能有作用力

D.小球在MN以上的管道中運(yùn)動(dòng)時(shí)，外側(cè)管壁對(duì)小球一定有作用力

答案B

4h

2

解析由題圖乙可知，當(dāng)v=b時(shí)，F(xiàn)N=O,有mg=nr^9解得7?=p故A錯(cuò)誤；

當(dāng)"=0時(shí)，F(xiàn)N=mg=a,有機(jī)=旦，故B正確；小球在水平線以下的管道中

運(yùn)動(dòng)時(shí)，由于向心力的方向要指向圓心，則管壁必然要提供指向圓心的支持力，

只有外壁才可以提供這個(gè)力，所以內(nèi)側(cè)管壁對(duì)小球沒有作用力，故C錯(cuò)誤；小球

在水平線以上的管道中運(yùn)動(dòng)時(shí)，重力沿徑向的分量必然參與提供向心力，故

可能是外側(cè)管壁受力，也可能是內(nèi)側(cè)管壁對(duì)小球有作用力，還可能均無(wú)作用力，

故D錯(cuò)誤。

考點(diǎn)三傾斜面上圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問(wèn)題

物體在傾斜面上做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)斜面的傾角為夕，重力垂直斜面的分力與物體

受到的支持力大小相等，平行斜面的分力與靜摩擦力的合力提供向心力。

立體圖側(cè)視圖正視（斜面）圖

在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，轉(zhuǎn)動(dòng)越快，物體最容易滑動(dòng)的位置是最低點(diǎn)，恰好滑動(dòng)時(shí)，有

/umgcos0—mgsmO=ma）-Ro

例4（2024?山東青島高三期中）如圖8所示，一傾斜圓盤可繞通過(guò)圓心、垂直于盤

面的固定軸以不同的角速度勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，盤面上距離轉(zhuǎn)軸/=5cm處有一可視為質(zhì)

點(diǎn)的物塊在圓盤上且始終與圓盤保持相對(duì)靜止。已知物塊與盤面間的動(dòng)摩擦因數(shù)

為坐，盤面與水平面的夾角6=30。，重力加速度大小為g=10m/s2,設(shè)最大靜摩

擦力等于滑動(dòng)摩擦力，下列說(shuō)法正確的是（）

圖8

A.若圓盤角速度逐漸增大，物塊會(huì)在最高點(diǎn)發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)

B.圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)角速度可能為5/rad/s

C.物塊運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)所受摩擦力方向一定背離圓心

D.物塊運(yùn)動(dòng)到與圓盤圓心等高點(diǎn)時(shí)，摩擦力的方向垂直于物體和轉(zhuǎn)盤圓心的連線

答案C

解析物塊在最低點(diǎn)即將滑動(dòng)時(shí)，此時(shí)圓盤角速度最大，由牛頓第二定律有

/zmgcos30°—mgsin30°=mco?Z,解得31=5/rad/s,故B錯(cuò)誤；物塊在最高點(diǎn)恰

好不受摩擦力時(shí)，根據(jù)牛頓第二定律有"zgsin30。=機(jī)①刃，解得O2=10rad/s>5也

rad/s,物塊運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)摩擦力一定背離圓心，但不會(huì)發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)，故A錯(cuò)誤，

C正確；由于做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，合力方向指向圓盤中心，重力的下滑分力與摩擦

力的合力提供向心力，則與圓盤圓心等高點(diǎn)處摩擦力的方向不垂直于物塊和轉(zhuǎn)盤

圓心的連線，故D錯(cuò)誤。

過(guò)跟蹤訓(xùn)練

5.如圖9所示，一傾斜的圓筒繞固定軸。。1以恒定的角速度①轉(zhuǎn)動(dòng)，圓筒的半徑

r=1.5mo筒壁內(nèi)有一小物體與圓筒始終保持相對(duì)靜止，小物體與圓筒間的動(dòng)摩

擦因數(shù)為竽（設(shè)最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力）,轉(zhuǎn)動(dòng)軸與水平面間的夾角為60。，

重力加速度g取10m/s2,則8的最小值是（）

圖9

V30

A.1rad/sB.3rad/s

C.A/10rad/sD.5rad/s

答案C

解析對(duì)小物體受力分析如圖所示，由牛頓第二定律有機(jī)geos60。+/N=加①2人

B=mgsin60°WN,解得rad/s,故A、B、D錯(cuò)誤，C正確。

■提升素養(yǎng)能力（限時(shí)：40分鐘）

A級(jí)基礎(chǔ)對(duì)點(diǎn)練

對(duì)點(diǎn)練1水平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問(wèn)題

1.如圖1所示，一硬幣（可視為質(zhì)點(diǎn)）置于水平圓盤上，硬幣與豎直轉(zhuǎn)軸。。的距離

為「，已知硬幣與圓盤之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為〃（最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力），重

力加速度大小為g。若硬幣與圓盤一起繞軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，則圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)的最大角

速度為（）

O：

O"

圖1

B小

C小小

答案B

解析硬幣做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由靜摩擦力提供，有2r，又

=〃掰g,聯(lián)立可得機(jī)02rW〃機(jī)g,解得①即圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)的最大角速度為

故選項(xiàng)B正確。

2.（多選）（2024.遼寧大連模擬）一質(zhì)量為2000kg的汽車在水平公路上行駛，路面對(duì)

輪胎的徑向最大靜摩擦力為L(zhǎng)6XIO4N,當(dāng)汽車經(jīng)過(guò)半徑為100m的彎道時(shí)，下

列判斷正確的是（）

圖2

A.汽車轉(zhuǎn)彎時(shí)所受的力有重力、彈力、摩擦力和向心力

B.汽車轉(zhuǎn)彎的速度為20m/s時(shí)所需的向心力為1.6X104N

C.汽車轉(zhuǎn)彎的速度為30m/s時(shí)汽車會(huì)發(fā)生側(cè)滑

D.汽車能安全轉(zhuǎn)彎的向心加速度不超過(guò)8m/s2

答案CD

解析汽車在水平面轉(zhuǎn)彎時(shí)，做圓周運(yùn)動(dòng)，重力與支持力平衡，側(cè)向靜摩擦力提

供向心力，不能說(shuō)受到向心力，A錯(cuò)誤；如果車速達(dá)到20m/s,需要的向心力R

82()2

=my=2.0X103XN=8X103N,B錯(cuò)誤；車速達(dá)到30mzs時(shí)，需要的向心

*302

力R="Z：=2.0X103X而N=L8X104N,最大靜摩擦力為L(zhǎng)6XIO,N,則

Ft,所以汽車會(huì)發(fā)生側(cè)滑，C正確；汽車能安全轉(zhuǎn)彎的向心加速度最大值為。=那

1.6X104,

=2義]03向$2=8.0m/s29,D正確。

3.如圖3所示，三角形為一光滑錐體的正視圖，母線與豎直方向的夾角為6=37。。

一根長(zhǎng)為/=1m的細(xì)線一端系在錐體頂端，另一端系著一可視為質(zhì)點(diǎn)的小球，小

球在水平面內(nèi)繞錐體的軸做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，重力加速度g=10m/s2,sin37。=0.6,

不計(jì)空氣阻力，貝1]()

圖3

A.小球受重力、支持力、拉力和向心力

B.當(dāng)a)=2.5rad/s時(shí)，小球?qū)﹀F體的壓力為零

C.當(dāng)①rad/s時(shí)，小球?qū)﹀F體的壓力剛好為零

D.當(dāng)①=2小rad/s時(shí)，小球受重力、支持力和拉力作用

答案C

解析向心力是效果力，不能說(shuō)小球受向心力，A錯(cuò)誤；轉(zhuǎn)速較小時(shí)，小球緊貼

錐體，則RTCOSe+Ksin6=/ng,FTSIIIFNCOS0=mco1lsm0,隨著轉(zhuǎn)速的增加，

尸r增大，F(xiàn)N減小，當(dāng)角速度①達(dá)到0o時(shí)支持力為零，支持力恰好為零時(shí)有mgtan

0=mcoolsin0,解得①0=1^rad/s,B錯(cuò)誤，C正確；當(dāng)①=2小rad/s時(shí)，小球

已經(jīng)離開斜面，小球受重力和拉力的作用，D錯(cuò)誤。

對(duì)點(diǎn)練2豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問(wèn)題

4.質(zhì)量為根的小球在豎直平面內(nèi)的圓形軌道的內(nèi)側(cè)運(yùn)動(dòng)，如圖4所示，經(jīng)過(guò)最高

點(diǎn)而不脫離軌道的速度臨界值是。，當(dāng)小球以2。的速度經(jīng)過(guò)最高點(diǎn)時(shí)，對(duì)軌道的

壓力值是（）

圖4

A.0B.mg

C.3mgD.5mg

答案C

解析小球恰好通過(guò)最高點(diǎn)時(shí)，只受到重力作用，重力完全充當(dāng)向心力，有mg

廬（2o）2

=m方,當(dāng)小球到達(dá)最高點(diǎn)速率為。時(shí)，有------,聯(lián)立解得小球

K2F^+mg=mK

受到軌道的支持力大小為K=3機(jī)g,根據(jù)牛頓第三定律可知，小球?qū)壍赖膲毫?/p>

為3tng,故C正確。

5.（2022.全國(guó)甲卷，14）北京2022年冬奧會(huì)首鋼滑雪大跳臺(tái)局部示意圖如圖5所示。

運(yùn)動(dòng)員從。處由靜止自由滑下，到6處起跳，c點(diǎn)為a、6之間的最低點(diǎn)，。、c

兩處的高度差為鼠要求運(yùn)動(dòng)員經(jīng)過(guò)c點(diǎn)時(shí)對(duì)滑雪板的壓力不大于自身所受重力

的左倍，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中將運(yùn)動(dòng)員視為質(zhì)點(diǎn)并忽略所有阻力，則c點(diǎn)處這一段圓弧雪

道的半徑不應(yīng)小于（）

A'I+T

c絲

k

答案D

,,,Vc

解析運(yùn)動(dòng)員從。到c根據(jù)動(dòng)能定理有,在c點(diǎn)有FNc-mg=m瓦.

2h

FNCWkmg,聯(lián)立有He，心一,故選項(xiàng)D正確。

K1

6.如圖6所示，質(zhì)量為1.6kg、半徑為0.5m的光滑細(xì)圓管用輕桿固定在豎直平面

內(nèi)，小球A和3(均可視為質(zhì)點(diǎn))的直徑略小于細(xì)圓管的內(nèi)徑(內(nèi)徑遠(yuǎn)小于細(xì)圓管半

徑)。它們的質(zhì)量分別為"勿=1kg、mB=2kgo某時(shí)刻，小球A、3分別位于圓管

最低點(diǎn)和最高點(diǎn)，且A的速度大小為0A=3m/s,此時(shí)桿對(duì)圓管的彈力為零。則

3球的速度大小0B為(取g=10m/s2)()

圖6

A.2m/sB.4m/s

C.6m/sD.8m/s

答案B

解析對(duì)A球，合外力提供向心力，設(shè)圓管對(duì)A的支持力為0,由牛頓第二定律

有五4—根咫=虛信，代入數(shù)據(jù)解得EA=28N,由牛頓第三定律可得，A球?qū)A管

的力豎直向下為28N,設(shè)3球?qū)A管的力為由圓管受力平衡可得B/+28N

+加管g=0,解得我/=-44N,負(fù)號(hào)表示和重力方向相反，由牛頓第三定律可得，

圓管對(duì)3球的力幾為44N,方向豎直向下，對(duì)5球由牛頓第二定律有賴十加昭

=mg~^,解得0B=4m/s,故B正確。

對(duì)點(diǎn)練3傾斜面上圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問(wèn)題

7.（2024?遼寧鞍山聯(lián)考）如圖7所示，在傾角為a=30。的光滑斜面上，有一根長(zhǎng)為

L=0.8m的細(xì)繩，一端固定在。點(diǎn)，另一端系一質(zhì)量為m=0.2kg的小球，沿斜

面做圓周運(yùn)動(dòng)，取g=10m/s2,小球在A點(diǎn)最小速度為（）

圖7

A.4m/sB.2m/s

C.2小m/sD.2^/2m/s

答案B

解析由題意可知，小球恰好過(guò)A點(diǎn)時(shí)的速度最小，即小球過(guò)A點(diǎn)時(shí)繩子上的拉

力恰好為零，此時(shí)小球做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力完全由小球重力沿斜面向下的分力來(lái)

2.

提供，由牛頓第二定律有機(jī)gsin30。=近華\解得Omin=2m/s,故B正確。

8.如圖8所示，一傾斜的勻質(zhì)圓盤繞垂直于盤面的固定對(duì)稱軸以恒定角速度。轉(zhuǎn)

動(dòng)，盤面與水平面的夾角為15°,盤面上離轉(zhuǎn)軸距離為r=lm處有一質(zhì)量m=lkg

的小物體，小物體與圓盤始終保持相對(duì)靜止，且小物體在最低點(diǎn)時(shí)受到的摩擦力

大小為6.6N。若重力加速度g取10m/s2,sin15。=0.26,則下列說(shuō)法正確的是（）

圖8

A.小物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)線速度的大小為/m/s

B.小物體受到合力的大小始終為4N

C.小物體在最高點(diǎn)受到摩擦力大小為0.4N,方向沿盤面指向轉(zhuǎn)軸

D.小物體在最高點(diǎn)受到摩擦力大小為1.4N,方向沿盤面背離轉(zhuǎn)軸

答案B

解析在最低點(diǎn)對(duì)小物體受力分析，有小物體所受合力提供向心力，即B—/ngsin

7)7)

解得o=2m/s,所以A錯(cuò)誤；小物體所受合力為R谷=叼7=4N,所

以B正確；由于小物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，在圓軌道任意位置時(shí)，所受合力的大小

都是相等的，小物體在最高點(diǎn)所受合力大小為4N,有立=p備一機(jī)gsinl5o=1.4N,

即在該點(diǎn)受到大小為L(zhǎng)4N,方向沿盤面指向轉(zhuǎn)軸的摩擦力，所以C、D錯(cuò)誤。

B級(jí)綜合提升練

9.(2023?北京昌平區(qū)模擬)如圖9甲所示，輕桿的一端固定一小球(視為質(zhì)點(diǎn))，另一

端套在光滑的水平軸。上，。軸的正上方有一速度傳感器，可以測(cè)量小球通過(guò)最

高點(diǎn)時(shí)的速度大小。；。軸處有力傳感器，可以測(cè)量小球通過(guò)最高點(diǎn)時(shí)。軸受到

桿的作用力F若豎直向下為力的正方向，使小球在最低點(diǎn)時(shí)具有不同的初速度，

得到廬圖像如圖乙所示，取g=iom/s2,貝1!()

圖9

A.0軸到球心間的距離為0.5m

B.小球的質(zhì)量為3kg

C.小球恰好通過(guò)最高點(diǎn)時(shí)的速度大小為小m/s

D.小球在最高點(diǎn)的速度大小為正m/s時(shí)桿受到球的作用力豎直向下

答案A

解析小球通過(guò)最高點(diǎn)時(shí)，。軸受到桿的作用力/與小球受到桿的作用力〃等大

反向，即方=一尸，小球過(guò)最高點(diǎn)時(shí)，根據(jù)牛頓第二定律有機(jī)g+尸二底，得尸

=^v2—mg,則F=-^v2+mg,則圖乙中圖像的斜率為一1kg/m,當(dāng)V2

=0時(shí)，F(xiàn)=mg=3N,聯(lián)立解得冽=0.3kg,R=0.5m,故A正確，B錯(cuò)誤；當(dāng)

小球通過(guò)最高點(diǎn)的速度為零時(shí)，小球恰好通過(guò)最高點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；小球過(guò)最高點(diǎn)

的速度大小為灰m/s時(shí)，根據(jù)牛頓第二定律有"密+歹=加元，可得〃=6N,方

向豎直向下，即桿對(duì)球的作用力方向豎直向下，所以桿受到球的作用力豎直向上，

故D錯(cuò)誤。

10.（2024?湖南長(zhǎng)沙模擬）如圖10所示，水平桿固定在豎直桿上，兩者互相垂直，

水平桿上。、A兩點(diǎn)連接有兩輕繩，兩繩的另一端都系在質(zhì)量為機(jī)的小球上，ON

=OB=AB,現(xiàn)通過(guò)轉(zhuǎn)動(dòng)豎直桿，使水平桿在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，三角形

始終在豎直平面內(nèi)，若轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中。3、A3兩繩始終處于拉直狀態(tài)，重力加

速度為g，則下列說(shuō)法正確的是（）

圖10

A.OB繩的拉力范圍為0~

B.OB繩的拉力范圍為坐nzg?斗含ng

C.AB繩的拉力范圍對(duì)gmg

D.如果把繩AB剪斷，小球一定會(huì)偏離原來(lái)位置

答案B

解析對(duì)小球受力分析如圖，豎直方向上有TXBCOS3CP+TOBCOS30。=/?8，水平方

向上有ToBsin30°—7kBsin30°=機(jī)。2.%,解得TOB=9加TXB=坐加g

-^mco2L,由兩繩拉力的表達(dá)式知，①越大，TOB越大，7kB越小，可見，當(dāng)①=0

時(shí)，TOB取最小值，TXB取最大值，得TOB最小=坐肛?，TAB最大="^~mg；當(dāng)TAB=Q

TOB最大=羋mg,因此繩的拉力范

時(shí)，（O取到最大值，可得COm

圍為*mg^mg,A3繩的拉力范圍為0?*/ng,故A、C錯(cuò)誤，B正確；當(dāng)

繩A3的拉力為零時(shí)，如果把繩A3剪斷，小球不會(huì)偏離原來(lái)位置，故D錯(cuò)誤。

n.如圖u所示，在豎直平面內(nèi)，直徑為R的光滑半圓軌道和半徑為R的光滑;圓

軌道水平相切于。點(diǎn)。。點(diǎn)在水平地面上，可視為質(zhì)點(diǎn)的小球從。點(diǎn)以某一初速

度進(jìn)入半圓，剛好能通過(guò)半圓的最高點(diǎn)A,從A