第01講導(dǎo)數(shù)的概念及其意義、導(dǎo)數(shù)的運算

目錄

01考情解碼?命題預(yù)警..........................................................1

02體系構(gòu)建?思維可視............................................................3

03核心突破?靶向攻堅............................................................3

知能解碼....................................................................3

知識點1平均變化率.....................................................3

知識點2導(dǎo)數(shù)的概念....................................................4

知識點3導(dǎo)數(shù)的幾何意義.................................................4

知識點4基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式.........................................5

知識點5導(dǎo)數(shù)的運算法則.................................................5

知識點6曲線的切線問題.................................................6

題型破譯....................................................................6

題型1導(dǎo)數(shù)的概念.......................................................6

題型2導(dǎo)數(shù)的運算.…?…7

題型3在點P處的切線|重8

【方法技巧】“在”型切線求解步驟

題型4過點P處的切線重9

【方法技巧】“過”型切線求解步驟

題型5已知切線或切點求參數(shù)重10

題型6公切線問題難10

【方法技巧】公切線求解關(guān)鍵點

題型7已知切線條數(shù)求參數(shù).............11

【方法技巧】己知切線求參數(shù)關(guān)鍵求解點

題型8距離最值轉(zhuǎn)化為相切問題|難11

【方法技巧】平移切線法

題型9奇偶函數(shù)切線問題.....12

吆真題溯源?考向感知..........................................................12

05課本典例?高考素材..........................................................13

01

考情解碼-命題預(yù)警

考點要求考察形式2025年2024年2023年

全國甲卷（理）T6（5全國乙卷（文）T20（1）

全國一卷T12（5

（1）導(dǎo)數(shù)的定義分）（5分）

回單選題分）

全國n卷T16（1）（5全國甲卷（文）T8（5分）

（2）導(dǎo)數(shù)的運算口多選題天津卷T20（1）

口填空題分）全國乙卷（理）T21（1）

（3）導(dǎo)數(shù)的幾何意義口解答題（4分）

全國I卷T13（5分）（4分）

天津卷T20（l）（4分）天津卷T20（1）（4分）

考情分析：高考對本節(jié)內(nèi)容的考查相對穩(wěn)定，考查內(nèi)容、頻率、題型、難度均變化不大.重點考查導(dǎo)數(shù)的計算、四

則運算法則的應(yīng)用和求切線方程為主，也涉及到公切線問題.

復(fù)習(xí)目標：

（1）了解導(dǎo)數(shù)的概念、掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

（2）通過函數(shù)圖象，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義.

（3）能夠用導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的運算法則求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，能求簡單的復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

02

體系構(gòu)建-思維可視

函數(shù)/（X）作工=*。處瞬時支化率岫lim生=limWf%）,ftfJWt：為函ft

37Ax*-*oAi

概念一產(chǎn)人0於；=*0處的上》,

導(dǎo)數(shù)的概念_必作/W或＞'11八如尸媽導(dǎo)媽"3T""

和幾何意義

函數(shù)P=/（X）在點X=%處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，就是曲線丁=/（X）在點尸（所,.%）處的切

幾何意義

線的斜率上，即斤=/（%）.

雄本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)

/（x）=c（c為常數(shù)）/V)=o

/(x)=x"(〃eR)/(X)=*T

的㈱

意

義y(x)=sinxf(x)=COSX

運

算/(x)=cosxf\x)=-sinx

/(x)=ex/v)=/

基本初等函數(shù)f(x)=，(a>0)f\x)="Ina

導(dǎo)數(shù)公式

/(x)=lnx/'(x)=i

X

/(x)=log*(a>0,a61)/?")=*

xm<7

/(x)=Vx

導(dǎo)數(shù)運算"古

()

/M=-r*=-4-

X.V

(1)[/(x)±g(x)T=〃x)±g'(x)

(2)[/(X).g(*)]'=/(.v)-g(*)+/(x)-g'(*)

導(dǎo)數(shù)的運算法則

/V)g(x)-/(x)g'(x)

需‘g&)

03

核心突破?靶向攻堅

知識點1平均變化率

1.變化率

事物的變化率是相關(guān)的兩個量的“增量的比值”。如氣球的平均膨脹率是半徑的增量與體積增量的比值.

2.平均變化率

一般地，函數(shù)/(X)在區(qū)間［再,工』上的平均變化率為：—；.

3.如何求函數(shù)的平均變化率

求函數(shù)的平均變化率通常用“兩步”法：

①作差：求出Ay=/(x2)-/(xi)和8=々一%

Ay/(x)-/(x)

②作商：對所求得的差作商，即/=2.

Axx2-Xj

自主檢測I函數(shù)f(%)=%2在區(qū)間［1,3］上的平均變化率為()

A.6B.3C.2D.4

知識點2導(dǎo)數(shù)的概念

1.定義:函數(shù)/(X)在X=X。處瞬時變化率是lim電=lim/"八9一""。)，我們稱它為函數(shù)y=/(%)

。Ax-Ax

在X=X0處的導(dǎo)數(shù)，記作/'&,)或y'L即/'(Xo)=lim包必止巫.

°-->0Ax-Ax

2.定義法求導(dǎo)數(shù)步驟：

①求函數(shù)的增量：Ay=f(x0+Ax)-f(x0)；

②求平均變化率：包=/(/+—)-；

AxAx

rx

③求極限，得導(dǎo)數(shù)：f(x0)=lim=lim/(o+Ax)-/(xo)

——。AxAx

|自主檢測|設(shè)函數(shù)“X)的導(dǎo)函數(shù)為尸O),且尸Go)=2,則媽=()

A.1B.4C.3D.2

知識點3導(dǎo)數(shù)的幾何意義

函數(shù)y=/(x)在點x=/處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，就是曲線y=/(x)在點p(%,%)處的切線的斜率左，即

左=/'(%).

皇生逾則若曲線y=--inx在x=0.5處的切線的斜率為()

C.返

A.1B.-1D-e

2

知識點4基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式

基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)

/(x)=c(c為常數(shù))f'M=Q

/(x)=%"(〃￡7?)r(九)=mn~l

f(x)=sinxf\x)=COSX

f(x)=cosxfr(x)=-smx

〃x)=e'f'M=ex

f(x)=ax(a>0)fr(x)=axlna

f(x)=lnxru)=-

X

()」

/(x)=log：(a>0,awl)rx=

xlna

收)嗔

f(x)=4x

/u)=-r(%)=—2

X

自主檢測|已知f(x)=—妥，則f'M=()

知識點5導(dǎo)數(shù)的運算法則

若/'(x),g'(x)存在，則有

(1)"(%)土g(切'=/'(%)土g'(x)

(2)[/(%)-g(x)]'=f'(x)-g(x)+/(x)?g\x)

C，=/'(x)-g(x)—/(x)-g'(x)

(3)

g(x)g2(x)

自主檢測|若函數(shù)/(￡)=xlnx,則尸加)=

知識點6曲線的切線問題

1.在型求切線方程

已知：函數(shù)/（X）的解析式.計算：函數(shù)/（X）在％或者（4,/（4））處的切線方程.

步驟：第一步：計算切點的縱坐標/（X。）（方法：把x=x。代入原函數(shù)/（X）中），切點（4,/（4））.

第二步：計算切線斜率左=/'（%）.

第三步：計算切線方程.切線過切點（%,/（%））,切線斜率左=/'（x。）。

根據(jù)直線的點斜式方程得到切線方程：J-/（x0）=f'（x0）（x-x0）.

2.過型求切線方程

已知：函數(shù)/（X）的解析式.計算：過點401，%）（無論該點是否在y=/（x）上）的切線方程.

步驟：第一步：設(shè)切點4（不，%））

第二步：計算切線斜率左=/'（/）；計算切線斜率左="^；

西一/

第三步：令：k=/'（%）="—%,解出/,代入左=/'（%）求斜率

%]一X。

第三步：計算切線方程.根據(jù)直線的點斜式方程得到切線方程：y-%%

自主檢測|已知函數(shù)/(、)=+則/(%)的圖象在點(1,1)處的切線方程是()

A.4%+y—5=0B.4x—y—3=0

C.2%+y—3=0D.2%—y—1=0

題型1導(dǎo)數(shù)的概念

"U（2）=.

例1-1I已知函數(shù)/（X）=10g2X,貝姐

例1-21已知函數(shù)f（x）=X2+工，貝Him"1+匕）-"1）=（）

---------J'xAx-?02Ax

1

A.1B.-C.2D.4

2

【變式訓(xùn)練1-1]已知尸（久0）=4,lim的值為（）

A.4B.2C.8D.16

【變式訓(xùn)練1-2】設(shè)函數(shù)f(%)滿足Jim、。+；-。)=i,則r(%。)=()

△第70

A.1B.2C.-D.3

2

2

【變式訓(xùn)練1-3］已知函數(shù)/(k)=-1x+lnx,則lim的值為()

A.B.-2C.--D.0

ep2

題型2導(dǎo)數(shù)的運算

闞2-11求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):

2

(l)y=xsinx；

1

⑵y=lnx+x;

(3)y=哼；

e

(4)y=ln(x2+1)；

例2-21求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

(l)y=—3x2—5%+6；

x

(2)y=x?sin%+e

(3)y=—

Jx2+l

【變式訓(xùn)練2-1】求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

(l)y=%2cosx

(2)y=Inx+妥

(3)y=磐—iog3%

【變式訓(xùn)練2-2】求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):

(l)/(x)=%-COSX

⑵/⑺=/

1

⑶y=lnx+-

(4)y=(2x2—1)(3%+1)

=x—

(5)ysin2cos2

(6)y=tanx

題型3在點p處的切線

例3-11曲線y=sjnxcosx-1在點(0,-1)處的切線方程為()

A.%—2y+2=0B.%+2y-2=0

C.x—y—1=0D.%—y+1=0

例3-2|曲線y==在'=0處的切線方程為()

A.y=^xB.y=配％C.y=f%D.y=配％+金

,41744242

方法技巧（在型切線求解步驟）

已知：函數(shù)/（X）的解析式.計算：函數(shù)/（X）在x=/或者（4,/（4））處的切線方程.

步驟：第一步：計算切點的縱坐標/（X。）（方法：把X=4代入原函數(shù)/（X）中），切點（4,/（%））.

第二步：計算切線斜率左=/'（%）.

第三步：計算切線方程.切線過切點（%,/（%））,切線斜率左=/'（4）。

根據(jù)直線的點斜式方程得到切線方程：J-/（x0）=/'（x0）（%-x0）.

【變式訓(xùn)練3-1】（2025?湖南長沙?模擬預(yù)測）函數(shù)/（久）=|乂3一2%的圖象在點（3"（3））處的切線方程為

【變式訓(xùn)練3-2?變考法】已知函數(shù)"X）=I；；'；：S'?8），則/（%）在點（3/（3））處的切線方程為

A.8%+y—40=0B.2%+y—10=0

C.2x-y-10=0D.2%+y—2=0

【變式訓(xùn)練3-3?變考法】（2025?黑龍江齊齊哈爾?模擬預(yù)測）已知函數(shù)/（久）=o/11久1+f'（0）cG，則”/（久）在

點（＞/隹））處的切線方程為——■

題型4過點P處的切線

例411過點（0,-4）作函數(shù)“X）=x—：圖像的切線,則切線方程為（）

A.y=5%—4B.y=4x-4

C.y=3x-4D.y=2x—4

例4-21已知=%2一2尤+3,則過點4（2,—6）且與/（x）相切的直線方程為.

方法技巧“過”型切線求解步驟

已知：函數(shù)/（X）的解析式.計算：過點4（X1，%）（無論該點是否在y=/（x）上）的切線方程.

步驟：第一步：設(shè)切點6（不，%））

第二步：計算切線斜率左=/（不）；計算切線斜率左=入二迎；

西一/

第三步：令：左=/'（%）=必_%，解出/,代入左=尸（與）求斜率

X]一

第三步：計算切線方程.根據(jù)直線的點斜式方程得到切線方程：y-%=/（%）。一/）.

【變式訓(xùn)練4-1]（多選）過點（0,1）向曲線y=%3—3/作切線，切線方程可能是（）

A.4久—15y+15=0B.3x+y-1=0

C.x+3y-3=0D.15%—4y+4=0

【變式訓(xùn)練4-2】已知曲線丫=2/，過點（0,2）作切線/,貝取的方程為.

【變式訓(xùn)練4-3?變題型】若曲線y=（久+a）-存在過原點的切線，則實數(shù)a的取值范圍為.

題型5已知切線或切點求參數(shù)

例5-1|若曲線/（>）=/—|aln（2x+l）在點P（l,f（1））處的切線與直線y=久一2垂直,則實數(shù)。的值為（）

A.3B.V5C.2D.1

例5-2（2025?河南關(guān)洲?三模）若直線y=x為曲線y=e"+。的一條切線，貝哈的最小值為.

【變式訓(xùn)練5-1］函數(shù)/（%）=J+在％=0處的切線與直線3%-2y-5=0平行，則實數(shù)Q=（）

A.-1B.1C.-D.-

24

【變式訓(xùn)練5-2］設(shè)曲線y=e。*在點（0,1）處的切線斜率為2,則a的值是（）

11

A.-B.--C.2D.-2

22

【變式訓(xùn)練5-3］（2025?河北張家口?三模）已知曲線=（2a+也比）屋”在％=1處的切線與V軸垂直，則

實數(shù)a的值為一.

題型6公切線問題

例6-11若直線1是曲線y=Inx-1與y=ln（x-1）的公切線，則直線/的方程為.

例6-2|（2025?遼寧?模擬預(yù)測）曲線y=丁與曲線y=小的公切線方程為.

方法技巧公切線求解關(guān)鍵點

公切線問題應(yīng)根據(jù)兩個函數(shù)在切點處的斜率相等，并且切點不但在切線上而且在曲線上，羅列出有關(guān)切點

橫坐標的方程組，通過解方程組進行求解.

x

【變式訓(xùn)練6-1?變考法】（2025?黑龍江哈爾濱?二模）已知曲線y=Inx在％=1處的切線與曲線y=e+a

相切，貝Ua=.

【變式訓(xùn)練6-2?變考法】已知曲線/（久）=lnx+l與g（x）="2+|5>0）有公共切線，求實數(shù)a的取值

范圍是

【變式訓(xùn)練6-3?變考法】(2025?遼寧?二模)若曲線/(久)=?與曲線g(x)=a+Inx存在公切線，貝b的取

值范圍是.

題型7已知切線條數(shù)求參數(shù)

例7』.過點P(t,—2。作曲線y=—2爐的切線，若切線有3條，貝亞的取值范圍是()

A.(—8,—1)u(1,+8)B.(—1,1)C.(—8,1)D.(—CO,—1)

甌可若過點(1嚴)可以作曲線y=0)的兩條切線，則實數(shù)a的取值范圍是.

方法技巧已知切線求參數(shù)關(guān)鍵點

設(shè)切點為尸(不，%),則斜率左=/'(不)，過切點的切線方程為：y-y0=f'(x0)(x-x0),

又因為切線方程過點A(a,力，所以6-%=/(毛)(。-X。)然后解出X。的值，有多少個解對應(yīng)有多少條切線.

【變式訓(xùn)練7-1】過點(1,0)可以做三條直線與曲線/⑶相切，則實數(shù)t的取值范圍是()

【變式訓(xùn)練7-2】已知過點P(t,t)與曲線“久)=久(1+［冊)相切的直線有兩條，則實數(shù)t的取值范圍是

【變式訓(xùn)練7-3】已知f(x)=(a/+久+De”.若a=0,過點P(m,0)可作曲線y=f(x)的兩條切線，求機的

取值范圍.

題型8距離最值轉(zhuǎn)化為相切問題

例8-1|點4是曲線y=|乂2一Inx上任意一點,則點4到直線y=2x-2的最小距離為()

例8-2|(2025?陜西西安?二模)若M是曲線f(x)=2/—Inx上任意一點，則點M到直線y=3x-6的最小

距離為.

方法技巧平移切線法

利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求最值問題，利用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決，常用方法平移切線法.

【變式訓(xùn)練8-1］已知P是曲線y=In久上的一個動點，則點尸到直線x-y+2=0的最小距離為

2

【變式訓(xùn)練8-2?變考法】1.已知］—月+2=0,%2+2y—4—2jn2=0,M=

jGi—％2尸+Qi—丫2)2,則()

A.M的最大值為延B.M的最大值為:

55

C.M的最小值為:D.M的最小值為辿

55

題型9奇偶函數(shù)切線問題

例9-11已知偶函數(shù)/(%)的定義域為R,且當％<0時，/(%)=ln(-3x+1)+則曲線y=/(%)在點

處的切線斜率為

1173

A.—FeB.—FQC.—HeD.—Fc

4242

恤I9-21已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù),若%>0時，八久)=21nx+2,則曲線y=f(x)在點(一1,一2)處的切

線斜率為.

【變式訓(xùn)練9-1】已知函數(shù)/⑺