第2講導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用專題四

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)板塊三專題突破核心考點(diǎn)[考情考向分析]1.導(dǎo)數(shù)的幾何意義和導(dǎo)數(shù)運(yùn)算是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的基礎(chǔ)，曲線的切線問題是江蘇高考的熱點(diǎn)，要求是B級.2.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值是導(dǎo)數(shù)的核心內(nèi)容，要求是B級.熱點(diǎn)分類突破真題押題精練內(nèi)容索引熱點(diǎn)分類突破例1已知函數(shù)f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R).(1)若函數(shù)f(x)的圖象過原點(diǎn)，且在原點(diǎn)處的切線斜率為－3，求a，b的值；熱點(diǎn)一函數(shù)圖象的切線問題解答解f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2).解得b＝0，a＝－3或a＝1.(2)若曲線y＝f(x)存在兩條垂直于y軸的切線，求a的取值范圍.解答解因?yàn)榍€y＝f(x)存在兩條垂直于y軸的切線，所以關(guān)于x的方程f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以Δ＝4(1－a)2＋12a(a＋2)＞0，即4a2＋4a＋1＞0，解決曲線的切線問題的關(guān)鍵是求切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，先使用曲線上點(diǎn)的橫坐標(biāo)表示切線方程，再考慮該切線與其他條件的關(guān)系.思維升華解析答案跟蹤演練1

(1)(2018·常州期末)已知函數(shù)f(x)＝bx＋ln

x，其中b∈R，若過原點(diǎn)且斜率為k的直線與曲線y＝f(x)相切，則k－b的值為_____.設(shè)過原點(diǎn)且斜率為k的直線與曲線y＝f(x)相切于點(diǎn)(x0，bx0＋ln

x0)，因?yàn)樵撉芯€過原點(diǎn)，所以－(bx0＋ln

x0)＝－(bx0＋1)，解析答案(2)(2018·江蘇泰州中學(xué)月考)若曲線y＝

與曲線y＝aln

x在它們的公共點(diǎn)P(s，t)處具有公共切線，則實(shí)數(shù)a的值為________.1解得a＝1.熱點(diǎn)二利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性解答例2已知函數(shù)f(x)＝2lnx＋bx，直線y＝2x－2與曲線y＝f(x)相切于點(diǎn)P.(1)求點(diǎn)P的坐標(biāo)及b的值；解設(shè)P(x0，y0)為直線y＝2x－2與曲線y＝f(x)的切點(diǎn)坐標(biāo)，則有2lnx0＋bx0＝2x0－2. ①聯(lián)立①②解得b＝0，x0＝1，則切點(diǎn)P(1,0)，b＝0.解答令y＝x2－2x＋a(x＞0).①若Δ＝4－4a≤0，即a≥1時(shí)，y≥0，即h′(x)≥0，此時(shí)函數(shù)h(x)在定義域(0，＋∞)上為增函數(shù)；因?yàn)?<a<1，所以0＜x1＜x2.當(dāng)0<x<x1和x>x2時(shí)，y＞0，即h′(x)>0，h(x)為增函數(shù)；當(dāng)x1<x<x2時(shí)，y＜0，即h′(x)<0，h(x)為減函數(shù).利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的一般步驟(1)確定函數(shù)的定義域.(2)求導(dǎo)函數(shù)f′(x).(3)①若求單調(diào)區(qū)間(或證明單調(diào)性)，只要在函數(shù)定義域內(nèi)解(或證明)不等式f′(x)>0或f′(x)<0.②若已知函數(shù)的單調(diào)性，則轉(zhuǎn)化為不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在單調(diào)區(qū)間上恒成立來求解.思維升華解析答案跟蹤演練2

(1)函數(shù)f(x)＝

－ln

x的單調(diào)減區(qū)間為________.(0,1)解析答案(2)已知函數(shù)h(x)＝ln

x－(a＋e)x在區(qū)間(1，＋∞)上為單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_________________________.(－∞，－e]∪[1－e，＋∞)∴a＋e≤0，解得a≤－e.∴a≥1－e.綜上，當(dāng)h(x)在區(qū)間(1，＋∞)上單調(diào)時(shí)，a的取值范圍為(－∞，－e]∪[1－e，＋∞).熱點(diǎn)三利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值解答當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：x2(2,3)3f′(x)

－0＋

f(x)

1－3ln2

∴f(x)min＝f(2)＝1－3ln2.解答(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上既有極大值又有極小值，求a的取值范圍.由題意可得方程ax2－3x＋2＝0有兩個(gè)不等的正實(shí)根，不妨設(shè)這兩個(gè)根為x1，x2，并令h(x)＝ax2－3x＋2，(1)求函數(shù)f(x)的極值，則先求方程f′(x)＝0的根，再檢查f′(x)在方程根的左右函數(shù)值的符號.(2)若已知極值大小或存在情況，則轉(zhuǎn)化為已知方程f′(x)＝0根的大小或存在情況來求解.(3)求函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上的最值時(shí)，在得到極值的基礎(chǔ)上，結(jié)合區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值f(a)，f(b)與f(x)的各極值進(jìn)行比較得到函數(shù)的最值.思維升華解答跟蹤演練3

(2018·南京模擬)已知函數(shù)f(x)＝2x3－3ax2＋3a－2(a>0)，記f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù).(1)若f(x)的極大值為0，求實(shí)數(shù)a的值；解f′(x)＝6x2－6ax＝6x(x－a)(a>0).令f′(x)＝0，得x＝0或x＝a.當(dāng)x∈(－∞，0)時(shí)，f′(x)＞0，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(0，a)時(shí)，f′(x)＜0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(a，＋∞)時(shí)，f′(x)＞0，f(x)單調(diào)遞增.解答(2)若函數(shù)g(x)＝f(x)＋6x，求g(x)在[0，1]上取到最大值時(shí)x的值.解g(x)＝f(x)＋6x＝2x3－3ax2＋6x＋3a－2(a＞0)，則g′(x)＝6x2－6ax＋6＝6(x2－ax＋1)，x∈[0,1].①當(dāng)0＜a≤2時(shí)，Δ＝36(a2－4)≤0，所以g′(x)≥0恒成立，g(x)在[0,1]上單調(diào)遞增，則g(x)取得最大值時(shí)x的值為1；當(dāng)x∈(0，x0)時(shí)，g′(x)＞0，g(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x∈(x0,1)時(shí)，g′(x)＜0，g(x)單調(diào)遞減，綜上，當(dāng)0＜a≤2時(shí)，g(x)取得最大值時(shí)x的值為1；真題押題精練解答1.(2017·江蘇)已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1(a>0，b∈R)有極值，且導(dǎo)函數(shù)f′(x)的極值點(diǎn)是f(x)的零點(diǎn).(極值點(diǎn)是指函數(shù)取極值時(shí)對應(yīng)的自變量的值)(1)求b關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；解由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1，因?yàn)閒′(x)的極值點(diǎn)是f(x)的零點(diǎn)，因?yàn)閒(x)有極值，故f′(x)＝3x2＋2ax＋b＝0有實(shí)根，所以Δ＝4a2－12b≥0，當(dāng)a＝3時(shí)，f′(x)>0(x≠－1)，故f(x)在R上是增函數(shù)，f(x)沒有極值；當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：x(－∞，x1)x1(x1，x2)x2(x2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)

極大值

極小值

故f(x)的極值點(diǎn)是x1，x2.從而a>3.證明(2)證明：b2>3a；解答(3)若f(x)，f′(x)這兩個(gè)函數(shù)的所有極值之和不小于

，求a的取值范圍.解

由(1)知，f(x)的極值點(diǎn)是x1，x2，記f(x)，f′(x)所有極值之和為h(a)，于是h(a)在(3，＋∞)上單調(diào)遞減.因此a的取值范圍為(3,6].2.已知函數(shù)f(x)＝(x－a)ln

x.(1)當(dāng)a＝1時(shí)，求f(x)的最小值；解答解函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，所以g(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增.又因?yàn)間(1)＝0，所以當(dāng)0<x<1時(shí)，g(x)＝f′(x)<0，因此f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減；當(dāng)x>1時(shí)，g(x)＝f′(x)>0，因此f(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x＝1時(shí)，f(x)的最小值為f(1)＝0.(2)若函數(shù)f(x)不存在極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解答解當(dāng)a≥0時(shí)，g′(x)>0，所以g(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增.g(e－2)＝－1－e2a<0，所以g(x)在(0，＋∞)上恰有一個(gè)零點(diǎn)x0，則在(0，x0)上，g(x)＝f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；在(x0，＋∞)上，f(x)單調(diào)遞增，所以x0是f(x)的極小值點(diǎn)，不合題意.當(dāng)a<0時(shí)，令g′(x)＝0，得x＝－a，所以g(x)在(0，－a)上單調(diào)遞減，在(－a，＋∞)上單調(diào)遞增.①當(dāng)g(－a)＝ln(－a)＋2≥0，即a≤－e－2時(shí)，f′(x)＝g(x)≥g(－a)≥0，則f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，無極值點(diǎn)，滿足題意.②當(dāng)g(－a)＝ln(－a)＋2<0，即－e－2<a<0時(shí)，g(1)＝1－a>0，則g