曲線運(yùn)動(dòng)萬有引力與宇宙航行

第1講曲線運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)的合成與分解

學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解物體做曲線運(yùn)動(dòng)的條件及運(yùn)動(dòng)性質(zhì)。2.理解合運(yùn)動(dòng)與分運(yùn)動(dòng)的

概念，會(huì)用運(yùn)動(dòng)的合成與分解處理小船渡河、關(guān)聯(lián)速度等問題。

■夯實(shí)必備知識(shí)

1.曲線運(yùn)動(dòng)

速度質(zhì)點(diǎn)在某一點(diǎn)的速度方向是沿曲線在這一點(diǎn)的切

方向線方向

曲

運(yùn)動(dòng)做曲線運(yùn)動(dòng)的物體，速度的方向時(shí)刻在改變,所

線性質(zhì)以曲線運(yùn)動(dòng)是變速運(yùn)動(dòng)

運(yùn)

動(dòng)

運(yùn)動(dòng)學(xué)_物體的加速度方向跟速度方向不在同

角度「一條直線上

做曲線

一運(yùn)動(dòng)的

動(dòng)力學(xué)合外力方向跟速度方向不在同一條直

條件角度「線上

2.運(yùn)動(dòng)的合成與分解

不運(yùn)動(dòng)的合成卜已知分運(yùn)動(dòng)求合運(yùn)動(dòng)

基本

概念T運(yùn)動(dòng)的分解廠已知合運(yùn)動(dòng)求分運(yùn)動(dòng)

基

分解

動(dòng)一可以根據(jù)運(yùn)動(dòng)的實(shí)際效果分解，也可以采用正交分解

的原則

合

成遵循—位移、速度、加速度都是矢量，它們的合成與分解都

與規(guī)律—遵循平行四邊形定則

分

解尸石記「合運(yùn)動(dòng)和分運(yùn)動(dòng)經(jīng)歷的時(shí)回相等，即同

一

合

運(yùn)丁壽.性L時(shí)開始、同時(shí)進(jìn)行、同時(shí)停止

動(dòng)

與

分

運(yùn)獨(dú)立性）—一個(gè)物體同時(shí)參與幾個(gè)分運(yùn)動(dòng)，各分運(yùn)動(dòng)

的

動(dòng)-------L獨(dú)立進(jìn)行，不受其他運(yùn)動(dòng)的影響

系

關(guān)

」r,知性「各分運(yùn)動(dòng)的規(guī)律疊加起來與合運(yùn)動(dòng)的規(guī)

7寺雙性L律有完全相同的效果

1.思考判斷

（1）速度發(fā)生變化的運(yùn)動(dòng)，一定是曲線運(yùn)動(dòng)。（X）

（2）做曲線運(yùn)動(dòng)的物體受到的合力一定是變力。（X）

（3）做曲線運(yùn)動(dòng)的物體所受合外力的方向一定指向軌跡的凹側(cè)。（J）

（4）合運(yùn)動(dòng)的速度一定比分運(yùn)動(dòng)的速度大。（X）

（5）只要兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)為直線運(yùn)動(dòng)，合運(yùn)動(dòng)一定是直線運(yùn)動(dòng)。（X）

（6）曲線運(yùn)動(dòng)一定不是勻變速運(yùn)動(dòng)。（X）

（7）運(yùn)動(dòng)的合成與分解的實(shí)質(zhì)是對(duì)描述運(yùn)動(dòng)的物理量（位移、速度、加速度）的合成

與分解。（V）

2.（2023?全國乙卷，15）小車在水平地面上沿軌道從左向右運(yùn)動(dòng)，動(dòng)能一直增加，

如果用帶箭頭的線段表示小車在軌道上相應(yīng)位置處所受合力，下列四幅圖可能正

確的是（）

答案D

■研透核心考點(diǎn)

考點(diǎn)一曲線運(yùn)動(dòng)的條件與軌跡分析

1.曲線運(yùn)動(dòng)中速度方向、合力方向與運(yùn)動(dòng)軌跡之間的關(guān)系

（1）速度方向與運(yùn)動(dòng)軌跡相切。

（2）合力方向指向曲線的“凹”側(cè)。

（3）運(yùn)動(dòng)軌跡一定夾在速度方向和合力方向之間。

2.速率變化的判斷

日銳角I物體的速率增大1

合力方向與速T鈍角I物體的速率減?。?/p>

度方向的夾角

―［直角）~|物體的速率不變］

例1（人教版必修第二冊(cè)改編）在演示“做曲線運(yùn)動(dòng)的條件”的實(shí)驗(yàn)中，有一個(gè)在

水平桌面上向右做直線運(yùn)動(dòng)的小鋼球，第一次在其運(yùn)動(dòng)路線的正前方放置條形磁

鐵，第二次在其運(yùn)動(dòng)路線的旁邊放置條形磁鐵，如圖1所示，虛線表示小鋼球的

運(yùn)動(dòng)軌跡。觀察實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象，以下敘述正確的是（）

圖1

A.第一次實(shí)驗(yàn)中，小鋼球的運(yùn)動(dòng)是勻速直線運(yùn)動(dòng)

B.第二次實(shí)驗(yàn)中，小鋼球的運(yùn)動(dòng)類似平拋運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)軌跡是一條拋物線

C.該實(shí)驗(yàn)說明做曲線運(yùn)動(dòng)的物體的速度方向沿軌跡的切線方向

D.該實(shí)驗(yàn)說明物體做曲線運(yùn)動(dòng)的條件是物體受到的合力的方向與速度方向不在同

一直線上

答案D

解析第一次實(shí)驗(yàn)中，小鋼球受到沿初速度方向的磁鐵的吸引力作用，做直線運(yùn)

動(dòng)，并且隨著距離的減小，吸引力變大，加速度變大，故小鋼球做非勻變速直線

運(yùn)動(dòng)，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；第二次實(shí)驗(yàn)中，小鋼球所受的磁鐵的吸引力方向總是指向磁

鐵，是變力，故小鋼球的運(yùn)動(dòng)不是類平拋運(yùn)動(dòng)，其軌跡也不是一條拋物線，選項(xiàng)

B錯(cuò)誤；該實(shí)驗(yàn)說明物體做曲線運(yùn)動(dòng)的條件是物體受到的合力的方向與速度方向

不在同一直線上，但是不能說明做曲線運(yùn)動(dòng)的物體的速度方向沿軌跡的切線方向,

選項(xiàng)C錯(cuò)誤，D正確。

方法總結(jié)合外力與軌跡、速度間的關(guān)系分析思路

軌跡在合外力已知物體的運(yùn)動(dòng)軌跡,

一方向與速度方一］可以判斷合外力的大

致方向

軌跡向夾角間

麗已知合外力方向和速

曲_合外力一定指—度方向可判斷出軌跡

線向曲線的凹側(cè)的大致情況

運(yùn)

動(dòng)沿軌跡的—搞T改變速度大回

合外力切線方向

的效果

垂直于軌跡產(chǎn)生加血度T改變速度方郵

的切線方向

I跟蹤訓(xùn)練

1.（2024?福建三明高三聯(lián)考）如圖2是一種創(chuàng)新設(shè)計(jì)的“空氣傘”，它的原理是從

傘柄下方吸入空氣將空氣加速，并從頂部噴出，形成輻射狀氣流，從而改變周圍

雨水的運(yùn)動(dòng)軌跡，形成一個(gè)無雨區(qū)，起到遮擋雨水的作用。在無風(fēng)的雨天，若“空

氣傘”噴出的氣流水平，則雨滴從氣流上方某處下落并穿過氣流區(qū)的運(yùn)動(dòng)軌跡，

可能是下列哪一幅圖（）

空氣仁髭■氣出

1/弋

空氣入.空氣入

答案c

解析氣流對(duì)雨滴有作用力，當(dāng)雨滴接近空氣傘時(shí)，受到水平方向的作用力，將

產(chǎn)生水平方向的加速度，此時(shí)雨滴所受的合力與運(yùn)動(dòng)的方向不在一條直線上，所

以其運(yùn)動(dòng)軌跡將逐漸發(fā)生彎曲，速度的方向不能發(fā)生突變，故A、B錯(cuò)誤；雨滴

原來的運(yùn)動(dòng)方向沿豎直方向向下，當(dāng)受到水平方向的作用力后，水平方向做加速

直線運(yùn)動(dòng)，豎直方向做加速直線運(yùn)動(dòng)，從受力點(diǎn)開始，合外力和速度方向成銳角，

雨滴所做的運(yùn)動(dòng)的軌跡一定是向合外力方向發(fā)生彎曲；穿過氣流區(qū)后，由于雨滴

的速度方向斜向下，與重力不在同一直線上，雨滴仍做曲線運(yùn)動(dòng)，故C正確，D

錯(cuò)誤。

考點(diǎn)二運(yùn)動(dòng)的合成與分解

1.合運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)判斷

，變化：非勻變速運(yùn)動(dòng)

加速度（或合外力）,

、不變：勻變速運(yùn)動(dòng)

加速度（或合外力）「共線：直線運(yùn)動(dòng)

方向與速度方向〔不共線：曲線運(yùn)動(dòng)

加速度（或合外力）為0：勻速直線運(yùn)動(dòng)

2.兩個(gè)互成角度的直線運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)性質(zhì)的判斷

依據(jù)：看合初速度方向與合加速度（或合外力）方向是否共線。

兩個(gè)互成角度的分運(yùn)動(dòng)合運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)

兩個(gè)勻速直線運(yùn)動(dòng)勻速直線運(yùn)動(dòng)

一個(gè)勻速直線運(yùn)動(dòng)、一個(gè)勻變速勻變速曲線運(yùn)動(dòng)

直線運(yùn)動(dòng)

兩個(gè)初速度為零的勻加速直線

勻加速直線運(yùn)動(dòng)

運(yùn)動(dòng)

如果。合與。合共線，為勻變速

兩個(gè)初速度不為零的勻變速直直線運(yùn)動(dòng)

線運(yùn)動(dòng)如果0合與。合不共線，為勻變

速曲線運(yùn)動(dòng)

例2（2023?江蘇卷，10）達(dá)?芬奇的手稿中描述了這樣一個(gè)實(shí)驗(yàn)：一個(gè)罐子在空中沿

水平直線向右做勻加速運(yùn)動(dòng)，沿途連續(xù)漏出沙子。若不計(jì)空氣阻力，則下列圖中

能反映空中沙子排列的幾何圖形是（）

ABCD

答案D

解析

第1粒沙子（水平*

經(jīng)過tI豎直了尸鼻戶D

正

第2粒沙子確

剛釋放位置A

B、

此時(shí)1和2的C、

水平間距

罐子初速度為處,,錯(cuò)

加速度為a,開始沙子1和2的連a誤

時(shí)第1粒沙子下落,線與豎直方向sn8=了-=—0

經(jīng)過t,第2粒沙子夾角的正切值

下落

1跟蹤訓(xùn)練

2.（2024.重慶模擬預(yù)測(cè)）如圖3所示，某跳傘運(yùn)動(dòng)員從一定高度跳傘，在降落過程

中受到水平恒向風(fēng)力影響，最后降落到同一水平面上，下列說法正確的是（）

圖3

A.該運(yùn)動(dòng)員一定做曲線運(yùn)動(dòng)

B.其他條件不變，風(fēng)力越大，該運(yùn)動(dòng)員在空中運(yùn)動(dòng)時(shí)間越短

C.其他條件不變，風(fēng)力越大，該運(yùn)動(dòng)員在空中運(yùn)動(dòng)時(shí)間越長

D.其他條件不變，風(fēng)力越大，該運(yùn)動(dòng)員著地時(shí)的速率越大

答案D

解析若運(yùn)動(dòng)員跳傘時(shí)的速度方向與運(yùn)動(dòng)員所受的合力方向相同，則運(yùn)動(dòng)員做直

線運(yùn)動(dòng)，A錯(cuò)誤；豎直方向，根據(jù)力可得/=\舊，可知該運(yùn)動(dòng)員在空中

運(yùn)動(dòng)時(shí)間與風(fēng)力無關(guān)，B、C錯(cuò)誤；水平方向風(fēng)力越大，水平方向的加速度越大，

落地時(shí)的水平速度就越大，可知其他條件不變，該運(yùn)動(dòng)員著地時(shí)的速率越大，D

正確。

考點(diǎn)三小船渡河模型

1.船的實(shí)際運(yùn)動(dòng)：是隨水漂流的運(yùn)動(dòng)和船相對(duì)靜水的運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)。

2.三種速度：船在靜水中的速度。船、水流的速度。水、船的實(shí)際速度

3.兩類問題、三種情景

渡河〃〃〃〃〃〃〃〃〃“〃〃

當(dāng)船頭方向垂直河岸時(shí)，渡河時(shí)間最短，

時(shí)間%J?

最短時(shí)間Zmin=—

最短0船

/〃〃/〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃4

渡河木1、如果0船＞0水，當(dāng)船頭方向與上游河岸夾

卜'

1

位移角6滿足v船cos0=v水時(shí)，合速度垂直于

心G

最短，）〃“汾，〃〃〃〃〃，〃，，河岸，渡河位移最短，等于河寬d

如果0船＜0水，當(dāng)船頭方向（即V船方向）與

一,，二----、、

r船、、合速度方向垂直時(shí)，渡河位移最短，等于

“國，必'1

\/

\/dv水

、、/

、---'一一

0船

例3（2024.河南名校聯(lián)盟期末）在某次抗洪救援演練中，一條可視為質(zhì)點(diǎn)的救災(zāi)沖

鋒舟要渡過一條兩岸平行的河流。已知沖鋒舟在靜水中的速度大小為切=5m/s,

河水的流速大小為s=4m/s,沖鋒舟渡河的最短時(shí)間為f=40s。若沖鋒舟在靜水

中的速度大小為02,河水的流速大小為加，河寬不變，則沖鋒舟渡河的最短距離

為（）

圖4

A.225mB.238m

C.242mD.250m

答案D

解析當(dāng)船頭方向垂直于河岸時(shí)，渡河時(shí)間最短，由題意可知，沖鋒舟渡河的最

短時(shí)間為/=40s,由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式有河寬d=o"=200m。若沖鋒舟在靜水中的速

度大小為02,河水的流速大小為01,則沖鋒舟在靜水中的速度小于水速，設(shè)合速

度方向與河岸夾角為0,由幾何關(guān)系可知，當(dāng)船頭方向垂直于合速度時(shí)，此時(shí)小

船渡河位移最短，sin0=^,則渡河的最短距離s=^=￥=250m,D正確。

113AllUZ

方法總結(jié)小船渡河問題的分析思路

合速度：船相對(duì)于岸的實(shí)際速度。

跟蹤訓(xùn)練

3.（2023?福建福州模擬）洪水無情人有情，每一次重大搶險(xiǎn)救災(zāi)，都有子弟兵的身

影。如圖5所示，水速為o,消防武警駕駛沖鋒舟行駛，若沖鋒舟沿與平直河岸

成30。角的線路把被困群眾從A處送到對(duì)岸安全地B處，采取以最小速度和最短

時(shí)間兩種方案行駛，則兩種方案中沖鋒舟的最小速度01和以最短時(shí)間行駛沖鋒舟

的速度02之比為（）

圖5

A.1：2B.l：y[3

C.2：小D.?。?

答案D

解析沖鋒舟以最小速度VI和最短時(shí)間分別從A到B,沖鋒舟最小速度口垂直于

A3連線，有0i=osin3O。，最短時(shí)間行駛時(shí)沖鋒舟速度02垂直于平直河岸，有02

ftan30°,可知言=cos30。=半，故選項(xiàng)D正確。

考點(diǎn)四繩（桿）端速度分解模型

1.模型特點(diǎn)

與繩（桿）相連的物體運(yùn)動(dòng)方向與繩（桿）不在一條直線上，沿繩（桿）方向的速度分量

大小相等。

2.常見模型

—

模型il繩端速度分解模型

例4（多選）如圖6所示，物體P套在光滑的細(xì)桿上，P和Q通過輕質(zhì)細(xì)繩連接并

跨過定滑輪，一水平力R拉著水平面上的物體。向左運(yùn)動(dòng)。在某一小段時(shí)間內(nèi)，

尸沿細(xì)桿勻速向上運(yùn)動(dòng)通過A3段的過程中，下列說法正確的是（）

圖6

A.Q做加速直線運(yùn)動(dòng)B.Q做減速直線運(yùn)動(dòng)

C.細(xì)繩對(duì)P的拉力在增大D.桿對(duì)產(chǎn)的彈力在減小

答案BC

解析設(shè)繩與豎直方向夾角為仇則OPCOS6=0°,當(dāng)P勻速運(yùn)動(dòng)，。增大時(shí)，Q

做減速運(yùn)動(dòng)，故A錯(cuò)誤，B正確；對(duì)尸有mg=Tcos。，。角增大時(shí)繩子拉力T在

增大，桿對(duì)P的彈力RN=Tsin。在增大，故C正確，D錯(cuò)誤。

■跟蹤訓(xùn)練

4.（2024.福建寧德高三期末）如圖7,一條不可伸長的輕繩跨過一個(gè)光滑輕小滑輪，

將A、3兩物體連在一起，3在外力作用下以速度00向右勻速運(yùn)動(dòng)。當(dāng)輕繩與水

平方向成。角時(shí)（0＜。＜90。），下列說法正確的是（）

〃〃〃〃〃〃〃，

圖7

A.A物體的速度為oocos0,輕繩拉力大于A物體重力

B.A物體的速度為00cos6,輕繩拉力小于A物體重力

C.A物體的速度為vosin6,輕繩拉力大于A物體重力

D.A物體的速度為oosin3,輕繩拉力小于A物體重力

答案A

解析將3的速度沿繩和垂直于繩進(jìn)行分解，可知A的速度為0A=oocos。，當(dāng)B

向右勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，夾角。不斷增大，A的速度不斷減小，因此A做減速運(yùn)動(dòng)，加

速度向上，即輕繩的拉力大于A物體的重力，A正確，B、C、D錯(cuò)誤。

模型輟桿端速度分解模型

例5（2023?湖北武漢高三期末）活塞帶動(dòng)飛輪轉(zhuǎn)動(dòng)可簡(jiǎn)化為如圖8所示的模型：圖

中A、B、。三處都是轉(zhuǎn)軸，當(dāng)活塞在水平方向上移動(dòng)時(shí)，帶動(dòng)連桿A3運(yùn)動(dòng)，進(jìn)

而帶動(dòng)桿以。點(diǎn)為軸轉(zhuǎn)動(dòng)。若某時(shí)刻活塞的水平速度大小為。，連桿AB與

水平方向夾角為a,A3桿與桿的夾角為夕，此時(shí)3點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)的線速度大

小為（）

圖8

usinavcosa

A.?B.?

sinpsinp

vcosavsina

C.----6D.----6

cospcosp

答案B

解析設(shè)3點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)的線速度大小為o',此速度為3點(diǎn)的實(shí)際速度，根據(jù)運(yùn)

動(dòng)的合成與分解，可以分解為沿桿方向的分速度和垂直桿方向的分速度，如圖，

沿桿方向的分速度為0B=Z/COS，一號(hào)=03”，A點(diǎn)實(shí)際速度為水平方向的V,根

據(jù)運(yùn)動(dòng)的合成與分解，可以分解為沿桿方向的分速度和垂直桿方向的分速度，如

圖，沿桿方向的分速度為zu=0cosa,又二者沿桿方向的分速度相等，即z/sin4

0cosa

則故正確。

vcosa,0'=sin§B

■跟蹤訓(xùn)練

5.（2024.遼寧大連高三質(zhì)檢）如圖9所示，質(zhì)量相同的小球A、3通過質(zhì)量不計(jì)的細(xì)

桿相連接，緊靠豎直墻壁放置。由于輕微擾動(dòng)，小球A、3分別沿水平地面和豎

直墻面滑動(dòng)，滑動(dòng)過程中小球和桿始終在同一豎直平面內(nèi)，當(dāng)細(xì)桿與水平方向成

37。角時(shí)，小球3的速度大小為以重力加速度為g,忽略一切摩擦和阻力，sin37。

=0.6,cos37°=0.8o則下列說法正確的是（）

圖9

4

A.小球A速度為OB.小球A速度為空

34

C.小球A速度為心D.小球A速度為鏟

答案C

解析小球3的速度大小為。，設(shè)小球A的速度大小為比，則由連接體的速度關(guān)

3

聯(lián)關(guān)系有0sin37o=Ucos37。，解得少=不，故C正確，A、B、D錯(cuò)誤。

方法總結(jié)

三步法求解繩（桿或接觸面）連接體的速度問題

■提升素養(yǎng)能力（P艮時(shí)：40分鐘）

A級(jí)基礎(chǔ)對(duì)點(diǎn)練

對(duì)點(diǎn)練1曲線運(yùn)動(dòng)的條件與軌跡分析

1.（2024?四川眉山模擬）關(guān)于做曲線運(yùn)動(dòng)的物體，下列說法正確的是（）

A.所受合外力可以為零

B.所受合外力一定為恒力

C.所受合外力一定為變力

D.所受合外力的方向與物體的速度方向一定不在一條直線上

答案D

解析做曲線運(yùn)動(dòng)的物體，速度方向時(shí)刻在發(fā)生變化，所以一定是變速運(yùn)動(dòng)，合

外力一定不為零，合外力可以是恒力，例如平拋運(yùn)動(dòng)，合外力也可以是變力，例

如勻速圓周運(yùn)動(dòng)，故A、B、C錯(cuò)誤；做曲線運(yùn)動(dòng)的條件是所受合外力的方向與

物體的速度方向不在一條直線上，故D正確。

2.（2023?遼寧卷，1）某同學(xué)在練習(xí)投籃,籃球在空中的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖1中虛線所示，

籃球所受合力F的示意圖可能正確的是（）

圖1

ABCD

答案A

解析籃球做曲線運(yùn)動(dòng)，則籃球的速度與合力不在同一條直線上，且籃球的軌跡

應(yīng)向受力的一方發(fā)生偏轉(zhuǎn)，故B、C、D錯(cuò)誤；當(dāng)籃球的速度斜向右上方時(shí)，A

選項(xiàng)符合條件，故A正確。

對(duì)點(diǎn)練2運(yùn)動(dòng)的合成與分解

3.如圖2所示，乒乓球從斜面上滾下，以一定的速度沿直線運(yùn)動(dòng)。在與乒乓球路

徑相垂直的方向上放一個(gè)紙筒（紙筒的直徑略大于乒乓球的直徑），當(dāng)乒乓球經(jīng)過

筒口正前方時(shí)，對(duì)著球橫向吹氣，則關(guān)于乒乓球的運(yùn)動(dòng)，下列說法中正確的是

（）

A.乒乓球?qū)⒈３衷械乃俣壤^續(xù)前進(jìn)

B.乒乓球?qū)⑵x原有的運(yùn)動(dòng)路徑，但不進(jìn)入紙筒

C.乒乓球一定能沿吹氣方向進(jìn)入紙筒

D.只有用力吹氣，乒乓球才能沿吹氣方向進(jìn)入紙筒

答案B

解析當(dāng)乒乓球經(jīng)過筒口時(shí)，對(duì)著球橫向吹氣，乒乓球沿著原方向做勻速直線運(yùn)

動(dòng)的同時(shí)也會(huì)沿著吹氣方向做加速運(yùn)動(dòng)，實(shí)際運(yùn)動(dòng)是兩個(gè)運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)，則一定

不會(huì)進(jìn)入紙筒，要提前吹才會(huì)進(jìn)入紙筒，故B正確。

4.（2024?安徽合肥高三期中）某同學(xué)用如圖3所示的裝置研究運(yùn)動(dòng)合成規(guī)律，長方

體物塊上固定一長為L的豎直桿，物塊及桿的總質(zhì)量為質(zhì)量為機(jī)的小環(huán)套在

桿上，當(dāng)小環(huán)從桿頂端由靜止滑下時(shí)（小環(huán)與桿的摩擦可忽略），物塊在水平恒力R

的作用下，從靜止開始沿光滑水平面向右運(yùn)動(dòng)。小環(huán)落到桿底端時(shí)，物塊移動(dòng)的

距離為23重力加速度大小為g,則小環(huán)從頂端下落到底端的過程中（）

圖3

A.小環(huán)通過的路程為2LB.小環(huán)落到底部的時(shí)間為靖

C.桿對(duì)小環(huán)的作用力為mgD.桿對(duì)小環(huán)的作用力為2/ng

答案D

解析小環(huán)從頂端下落到底端的過程中，其水平位移為2L,豎直位移為L,其實(shí)

際位移為天備=、（2L）2+L2=0,所以小環(huán)通過的路程大于2L,故A錯(cuò)誤；

小環(huán)在豎直方向做自由落體運(yùn)動(dòng)，則有￡=%凡解得/='欄，故B錯(cuò)誤；設(shè)

2

小環(huán)在水平方向的加速度大小為ax,則有2L=^axt,又聯(lián)立解得ax

=2g,根據(jù)牛頓第二定律可得，小環(huán)受到桿的作用力大小為〃=機(jī)公=2mg,故C

錯(cuò)誤，D正確。

對(duì)點(diǎn)練3小船渡河模型

5.（2024?安徽六安高三期中）如圖4所示，一條小船從碼頭A過河，小船在靜水中

的速度為0,船頭指向始終與河岸垂直（沿AA，方向）。當(dāng)水流速度為S時(shí)，小船運(yùn)

動(dòng)到河對(duì)岸的碼頭3靠岸，A3與河岸的夾角為a=60。。當(dāng)水流速度為。2時(shí)，小

船運(yùn)動(dòng)到河對(duì)岸的碼頭C靠岸，AC與河岸的夾角為夕=30。。下列說法正確的是

（）

圖4

A.小船沿A3、AC過河的時(shí)間相等

B.小船沿AC過河的時(shí)間更長

C.vi:汲=1：2

D.當(dāng)水流速度為加時(shí)，要使小船到達(dá)碼頭4,船頭應(yīng)指向河的上游且與河岸夾角

為60。

答案A

解析因船頭始終垂直于河岸，所以小船過河的時(shí)間為/=*即小船沿AHAC

7）7）

過河的時(shí)間相等，選項(xiàng)A正確，B錯(cuò)誤；由題意可知tan60。=新，tan30°=—,

解得01：02=1：3,選項(xiàng)C錯(cuò)誤；當(dāng)水流速度為時(shí)，要使小船到達(dá)碼頭4,則

合速度應(yīng)該垂直河對(duì)岸，船頭應(yīng)指向河的上游且與河岸夾角滿足cos產(chǎn)7,

則6W60。，選項(xiàng)D錯(cuò)誤。

6.（多選）2023年夏天，中國多地出現(xiàn)暴雨，導(dǎo)致洪澇災(zāi)害。在某次救援中，一沖

鋒舟勻速橫渡一條兩岸平直、水流速度不變的河流，當(dāng)沖鋒舟船頭垂直河岸航行

時(shí)，恰能到達(dá)正對(duì)岸下游600m處；若沖鋒舟船頭保持與河岸成30。角向上游航

行時(shí)，則恰能到達(dá)正對(duì)岸，已知河水的流速大小為5m/s,下列說法正確的是（）

A.沖鋒舟在靜水中的速度大小為10m/s

B.河的寬度為40Mm

C.沖鋒舟在靜水中的速度大小為呼m/s

D.河的寬度為60Mm

答案BC

解析沖鋒舟恰能到達(dá)正對(duì)岸時(shí)，在靜水中速度O靜與水的流速O水的合速度垂直

于河岸，則有。靜cos30。=。水，解得0靜=14"m/s,故A錯(cuò)誤，C正確；當(dāng)沖

鋒舟船頭垂直河岸航行時(shí)，恰能到達(dá)正對(duì)岸下游600m處，由于沖鋒舟在垂直河

岸方向和沿河岸方向都是勻速運(yùn)動(dòng)，所以兩個(gè)方向的位移之比等于兩方向的速度

之比，即=="，式中s指沿河岸方向的位移，為600m,d指河寬，可解得d=

s。水

40Mm,故B正確，D錯(cuò)誤。

對(duì)點(diǎn)練4繩（桿）端速度分解模型

7.（2024.河南安陽高三期末）如圖5所示,水平固定的光滑細(xì)長桿上套有一物塊Q,

跨過懸掛于。點(diǎn)的輕小光滑圓環(huán)的細(xì)線一端連接。，另一端懸掛一物塊P。設(shè)細(xì)

線的左邊部分與水平方向的夾角為仇初始時(shí)e很小，現(xiàn)將尸、Q由靜止同時(shí)釋

放，關(guān)于尸、Q以后的運(yùn)動(dòng)，下列說法正確的是（）

□P

圖5

A.在e向90。增大的過程中，P一直處于超重狀態(tài)

B.當(dāng)。=90。時(shí)，尸的速度最大

C.當(dāng)8=90。時(shí)，。的速度最大

D.當(dāng)8=60。時(shí)，P、Q的速度大小之比是?。?

答案C

解析尸從開始運(yùn)動(dòng)到到達(dá)最低點(diǎn)的過程中，P先向下做加速運(yùn)動(dòng)，加速度向下，

處于失重狀態(tài)，然后又減速向下運(yùn)動(dòng)，加速度向上，處于超重狀態(tài)，故A錯(cuò)誤;

當(dāng)。=90。時(shí)，尸的速度最小，為零，位置最低，即。到達(dá)。點(diǎn)正下方時(shí)，。的速

度最大，故B錯(cuò)誤，C正確；由題可知，P、。用同一根繩連接，則。沿繩子方

向的速度與尸的速度相等，則當(dāng)。=60。時(shí)，VQCOS60°=w,解得op：0°=1：2,

故D錯(cuò)誤。

8.（2024?河南省駐馬店高級(jí)中學(xué)月考）如圖6所示，一根長為/的輕桿。4,。端用

錢鏈固定，另一端固定著一個(gè)小球4輕桿靠在一個(gè)高為人的物塊上。不計(jì)摩擦，

則當(dāng)物塊以速度。向右運(yùn)動(dòng)至輕桿與水平面的夾角為。時(shí)，物塊與輕桿的接觸點(diǎn)

為'下列說法正確的是（）

0/8

）

A.小球A的線速度大小為寧71

B.輕桿轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為平

7；/ein-f）

C.小球A的線速度大小為紀(jì)尸

o/sin2

D.輕桿轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為空產(chǎn)0

答案C

解析物塊的速度0在垂直于桿方向的分速度等于3點(diǎn)的線速度，即VB=vsm0,

根據(jù)比=s可知詈=f=一（一,聯(lián)立以上兩式解得以=2誓，故A錯(cuò)誤，C正

UBiBfl"

sin0

確；輕桿轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為0=牛=竺臀，故B、D錯(cuò)誤。

B級(jí)綜合提升練

9.今年夏天暴雨災(zāi)害頻發(fā)。若雨滴（可視為球形、密度一定）在空中下落時(shí)受到的空

氣阻力為尸枕2。2,左是常量，R為雨滴半徑，。為雨滴速度。所有雨滴從同一足

夠高高度由靜止下落，無風(fēng)時(shí)最終勻速落到地面上。重力加速度為g,落地過程

雨滴保持球形不變，下列說法正確的是（）

A.無風(fēng)時(shí)，雨滴開始下落做勻加速直線運(yùn)動(dòng)

B.無風(fēng)時(shí)，半徑不同的雨滴落到地面時(shí)的速度可能相等

C.刮水平風(fēng)時(shí)，雨滴落地的豎直速度不會(huì)改變

D.刮水平風(fēng)時(shí)，雨滴落地速率與無風(fēng)時(shí)相等

答案C

解析由mg—左斤廬:根?？芍?，無風(fēng)時(shí)，雨滴開始下落做加速度減小的加速直線

運(yùn)動(dòng)，故A錯(cuò)誤；落地前勻速下落，由氣&2=機(jī)8，其中機(jī)胃口可，解得。=

看“可知無風(fēng)時(shí)，半徑不同的雨滴落到地面時(shí)的速度不相等，故B

錯(cuò)誤；刮水平風(fēng)時(shí)，雨滴落地的豎直速度不受水平風(fēng)力的影響，則落地的豎直速

度不會(huì)改變，故C正確；刮水平風(fēng)時(shí)，雨滴落地的水平速度改變，豎直速度不變，

則落地的速率與無風(fēng)時(shí)不相等，故D錯(cuò)誤。

10.如圖7所示，甲、乙兩船在同一條河流中同時(shí)開始渡河，M.N分別是甲、乙

兩船的出發(fā)點(diǎn)，兩船頭與河岸均成a角，甲船船頭恰好對(duì)準(zhǔn)N點(diǎn)的正對(duì)岸P點(diǎn),

經(jīng)過一段時(shí)間乙船恰好到達(dá)P點(diǎn)，如果劃船速度大小相等，且兩船相遇不影響各

自的航行，下列判斷正確的是（）

p

圖7

A.甲船也能到達(dá)正對(duì)岸

B.甲船渡河時(shí)間一定短

C.兩船相遇在NP直線上的某點(diǎn)（非P點(diǎn)）

D.渡河過程中兩船不會(huì)相遇

答案C

解析甲船航行的方向與河岸成a角，水流速度水平向右，合速度一定不會(huì)垂直

河岸，則甲船不能垂直到達(dá)對(duì)岸，故A錯(cuò)誤；在垂直河岸方向上，o