單元檢測(cè)卷（四）三角函數(shù)、解三角形

（分值：150分）

一'選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,

只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

3

1.[2025?邯鄲模擬]已知tana=z，a為第一象限角，貝Usina的值為（）

34

AA.5B.g

2.[2024.北京順義區(qū)三模]已知函數(shù)於）=（：052^—51若，貝U（）

A<x）為偶函數(shù)且周期為4兀

B於）為奇函數(shù)且在（一彳，金）上有最小值

C人x）為偶函數(shù)且在（0,號(hào)上單調(diào)遞減

D段）為奇函數(shù)且與0）為一個(gè)對(duì)稱中心

3.[2025?九江模擬]在△ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知2c一

a=2bcosA,則5=（）

A兀C兀

A-6B3

喑D嘏

3o

4.[2024?青島三模]為了得到尸sin2x+cos2x的圖象，只要把y=gos2x的圖

象上所有的點(diǎn)（）

A.向右平行移動(dòng)I個(gè)單位長(zhǎng)度

B.向左平行移動(dòng)I個(gè)單位長(zhǎng)度

C.向右平行移動(dòng)I個(gè)單位長(zhǎng)度

JI

D.向左平行移動(dòng)y個(gè)單位長(zhǎng)度

兀4

5.［2025?南通模擬］已矢口0＜少＜4＜5，sin（a一份=g,tana—tan^=2,則sinasin夕=

（）

11

A-2B5

C?D0

2

6.［2025?泉州模擬］數(shù)學(xué)家泰勒給出如下公式：

3V5丫7~丫4丫6

sinx=x—Z7-+Ff——T；-?—，cosx=I——，

這些公式被編入計(jì)算工具，計(jì)算工具計(jì)算足夠多的項(xiàng)就可以確保顯示值的精確性.

若根據(jù)以上公式估算sin$一0.1）的值，則以下數(shù)值中最精確的是（）

A.0.952B.0.994

C.0.995D.0.996

7.［2025?濟(jì)寧模擬］已知函數(shù)八%）=0\/5$出入+＜：00%）（:（九］—5，若?x）在區(qū)間一不m

上的值域?yàn)橐话?，I,則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是（）

匹匹

6,2_

兀7兀

6912_

8.［2025?咸陽(yáng)模擬］為了進(jìn)一步提升城市形象，滿足群眾就近健身和休閑的需求，

2024年某市政府在市區(qū)多地規(guī)劃建設(shè)了“口袋公園”.如圖，在扇形“口袋公

園"OPQ中，準(zhǔn)備修一條三角形健身步道OAB,已知扇形的半徑OP=3,圓心

7T

角NPOQ=g,A是扇形弧上的動(dòng)點(diǎn)，3是半徑。。上的動(dòng)點(diǎn)，AB//OP,則△043

面積的最大值為（）

Q

B/-~

OP

A」B

a.40.43

C砥D3

J55

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，

有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.［2025?邵陽(yáng)模擬］下列說(shuō)法正確的有()

A.若角a的終邊過(guò)點(diǎn)P/曰)，則角a的集合是［aa=W+2far,左

B.若cos(a+5)=］,則sin(a+T='|

C.若tana=2,則sin2a+sinacosa=,

D.若扇形的周長(zhǎng)為8cm,圓心角為2rad,則此扇形的半徑是4cm

10.［2024?衡陽(yáng)模擬］在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知(a+

0)：3+c)：(c+a)=5：6：7,則下列結(jié)論正確的是()

A.sinA：sinB：sinC=2：3：4

B.△ABC為鈍角三角形

C.若。=6,則△ABC的面積是6代

D.若△ABC外接圓半徑為R,內(nèi)切圓半徑為「，則/=學(xué)

JT

11J2025?金華模擬］已知函數(shù)?x)=sin2s:cos°+cos2Gxsin磯①>0,0<9</)的部分

圖象如圖所示，貝1()

B.69=2

小十1為偶函數(shù)

兀］

Dm)在區(qū)間［o,］］的最小值為一］

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

JTJT

12.[2024.海淀區(qū)模擬]若點(diǎn)P(cos6,sin⑨與點(diǎn)Q(cos@+1),sin(e+]))關(guān)于V軸對(duì)

稱，寫出一個(gè)符合題意的。=..

13.[2025?西安模擬]在100m高的樓頂A處，測(cè)得正西方向地面上3,C兩點(diǎn)(3,

C與樓底在同一水平面上)的俯角分別是75。和15°,則3,C兩點(diǎn)之間的距離為

14.[2025?重慶模擬]若1<°則關(guān)于x的方程sin的解的個(gè)數(shù)是.

四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步

驟.

15.(13分)[2025?北京西城區(qū)模擬]已知函數(shù)?￥)=sin2x+2sinxcos%—cos2%.

(1)求兀0的最小正周期；

(2)從條件①，條件②，條件③中選擇一個(gè)作為已知條件，求機(jī)的取值范圍.

◎>)在(0,加)上恰有兩個(gè)極值點(diǎn)；

在(0,m)上單調(diào)遞減；

③Ax)在(0,m)上恰好有兩個(gè)零點(diǎn).

注：如果選擇的條件不符合要求，得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解

答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

16.(15分)[2025?滄州模擬]在△ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知

q2=c(c+0).

(1)求證：B+3C=兀;

(2)若NA3C的角平分線交AC于點(diǎn)。，且。=12,b=7,求3。的長(zhǎng).

—71

17.(15分)[2025?濟(jì)寧模擬]已知函數(shù)Hx)=cos4x—sin%+sin(2x—不).

⑴求函數(shù)火X)在[o,全7T上的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)將函數(shù)%)的圖象向左平移9(0<9<3個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)g(x)的圖象，若

函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)百0)成中心對(duì)稱，在卜會(huì)/上的值域?yàn)椴?；?],求a

的取值范圍.

18.(17分)[2024?莆田三模]在△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且

Z?(cosC+l)=c(2—cosB).

(1)證明：a+b=2c.

9_

(2)若〃=6,cosC=求5c的面積.

19.（17分）［2025?石家莊模擬］若AABC內(nèi)一點(diǎn)P滿足/出3=NP3C=NPC4=6,

則稱點(diǎn)P為AABC的布洛卡點(diǎn)，e為AABC的布洛卡角.如圖，已知AABC中，

BC=a,AC=b,A3=c，點(diǎn)P為△ABC的布洛卡點(diǎn)，。為△ABC的布洛卡角.

PR

(1)若b=c,且滿足瓦=小，求NA3C的大小.

(2)若△ABC為銳角三角形.

①證明:tan6>=tanZBAC+tanZABC+tanZACB,

②若P3平分NA3C,證明：b2=ac.

參考答案

3cin/73

［因?yàn)?，所以工工?不又因?yàn)?/p>

1.Atana=z?wL/oCXisi/a+cos2a=1,

16Q

所以sin2a+~^-sin2?=1,sin2a=石.因?yàn)閍為第一象限角，

3

所以sinQ=g.故選A.]

2.C[因?yàn)殪叮簅s21-sin^iosx,所以函數(shù)加）為偶函數(shù)且周期為2兀，在（0,

7T

會(huì)上單調(diào)遞減，所以ABD選項(xiàng)錯(cuò)誤，C選項(xiàng)正確.故選C.]

3.B[因?yàn)?c—〃=2Z?cosA,由正弦定理，2sinC-sinA=2sinBcosA,

VA+B+C=7i,.*.2sin（A+B）—2sinBcosA=sinA,整理得2sinAcosB=sinA.Vsin

1jr

A>0,/.cosB=29又Be（0,兀），.故選B.]

4.A[y=sin2%+cos2x=^/2sin（2x+4）,

由誘導(dǎo)公式可知：y=^/2cos2x=d^sin（2x+g=q^sin[2（x+A）],

又尸地sin（2x+；）=M^sin2（x+1）,

則卜壯器即只需把圖象向右平移/單位.故選A.]

4ooo

5.B[因?yàn)?<￡<Q苣，所以0<。一夕因?yàn)閟in（?—^）=1,

所以COS（Q一夕）=qi—sin2（。一2）=不

因?yàn)?=tana—ta"=-￡=

sinccos/—sin/cosasin（。一/）

cosacos0cosacos夕'

所以cosacos

、23

因?yàn)閏os（a—^）=cosacos￡+sinasin￡=§+sinasin

則sinasin6二點(diǎn).故選B.]

246

IT0I0I0I

6.C[由題意可得：sin（^—0.1）=cos0.1=1——H——0.995.故選C.]

乙N14?O?

7.D［依題意，函數(shù)人x)=M§sinxcosx+cos2x—jsin2x+^cos2x=sin(2x+^),

當(dāng)%￡―/,m時(shí)，2x+,￡一$2冽+1,

顯然sin(—5)=sin與=一坐，sin^=1,

J?4n~\r7i

且正弦函數(shù)y=sinx在］,可上單調(diào)遞減，由?r)在區(qū)間一不m上的值域?yàn)?/p>

Y11

得依2機(jī)+白冬，解得太依圣所以實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是圖.故選D」

Zo3o12

7T9JT

8.A［設(shè)/尸。4=仇。?(0,W),由A3〃0P,得NO43=。，ZOBA=y,

在△043中，由正弦定理得黑=號(hào);=2小，即。3=25sin。，

smT

則△043的面積S=^OBOAsmZAOB=3yf3sin0sin(^-0)

-

gn-A巫a1?小Q6巫■“11cos20

=3y3sm0(cos夕—］sm0)=3^3(sin2夕一了-------)

="^sin(20+親)一：，顯然28+狂借,第，因此當(dāng)20+聿=與，即9=聿時(shí)，Smax

3^3

一4，

所以△OAB面積的最大值為可.故選A.］

9.ABC［因?yàn)榻莂的終邊過(guò)點(diǎn)P(1,坐)，為第一象限角，

所以由三角函數(shù)的定義知tana=小，所以角a的終邊與全終邊相同，

所以角a的集合是，a=^+2kn,左?，，故A選項(xiàng)正確；

QjTTT7T7T3

因?yàn)閟in(a+w)=sin(a+d+］)=cos(a+d)=5，所以B選項(xiàng)正確；

sin2?+sinacosatan2?+tana4+26

因?yàn)閟in9-a+sinacosa=si/a+cos2a=tada+1=E=予所以。選項(xiàng)正

確；

設(shè)扇形的半徑為廣，圓心角為a,因?yàn)樯刃嗡鶎?duì)的弧長(zhǎng)為/=ar=2r,

所以扇形周長(zhǎng)為/+2r=2r+2r=4廠=8,故廠=2001,所以口選項(xiàng)不正確.故選人8。

10.BD［設(shè)a+Z?=5f,b+c=6t,c+a=lt,

則a=37,b=，Lt,c=47.

對(duì)于A,sinA：sinB：sinC=3：2：4,故A不正確；

對(duì)于B,c最大，所以C最大，

1

2

cr+tr—c-<o

又cosC=2ab4

所以C為鈍角，故B正確；

對(duì)于C,若a=6,則/=2,b=4,c=8,

所以cosC=-；0sinC=^^,

所以△ABC的面積是S=；absinC=3x6X4X乎=3灰，故C不正確；

對(duì)于D,由正弦定理得外接圓半徑

___c_____8^__8^/15

A=2sin。=赤=15"

△ABC的周長(zhǎng)/=%，S=%加inC=邛%2,所以內(nèi)切圓半徑為r=乎=/%,所

以，=與，故D正確.故選BD.］

11.ACD［由題意得於)=sin(20x+0)，由圖象可得/(0)=T=>sin0=；,

又0<話,所以9=聿,由五點(diǎn)法可得0X普+聿=當(dāng)=>?=1,所以於)=sin(2x+*；

A.由以上解析可得9=去故A正確；

B.由以上解析可得①=1,故B錯(cuò)誤；

C.y（x+^）=sin2（x+聿）+g=cos2x,故C正確;

,,n,?！肛?兀］,，?！?-

D.當(dāng)0,-y=>2x+^e不方時(shí)，sin（2x+g）e-1,1

所以最小值為一看故D正確.故選ACD.]

TT.TT

12q(答案不唯一)[因?yàn)辄c(diǎn)P(cos0,sin0)與點(diǎn)、Q(cos(6>+2),

JT

sin(8+w))關(guān)于y軸對(duì)稱，則

<兀

cos(。+§)=—cos0,

<一

7T

sin(。+§)=sin3,

兀

由COS(e+w)=—COS0,

可得cos0cossinOsin三=—cos仇

貝嶺cos9=^sin9,所以tan。=5；

jr

由sin(e+g)=sin6,可得

sin0cos力+cosOsin^=sind,

貝I坐cos9=gsin所以tan8=小,

jrjr

因此夕=W+碗，左?z,取e=,（答案不唯一）]

Im±100100tan75°—tan15°

13.20即m[由足思8C=tan15°—tan75°=100Xtanl5°tan75°

tan60°(1+tan150tan75°)

100X

tan15°tan75°

工……sin15。sin75。sin15。cos15。.

血一一

tan15tan75cos15cos75—cosi1c5o*—sin151,

所以BC=100X2^3=200V3(m).]

2冗

14.3[由y=sincox,知sincox^[—L1],T=—,因?yàn)?<①W2TI,所以1W2TI,

在同一坐標(biāo)系下分別畫出j=sincox和y=x的圖象,

由圖象可得y=sincox和y=x共有3個(gè)交點(diǎn)，即方程sincox=x有3個(gè)根.]

15.解(1)因?yàn)镴(x)=sin2x+2sinxcos%—cos2x

=2sinxcos%—(cos2%—sin2x)=sin2x—cos2x=啦sin(2%—￡),

2冗

所以五X)的最小正周期為^=71.

717r71

(2)因?yàn)閤G(0,m),所以2%—4?(—4，2m—4).

選擇①，因?yàn)槲鍃)在(0,⑺上恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，

所以:<2加一：W苧，

所以是〈機(jī)W半，

OO

故機(jī)的取值范圍是([7黃兀，11兀

若選擇②，因?yàn)楫?dāng)2x—方(—￡,芻時(shí)，函數(shù)於)單調(diào)遞增，

所以人x)在(0,⑺上不可能單調(diào)遞減，所以②不符合題意；

選擇③，因?yàn)?￥)在(0,冽)上恰好有兩個(gè)零點(diǎn)，所以兀<2加一：或2兀，所以系學(xué).

故機(jī)的取值范圍是(氤，|TT].

16.(1)證明在△ABC中，由余弦定理a2=c2+〃-2cbcosA及a2=c(c+0),

得廿一2cZ?cosA=6c,SPb—2ccosA=c,由正弦定理，得sinB—2sinCeosA=sin

C,

即sinC=sin(C+A)-2sinCeosA=sinAcosC—cosAsinC=sin(A—Q,

由0<C<m得sin(A-Q=sinC>0,則0<A-C<A<TI,

因此C=A—C,即A=2C,則2。+3+。=兀，所以3+3C=兀.

(2)解由a2=c(c+b),得122=C(C+7),由c>0,得c=9.

/曰ABsinNADBsinNBDCBC

在△A5D,△BCD中，由正弦定理,^AD=sinZABD=sinZCBD=CD9

9I?

則通二廠而，解得AD=3,從而DC=4,又COSNAD3+COSNCD3=0,

222222

3+BD—94+BD—12r-

由余弦定理，得2所+…m=0，解得3。=4#,

ZAZA4￡)￡7

所以BD的長(zhǎng)為4冊(cè).

JT

17.解(1)/(x)=cos與—sin4x+sin(2x—%)

=^cos2%+坐sin2x=sin(2x+壽.

因?yàn)闊o(wú)￡［0,721j5

所北2以c2—?臚?！覆肛?，句7兀，

所以當(dāng)2x+|e,

JT

即正［0,'時(shí),函數(shù)/)單調(diào)遞增，

所以函數(shù)Hx)在［0,分7T上的單調(diào)遞增區(qū)間為［0,7gT

(2)由題意可知，g(x)=sin(2x+20+3，

7T

因?yàn)楹瘮?shù)g(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)q,0)成中心對(duì)稱,

7T7T

所以2X5+29+d=^,左?Z,

解得夕=一相+冬,左?Z.

7T7T

因?yàn)?<9<不所以左=1，9=五，

JT

所以g(%)=sin(2]+]).

當(dāng)-無(wú)￡「一兀不a1時(shí)1，

cI兀兀CI兀

—%,2Q十§.

兀1

因?yàn)間(x)在一不a上的值域?yàn)橐涣猓?，

所避W2a+gw,，

解得

TTSjT

所以a的取值范圍為信，巷.

18.(1)證明根據(jù)正弦定理知Z?(cosC+l)=c(2—cosB)^>sinBcosC+sinB=2sin

C-sinCeosB,

整理得sinBcosC+sinCeos5+sinB=2sinC=>sin(B+C)+sinB=2sinC,

因?yàn)?+8+。=兀，所以sinA=sin(B+Q^>sinA+sinB=2sinC,

由正弦定理可得a+6=2c

(2)解因?yàn)閏os。=4，所以sinC=y/1—cos2C=^^,

27

由余弦定理可得c2=a2+b2-2abcosC,即c2=36+b2—~^b,

貝14c2=144+4〃一27乩因?yàn)閍=6,所以6+b=2c,所以36+12。+〃=4c2,

貝1144+4〃一276=36+126+〃，即/―13b+36=0,解得6=4或人=9,

當(dāng)6=4時(shí)，a=6,此時(shí)5c的面積S=J〃bsinC=J><4X6X斗g="盧；

22lo4

當(dāng)6=9時(shí)，a=6,此時(shí)△ABC的面積S=[absinC=J><6X9X4

22lolo

綜上ZVLBC的面積為今后或當(dāng)聲.

4lo

19.⑴解若b=c,KPAB=AC,^ZABC=ZACB,點(diǎn)P滿足/出3=NP3C=

ZPCA=0,則NPCB=NP84,在△PC3和△PA4中，ZPCB=ZPBA,ZPAB

=ZPBC=0,

所以△PC3與△PB4相似，且普=小，所以普=?=小，即a=#c,

Lr\.r\.JDC

“2+/一》2

由余弦定理得：cosZABC=--------,且a=45c,b=c,

得cos/ABC=、'乙,彳，且0<B（兀，所以NA3C=*

（2）證明①在△ABC內(nèi)，應(yīng)用余弦定理以及三角形的面積公式得:

]_____COSNBAC_加+理―42_62+02一〃2

tanZBACsinZBAC2bcsinXBAC4SAABC'

]_____COSNABC_4+寸一,2_q2+c2-b2

tanNABCsinNABClacsmXABC4S^ABC'

]_____cosNACB_〃2+,2_.2_〃2+/一。2

tanZACBsinXACB2absinXACB4S^ABC'

]]]___?+1+—

三式相加可得:①