第24章解直角三角形單元測試

一、單選題

1.如圖，在Rt^ABC中，AB=X,AC=2,點。在AB的延長線上，^.BD=AC,連接CO,E為C。中點,

則BE的長是（）

「V3

>---D.2

2

2.如圖，矩形A2CD的對角線交于點0.若NACB=30。，AB=4,則OD的長為（）

A.6B.4C.4/D.8

3.如圖，在網格中每個小正方形邊長為1,若點A、B、C均在格點上，則cos/B4c的值為（）

A-4B.半c-ID-T

4.如圖，直線MN經過正方形ABCD的頂點8,過點A作AE_LMN于點E,ZABE=30°,尸為直線MN上一

點，且族=BC,連接CF,若AE=2,則VCB尸的面積為（）

D

MEB

A.873B.4石C.8D.2石

5.如圖，已知，ABLBC,AB=9,BC=12,。是平面內的一個動點，且CD=3,連接AO,點E是的

中點，連接8E,則BE的最大值與最小值的差為（）

A.1B.2C.3D.4

6.如圖，兩張寬度均為3cm的紙條交叉疊放在一起，交叉形成的銳角為60。，則重合部分構成的四邊形ABC。

7.如圖，VABC中，點。在邊BC上，若N6=25°,AD，四,初=10,/C=5,則NCW的度數是（）

A.10°B.15°C.20°D.25°

8.如圖是某景區(qū)一段索道示意圖，點A、8之間的距離為30米，ABAC=30°,則纜車從點A到點B的過程中

豎直上升的高度（8C的長）為（）

A.60米B.45米C.30米D.15米

9.如圖，一艘輪船在小島A的北偏東60。方向距小島80海里的3處，沿正西方向航行2小時后到達小島的北偏

試卷第2頁，共6頁

西45。的C處，則該船行駛的速度為（）海里/小時

A.4073+40B.20^/3+20C.40D.20

10.已a、b、c分別為△ABC中NAZB,NC的對邊，若關于x的方程（b+c）f—2依+c-b=0有兩個相等的

實根且sinB-cosA—cosB-sinA=0,則VA3C的形狀為（）

A.直角三角形B.等腰三角形C.等邊三角形D.等腰直角三角形

二、填空題

11.甲乙兩人約好一起去江邊垂釣.如圖，釣魚竿AC的長為4m,露在水面上的魚線的長為2后m，把魚

竿AC逆時針轉動15。到AC的位置，此時露在水面上的魚線3'C'的長度是m.（精確到0.1m,參考

數據：有"73）

12.如圖，一艘海輪位于燈塔尸的北偏東37。方向，距離燈塔80海里的A處，它沿正南方向航行一段時間后，

到達位于燈塔尸的南偏東45。方向上的8處.這時A,8兩處相距海里.（結果取整數，參考數據：sin37°?0.60,

cos37°=0.80,tan37°=0.75）

14.如圖，在VABC中，ZC=90°,ZB=15°,48的垂直平分線交于。，交于E,若DB=10cm,則CD

的長為cm.

15.如圖，在菱形ABCD中，/ASC=120。，對角線AC、8。相交于點。，尸是對角線AC上的一動點，作PM，

于點M,PN>AD于■點、N,給出下面四個結論：①△3CD為等邊三角形；②OA=BD；③/MPN=60。；④

PM+PN=』AC.上述結論中，正確結論的序號有

2

三、解答題

16.如圖是由小正方形組成的8x8網格，每個小正方形的頂點叫做格點，A,B,E是格點，C是網格線上一點.僅

用無刻度的直尺在給定網格中完成如下兩個問題；

圖1圖2

(D如圖1,過點A作使=在AC上確定點H,使tanNAB"=；；

(2)如圖2,過點C作CT_LBE于T；過點T作7P_LAB且力P=AB.

17.在正方形ABCD中，E,尸分別是線段A￡),DC延長線上的點，連接BE,AF,AF交BC于點H,若BEJ.AF

于點G.

試卷第4頁，共6頁

FFF

圖1圖2圖3

(D如圖1,求證：.ABEWADF；

(2)如圖2,連接￡>〃，若AE>:DE=3:1,求tanNA/ffi)的值；

(3)如圖3,連接DG,DH,EF,若DH:DG=k:l,直接寫出tanZDFE的值(用含上的代數式表示).

18.超速行駛是交通事故的重要原因.合肥市交警在某高速路段進行測速，觀測點尸位于某古建筑旁，距公路

垂直距離PQ為90米.一輛新能源汽車由南向北勻速行駛，測得從A處到2處用時3秒.已知/”。=45。，

ZBPQ=30°,求A到B的距離，并判斷該新能源汽車是否超過該路段60千米/小時的限速.(參考數據：夜7.41,

如a1.73,結果取整數)

北

19.探究學習：

閱讀材料：已知直角三角形斜邊上的中線具有以下性質：“直角三角形斜邊上的中線長等于斜邊長的一半，即:

如圖1,RtaABC中，ZACB=90°,若AD=3D,則CD=；AB”，請運用這個性質解決下列問題：

M

圖3圖4

如圖2,在VABC中，點尸為BC邊中點,直線。繞定點A旋轉，若點氏尸在直線。的異側，由1，直線。于點

“,。7^，直線。于點"，連接PM,PN

⑴延長上。交CN于點E(如圖3)

①求證4BPM^ACPE

②求證PM=PN

(2)若直線。繞點A旋轉到圖4的位置時,點、B,P在直線。的同側，其他條件不變，此時尸M=PN還成立嗎？

若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由.

20.學校大掃除，為保證學生安全，要求學生只能站在地面，用長桿擦玻璃器對玻璃進行清潔，小明負責擦教

室玻璃E尸.擦玻璃器AB長2.5米.且此時點A,B,C,D,E,F,G均在同一平面.（參考數據：sin37°?0.6,

cos37"Q8,tan37°?0.75)

（1）如圖2,當擦玻璃器A端，位于玻璃上沿時，擦玻璃器與玻璃夾角NA4G為37。，此時8端距地面的距離為1.5

米（即3C=1.5米）.求玻璃上沿E到地面GC的距離；（結果精確到1米）

（2）如圖3,已知玻璃上沿和下沿的距離￡F=1.25米，當擦玻璃器A端位于玻璃下沿時，B端距地面的距離

為1米（即3￡>=1米），求此時擦玻璃器與玻璃夾角乙BAG的度數約為多少度.

試卷第6頁，共6頁

《第24章解直角三角形單元測試-2025—2026學年蘇科版數學九年級上冊》參考答案

題號12345678910

答案BBBBCCBDBD

1.B

【分析】此題考查了勾股定理，直角三角形斜邊中線的性質，解題的關鍵是掌握以上知識點.

首先勾股定理求出BC=，4?2-川2=5DCHBC'BD。=幣，然后利用直角三角形

斜邊中線的性質求解即可.

【詳解】：口△"（?中，AB=1,AC=2,

BC=VAC2-AB2=A/3

ZCB￡>=90°

DC=yjBC2+BD2=幣

為CO中點

/.BE=-CD=—.

22

故選：B.

2.B

【分析】本題考查矩形的性質，以及直角三角形中30。所對的直角邊與斜邊關系，解題關鍵

是知道直角三角形中30。所對的直角邊等于斜邊的一半.

由NACB=30。及矩形性質，可得AC=2AB,即可求解.

【詳解】解：在矩形ABC。中，ZABC^90°,

又ZACB=30°,AB=4,

.?.AC=2AB=8,

???四邊形ABCZ）是矩形，

OD=OB=—BD=—AC=4,

22

故選：B.

3.B

【分析】本題考查求角的余弦值，勾股定理，連接2C,根據勾股定理的逆定理判定ABC是

直角三角形，再根據余弦函數的定義求解.

【詳解】解：如圖，連接3C,

答案第1頁，共17頁

由格點及勾股定理知：AB2=22+22=8,BC2=12+12=2,AC2=12+32=10,

2+8=10,

BC2+AB2=AC2,

ASC是直角三角形，NABC=90。,

AB=s/8=2y/2,AC=s/10,

c°s?C="=^=矩

AC亞5

故選：B.

4.B

【分析】本題考查了正方形的性質，30度角的直角三角形，勾股定理，全等三角形的判定

與性質，正確掌握相關性質內容是解題的關鍵.先過點C作S，環(huán)，結合正方形的性質得

NABC=90°,AB=8C,因為CH_LBF,腦V,得N4EB=ZBHC=90。，證明HBgEAB,

結合30度角的直角三角形的性質以及勾股定理得BC=2BH=4,CH=\JBC2-BH2=2百，

最后由三角形面積公式進行列式計算，即可作答.

【詳解】解：過點C作CW_LM,如圖所示：

:四邊形ABCD是正方形,

ZABC=90°,AB=BC,

二ZABE+NCBH=90°,

?：CH±BF,AE±MN

：.ZAEB=ZBHC=90°,

：.ZABE+ZEAB=90°,

答案第2頁，共17頁

則NHBC=N￡AB,

二HBC均EAB,

則BH=AE=2,ZBCH=ZABE=30°,

BC=2BH=4,CH=】BC?-BH。=2g，

BF=BC,

/.BF=4,

：.則NCBF的面積為=B歹XCHXL=4X2百X4=4A^.

22

故選：B.

5.C

【分析】本題考查了三角形中位線定理以及圓的相關知識，通過構造輔助三角形，結合圓的

性質，利用中位線的性質求解砂的長度，再由點E的位置求解最值問題是解決本題的關鍵.

先由勾股定理可求解AC的長度，由CD=3距離不變確定點。的運動軌跡，再通過連接輔

助線構造三角形，分別求解三角形的兩邊長度，再由三角形的三邊關系求解即可.

【詳解】解：連接AC,取AC的中點記作點E連接ER,BF,

因為AB_LBC,AB=9,BC=12,

所以AC=JAB2+BC2=192+12?=15,

因為點P為AC的中點，

由直角三角形斜邊中線定理可知，BF^-AC^—,

22

因為點E是AO的中點，點F為AC的中點，CD=3,

13

所以在“ACD中，由中位線的性質可知族=58=萬，

因為。是平面內的一個動點，且CD=3,

所以點。的運動軌跡是以C為圓心，3為半徑的圓，

所以當點8,E,尸三點共線，且點E在線段好的延長線上時，3E取得最大值，

153

即BE=8F+Eb=—+—=9,

22

當點8,E,歹三點共線，且點E在線段8尸上時，8E取得最小值，

153

^BE=BF-EF=--------=6,

22

所以3E的最大值與最小值的差為9-6=3.

答案第3頁，共17頁

故選：c.

6.C

【分析】本題主要考查了菱形的判定，勾股定理，直角三角形的性質，一元二次方程的應用，

作CELAD,作3FJ_CD,根據題意說明四邊形A2CD是平行四邊形，再根據面積相等說

明四邊形ABCD是菱形，然后根據勾股定理求出邊長，即可得出答案.

【詳解】解：如圖所示，過點C作CELAD,過點2作3CD,分別交AD,8于點￡,

F,

?

<

_

根據題意，得：AB//CD,AD//BC,

...四邊形A38是平行四邊形，

AZADC=ZABC=60°,

1/S四邊形ABC。=ADCE=BFCD,BF=CE=3cm,

:.AD=CD,

.,.四邊形ABCD是菱形，

在RtACDE中，ZDCE=90°-60°=30°,

CD=2DE,

根據勾股定理得：CD2=CE-+DE-,

即（2￡>E）2=32+￡>石2,

解得：DE=A/SCIII,負值舍去,

答案第4頁，共17頁

/.CD=26cm,

：.四邊形ABCD的周長為4x2垂)=8由(cm).

故選：C.

7.B

【分析】本題主要考查了直角三角形的性質，等腰三角形的性質，三角形外角的性質，三角

形內角和定理.取的中點E,連接AE,根據直角三角形的性質可得=；BD=BE=5,

從而得到ZBAE=ZB=25。,A￡=AC,結合三角形外角的性質可得

ZC=AAEC=AB+ABAE=50。，然后三角形內角和定理可得NA4c的度數，即可求解.

【詳解】解：如圖，取8。的中點E,連接AE,

,：ZBAD=90°,B￡>=10,

:.AE=工BD=BE=5,

2

/.ZBAE=ZB=25°f

,:AC=5,

：.AE=AC,

：.AC=AAEC=ZB+4BAE=50°,

???ZBAC=1800-ZB-ZC=105°,

：.ZCAD=ABAC-ABAD=15°.

故選：B

8.D

【分析】本題考查了含30度角的直角三角形，根據30度角所對的直角邊等于斜邊一半求

解即可.

【詳解】解：在RtA4BC中，ZBAC=30°,AB=30米，

貝！JBC=1AB=15>K，

故選：D.

9.B

答案第5頁，共17頁

【分析】本題考查了直角三角形的性質，等角對等邊，掌握直角三角形的性質，等角對等邊

是解題的關鍵.

過點A作AD工于點。，則ZADB=90°,根據ZDAB=60°,AS=80海里，得AD=40海里，

在中，根據勾股定理得=40西海里，根據/ZMC=45。，ZADB=90。得

ZDC4=45°,根據AT>=40海里，得。C=AD=40海里，可得CB=（40+40』）海里，即可

得行駛速度.

【詳解】解：如圖所示，過點A作ADSBC交于點。，

ZADB=ZADC=90°,

?；ZDAB=60°,AB=80海里，

...在RtZvWB中，4。=工48=40海里，

2

DB='AB。-AD2=18（）2-4。2=406（海里），

VZZMC=45°,ZADB=90°,

NDCA=180°-ZADC-ADAC=180°-90°-45°=45°,

,?NDAC=NDCA,

：.Z）C=AD=40海里，

CB=DC+DB=（40+40G）海里，

則該船行駛的速度為：,。+4。6）+2=20+20』（海里/小時）.

故選：B

10.D

【分析】本題主要考查了等腰直角三角形的性質和一元二次方程判別式與根的關系，由于關

于x的方程0+c）f-2依+c-b=。有兩個相等的實根，所以判別式

（-2a）2-4（/?+c）（c-/?）=0,解可得Y+Z^-c?=0,即又已知

sinB-cosA-cosB-sinA=0,可得tanA=tanB,故/4=NB.根據這兩個條件可以判斷VABC

的形狀為等腰直角三角形.

答案第6頁，共17頁

【詳解】解：???關于X的方程僅+。）龍2-2依+c-b=O有兩個相等的實根,

(-2<7)"-4(/>+c)(c-Z?)=0,

化簡，得/+/一°2=0,

即°2+62=。2.

ZC=90°；

又：sinBcosA—cosB-sinA=0,

tanA=tanB,

故4=

??a=b,

所以NABC的形狀為等腰直角三角形.

故選：D.

11.3.5

【分析】本題考查了解直角三角形——特殊角的三角函數的應用，解題關鍵是能利用三角函

數值求出角，以及利用特殊角的三角函數值求出線段的長.

先求出一C4B,在求出NCAB',最后利用特殊角的三角函數值直接求解.

【詳解】解：??飛苗/。42=/=逑=立，

AC42

/C4B=45°,

ACAB'=ACAC+ZCAB=45°+15°=60°,

故答案為：3.5.

12.112

【分析】本題主要考查了解直角三角形的應用-方向角問題.正確作出輔助線構造直角三角

形成為解題的關鍵.

過點尸作PCLAB于點C,然后分別在Rt^APC和RtP3C中，解直角三角形求出AC,8C,

即可求解.

【詳解】解：如圖，過點尸作尸015于點。，

答案第7頁，共17頁

A

B

根據題意得：ZA=37。，N3=45°,AP=80海里，

在Rt"PC中，NA=37°,AP=80海里，

PC=APxsinA=80x0.6=48海里，

AC=APcosB?80x0.8=64,

在RtP3C中，/3=45。，

BC=PC=48海里，

AB=AC+3C=48+64=112海里，

即A,8兩處相距112海里.

故答案為：112.

13.-

5

【分析】本題考查了解直角三角形，勾股定理，根據題意畫出圖形，由tanA=[,則與與=^,

4AC4

設BC=3Z,AC=43求出AB=5%,再通過余弦定義即可求解，掌握三角函數概念是解

題的關鍵.

【詳解】解：如圖，ZC=90°,

4

,BC3

??=一,

AC4

設3C=3Z,AC=4左，

答案第8頁，共17頁

???AB=^AC2+BC2=^（4^）2+（3^）2=5k，

.AC4k4

..cosAA=----=——=—,

AB5k5

4

故答案為：y.

14.5A/3

【分析】本題考查了含30。角的直角三角形，勾股定理.由線段垂直平分線的性質及三角形

外角的性質可求解AD=10cm,ZADC=30°,再利用含30。角的直角三角形的性質可求解

AC=5,再利用勾股定理可求解CO的長.

【詳解】解：鈣的垂直平分線交BC于。，交AB于E,

.-.AD=BD=10cm,ZDBA=ZBAD^15°,

ZADC=30°,

AC=—AD=5cm,

2

根據勾股定理CD=4AD1-AC2=7102-52=56cm?

故答案為：5A/3.

15.①③④

【分析】此題主要考查了菱形的性質，等邊三角形的判定與性質，理解菱形的性質，熟練掌

握等邊三角形的判定與性質，靈活運用含有30。角的直角三角形的性質，三角形的面積公式

及勾股定理進行計算是解決問題的關鍵.

①根據菱形性質得BC=CD,ZABD=ZCSD=60°,再根據等邊三角形的判定即可對結論

①進行判斷；

②設=貝1」網>=2“，利用含有30。角的直角三角形性質及勾股定理得AS=2C?=2a,

OA=瓜,由此可對結論②進行判斷；

③根據ZPND=ZPMD=90。及四邊形的內角和等于360°得AMPN+ZADC=180°,再根據

ZABD=1200得ZMPN=60。，由此可對結論③進行判斷；

④連接PD,設08=。，則OZ）=03=a,AD—CD-2a,OA=OC=>AC=2摳a,

=

進而得APDa，PN,SPCD=a-PN,SACD=\/3a,再根據SAPD+S.PCD=S,ACD,得

PM+PN=^a,由此可對結論④進行判斷，綜上所述即可得出答案.

答案第9頁，共17頁

【詳解】解：①?四邊形ABCD是菱形，ZABC=120°,

:.AB=BC=CD=AD,ZADC=ZABC=120°,OA=OC,OB=OD,

ZABD=ZCBD=-ZABC=60°,ACLBD,

2

.?.△BCD是等邊三角形，故結論①正確；

②設03=4,則3D=2a,

在RfAO3中，ZABD=60°,

ZBAO=90°-ZABD=30°,

AB=2OB=2a,

由勾股定理得：。4=^AB--OB~=/(2療-a2=瓜,

又4,BD=2a,

:.OA^BD,故結論②不正確；

③，PM【CD,PN八AD,

:.ZPND=ZPMD=90°,

根據四邊形的內角和等于360。得：ZMPN-^-ZADC=180°,

ZABD=120°,

:"MPN=60。，故結論③正確，

④連接尸如圖所示:

設OB=a,則OD=OB=a,AB=AD=CD=2〃OA=OC=yf3a

AC=2OA=2y/3a,

SAPD=^AD-PN=a-PN,SPCD=^CDPM=a-PM,

=

SACD=~AC.OZ)—x2ylaxa=y/3ci^,S人尸。+S尸⑺=SACD，

答案第10頁，共17頁

a-PN+a-PN=百a1，

:.PM+PN=^a,

又,AC=2島，

.-.PM+PN=^AC,故結論④正確，

綜上所述：正確結論的序號有①③④.

故答案為：①③④.

16.(1)見解析

(2)見解析

【分析】本題考查的是格點作圖題、全等三角形的判定與性質及正切的定義，

(1)取格點。，連接AD,mDE=AF=4,?DEA?AFB90?,AEBF=1,可證

DEA^AFB,貝I」=?ABF,可得/區(qū)4。=180。一(/八4七+/區(qū)4廠)

=180°-(ZABF+ZBAF)=90°,則AD上AB；取AD中點Af,連接交AC于點H,則

tan?ABH

(2)取格點G,連接CG交格線于點。，連接A0并延長交BE于點T,則四邊形C4GT是

矩形，得出CTL3E；取格點N,連接NO并延長交格線于點尸，連接尸T,AN,可得

NHA^.AGB,AON/4Top，貝iJA7V=PT=A8,?M4O?PTO,所以PT〃3，同（1）

得則rPAA8,7P=A8；

【詳解】(1)解：如下圖即為所求作:

S1

(2)解：如下圖即為所求作:

答案第11頁，共17頁

(3)1一"2_1

【分析】(1)先證明NE=N尸，再結合正方形的性質證明二鉆石戶即可；

(2)設AB=AD=3a,貝ljDE=a,AE=4a,證明BE=AF,AE=DF,求解BE=AF=5a,

EG=—a,AG=ABAE=—a,FG=AF-AG=—a,如圖，連接砂，證明

5BE55

△EAFs/\DAH,可得tanZAHD=tan/AFE==—；

FG13

DEDEGEDF

(3)證明tan/FAD==,/FHC—/GAE，再證明Z\AGEs/\HCF,可得=,

DFAEDEHF

證明△GEZJsADEH,可得里=膽=左，設OE=CF=a,則切=成，求解c”=aV正二I，

GDED

證明HCFsADF,設AT>=CD=1,貝/=1+。，再進一步求解即可.

【詳解】(1)證明：在正方形ABCD中，AB=BC=CD=AD,ZBAD=ZADC=90°,

而BESAF,

ZFAD+ZF=90°,ZFAD-^-ZE=90°,

???ZE=NF,

在.和中，

ZE=ZF

<ZBAE=ZADF=90°,

AB=AD

^.^ABE^ADAF；

(2)解：9：AABE^ADAF,

:.BE=AF,AE=DF9

答案第12頁，共17頁

?；AD:DE=3:l,

^AB=AD=3a,貝UDE=a,AE=4a,

在RtAABE■中，BE=AF=y/AB2+BE2=5a>

./AT^nA4。16AB-AE12

??EG=AE?cosAAEB=4〃x——=一a,AG=--------=一a,

5a5BE5

13

???FG=AF-AG=—af

如圖，連接￡F,

J.AD//BC,AB//CD,

BCAF

：.ZAHB=ZHAD,

BH~AH

AEDF/?八ABBCAF

----==tanNFAD=tanNAHB=-------=,/EAFADAH

ADADBHBHAH

???AEAFsADAH,

tanZAHD=tan/AFE==—；

FG13

(3)解：9：ZFDE=9Q°,AD//BC,

DEDE

tan/FAD==,/FHC=/GAE,

DFAE

由(1)知ZWE/ZSA。尸，

ZAEB=ZDFA,AE=DF,貝！JDE=CF,

ZFCH=AAGE=90°,

JZ\AGE^Z\HCF,

.GE_AE

**CF-HF?

.GEDF

??__——,

DEHF

■:ZGED=ZHFD,

：./\GED^/\DFH,

答案第13頁，共17頁

.DH

GDED

設DE=CF=a,貝UFH=ak，

在RtCHF中，CH=祈2-1，

VZHCF=ZADF,ZCFH=ZDFAf

:.匕HCFs.ADF,

設AD=CD=1,則止=l+a,

.CH_CF

tanNDFE=""=""=1—y/k2—1.

DFAE

【點睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質，正方形的性質，相似三角形的判定與性質，

銳角三角函數的應用，本題的難度大，作出合適的輔助線，確定需要的相似三角形是解本題

的關鍵.

18.A到B的距離為38米，該新能源汽車沒有超過該路段60千米/小時的限速.

【分析】本題考查銳角三角函數，解直角三角形的實際應用，解題的關鍵是熟記特殊角的三

角函數值.

解直角三角形，可得QB和QA,作差即可得A到3的距離，結合題意計算速度，與60千米/

小時的限速作比較即可.

【詳解】解：由題可知，△尸沙和△PQ4均為直角三角形，NQ=9O。，

VZBPQ=30°,尸。=90米，

，=Pg-tan30°=90x^=3073?30x1.73=51.9?52（米），

：ZAPQ=45°,PQ=90米，

：.QA=PQ-tw450=90（米），

.*.45=90-52=38（米），

從A處至Ij3處的速度為38+3x60x60+1000=45.6^46（千米/小時），

V46<60