第13章學(xué)情評估卷

一、選擇題（每題3分，共24分）

1.下列各組長度的線段不能組成直角三角形的是（）

111

A.3,4,5B.0.6,0.8,1C.需D.13,5,12

2.[[2025長春朝陽區(qū)期中]]如圖，所有四邊形都是正方形，三角形是直角

三角形，若正方形2、C的面積分別為6,10,則正方形B的邊長是（）

A.8B.4C.2D.34

3.如圖，網(wǎng)格中每個小正方形的邊長為1,則△48。是（）

（第3題）

A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.不能確定

4.若實數(shù)n滿足-3|+而==0,且n恰好是Rt△ABC的兩條邊

長，則第三條邊長為（）

A.5B.V7C.5或夕D.以上都不對

5.[[2025長春汽開區(qū)月考]]我國古代數(shù)學(xué)家趙爽證明勾股定理時創(chuàng)制了一

幅“勾股圓方圖”，后人稱之為“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形

和一個小正方形組成的一個大正方形.如圖，若匕一a=2,c-10,貝Ua+b的

值為（）

（第5題）

A.12B.14C.16D.18

6.[[2025吉林豐滿區(qū)月考]]如圖，秋千靜止時，踏板離地的垂直高度BE=

1m,將它往前推8m至C處時（即水平距離CD=8m）,踏板離地的垂直高度

CF=5m,它的繩索始終拉直，則繩索2C的長是（）

A.10m

7.如圖，在長方形ZBCD中，BC=5,=3,點E為邊CD上一點，將△BCE

沿BE翻折后，點C恰好落在邊2。上的點F處，則CE=（）

（第7題）

8.如圖，在中，^ACB=90°,AC=6,AB=10,BD平分乙ABC,

如果M、N分別為BD、BC上的動點，那么CM+NM的最小值是（）

C

AB

（第8題）

A.4B.4.8C.5D.6

二、填空題（每題3分，共18分）

9.用反證法證明“若一個三角形沒有兩個相等的角，則此三角形不是等腰三角

形”的第一步是.

10.若直角三角形較短的直角邊為3,斜邊比較短的直角邊多2,則這個三角形

的周長為.

11.如圖，長方體的長、寬、高分別是6,3,5,一只螞蟻從點2爬行到點B,

設(shè)爬行的最短路線長為a,則a?的值是_.

（第11題）

12.如圖，在數(shù)軸上，點4B表示的數(shù)分別為0,2,BC14B于點B,且BC=

1,連結(jié)2C,在2C上截取CD=BC,以2為圓心，2。的長為半徑作弧，交線段

于點E,則點E表示的實數(shù)是.

13.如圖，學(xué)校B前面有一條筆直的公路，學(xué)生放學(xué)后走ZB,BC兩條路可到達(dá)

公路，經(jīng)測量BC=600m,BA=800m,AC=1000m,現(xiàn)需修建一條路從學(xué)

校B到公路，則學(xué)校B到公路的最短距離為.

（第13題）

14.如圖，P是等邊三角形ZBC內(nèi)一點，且P4=6,PB=8,PC=10,若將△

pac繞點a逆時針旋轉(zhuǎn)后，得到APTIB,則點P與P'之間的距離PP'=,

^APB=°.

（第14題）

三、解答題（本大題共10小題，共78分）

15.（6分）在△ABC中，ZC=90°,BC-.AB=3:5,且ZB=20cm,求邊AC

的長.

16.（6分）如圖，4。是△ABC的中線，4。=24,AB=26,BC=23求2C

的長.

17.（6分）如圖，某船從港口4出發(fā)沿南偏東32。方向航行12nmile到達(dá)B島,

然后沿某方向航行16nmile到達(dá)C島，最后沿某方向航行20nmile回到港口4試

說明該船從B到C是沿哪個方向航行的.

18.(7分)如圖所示，在AaBC中，AB=10,BC=6,AC=8,點D為邊AC

上一點，連結(jié)BD,作點2關(guān)于直線BD的對稱點E,使點E恰好落在BC的延長線

上.

(1)判斷△ABC的形狀，并說明理由;

(2)求△CED的面積.

19.[[2025長春汽開區(qū)期末]](7分)圖①、圖②、圖③均是5x5的正方形

網(wǎng)格，每個小正方形的邊長都為1,每個小正方形的頂點稱為格點，點a在格點

上.只用無刻度的直尺按下列要求在給定的網(wǎng)格中畫圖，不要求寫畫法.

①②③

（1）在圖①中找一格點B,連結(jié)2B,使線段ZB=V5；

（2）在圖②中畫出等腰三角形4CD,點C、。在格點上，使乙4為頂角且

S&ACD-2；

（3）在圖③中畫出等腰三角形4EF,點E、F在格點上，使乙4為頂角且腰長為

5,則這個三角形的面積是.

20.（7分）如圖，一只小貓沿著斜靠在墻角的木板往上爬，木板底端距離

墻角0.7m,當(dāng)小貓從木板底部爬到頂端2時，木板底端向墻外滑動了1.3m,木

板頂端向下滑動了0.9m,求為C的高度和這塊木板的長度.

21.(8分)如圖，一條繩子下端系著一艘小船，C。為垂直于水面的河岸，小

明在河岸上拽著繩端向后退，繩端從點C平移到點E,同時小船從4平移到B,

延長交CD于點F,繩長始終保持不變.

(1)ACBC+CE(填“>”“<”或“二")；

(2)若CF=5米，4尸=12米，4B=8米，求小明向后移動的距離.

22.[12025長春南關(guān)區(qū)]](9分)如圖，在AZBC中，乙4BC=90。，AC=

13,4B=5,點P從點4出發(fā)，以每秒3個單位長度的速度沿折線2—C-B運

動.設(shè)點P的運動時間為t秒(t>0).

C

BA

(1)BC的長度為；

(2)當(dāng)t=5時，求2P的長；

(3)若點P在乙B4C的平分線上，求t的值.

23.(10分)如圖①是實驗室中的一種擺動裝置，BC在地面上，支架ABC是底

邊為BC的等腰直角三角形，擺動臂2。可繞點2旋轉(zhuǎn)，擺動臂DM可繞點。旋轉(zhuǎn)，

AD=6,DM=1.

①當(dāng)4D,M三點在同一直線上時，4W的長為；

②當(dāng)4D,M三點為同一直角三角形的頂點時，求的長.

(2)若擺動臂2D順時針旋轉(zhuǎn)90。，點。的位置由△ABC外的點名轉(zhuǎn)到其內(nèi)的點

。2處，連結(jié)。1。2,如圖②，此時乙4。2c=135°，CD2=7,求BQ的長.

4(2景控的效監(jiān)測距離為500m,最大旋轉(zhuǎn)角度為90。.村落、河流如圖①所

示，河流南岸長5000m.監(jiān)控布設(shè)線，距離河流南岸300m,2上任意兩個監(jiān)控

(Mi，M2,…)之間的距離相等.

河流南岸河流南岸

監(jiān)控布設(shè)線/監(jiān)控布設(shè)線/

①

【項目方案】

(1)方案1：如圖①所示，從河流南岸邊緣2點處起，使AM】=500m,

即ZB為監(jiān)控器Mi的監(jiān)測范圍.以此類推繼續(xù)設(shè)置監(jiān)控器，至少需要

布設(shè)多少監(jiān)控器？

(2)方案2：如圖②所示，為監(jiān)控器Mi的監(jiān)測范圍，BC為監(jiān)控器M2的監(jiān)測

范圍，AMX1BM「BM21CM2,止匕時BMI=CM2=375m,至少需要布設(shè)多

少監(jiān)控器？

(3)【項目總結(jié)】我認(rèn)為方案是最優(yōu)化方案.

第13章學(xué)情評估卷

一、選擇題（每題3分，共24分）

1.下列各組長度的線段不能組成直角三角形的是（）

111

A.3,4,5B.0.6,0.8,1C.|D.13,5,12

【答案】C

2.［［2025長春朝陽區(qū)期中］］如圖，所有四邊形都是正方形，三角形是直角

三角形，若正方形2、C的面積分別為6,10,則正方形B的邊長是（）

A.8B.4C.2D.34

【答案】C

3.如圖，網(wǎng)格中每個小正方形的邊長為1,則△^。是（）

（第3題）

A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.不能確定

【答案】B

4.若實數(shù)n滿足—3|+而］1=0,且血，律恰好是立△ABC的兩條邊

長，則第三條邊長為（）

A.5B.V7C.5或bD.以上都不對

【答案】C

5.［［2025長春汽開區(qū)月考］］我國古代數(shù)學(xué)家趙爽證明勾股定理時創(chuàng)制了一

幅“勾股圓方圖”，后人稱之為“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形

和一個小正方形組成的一個大正方形.如圖，若b-a=2,c-10,則a+5的

值為（）

（第5題）

A.12B.14C.16D.18

【答案】B

6.[[2025吉林豐滿區(qū)月考]]如圖，秋千靜止時，踏板離地的垂直高度BE=

1m,將它往前推8m至C處時（即水平距離CD=8m）,踏板離地的垂直高度

CF=5m,它的繩索始終拉直，則繩索2C的長是（）

A.10m

【答案】A

7.如圖，在長方形ABC。中，BC=5,AB=3,點E為邊CD上一點，WABCE

沿BE翻折后，點C恰好落在邊2。上的點F處，貝UCE=（）

（第7題）

【答案】C

8.如圖，在Rtz\2BC中，^ACB=90°,AC=6,AB=10,BD平分zZBC,

如果M、N分別為BD、BC上的動點，那么CM+NM的最小值是（）

C

D,N

M

AB

（第8題）

A.4B.4.8C.5D.6

【答案】B

二、填空題（每題3分，共18分）

9.用反證法證明“若一個三角形沒有兩個相等的角，則此三角形不是等腰三角

形”的第一步是.

【答案】假設(shè)“沒有兩個相等的角的三角形是等腰三角形”

10.若直角三角形較短的直角邊為3,斜邊比較短的直角邊多2,則這個三角形

的周長為.

【答案】12

11.如圖，長方體的長、寬、高分別是6,3,5,一只螞蟻從點2爬行到點B,

設(shè)爬行的最短路線長為a,則a?的值是

【答案】100

12.如圖，在數(shù)軸上，點4B表示的數(shù)分別為0,2,BCL4B于點B,且BC=

1,連結(jié)2C,在2C上截取CD=BC,以2為圓心，2。的長為半徑作弧，交線段

于點E,則點E表示的實數(shù)是.

【答案】V5-1

13.如圖，學(xué)校B前面有一條筆直的公路，學(xué)生放學(xué)后走ZB,BC兩條路可到達(dá)

公路，經(jīng)測量BC=600m,BA=800m,AC=1000m,現(xiàn)需修建一條路從學(xué)

校B到公路，則學(xué)校B到公路的最短距離為.

A

（第13題）

【答案】480m

14.如圖，P是等邊三角形ZBC內(nèi)一點，且P4=6,PB=8,PC=10,若將△

P4C繞點2逆時針旋轉(zhuǎn)后，得到△P2B,則點P與P'之間的距離PP'=,

A^~----------^C

（第14題）

【答案】6；150

三、解答題（本大題共10小題，共78分）

15.（6分）在△ABC中，ZC=90°,BC-.AB=3:5,且ZB=20cm,求邊AC

的長.

解：設(shè)BC—3xcm,貝iJZB=5xcm.

AB=20cm,,?15%=20,解得％=4,；.BC=12cm.在△ABC中，vZC=

90°,AC=7AB2-BC2=V202-122=16（cm）.

16.（6分）如圖，4。是△ABC的中線，AD=24,AB=26,BC=23求AC

的長.

BD

解：???4。是AZBC的中線，BD=jBC=10.又：AD=24,ZB=26,

AB2=AD2+BZ）2,.-.AZB。為直角三角形，且2。1BC,：.AC=AB=26.

17.(6分)如圖，某船從港口2出發(fā)沿南偏東32。方向航行12nmile到達(dá)B島，

然后沿某方向航行16nmile到達(dá)C島，最后沿某方向航行20nmile回到港口4試

說明該船從B到C是沿哪個方向航行的.

解：由題意得ZB=12nmile,BC-16nmile,

AC—20nmile,

AB2+BC2=122+162=400=202=AC2,

乙4BC=90°.如圖，由題易知=32°,Z2=180°-4ABe-Z1=58°,

???該船從B到C是沿南偏西58。方向航行的.

18.(7分)如圖所示，在AZBC中，AB=10,BC=6,AC=8,點。為邊AC

上一點，連結(jié)BD,作點2關(guān)于直線BD的對稱點E,使點E恰好落在BC的延長線

上.

(1)判斷△4BC的形狀，并說明理由;

(2)求△CEQ的面積.

【答案】

(1)解：△ABC為直角三角形.理由如下：???ZB=10,BC=6,AC=8,

BC2+AC2=62+82=100,AB2=102=100,BC2+AC2=AB2,

??.△ZBC是直角三角形.

（2）由軸對稱的性質(zhì)易得BE=ZB=10,AD=ED,ECBE-BC=

10-6=4,設(shè)CD=x,貝UE。=4。=8-%,由（1）可得zZCB=90。，二

乙EC。=90°,：.EC2+CD2=ED2,即42+/=（8—%/，解得％=3,即

CD=3,

11

S〉CED=3義ECxCD=5X4x3=6.

19.[[2025長春汽開區(qū)期末]]（7分）圖①、圖②、圖③均是5x5的正方形

網(wǎng)格，每個小正方形的邊長都為1,每個小正方形的頂點稱為格點，點/在格點

上.只用無刻度的直尺按下列要求在給定的網(wǎng)格中畫圖，不要求寫畫法.

A：：：：：：A：：：：：IA：：：

--?--1-------1-------1--ir---1-------1-------1--i-------1-

111111111111111

111111111111111

--——i---1f--i-1~——i-i--"1i-i-「--i'

1111I1111111111

__I_____1____?____!__JL__!_____1____'____!__JL__!____1____i.

11I1II11I111111

1II1II11I1Iill)

___L__l_____IJ__JLL__l_____l__J__JL__i-I_____I.

IIIIIIIIIIIIlli

IIIIIIIIIIIIlli

①②③

（l）在圖①中找一格點B,連結(jié)2B,使線段28=通；

（2）在圖②中畫出等腰三角形2CD,點C、。在格點上，使乙4為頂角且

S&ACD-2；

（3）在圖③中畫出等腰三角形4EF,點E、F在格點上，使乙4為頂角且腰長為

5,則這個三角形的面積是.

【答案】

（1）解：如圖①所示，點B即為所求.（答案不唯一）

①

（2）如圖②所示，△AC。即為所求.（答案不唯一）

(3)I；如圖③所小,

③

【解析】

(3)AZEF即為所求，

20.(7分)如圖，一只小貓沿著斜靠在墻角的木板往上爬，木板底端距離

墻角0.7m,當(dāng)小貓從木板底部爬到頂端4時，木板底端向墻外滑動了1.3m,木

板頂端向下滑動了0.9m,求為C的高度和這塊木板的長度.

解：根據(jù)題意，得BC-0.7m,BB]-1.3m,AA1-0.9m.設(shè)&C-xm.

在Rt△ABC和Rt△4/iC中，

22222

易知Z4CB=90°,AB=AC+BC,ArBl=ArC+BrC.

2222222

AB=AC+BC=A1C+B1C,即(0.9+%)+0.7=x+(1.3+

0.7)2,解得％=15...AB=J(o9+i5)2+0.72=2.5(m).

&C的高度為1.5m,這塊木板的長度為2.5m.

21.(8分)如圖，一條繩子下端系著一艘小船，CD為垂直于水面的河岸，小

明在河岸上拽著繩端向后退，繩端從點C平移到點E,同時小船從2平移到B,

延長交CD于點F,繩長始終保持不變.

CE

D

（1）ACBC+CE（填“>”“<”或“二"）；

（2）若CF=5米，2F=12米，ZB=8米，求小明向后移動的距離.

【答案】（1）=

（2）解：在Rt2\CR4中，由勾股定理得

AC=7AF2+CF2=V122+52=13（米）.

???AB=8米，BF=AF-AB=4米.

在Rt△CFB中，由勾股定理得BC=VCF2+BF2=V52+42=V41（米），

由（1）知ZC=BC+CE,

CE=AC—BC=（13-WI）米，即小明向后移動了（13-屈）米.

22.［12025長春南關(guān)區(qū)］］（9分）如圖，在AZBC中，NZBC=90°,AC=

13,4B=5,點P從點4出發(fā)，以每秒3個單位長度的速度沿折線2-C-B運

動.設(shè)點P的運動時間為t秒（t>0）.

C

BA

（1）BC的長度為；

（2）當(dāng)t=5時，求2P的長；

（3）若點P在NB4C的平分線上，求t的值.

【答案】（1）12

(2)解：如圖①所示，當(dāng)t=5時，由題意得BP=4C+BC-3x5=13+

12-3X5=10.在Rt△2BP中，AP=<BP2+AB2=V102+52=V125.

c

(3)當(dāng)點P在乙BAC的平分線上時，過點P作PE14;于E,

如圖②所示，貝ikPEZ=ZPEC=90。.

C

BA

①

???2P平分ZB2C,

ZS=90°,

PB=PE.

又PA=PA,Rt△ABP=RtAAEP(HL),:.EA=BA=5,

:.CE=AC-AE=13—5=8.

由題意得PE=BP=AC+BC-3t=13+12-3t=25-3t,

：.CP=12-(25-3t)=3-13.

在&△CEP中，CP2=CE2+EP2,

即(3t-13)2=82+(25-3t)2,

解得"容二點P在ZB"的平分線上時，”多

23.(10分)如圖①是實驗室中的一種擺動裝置，BC在地面上，支架4BC是底

邊為BC的等腰直角三角形，擺動臂2?？衫@點2旋轉(zhuǎn)，擺動臂DM可繞點。旋轉(zhuǎn)，

AD=6,DM=1.

①②

（1）

①當(dāng)4D,M三點在同一直線上時，的長為；

②當(dāng)4D,M三點為同一直角三角形的頂點時，求的長.

（2）若擺動臂順時針旋轉(zhuǎn)90。，點。的位置由AaBC外的點A轉(zhuǎn)到其內(nèi)的點

。2處，連結(jié)。1。2，如圖②，止匕時2c=135°,CD2=7,求BQ的長.

【答案】①7或5

②當(dāng)乙4MD為直角時，AM2=AD2-DM2=62-l2=35,

AM=V35;

當(dāng)Z/WM為直角時，AM2=AD2+DM2=62+l2=37,AM=V37.

綜上，AM的長為后或質(zhì).

(2)解：連結(jié)CD〉由題意得乙必4。2=90°,ADrAD2=6,^AD2D1=

45°,DR=72.

又???^AD2C=135°,=90°,

:.CD】=JCD/+=