第9節(jié)探索性及折疊問(wèn)題

考試要求以空間向量為工具，探究空間幾何體中線、面的位置關(guān)系或空間角存

在的條件，解決折疊問(wèn)題.

聚焦突破

考點(diǎn)一探索性問(wèn)題

例1(2024?青島調(diào)研)如圖，在三棱柱ABC—中，△ABC為等邊三角形,

四邊形AALBLB為菱形，AC±BC,AC=4,BC=3.

⑴求證：ABiXAiC；

(2)線段CC上是否存在一點(diǎn)E,使得平面ABiE與平面ABC的夾角的余弦值為%

若存在，求出點(diǎn)E的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

⑴證明連接A山與A3相交于點(diǎn)孔連接CR,如圖①所示.

?.?四邊形AALBLB為菱形，

為A3的中點(diǎn)，

AiBXABi.

△ABiC為等邊三角形,.,.CFlABi,

又AiB,CTu平面ALBC,AIBHCF=F,

.?.AB，平面ALBC.

,.?AiCu平面ALBC,AABIXAIC.

⑵解假設(shè)存在，設(shè)。，G分別為AC,A3的中點(diǎn),

連接Bi。，OG,由⑴可知

又ACLBC,ABx,ACu平面ABC,ABi^AC=A,

...BC,平面ABiC.

XOG//BC,.?.OGL平面ABC.

?.?△ABC為等邊三角形，：.BiO±AC,

故。G,OC,OR兩兩垂直.

以。為原點(diǎn)，OG,0C,防1的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立如圖

②所示的空間直角坐標(biāo)系，

則A(0,-2,0),C(0,2,0),3(3,2,0),Bi(0,0,2小)，0(0,0,0),

VAB=A7BI,BC=B7CI,

/.AI(-3,-4,2小)，Ci(-3,0,24).

設(shè)度=iCi(0W4Wl),

則無(wú)一灰:=丸06,

有波=%Ci+沆=7(—3,-2,2小)+(0,2,0)=(一3九2一2兒，2幣入),

.?.E(一3九2一2九2小丸)，AE=(-3A,4—2九247),ABi=(0,2,2幣).

設(shè)平面ABiE的法向量為"=(x,y,z),

AEn=13&+(4—2A)y+2"\/3Az=0,

則有，

^ABi-n=2y+2y/3z=0,

.1人rni4214

當(dāng)丸wo時(shí)，令2=小，則y=—3,

即"=［寧-3,向

平面A3C的一個(gè)法向量為防1方向上的單位向量機(jī)=(0,0,1).

若平面ABiE與平面ABC的夾角的余弦值為京

則有|cos(n,m)|=?

4

+9+3

.(44一4)

則=36,

2

又0<2Wl,.*.A=T.

當(dāng)7=0時(shí)，平面ARE即平面ABC,

,.?囪。，平面ABC,SOu平面ABC,

平面ABC平面ABC,不滿足題意.

2

所以點(diǎn)E存在，且CE=/Ci.

感悟提升1.對(duì)于存在判斷型問(wèn)題的求解，應(yīng)先假設(shè)存在，把要成立的結(jié)論當(dāng)作

條件，據(jù)此列方程或方程組，把“是否存在”問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“點(diǎn)的坐標(biāo)是否有解，

是否有規(guī)定范圍內(nèi)的解”等.

2.對(duì)于位置探究型問(wèn)題，通常借助向量，引進(jìn)參數(shù)，綜合已知和結(jié)論列出等式，

解出參數(shù).

訓(xùn)練1(2024.武漢模擬)如圖，已知四棱錐P—A3CD的底面是平行四邊形，側(cè)面

而3是等邊三角形，BC=2AB,AC=y[3AB,PBLAC.

(1)求證：平面以5,平面A3CD；

(2)設(shè)。為側(cè)棱PD上的一點(diǎn)，四邊形3EQR是過(guò)3,。兩點(diǎn)的截面，且AC〃平

面BEQF.是否存在點(diǎn)。，使得平面平面以。？若存在，求學(xué)的值；若不

存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

⑴證明在△ABC中，因?yàn)?c=2AB,AC=q§A3,

所以所以ACLAB

XACXPB,PBCAB=B,且PB,ABu平面出3,所以AC,平面以B

又ACu平面ABCD,

所以平面以3,平面ABCD.

（2）解假設(shè)存在。，使得平面BEQfU平面以D

取A3的中點(diǎn)為H,連接PH,則PHLAB,

因?yàn)槠矫娉?,平面ABCD,平面RWA平面ABCD=A3,PHu平面

所以平面ABCD.

以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,AC所在直線分別為x,y軸，建立如圖所示的空間直角坐

標(biāo)系.

不妨設(shè)AB=2,則A（0,0,0）,B（2,0,0）,

。（—2,273,0）,P（l,0,?。?/p>

則Ab=（—2,24，0）,AP=（1,0,小）,

發(fā)）=（-4,25，0）,DP=（3,—2小，?。?

設(shè)“1=（x1,yi,zi）是平面心。的法向量，

n\AD=-2XI+2A/3VI=0,

則j-

ni-AP=xi+y/3zi=0,

令xi=爽，則yi=1,zi=-1,

所以m=(S，1,—1).

設(shè)的其中0W4W1,

則破=&)+詼=前＞+%5A

=(34—4,2\[3—2y[3A,^/3A).

連接ER,因?yàn)锳C〃平面3EQR,ACu平面R4C,平面必CA平面3EQR=ER,

所以AC〃石E

取與而同向的單位向量j=(0,1,0),

設(shè)〃2=(X2,丁2,22)是平面BE。尸的法向量，則

n2-j=y2=0,

<

=

m-BQ—(32—4)X2~\~2y[3(1—2)y2~\~y[3Az209

令X2=y[3A,則Z2=4—3/1,

所以〃2=(小九0,4-32).

因?yàn)槠矫?EQ尸，平面PAD,

所以ni±/i2,

所以ni-n2=32+3/l—4=0,

解得見(jiàn)=2?

PO1

故在側(cè)棱尸。上存在點(diǎn)Q,使得平面5EQ尸，平面以⑦，此時(shí)者=不

叱Lf乙

考點(diǎn)二折疊問(wèn)題

例2(2023?蘇北四市質(zhì)檢)已知一圓形紙片的圓心為O,直徑AB=2,圓周上有C,

。兩點(diǎn).如圖，OCUB,NAOD哼點(diǎn)P是曲上的動(dòng)點(diǎn).沿A3將紙片折為直二

面角，并連接尸。，PD,PC,CD.

⑴當(dāng)A3〃平面PCD時(shí)，求PD的長(zhǎng)；

(2)當(dāng)三棱錐P-COD的體積最大時(shí)，求平面OPD與平面CPD夾角的余弦值.

解(1)因?yàn)锳3〃平面PCD,A3u平面OPD,

平面OPDn平面PCD=PD,所以AB〃PD,

7171

又NAOD=z，所以

OO

2兀

所以/尸。。=可~,

又OD=OP=1,所以PD=小.

(2)由題意知0C，平面POD,

而SADOP=JOD-OP-sinZDOP,

所以當(dāng)ODLOP時(shí)，三棱錐P—COD的體積最大.

易知。C,OD,0P兩兩垂直，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，OC,OP,勵(lì)的方向分別為x

軸，y軸，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。一盯z,

則C(l,0,0),0(0,0,1),尸(0,1,0),

故無(wú)=(1,-1,0),DP=(0,1,-1).

設(shè)平面CPD的法向量為m=(x,y,z).

PCni=0,x—y=0

則即

DPni=0,y—z=Q

取y=l,得x=l,z=1,

得平面CPD的一個(gè)法向量為m=(l,1,1).

易知平面。PD的一個(gè)法向量為“2=(1,0,0),

設(shè)平面OPD與平面CPD的夾角為0,

川cos"—M川〃2廠3，

所以平面OPD與平面CPD夾角的余弦值為坐.

感悟提升翻折問(wèn)題中的解題關(guān)鍵是要結(jié)合圖形弄清翻折前后變與不變的關(guān)系，

尤其是隱含的垂直關(guān)系.一般地翻折后還在同一個(gè)平面上的性質(zhì)不發(fā)生變化，不在

同一平面上的性質(zhì)發(fā)生變化.

訓(xùn)練2(2024.成都診斷)如圖①，在等腰直角三角形A3C中，CD是斜邊A3上的

高，以CD為折痕把△ACD折起，使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)P的位置，且NP3D=60。，E,

F,H分別為P3,BC,PD的中點(diǎn)，G為CT的中點(diǎn)(如圖②).

A

圖①圖②

(1)求證：GH〃平面DEF；

(2)求直線GH與平面P3C所成角的正弦值.

(1)證明連接與ED相交于點(diǎn)”,

連接因?yàn)槿切蜛3C是等腰直角三角形，CD是斜邊A3上的高,

所以AD=D3,即PD=DB,

因?yàn)镹P3D=60。，所以△P3D是等邊三角形，

因?yàn)镋,H分別為PB,PD的中點(diǎn)，

2

所以DE,BH是△P3D的中線，BM=qBH,

因?yàn)榇鯙?c中點(diǎn)，G為CR的中點(diǎn)，

2

所以3尸=鏟6,

所以MF〃GH,

因?yàn)镸Ru平面DEF,GMI平面DEF,

所以GH〃平面DEF.

(2)解因?yàn)镃D±DP,DBCDP=D,DB,DPu平面D3P,

所以CD,平面DBP.

如圖，過(guò)點(diǎn)。作直線垂直平面3DC,

作空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)PD=DB=DC=2,

則C(0,2,0),BQ,0,0),P(l,0,?

A0,當(dāng),G&I，0j,BC=(-2,2,0),

麗=(—1,0,小)，而=[o,|,

設(shè)平面PBC的法向量為〃=(x,y,z),

n?BC=Q,一2x~\-2y=0,

則

「x+小z=0,

n-BP=0,

令x=小,則丁=小，z=l,n=昨,小，1).

設(shè)直線GH與平面PSC所成角為0,

則sin6=|cos〈"，HG)|=、

\n\\HG\

立由

一由X小一7，

故直線GH與平面PBC所成角的正弦值為早.

■課時(shí)分層精練

【A級(jí)基礎(chǔ)鞏固】

1.(2024?廣州調(diào)研)如圖(1),在邊長(zhǎng)為4的正三角形A3C中，E,R分別為邊A3,

AC的中點(diǎn).將△AER沿ER翻折至△4EE得到四棱錐4—ERC3,尸為AC的中

點(diǎn)，如圖(2).

(1)求證：RP〃平面A13E；

(2)若平面AiER，平面EFCB,求直線AiF與平面BFP所成的角的正弦值.

⑴證明如圖，取ALB的中點(diǎn)Q,連接尸。，EQ,

BC

則有PQ〃3C,

且PQ=^BC.

又EF//BC,

且EF=^BC,

所以PQ〃ER,且PQ=EF

則四邊形EFPQ為平行四邊形，則FP//EQ.

又FPC平面ALBE,EQU平面ALBE,

所以叮〃平面AiBE

（2）解如圖，取EF的中點(diǎn)。，3C的中點(diǎn)G,連接4。，0G.

由平面AiEF±平面EFCB,且交線為ER,

AiOu平面AiEF知4。，平面ERC5,

此時(shí)，OAi,OE,0G兩兩垂直，

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，OE,0G,。4所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖的

空間直角坐標(biāo)系，

則4（0,0,?。?尸（一1,0,0）,8（2,小,0）,C（-2,小,0）.

由P為AC的中點(diǎn)，則《一1,坐，坐），

則病=（—1,0,一小）,FB=（3,小,0）,壽=[o,坐，乎）.

設(shè)平面的法向量為"=（x,y,z）,

n-FP=0,y+喙z=0,

則_即J2-2

"彷=0,13x+/y=0.

令x=l,則丁=一/，z=小,

故n=（l,—y/3）.

設(shè)直線ALF與平面所成的角為e,

.?.,?\n-Ai'F\|-1-3|2小

則nilsin8=|cos（AiF,n）|=---------=/-n=n~-

故直線AF與平面所成的角的正弦值為尊]

jr

2.(2024?河南名校聯(lián)考)如圖，在梯形ABCD中，AB//CD,ZABC=^,BC=CD

=2,AD=幣,DELAB,垂足為點(diǎn)E.將沿DE折起，使點(diǎn)A到點(diǎn)P的位

置，＜PELEB,連接P3,PC,點(diǎn)跖N分別為PC,E3的中點(diǎn)，連接CN,ND,

DM,MN.

(1)求證：MN〃平面PED；

(2)求二面角D-MN-C的正弦值.

(1)證明如圖，取的中點(diǎn)Q,連接M。，NQ.

ENBx

TT

因?yàn)锳B〃CD,ZABC=yDE±BE,

所以四邊形BCDE為正方形.

因?yàn)辄c(diǎn)N,Q分別為PC,BE,的中點(diǎn)，

所以MQ〃3C〃ED,NQ//PE.

又DE,PEu平面PED,MQ,NQC平面PED,

所以MQ〃平面PED,NQ〃平面PED.

因?yàn)镸QnNQ=Q,MQ,NQu平面MNQ,

所以平面MNQ〃平面PED.

因?yàn)镸Nu平面MNQ,所以MN〃平面PED.

(2)解由題意知尸E，E3,PELED,DELEB.

因?yàn)锳D=小，DE=BC=2,

所以AE=yjAD2-DE2=1,即PE=1.

以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，EB,ED,EP所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖的空

間直角坐標(biāo)系，

則。(0,2,0),耳1,1,N(l,0,0),C(2,2,0),

則血=(1,-1,3),加=(1,-2,0),

CM=[-1,-1,；),dv=(-l,-2,0).

設(shè)平面DMN的法向量為m=(x,y,z),

mDM=Q,x—y+^z=O,

則_即1

mDN=Q,x-2y=Q.

令x=2,得y=l,z——2,

所以m=(2,1,-2).

設(shè)平面CMN的法向量為n=(xi,yi,zi),

n-CN=O,『XL2”=0,

則即,1—c

[n-CM=O,[—xi一刀+了1=0.

令yi=-1?則％i=2,zi—2,

所以〃=(2,-1,2).

n-in4―1-41

所以cos〈〃，桃〉=麗=而礪=-g，

所以二面角D—MN—C的正弦值為

3.如圖，在四棱錐尸一A3CD中，平面必。，平面A3CD,必，PD,B4=PD,A3，AD,

AB=1,AD=2,AC=CD=y[5.

(1)求證：平面FAB；

(2)求直線PB與平面PCD所成角的正弦值；

(3)在棱以上是否存在點(diǎn)M,使得3"〃平面PCD?若存在，求手的值；若不存

在，說(shuō)明理由.

⑴證明：平面出。，平面ABCD,平面平面ABCD=AD,ABLAD,ABc

平面ABCD,

.?.A3,平面PAD.

'：PDu平面PAD,：.ABLPD.

XPALPD,PA^AB=A,PA,A3u平面

...P。，平面PAB.

(2)解取AD中點(diǎn)。，

連接CO,PO,'：PA=PD,：.POLAD.

又...pOu平面PAD,平面平面ABCD,

平面PAD^平面ABCD=AD,

...P。，平面ABCD.

VABCD,：.PO±CO.

'：AC=CD,：.CO±AD.

以。為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,

易知產(chǎn)(0,0,1),B(l,1,0),

D(0,-1,0),C(2,0,0).

則麗=(1,1,-1),PD=(0,-1,-1),PC=(2,0,-1),CD=(-2,-1,0).

設(shè)〃=(xo,yo,1)為平面PDC的一個(gè)法向量，

n-PD=0,-yo—1=0,

由’_得

〔2xo—1=0,

n-PC=0

解得11'即"=g，—1，1

xo=29'

設(shè)尸5與平面PCD的所成角為9,

n.曲

則〈〃，

sin6=|cosPB~)|=3，

\n\\PB\

???直線PB與平面PCD所成角的正弦值為學(xué).

(3)解假設(shè)存在，設(shè)”是棱以上一點(diǎn)，則存在7?[0,1]使得而=疝\

因此點(diǎn)M(0,1—2,A),BM=(—1,一丸，A).

環(huán)I平面PCD,要使3M〃平面PCD,

當(dāng)且僅當(dāng)前f?n=0,

即(一1?一九—1，1)=0，解得i=不

在棱PA上存在點(diǎn)M,使得〃平面PCD,此時(shí)甥=1

【B級(jí)能力提升】

4.(2024?長(zhǎng)沙模擬)如圖所示，在三棱錐尸一A3C中，底面