第1章三角形單元測(cè)試

一、單選題

I.如圖，點(diǎn)。，E,尸分別在VN8C的邊48,BC,G4上（不與頂點(diǎn)重合），設(shè)/比lC=tz,

ZFED=6.若ABED經(jīng)ACFE,則夕，6滿足的關(guān)系是（）

A.a+<9=90°B.。+2。=180°

C.a-0=9O°D.2?+0=180°

2.如圖所示的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都相等，若AMNP^AMFQ,則點(diǎn)?？赡苁菆D

C.點(diǎn)CD.點(diǎn)。

3.下列說(shuō)法不正確的是（）

A.面積相等的兩個(gè)圖形是全等圖形

B.全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等

C.圖形全等，只與形狀、大小有關(guān)，而與它們的位置無(wú)關(guān)

D.如果兩個(gè)圖形全等，那么它們的形狀和大小一定相同

4.如圖，己知RtZ\N3C中，ZC=90°,NN=30。，NC=6,以點(diǎn)8為圓心，3為半徑作。3,

則點(diǎn)C與。8的位置關(guān)系是（）

C

A.點(diǎn)C在03內(nèi)B.點(diǎn)C在。8上C.點(diǎn)C在。3外D.無(wú)法確定

5.如圖，在等腰直角V4BC中，ZC=90°,M、N分別為8C、/C上的點(diǎn)，NCNM=50。,

戶為MV上的點(diǎn)，S.PC=-MN,ZBPC=m°,則NN8P=（）

2

A.221C.25°D.27°

6.如圖，菱形NBC。的面積為24cm2,對(duì)角線AD長(zhǎng)6cm，點(diǎn)。為AD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)/作

交C8的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,連接?！?則線段?！甑拈L(zhǎng)度是（）

A.3cmB.4cmC.4.8cmD.5cm

7.如圖，已知線段N3=30米，射線于點(diǎn)A,射線AD1/B于8,"點(diǎn)從8點(diǎn)向A

運(yùn)動(dòng)，每秒走1米，N點(diǎn)從B點(diǎn)向D運(yùn)動(dòng)，每秒走4米，M、N同時(shí)從B出發(fā)，若射線/C上

有一點(diǎn)P,使得和△M8N全等，則線段"的長(zhǎng)度為（）米.

MB

A.6或60B.60C.24或60D.6

8.如圖，小強(qiáng)利用全等三角形的知識(shí)測(cè)量池塘兩端M、N的距離，如果△PQO也△NMO,

則只需測(cè)出其長(zhǎng)度的線段是()

「Q

A.PQB.MOC.PND.MQ

9.如圖，線段/C與8。相交于點(diǎn)。，且△AS。烏△COO,則下列結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是()

@OB=OD；②AB=CD；③線段48與CD關(guān)于點(diǎn)O成中心對(duì)稱(chēng)；④“3。和A。。關(guān)于

點(diǎn)。成中心對(duì)稱(chēng).

A.4B.3C.2D.1

10.如圖，D,￡是V48c中NC,BC上的點(diǎn)，“DB知EDB,ABDE^CDE,則下列

結(jié)論：?AD=DE,②BC=2AB,③Nl=/2=/3,④N4=N5,其中正確的有()

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

二、填空題

11.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知4(5,10),3(3,-4),C為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)P是線段

0/上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接OBQC,PB,PC,當(dāng)"的值為時(shí)，將ABC尸沿邊PC所

在直線翻折后得到的AMCP與重疊部分的面積為A48尸面積的;.

12.如圖，△/2C為0。的內(nèi)接等邊三角形，BC=12,點(diǎn)、D為前上一動(dòng)點(diǎn),BELOD于E,

當(dāng)點(diǎn)D由點(diǎn)B沿前運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，線段/￡的最大值是—.

13.如圖，正方形/BCD的頂點(diǎn)C,。均在雙曲線y=—在第一象限的分支上，頂點(diǎn)/,B

x

分別在x軸、y軸上，則此正方形的邊長(zhǎng)為.

14.如圖是屋架設(shè)計(jì)圖的一部分，點(diǎn)。是的中點(diǎn)，DE1AC,AB=7.2cm,乙4=30。,

則DE=.

15.如圖，已知尸是44BC平分線BD上一點(diǎn)，PELBC,PFLBA,垂足分別是￡、F,

16.如圖，在菱形4BC。中，BELCD于點(diǎn)、E,。尸，3c于點(diǎn)足

(1)求證：BF=DE；

⑵分別延長(zhǎng)BE和40相交于點(diǎn)G,若乙4=45。,48=1,求DG的值.

17.如圖，已知N/=N5,AE=BE,點(diǎn)。在/C邊上，Zl=Z2,NE和相交于點(diǎn)。.

(1)求證：AAEC會(huì)ABED；

(2)若ZAEC=85°,ZAED=30°,求N4D2的度數(shù).

18.如圖，已知點(diǎn)/、￡、氏C在同一直線上，AE=CF,AD/!BC,ZB=ZD.求證：AD=BC.

19.已知關(guān)于x的一元二次方程--(3斤+l)x+2/+2左=0.

(1)求證：無(wú)論后取任何實(shí)數(shù)值，方程總有實(shí)數(shù)根；

(2)若等腰VABC的一邊長(zhǎng)為6,另兩邊長(zhǎng)恰好是這個(gè)方程的兩個(gè)根，求VN5C的周長(zhǎng).

20.如圖，在△N3C和中，點(diǎn)8,E,C,歹在同一直線上，請(qǐng)你在下列4個(gè)條件(①

-④)中選3個(gè)條件作為條件作為題設(shè)，余下的1個(gè)做為結(jié)論，寫(xiě)出一個(gè)真命題，并證明.

?AB=DE,②AC=DF,③/ABC=/DEF,?BE=CF.

題設(shè)：;結(jié)論：.(填序號(hào))

《第1章三角形單元測(cè)試》參考答案

題號(hào)12345678910

答案BDACABAAAA

1.B

【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得N2=NC,/BED=/EFC,再利用三角形內(nèi)角和定理

可得出等量關(guān)系。=180：一",化簡(jiǎn)即可.

2

［詳解】解：ABED9/\CFE,

:?/B=/C,NBED=/EFC,

VABAC=a,/FED=6,在△/BC中，N4+N5+NO180。,

iono_a

:.NB=NC=-----------,ABED+9+ZFEC=\^°,

2

NEFC+6+NFEC=180°,

"?在/\EFC中，NEFC+ZC+ZFEC=180°,

180°-a

夕=",即6=

-2

.?"+29=180°.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理和全等三角形的性質(zhì).熟練掌握定理，能結(jié)合圖形完成

角度之間的轉(zhuǎn)化是解題關(guān)鍵.

2.D

【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)全等三角形的對(duì)應(yīng)點(diǎn).

【詳解】解：跖V尸會(huì)AMFQ，

，因點(diǎn)M、尸在3x3方格正方形的兩個(gè)對(duì)角頂點(diǎn)上，故點(diǎn)M、。也應(yīng)在3x3方格正方形的兩

個(gè)對(duì)角頂點(diǎn)上.所以點(diǎn)0是圖中點(diǎn)。的位置，如下圖：

故選：D.

3.A

【分析】根據(jù)全等圖形的判定以及性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)解決此題.

【詳解】解：A.面積相等的兩個(gè)圖形不一定是全等圖形，故A符合題意.

B.全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等，說(shuō)法正確，故B不符合題意.

C.圖形全等，只與形狀、大小有關(guān)，而與它們的位置無(wú)關(guān)，說(shuō)法正確，故C不符合題意.

D.如果兩個(gè)圖形全等，那么它們的形狀和大小一定相同，說(shuō)法正確，故D不符合題意.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查全等圖形的判定以及性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等圖形的

判定以及性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.

4.C

【分析】欲求點(diǎn)C與。2的位置關(guān)系，關(guān)鍵是求出3C,再與半徑3進(jìn)行比較.若則

點(diǎn)在圓內(nèi)；若1=.，則點(diǎn)在圓上；若d>r,則點(diǎn)在圓外.

【詳解】解：?.?在中，ZC=90°,ZA=30°,

AB=2BC,

有勾股定理得：

112

AB--BCAC,即（2咐°-況'2=6,

解得：BC=243,

:以點(diǎn)8為圓心，3為半徑作。3,

...點(diǎn)C在。8外.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，含30°角的直角三角形，勾股定理，熟練掌握

直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判定是解題的關(guān)

鍵.

5.A

【分析】作輔助線，構(gòu)建矩形，得尸是的中點(diǎn)，則兒。=NP=CP,根據(jù)等腰三角形的

性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)可解答.

【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)"作MGJ_B。于跖過(guò)點(diǎn)N作NGL4C于N,連接CG交于

H,

B

：.ZGMC=/ACB=ZCNG=90°,

.,?四邊形CA/GN是矩形，

：.CH=^CG=^MN,

:PC*MN,

存在兩種情況：

如圖，CP=CPI/MN,

①尸是MV中點(diǎn)時(shí)，

:.MP=NP=CP,

：.ZCNM=ZPCN=50°,ZPMN=ZPCM=90O-50o=40°,

ZCPM=180°-40°-40°=100°,

???△45。是等腰直角三角形，

???N/5C=45。，

?：/CPB=1T7。,

：.ZBPM=117°-100°=17°,

ZPMC=ZPBM+/BPM,

：.N尸5M=40。—17。=23。，

???N/50=45?！?3。=22。.

②CP尸*MN,

：.CP=CP1,

：.NCPP尸NCP1P=8O。,

,/NBPiC=117。,

：.ZBPiM=117°-80°=37。,

：./MBPi=400—370=3。,

而圖中所以此種情況不符合題意.

故選：A.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)等

知識(shí)，作出輔助線構(gòu)建矩形CNGN證明P是上W的中點(diǎn)是解本題的關(guān)鍵.

6.B

【分析】由菱形的性質(zhì)得出3O=6cm,由菱形的面積得出/C=8cm,再由直角三角形斜邊

上的中線等于斜邊的一半即可得出結(jié)果.

【詳解】解：???四邊形/BCD是菱形，

：.BD±AC,

'：BD=6cm,S?ABCD=24cm2,

.".AC=Scm,

'CAELBC,

ZAEC=90°,

.,.OE=^-AC=4cm,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)；熟練掌握菱形的性質(zhì)

是解題的關(guān)鍵.

7.A

【分析】本題主要考查圖形的運(yùn)動(dòng)（一元一次方程與行程問(wèn)題），三角形全等的判定和性質(zhì)，

分類(lèi)討論，當(dāng)也時(shí)；當(dāng)2aaw時(shí)；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)列式求

解即可，掌握?qǐng)D形運(yùn)動(dòng)中線段的數(shù)量關(guān)系，全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：點(diǎn)M每秒走1米，點(diǎn)N每秒走4米，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x,

；.BM=x,BN=4x,則=—8M=30—x,

第一種情況，當(dāng)zX/M5=時(shí)，AM=BN,即30-x=4x,

解得：x=6,

：.AP=BM=6（米），

第二種情況，當(dāng)時(shí)，AM=BM=-AB=\5^z,

2

此時(shí)所用時(shí)間為15秒，^=5^=15x4=60（米）；

綜上所述，線段月產(chǎn)的長(zhǎng)度為：6或60,

故選：A.

8.A

【分析】本題考查了全等三角形的應(yīng)用.利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可知要想求得"N的長(zhǎng),

只需求得其對(duì)應(yīng)邊尸。的長(zhǎng)，據(jù)此可以得到答案.

【詳解】解：：△尸QO會(huì)△TWO,

/.PQ=MN,

則只需測(cè)出其長(zhǎng)度的線段是尸。，

故選：A.

9.A

【分析】本題考查成中心對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)

鍵.

【詳解】解：???△A3。絲△CDO,線段/C與8。相交于點(diǎn)。，

OB=OD,AB=CD,線段與CD關(guān)于點(diǎn)。成中心對(duì)稱(chēng)，A43。和ACDO關(guān)于點(diǎn)。成

中心對(duì)稱(chēng)，

故選：A.

10.A

【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的對(duì)應(yīng)角、對(duì)應(yīng)

邊相等.根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，對(duì)每一項(xiàng)分別分析、解答出即可.

【詳解】解：???AADB%EDB,

AD=DE,AB=BE,Z1=Z2,Z4=Z5,

故①④正確；

ABDEACDE,

BE=CE,/2=/3,

A/I=N2=/3,AB=BE=CE,

BC=BE+CE=AB+AB=2AB,

故②③正確；

綜上，正確的有①②③④，共4個(gè)，

故選：A.

11.50

【分析】根據(jù)題意作出圖形，根據(jù)AMC尸與尸重疊部分的面積為面積的;，得出

。為NC,尸》的中點(diǎn)，可得四邊形ZPCW為平行四邊形，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得

BC=B'C=-AC,即可求解.

2

【詳解】解：???/(5,10),8(3,-4),

AB=^(5-3)2+(10+4)2=j96+4=1Q6,

如圖，作B關(guān)于PC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)"，連接B'C,取NC的中點(diǎn)。，

一S4PBe=S&APC=3'AABP'

叢PDC為AMCP與△4CP重疊部分，

-C_XV_XQ

??3PDC_2"PC-彳^AABP，

??■AMCP與△，（?尸重疊部分的面積為A/AP面積的;，

.,■PB'過(guò)點(diǎn)D,

???對(duì)稱(chēng)，

-?3VPBe-—。VWC，

■■AMC尸與△ZC尸重疊部分的面積為A/AP面積的;，

-C—C_C—J_Q

..°ADCB，一°APB，C口APDC-2APB，C，

PD=DBr,

-：AD=DC,

.??四邊形APCBr為平行四邊形，

/.AP=B'C,

??.對(duì)稱(chēng),

:.CB=CB',

：.AP=BC=LAB=5G.

2

故答案為：5VL

【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，勾股定理，平行四邊形的性質(zhì)與判定，三角形中線的性質(zhì),

證明四邊形APCB'為平行四邊形是解題的關(guān)鍵.

12.2V21+2V3/2V3+2V21

【分析】連接30,取30中點(diǎn)M,連接建，求得點(diǎn)E在以“為圓心，以goB

為半徑的圓上，求得當(dāng)4M、E共線且點(diǎn)E在的延長(zhǎng)線上時(shí)，4E最大,求解即可.

【詳解】解：連接80,取80中點(diǎn)M,連接如下圖：

B

,/BEA.OD,M為3。中點(diǎn)

:.ME=LOB

2

...點(diǎn)E在以M為圓心，以為半徑的圓上

.?.當(dāng)4M、￡共線且點(diǎn)E在的延長(zhǎng)線上時(shí)，/￡最大

延長(zhǎng)3。交/C于點(diǎn)X,如上圖：

,/AABC為。。的內(nèi)接等邊三角形

，垂直平分NC,NC=3C=12

AH=CH=-AC=6

2

BH=673,OB=^BH=4y/3

：.OM=g()B=26MH=46

AM=y)AH2+MH2=2A/21

/E的最大值為2亞+26

故答案為：2收+26

【點(diǎn)睛】此題考查了圓與內(nèi)接正三角形的性質(zhì)，涉及了直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，三角

形外心的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，利用性質(zhì)確定出點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡.

13.歷

【分析】過(guò)。作?！阓Lx軸于￡,過(guò)C作CR_Ly軸于尸，設(shè)/(a,0),B(0,b)；由正方

形的性質(zhì)可得△/2。gAABO沿ABCE,從而可得。(a+6,a)、C(b,a+b)兩點(diǎn)

坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)在雙曲線y=W上，代入可得a=6;由。（2a,a）代入/求得/即可

XX

解答;

【詳解】解：如圖，過(guò)。作?！?，工軸于E,過(guò)。作?軸于R

NBAD=NABC=90。,

9：ZBAO+ZDAF=90°,ZBAO+ZABO=90°,

：.ZABO=ZDAFf

U：AB=DA,ZAOB=ZDFA=90°,

:?△ABOQ^DAF(AAS),：.OA=DF=a,OB=FA=b,

:?D點(diǎn)坐標(biāo)(Q+6,a).

同理可得(AAS),；?OA=BE=a,OB=EC=b,

1?C點(diǎn)坐標(biāo)(b,a+b),

VC＞。兩點(diǎn)在雙曲線y=?上,

X

:?b(q+b)=10,a(a+b)=10,

:?b(〃+b)=a(a+b),b=a,

：.AABO是等腰直角三角形,

將。（2a,Q）代入＞=得：屋=5,

x

:.AB?O^+OB?=V10，

故答案為：Vio；

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，反比例函數(shù)解析式，勾股定

理等知識(shí)；綜合性強(qiáng)，正確作出輔助線是解題關(guān)鍵.

14.1.8cm

【分析】本題考查了直角三角形30。的角所對(duì)的邊等于斜邊的一半.先根據(jù)點(diǎn)。是的中

點(diǎn)，N8=7.2cm,求出4D==3.6cm,再根據(jù)直角三角形30。的角所對(duì)的邊等于斜邊

2

的一半求出?！?L4。=1.8cm.

2

【詳解】解：??,點(diǎn)。是45的中點(diǎn)，4B=7.2cm,

AD=—AB=3.6cm,

2

,?DE1AC,

：.ZAED=90°,

???//=30。，

DE=—AD=1.8cm.

2

故答案為：1.8cm.

15.3

【分析】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，根據(jù)角平分線上任意一點(diǎn)到角的兩邊距離相等即可

求解.

【詳解】解：?.?尸是/45C平分線AD上一點(diǎn)，PE1BC,PFVBA,

；.PE=PF=3,

故答案為：3.

16.（1）見(jiàn)解析

⑵V2—1

【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)可知DC=BC,再根據(jù)/AET=歹。=90。，ZC=ZC,可證

得ABEC咨ADFC,則有EC=用,問(wèn)題得解；

（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)以及/4=45。可證得是等腰直角三角形，即可求解.

【詳解】（1）證明：???四邊形是菱形，

：.CB=CD,

?：BE_LCD于點(diǎn)、E,DF上BC于點(diǎn)F,

：.ZBEC=ZDFC=90°,

?:/BEC=/DFC,ZC=ZC,BC=CD,

：.ABEgADFC,

工EC=FC,

：.BF=BC-CF=CD-EC=DE；

即3b=r>￡；

(2)解：?.?四邊形/8C。是菱形，

AB\\CD,AD=AB=\,

：.4ABG=NBEC=90°,

?：ZA=45°,

：./G=/A=45°,

AB=BG=1,

:4BG是等腰直角三角形，

4G=0，

DG^AG-AD=42-1.

【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)，證明△BEC也△。bC是解答本

題的關(guān)鍵.

17.(1)見(jiàn)解析

(2)55°

【分析】(1)根據(jù)全等三角形的判定即可判斷。EC=ABED；

(2)根據(jù)乙4EC=85°,ZAED=30°,求出4=55。，根據(jù)/I=/2,=N2,即可求

出ZADB.

【詳解】(1)解：證明：和AD相交于點(diǎn)O,

AAOD=ABOE.

在A4OD和ASOE中，NA=NB,

ZBEO=Z2.

又Zl=Z2,

Nl=NBEO,

NAEC=ABED.

在\AEC和NBED中，

Z=NB

<AE=BE,

AAEC=ABED

:.\AEC=\BED(ASA}■

(2)解：AAEC=85°,ZAED=30°,

N1=ZAEC-ZAED=85°-30°=55°,

4=N2,NADB=N2,

ZADB=Z1=55°.

【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)與判

定.

18.見(jiàn)解析

【分析】根據(jù)已知條件證明4F=CE,=進(jìn)而根據(jù)AAS證明根

據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得證.

【詳解】證明：=

AE+EF=CF+EF,

：.AF=CE,

'：ADUBC,

：.N4=NC,

在/和△CBE中，

ZD=ZB,

<N/=ZC,

AF=CE