第15練導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

一、課本變式練

1.（人A選擇性必修二P92練習(xí)T1變式）函數(shù)/（x）的定義域?yàn)殚_區(qū)間（。力）,導(dǎo)函數(shù)r（x）在（°力）內(nèi)的圖像

如圖所示,則函數(shù)〃力在開區(qū)間（。力）內(nèi)有極小值點(diǎn)（）

【解析】由導(dǎo)函數(shù)/（力在區(qū)間（。力）內(nèi)的圖象可知，函數(shù)/（無）在6）內(nèi)的圖象與x軸有四個(gè)公共點(diǎn)，

在從左到右第一個(gè)點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)左正右負(fù)，在從左到右第二個(gè)點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)左負(fù)右正，在從左到右第三個(gè)點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)左

正右正，在從左到右第四個(gè)點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)左正右負(fù)，所以函數(shù)/（X）在開區(qū)間（。力）內(nèi)的極小值點(diǎn)有1個(gè)，

故選A.

2.（人A選擇性必修二P89練習(xí)T3變式）偶函數(shù)/（力為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),/（無）的圖象如圖所示,則函數(shù)

/（X）的圖象可能為（）

【解析】由/'(%)圖象可知,/(力的圖象從左往右，是增f減f增，由此排除AD選項(xiàng),

由/(%)圖象可知，當(dāng)％f+8時(shí),/(同增長(zhǎng)越來越快，由此排除C選項(xiàng).故選B

3.(人A選擇性必修二P97習(xí)題5.3T12變式)己知函數(shù)〃尤)=xe*-a(x+lnx+l),若20恒成立，則正

數(shù)。的取值范圍是

【答案】(一8』

【解析】/(%)>0<^>xex-6i(x+lnx+l)>0<^>ex+lnx>tz(x+lnx+l),

當(dāng)x+lnx+1W0時(shí)，原不等式恒成立;

e%+lnx,x+lnxr+lnr+l

當(dāng)％+lnx+l>0時(shí),aW--------，由e*>x+1得---e----->--------=1,

x+Inx+1x+lnx+1x+lnx+1

當(dāng)且僅當(dāng)x+lnx=O等號(hào)成立，所以.

2

4.(人A選擇性必修二P97習(xí)題5.3T13變式)已知函數(shù)/(%)=/+〃/+/?犬+。在元=1與工=一§時(shí),都取得

極值.

⑴求。涉的值;

(2)若/(-1)V,求/(%)的單調(diào)增區(qū)間和極值.

【解析】(1)/'(司=3》2+2辦+久由條件可知/'(1)=0和7'0,

3+2a+b=0

即《44a,八,解得：=~—,b=-2,

-------+b=02

133

所以〃工)=尤3-；/-2尤+(?,

檢驗(yàn)：/'(X)=3d—%—2=(^-1)(3%+2)

T_2

X(l,+8)

-3〔-川1

以4+0—0+

“X)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增

21

經(jīng)檢驗(yàn)x=l^x=-j時(shí)，都取得極值，滿足條件，所以。=-；"=-2；

13

(2)f(-1)=-l--+2+c=-，解得：c=1,

所以/(%)=一：%2一2%+1

/r(x)=3x2-x-2=(x-l)(3x+2)

_2

X(l,+co)

-31

+0—0+

盟X)

49

“X)單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增

極大值為極小值2

由表可知涵數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是,巴-3和（L+8）,單調(diào)遞減區(qū)間是

,?。?函數(shù)的極大值是涵數(shù)的極小值是

二、考點(diǎn)分類練

（一）導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性

5.（2022屆陜西省西安市周至縣高三下學(xué)期三模）若對(duì)任意的冷龍2?帆,田），且不<%,都有

M”<2成立，則實(shí)數(shù)m的最小值是（）

A.1B.eC.e-2D.e-1

【答案】D

【解析】由占e(〃&+oo),且不<三,可得馬-玉>0,

為Inx?—x,InM^/、

則----^37------<2等價(jià)于玉In赴一%In%<2(%-%)，

Inx2+2In%+2

即x{Inx2+2龍i<x2lnx1+2x2，所以％(Inx2+2)<x2(ln玉+2),故-------<-------

令則〃n)</a),

因?yàn)獒?>%>機(jī),所以〃尤)在(根,內(nèi))上為單調(diào)遞減函數(shù)，

—Itny—111

又由/'(x)=-9—<0,解得所以w

xee

所以實(shí)數(shù)〃?的最小值為L(zhǎng)故選D.

e

6.(2022屆河北省省級(jí)聯(lián)測(cè)高三考試)若函數(shù)/。)=(/+，加卜工在-g,l上存在單調(diào)遞減區(qū)間，則機(jī)的取值

范圍是?

【答案】/?<|

【角畢析】ff(x)=(2x+m)ex+(x2+mx)ex=[f+(機(jī)+2)X+機(jī)]e",

則原向題等價(jià)于((元)<o在,1上有解，即/+(加+2)x+〃?<o在弓,1上有解，

-Y2-2x「1-

即切<A"在一不1上有解，

x+12」

-Y2-2r11「1

因?yàn)閄/X=_(x+1)+，,且y=-(x+l)+—7在一不1上單調(diào)遞減，

X+1X+1犬+1_，_

_11_3

所以當(dāng)工=-〈時(shí),%-二一(一務(wù)+“+—r^=5,所以機(jī)<[.

2-----r12

2

7.(2022屆四川省成都市高三第三次診斷考試)已知函數(shù)/(尤)=2/+3以2—i2/x,其中qeR.

⑴求函數(shù)/(X)的單調(diào)區(qū)間；

⑵設(shè)函數(shù)g(x)=2x3-x2-(12c?2-l)x+2sinx-2.當(dāng)4>0,尤>0時(shí),證明：g(x)<f(x).

【解析】(1)由題可得/,(^)=6x2+6ar-12?2=6(x+2a)(^-tz).

①若a>0,當(dāng)-2a<x<a時(shí)，/'(x)<0；當(dāng)無<-2a或x>。時(shí)，/'(x)>0.

②若a=0,恒有尸(x)20.

③若a<0,當(dāng)a<x<-2a時(shí)/,(x)<0；當(dāng)x<a或%>一2”時(shí)

綜上，當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)/(元)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-2a,a),單調(diào)遞增區(qū)間為(―,-2a),(a,4w)；

當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(—,心)；

當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為(a,-2a)，單調(diào)遞增區(qū)間為(y,a),(-2a,+(x>).

(2)由題可得/(x)-g(x)=3辦2+冗2-x-2sinx+2.

由題意，則需證明對(duì)任意a>0,x>0,不等式3加一％_25由％+2>0成立.

由3加>o恒成立，只需證明對(duì)任意%>0,不等式x2-^>2(sinx-l)成立，

①當(dāng)時(shí),???f_x2o,2(sinx-1)(0,

???不等式爐-x22(sinx-1)成立.

②當(dāng)Ovxvl時(shí)，設(shè)—%—2sinx+2.

"(x)=2%一l—2cosx.

設(shè)/⑺=2%-1-2cosx.

?x)=2+2sinx.

??,當(dāng)0v%v1時(shí),/(x)〉0恒成立，函數(shù)方⑺在(0,1)上單調(diào)遞增,

兀

/.^(x)</(l)=l-2cosl<l-2cos—=0.

???當(dāng)0〈元<1時(shí),〃(％)<0恒成立，函數(shù)力("在(04)上單調(diào)遞減,

Ah(x)>/i(l)=2(l-sinl)>0.即不等式x2-x>2(sinx-l)成立.

綜上，當(dāng)a>0,%>0時(shí),不等式3加+工2一%-2sinx+2〉0成立，

即g(x)<f(X)成立.

(二)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值

8.(2022屆新疆高三下學(xué)期第三次檢測(cè))若函數(shù)〃力=%3一加一法+"在％=1處有極值10,則a-6=()

A.6B.-15C.一6或15D.6或-15

【答案】B

【解析】f(x)=xi-bx+a2f'(x)=3x2-2cuc-b

又尤=1時(shí)/(x)有極值10

3—2a—b=0a=-4a=3

，解得b=U或

1—a—b+/=0b=—3

當(dāng)a=3/二-3時(shí),/'(x)-3x2-6x+3=3(%-I)2>0

此時(shí)在X=1處無極值，不符合題意

經(jīng)檢驗(yàn),。=-4力=11時(shí)滿足題意

；.a-b=-15,故選B

9.(2022屆廣東省高三三模)己知a/eR,e是自然對(duì)數(shù)的底，若6+e)=a+lna,則￡的取值可以是(

b

A.1B.2C.3D.4

【答案】CD

【解析】設(shè)/(%)=%+巴則〃%)在R上單調(diào)遞增,

/(/?)-/(ln?)=&+ez,-^Intz+e^)=a+lna-(lna+a)=O^lJb=lna,

設(shè)q=/>0,貝?。?=初，即lna=Z?=In(to)=lnZ?+ln/,

b

所以ln，=Z?-In"

1V—1

設(shè)g(x)=x-lnx,x>0,g'(x)=l——=-——,

XX

當(dāng)X￡(0,1),g'(x)<0,當(dāng)X￡(l,+oo),g(x)>0,

則g⑺在(。,1)單調(diào)遞減，在(1,y)單調(diào)遞增，

gWlrin=g(l)=l，Bpinr>l,

所以de,即故/的取值可以是3和4.故選CD.

bb

10.設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)/(x)=ex~2x+2a,x^R.

(1)求兀0的單調(diào)區(qū)間與極值；

(2)求證：當(dāng)tz>ln2—1且x>0時(shí),/>%2—2ox+l.

【解析】(1)由7U)=ex—2x+2”(x￡R)知((x)=ex—2.

令f\x)=0,得％=ln2.

當(dāng)％Vln2時(shí)，/(x)V0,故函數(shù)危)在區(qū)間(一oo,ln2)上單調(diào)遞減；

當(dāng)x>ln2時(shí)，/⑺>0,故函數(shù)兀V)在區(qū)間(ln2,+oo)上單調(diào)遞增.

???“X)的單調(diào)遞減區(qū)間是(一8,1口2),單調(diào)遞增區(qū)間是(1112,+8),

危)極小值為加12)=”—21n2+2〃=2—21n2+2〃,無極大值;

(2)要證當(dāng)tz>ln2—1且x>0時(shí),，>%2—2?x+l,

即證當(dāng)tz>ln2—1且％>0時(shí),/一冗2+2ax—l>0.

設(shè)g(x)=ex~x2+2ax~l(x>0).

則g'（x）—ex~2x+2a,

由⑴知g'GL=2—21n2+2a.

又a>ln2—1,貝Ug'（x\.n>0.

于是對(duì)VxGR,都有g(shù)1x）>0,

；.g（x）在R上單調(diào)遞增.

于是對(duì)Vx>0,都有g(shù)（x）>g（0）=0.

即ex~x2-\-2ax~l>0,

故ex>x2~2ax+1.

（三）導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的零點(diǎn)、方程實(shí)根

e，+4ZHx>0

11.（2022屆華大聯(lián)考高三3月教學(xué)質(zhì)量測(cè)評(píng)）已知函數(shù)"x）=c?'/,"若VX-NWR,

用上以義>0,且g（x）=〃x）-x-2僅有1個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為（）

【答案】C

【解析】因?yàn)関x：1€&有八［八）>0,即（為-々）"（占）7。2）］>。，

X］x2

即為-9與/（現(xiàn)）-/（々）同號(hào)，所以“%）在R上單調(diào)遞增，

/、/、f0<m<11

即〃尤）在（-1,y）上單調(diào)遞增，則4根+1>2，故：4枕<1；

因?yàn)閥=e*+4相在x=0處的切線方程為y-（4m+l）=x,即y=尤+4%+1,

又4初+122,所以y=x+2與y=e*+4%（x>0）沒有公共點(diǎn),

若函數(shù)g。）=/（x）-x-2僅有一個(gè)零點(diǎn)，

所以函數(shù)y=/（尤）與y=x+2圖象僅有一個(gè)交點(diǎn)，

貝IJy=x+2與y=2-log,?（x+1）有且僅有1個(gè)公共點(diǎn)，且為（0,2）,

所以y=2-log,“(x+l)在x=0處的切線的斜率左大于等于1,

,11

而y=-7~.i\i，得k=---21,

(x+l)lnmInm

口1l+lnm八口1

即-----M0，觸得一W機(jī)，

Inme

綜上，加的取值范圍為【Li).

12.(2022屆山東省泰安市高三二模)已知函數(shù)/(x)=lnx-辦2+l,aeR,則下列結(jié)論正確的是()

A.對(duì)任意的aeR,存在%e(0,4<o),使得/(xo)=O

B.若4是〃x)的極值點(diǎn)，則/(%)在(4")上單調(diào)遞減

C.函數(shù)〃x)的最大值為IT?2。)

D.若〃x)有兩個(gè)零點(diǎn)，則0<。<]

【答案】BD

【解析】由題意知：x>0"'(x)=L-2以=匕2，當(dāng)aVO時(shí)，廣(x)>0J⑶單增，無最大值，故C錯(cuò)誤；當(dāng)

、

。>0時(shí)，在0,上,/'(x)>0,/(x)單增；在+8上，八x)<0"(x)單減;

7

故/(—(&)/LL+J.<o,即“>；時(shí),f(x)無零點(diǎn)，故A錯(cuò)誤;

max

2a2、2

」，故在|?/—1,+°°單減,正確;

若A是/(x)的極值點(diǎn)，則a>0,EB

2a

2a7

Ie

若〃尤)有兩個(gè)零點(diǎn)，則a>0,且/(%)_=ln+—>0,解得0<。<彳，

22

又了-0時(shí),/。）-?-8#-?+8時(shí)，/0）-?-00,此時(shí)/（X）有兩個(gè)零點(diǎn),D正確.故選BD.

13.（2022屆河南省重點(diǎn)高中“頂尖計(jì)劃”高三第四次考試）已知函數(shù)/（司=62工+3彳/，g（x）=（4+3）xe，,若

關(guān)于x的方程“X）=g（%）在區(qū)間（0,+動(dòng)上恰有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)A的取值范圍是.

【答案】（e,3）u（3,E）

【解析】問題oe2jt+3〃2=（彳+3）xe*即§+p.32=3+%在區(qū)間（0,+"）上恰有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根.

設(shè)”三（x>0）/=er（f+1）,則xe（O,l）時(shí),「>0,函數(shù)單調(diào)遞增,xe（l,E）時(shí)”<0,函數(shù)單調(diào)遞減.當(dāng)

x=0時(shí)，7=0；當(dāng)x=l時(shí),%[=1；當(dāng)xf+8時(shí)，且r>0.如示意圖:

e

由圖可知，當(dāng)0<t<；時(shí)，函數(shù)r=j（x>o）有2個(gè)零點(diǎn)，于是問題o關(guān)于r的的方程:+人32=3+2即

3”—(3+力+1=0在1o.

上有2個(gè)不等實(shí)根.

設(shè)f[t）—3幾廠-（3+4）r+l的兩個(gè)零點(diǎn)為,易知，"2>。n"2=>。n彳>。.

=Xe(e,3)u(3,+oo)

14.（2022屆河南省洛陽市高三第三次統(tǒng)考）已知函數(shù)〃x）=lnx+x2一十+m（7"€11）,8（%）=（彳-2戶-%2（其

中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.

（D判斷函數(shù)〃尤）的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說明理由;

⑵當(dāng)x€（0,1]時(shí),/（x）+g（%）<0恒成立，求整數(shù)"2的最大值.

【解析】（1）函數(shù)/（無）有且只有一個(gè)零點(diǎn).

理由如下：因?yàn)槭?x)=g+2x-l=空子里(x>0)

當(dāng)x>0時(shí)，2尤2-尤+1=2(尤一!)+->0,

I4J8

所以/(x)>O.〃x)在(。，y)上遞增.

所以函數(shù)“可至多有一個(gè)零點(diǎn)，

又X―0時(shí),/(尤)--00；%—+8時(shí),/(%)—+00

所以函數(shù)〃力有且只有一個(gè)零點(diǎn).

(2)當(dāng)尤￡(0,1］時(shí),〃x)+g(x)<0,即m<(-A：+2)ex-lnx+x,

令力(%)=(_%+2)e"-lnx+x,%e(0,l］,

所以“(x)=(l_x)1e=J,

當(dāng)0<x4l時(shí),1一元20,

設(shè)"(X)=^-J,"(X)在(0,1］上單調(diào)遞增，且=五-2<0,"⑴=e-1)0,

所以存在M，使得"(5)=0,

%1.

艮口e。=,InXQ=-x0,

%

當(dāng)%￡(O,%o)時(shí),〃(無)〈0,”(九)vO；當(dāng)時(shí),“(%)>0,//(九)>0.

所以函數(shù)M%)在(。,瓦)上單調(diào)遞減，在(%,1)上單調(diào)遞增.

?，?g)111ta=/z(%)=(f+2)e"-ln%+%,

z_x1_12c

=(—XQ+2)F2XQ=-IH---F2XQ

%不

2

又y=-1+-+2%在％e(O,l)上單調(diào)遞減，

x

又X。d,所以go)=T+：+2x°e(3,4),

所以整數(shù)加的最大值是3.

(四)導(dǎo)數(shù)與不等式

15.(2022屆江西省贛州市高三二模)已知。=4=塔,c=S則”,c的大小關(guān)系為(

e55

A.b<c<aB.c<a<bC.c<b<aD.b<a<c

【答案】D

【解析】令=F廁尸⑺=上手，當(dāng)xe(O,e)時(shí),廣。)>0J(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)xe(e,4w)時(shí)，/(x)<0J(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x=e時(shí),/⑺取得極大值，則“=：=〃e)>6=殍=〃5),

211

c=-=—>一，故c>a>b.故選D

52.5e

16.(2022屆云南省高三第二次統(tǒng)一檢測(cè))已知e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).若去?1,口),使根e"J6尤51n元W0,

則實(shí)數(shù)m的取值范圍為.

【答案】

【解析】當(dāng)相V0時(shí),相匕皿40,6%51nxN0,顯然機(jī)e皿-In%W0成立，符合題意；

當(dāng)相>0時(shí)，由%>1,me如一6%51nx<0,可得mxe^-6x6InX03Piwc6mxx6Inx6,mxe^WInx6e",

令/(x)=xex(x>0),/'0)=(無+1)6，>0,/口)在[0,+8)上單增,又7^>。,111尤62。，故如e'wWlnfei",

即/(〃式)4/(111尤6),即加比41nx6,/"W處之即mve[l,+o。)使mW處3成立，令g(x)=3?,則

XXX

，/、6-61nx

gW=----2-'

x

當(dāng)xe[l,e)時(shí)，g'(x)>O,g(x)單增，當(dāng)xe(e,+oo)時(shí),g'(x)<0,g(x)單減，故g(x)皿=g(e)=-,^0<m<-；

ee

綜上：m<-.

e

17.(2022屆東北三省四市教研聯(lián)合體高三模擬)已知函數(shù)=

(1)求函數(shù)/(力在點(diǎn)處的切線方程；

(2)如果當(dāng)x>1時(shí),不等式/(x)2-^―恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

XIX十1I

【解析】⑴因?yàn)?3=上誓，所以尸3=二叫2=土辛，

XXX

所以〃1)=1J'(1)=T,即切點(diǎn)為(L1),切線的斜率％=-1,

所以切線方程為y-i=-i(x-1),即y=-尤+2；

1+Inxk、

(2)因?yàn)橛?-x(x+i)對(duì)％er[1，+a)恒成立，

即1+1―>—對(duì)xe[1,+8)恒成立，

即^<^l+^j（l+lnx）對(duì)XE［1,+8）恒成立，

令/z（x）=+—^（1+Inx）,xG［1,+（%））,

則“（力=一：（1+111村+11+￡|—=_*111苫+/=^^

令g（x）=x-lnx,尤e［1,+8）,貝！Jg'（無）=1_工=20,

所以g（x）在［1,+8）上單調(diào)遞增，所以g（x）2g（l）=l>0,

即〃（力>0在［1,+00）上恒成立，

所以〃（X）在［1,+8）上單調(diào)遞增，

所以3L=3）=2,

所以上<2,即左?9,2］；

三、最新模擬練

18.（2022屆甘肅省平?jīng)鍪懈呷诙文M）已知函數(shù)/（x）的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則/（x）的極值點(diǎn)的個(gè)

數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【解析】因?yàn)樵趚=0左、右兩邊的導(dǎo)數(shù)值均為負(fù)數(shù)，所以。不是極值點(diǎn)，故由圖可知/（尤）只有2個(gè)極值點(diǎn).故

選C

19.（2022屆四川省涼山州高三第三次診斷）函數(shù)〃尤）=“2-sinx,若〃尤）在（0,（）上有最小值廁實(shí)數(shù)。

的取值范圍是（）

A.（0,+s）B.（0,1）C.（一8,0）D.（-1,0）

【答案】A

【解析】由題意，函數(shù)〃尤）=§尤2_sinx,可得/'（x）=ox-cosx,

若。V0時(shí)，當(dāng)xe（04）時(shí)，可得/'⑴<0J（元）在（0,9上單調(diào)遞減,

此時(shí)函數(shù)在（0,$沒有最小值,不符合題意；

當(dāng)a>0時(shí)，令/'（x）=0,即依一cosx=0,即>=依與V=cosx的交點(diǎn),

畫出函數(shù)>=依與y=cosx的圖象，如圖所示，

結(jié)合圖象可得存在毛e（0,|），使得/（不）=0.

當(dāng)xe（0,x°）時(shí)，/（x）<0,〃x）單調(diào)遞減;

當(dāng)xe（與今）時(shí),⑺>0,“X）單調(diào)遞增，

此時(shí)函數(shù)〃x）在（0,今上有最小值，符合題意，

綜上可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（0,+e）.故選A.

20.（2022屆廣西南寧市高三第二次適應(yīng)性測(cè)試）已知函數(shù)〃x）=xcosx-忘sin］x+?J,x“0,p）,則函數(shù)

的最大值是（）

A.-coslB.-sinlC.1D.-近

【答案】B

【解析】依題意函數(shù)"X）=xcosx-&sin（元+彳］/（力=cosx—xsinx_夜cos（x+==（l-x）sinx,則函數(shù)

/（x）在（0,1）上遞增，在（1,叫上遞減.

因此在［O，P）上,/（x）1mx=/（l）=-sinl.故選B.

21.（2022屆廣西桂林、崇左、賀州市高三3月聯(lián)合調(diào)研）函數(shù)“X）的導(dǎo)函數(shù)為力2"）,對(duì)VxeR,都有

2r(無)>〃x)成立，若〃1!14)=2,則不等式〃同>:的解集是()

A.(0,1)B.(in4,+oo)C.(l,+oo)D.(0,ln4)

【答案】B

【解析】???也eR,都有2/'(x)>/(x)成立,/(x)-g/(x)>0,

1

令g(x)=工學(xué)，則于是有g(shù)，(x)=j"?］⑺-2"“)>o,

e2IJJJ

所以g(x)在R上單調(diào)遞增，

V/(ln4)=2,.-.g(ln4)=l,

X

,不寺式f^x)>&=g(x)>1=g(x)>g(ln4),

x>ln4,即不等式〃無)>「的解集是O4,內(nèi)).故選B.

22.(2022屆東北三省四市教研聯(lián)合體高三模擬)使函數(shù)/(尤)=xe=尤-lnx-a在(0,e］上存在零點(diǎn)的實(shí)數(shù)。

的值可以是()

A.-1B.0C.-D.e

e

【答案】D

［角星析］/(x)=0=>tz=xex—x—Inx,

令g(九)=xe%-x-lnx,xe(0,e］,

則函數(shù)/(x)=xex-x-］nx-a在(0,e］上存在零點(diǎn)等價(jià)于y=a于y=g(x)的圖像有交點(diǎn).

,(、x一1“八無+1/x1A(x+D(xe，-l)

g(x)=e+xe-1——=e(x+1)-------=(x+l)e——=------------------

xx\x)x

令7z(x)=xe"-1,XG(0,e］,

則〃(x)=e*+xe*>0,故/z(x)在(0,e］上單調(diào)遞增，

V/?(0)=-l<0,/7(l)=e-l>0,

...存在唯一的x°e(O,l),使得力(%)=0,即尤°e'o-l=O,即■=L,x°=-lnx。,

.,.當(dāng)°<X<%時(shí),M%)<0,g'x)<0,g(x)單調(diào)遞減,

當(dāng)演<%,e時(shí),/?(3)>0送，(%)>0任(%)單調(diào)遞增,

g(x)1111n=g(M)=/e項(xiàng)_/_取)=1_無0+%=1,

又x—。吐g(x)-

故xe(0,e],g(x)e[l,+oo),

：.a>l.故選D.

23.(多選)(2022屆山東省德州市高考二模)若函數(shù)〃同=111彳+4尤2-2》+1)(奴兄存在兩個(gè)極值點(diǎn)4超

(不〈尤2),則()

A.函數(shù)/(無)至少有一個(gè)零點(diǎn)B.a<0或a>2

C.0<Aj<^D./(%1)+/(x2)>l-21n2

【答案】ACD

[解析]對(duì)于A,/(x)=lnx+a^x2-2x+l)=lnx+a(x-l)2

/(l)=lnl+a(l-l)2=0,:.x=l是f(x)的一個(gè)零點(diǎn)，故A正確

對(duì)于B,7'(x)=-+a(2x-2)=2辦2-2辦+1

XX

f(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)占,尤2(%<3),

:.2ax2-2ax+l=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即/'(x)有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)可>。,々>0

A>0,BP(-2a)2-4x2axl=4?2-8a=4a(a-2)>0,「.a>2或a<0

%+/=1〉°

又x>0,%>。，..」1c，解得a>0

X,X-y=--->0

U2a

綜上,〃>2，故B錯(cuò)誤

對(duì)于C,由B選項(xiàng)可得，西+X2=1,「.1一%>玉，」.。<大<3

故C正確

對(duì)于D,/(%1)+f(x2)=In/+a(xf—2玉+1)+Inx2+a(xf—2x2+1)

=Inxxx2+a[x^+x；-2(x1+x2)+2]

將%+%2=1，須%2=二代入上式

2a

/(xj+/(x)=In—+a(l2-2x-2x1+2)=-ln2a+o(l--)

2lalaa

——In2—lna+〃-1=a—Inci—In2—1

令h(a)=a—]na—]n2—l(a>2)

I，,、11a—1

h(a)=l——=----->0

aa

有/z(〃)在(2,+8)上單調(diào)遞增,.?./z(a)>/z(2)=2—ln2—ln2—1=1—21n2,

故D正確

故選ACD

24.(2022屆江西省重點(diǎn)中學(xué)盟校高三第二次聯(lián)考)已知函數(shù)/(x)=xlnx-山2,且/(%)w。恒成立，則實(shí)數(shù)a

的最小值為

【答案】1

e

【解析】由題,x>0,故/(x)<。恒成立即x(lnx-ar)<0,BPa>—恒成立，令g(x)=反則

XX

令g<x)=o有％=e,故當(dāng)xe(0,e)時(shí)g[x)>0,g(無)單調(diào)遞增；當(dāng)xe(e,-H?)

g，G)=

時(shí)g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減，故gmax⑺=g(e)=g=」,故。2士即實(shí)數(shù)。的最小值為-

eeee

25.(2022屆遼寧省縣級(jí)重點(diǎn)高中協(xié)作體高三下學(xué)期4月聯(lián)考)若關(guān)于x的不等式x+lnx+lWoxe*恒成立,

則實(shí)數(shù)。的取值范圍為

【答案】口,+8)

【解析】x+lnx+lKave尤，其中x>0,

x+Inx+1

分離參數(shù)為QN

xex

令/W=U*，定義域?yàn)?0，+8)

(x+l)(x+lnx)

有/(%)二—

x2ex

令g(x)=x+lnx,x>0,

貝ijg'(x)=l+->0,

X

所以g(x)=x+lnx在(0,+e)上單調(diào)遞增,

1

又g(l)=l>O,g=--1<0,

ee

故存在me，使得m+lnm=0,

可得函數(shù)/(x)的遞增區(qū)間為(0,%),遞減區(qū)間為(血”)，

m+Inm+111111

有F(X)max=/(m)=------------=—=I

memmemelnwxem^nm+m^05

可得：a＞l,

故實(shí)數(shù)a的取值范圍為［I,+s)

26.(2022屆高三下學(xué)期4月適應(yīng)性考試)已知°,6eR,若々々，*3是函數(shù)f(x)=^+ax2+b的零點(diǎn)，且

占＜%＜三，㈤+|刃=岡，則6a+b的最小值是.

【答案】-16

【解析】/W=o即d=-(分?+切,可轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)

①若為，尤2＜0,無3＞0,此時(shí)。＞。,%＜。,由對(duì)稱性可知為＜-三〈石|＞值I不合題意

②若玉＜0,%,無3＞°,此時(shí)。＜0,6＞0,由題意得~Xl+X2=X3

對(duì)于方程(x-xI)(x-x2)(x-x3)=0

32

X—(%1+x2+X3)X+(XjX2+XjX3+尤2尤3)尤-尤1尤2無3=0

一(玉+x2+x3)=a

a=-2X

故<xx+xx+xx=0解得2

x21323b=x1

-x1x2x3=b

故6。+b=%：-12X2,(X2>0)

令g(x)=x3-12x,g'(x)=3(x+2)(x-2)

故g(x)在(0,2)上單調(diào)遞減，在(2,+s)上單調(diào)遞增

故6a+b的最小值為-16

故答案為：-16

27.(2022屆山東省德州市二模)已知函數(shù)/'(x)=cos2x+a(x2-l),g(x)=l-cosx.

7T7T

⑴當(dāng)4=0時(shí)，求/(X)圖象在(I))處的切線方程；

⑵當(dāng)。＞1時(shí)，求/(X)的極值；

(3)若苫€生)，/(x)為函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)，/'02g(x)恒成立，求a的取值范圍.

【解析】⑴當(dāng)(7=0時(shí),〃x)=cos2x,

/'(x)=-2cosxsinx=—sin2x,

2兀1

故左=/'cos—

42

所以y-；

，即x+j----=0；

24

(2)因?yàn)?x)=-2cosxsinx+2ov=-sin2x-\-2ax,

令^(x)=-sin2x+2ax,(x)=-2cos2x+2?=2(a-cos2x),

當(dāng)。＞1時(shí),0（耳＞0恒成立,

所以r（x）=-sin2x+2av單調(diào)遞增，且/,（0）=0,

則在（一oo,0）上廣（“＜0,〃尤））在（一8,0）上單調(diào)遞減;

則在（0,+s）上_f（x）＞。）,/⑴）在（0,+8）上單調(diào)遞增;

且〃0）=1-%所以，函數(shù)7（%）的極小值為1—凡無極大值.

⑶

已知/r(x)=-sin2x+2ox,fsinx+ov,

X

由f'Ng(x),

BP-sinx+辦Nl—cosx在九￡兀恒成立,

an、sinx+l-cosx.兀卜亙成立.

即a>------------在xG

X

sinx+1-cosx

設(shè)M%)=-------------------,xw

x(cosx+sinx)-(sinx+1-cosx)

hr(x)=

設(shè)m(x)=x(cosx+sinx)-(sinx+1-cosx),

mf(x)=cosx+sinx-xsinx+xcosx-cosx-sinx=x(cosx-sinx),

］，兀)可得cos%<0,sinx>0,

由XE

所以加(％)=x(cosx-sinx)<0

則機(jī)（x）在尤仁仁,兀）上單調(diào)遞減，可得Mx）＜《|J=g-2＜0,

所以〃（x）=皿口＜0,h（x）在（今,兀）上單調(diào)遞減,〃（x）＜:,

則。的取值范圍是：+GO]

28.（2022屆山東省臨沂市高三二模）己知函數(shù)/（無）=_r-；sinx.

TTTT

⑴若存在，使"成立，求〃的取值范圍；

（2）若80）=/（%）—加111%,存在4盧2￡（°，+°°）,且當(dāng)X內(nèi)2時(shí)，g（玉）=g（九2），求證：＜4/.

1sin%

【解析】⑴由〃）?axx--sinA;,ax,xE，即a.A-----

22x

人7/、1sinxsinx—xcosx

令M尤)=1—7-i，則磯尤）=

27

兀71

設(shè)0(％)=sinx—xcosx,xe，則d(x)=xsiwc>0,

了5

“（X）在:M上單調(diào)遞增,“（力＞0（;）=#-;等=、。-；）＞。，

在:段上,〃（x）＞0，M”單調(diào)遞增,

：及心=心）=1-￡

取值范圍是1-

0兀+)/

（2）不妨設(shè)。＜石＜々,

g(%)=g(%2),％—gsinX]-mlnxj=x2-^sinx2-mlnx2(*),

m(lnx2-In%,)=x2-x1--(sinx2-sin石)，

令y=x-sinx,故y'=l—cosx..O,故函數(shù)y=x—sinx在(0,+“)上單調(diào)遞增.

/.x2-sinx2>xx-sinxx，從而x2-xl>sinx2-sinx1,

由(*)得加(in4>(x2—石)一：(犬2_%J=g(%2一芯)，

c々一次1

2m>——-——!—>n0,

Inx2-In再

下面證明：>4^,

令%=L則，>1.即證明：則只要證明Inr-亨<0,

%In/5

設(shè)〃z(r)=lnr-:.磯t)="*<0在+00)恒成立，

.,.〃??)在(1,+8)單調(diào)遞減，故m(r)<m(l)=o,

/.2m>—————>Jx.x2

lnx2-1叫，

2

/.xxx2<4m.

四、高考真題練

29.(2021新高考卷I)已知函數(shù)/(%)=%(1-阮0.

(1)討論“幻的單調(diào)性;

(2)設(shè)a為兩個(gè)不相等的正數(shù)，且4次z-H泌=々-"證明：2<，+!<6.

ab

【解】(1)解：由函數(shù)的解析式可得/'(兀)=1-/加-1=-/3

.??XG(0,1),f(x)>0,/(x)單調(diào)遞增,

XG(1,+00),f(x)<0,/(x)單調(diào)遞減，

則/(X)在(0,1)單調(diào)遞增，在(L+8)單調(diào)遞減.

(2)證明：由4加一〃物5=4-5,得一工加工+1/〃!二工一工，

aabbba

即工(1一歷工)=4(1_岳!)，

aabb

由(1)/(x)在(0,1)單調(diào)遞增，在(L+a))單調(diào)遞減，

所以f(x)s=/(l)=l，且f(e)=0,

令占=L》2=L則西，X,為/(X)=k的兩根，其中左e(0,l).

ab

不妨令石e(0,l),x2e(l,e),則2-石>1,

先證2Vxi+犬2，即證入2>2-%，即證/(w)=/(玉)v/(2-,

令h(x)=f(x)-于(2-x),

貝!jh\x)=fr(x)+f'(2—x)=—Inx—ln(2—x)=—ln[x(2—x)]>0,

故函數(shù)/i(x)單調(diào)遞增，

:.h(x)<h(1)=0.v/(2—2vj+馬,得證?

同理，要證％+x2ve,即證f(x2)=/(%1)</(6-再)，

令(p(x)=f(x)-f(e-x),XG(0,1),

則(pr(x)=-ln[x(e-x)]，令"(%o)=0,

xG(O,%o),“(%)>0,(p(x)單調(diào)遞增，

XG(x0,1),(p\x)<0,(p(x)單調(diào)遞減，

又兀>0"(%)>0,且/(e)=0,

故工—0,。(。)>0,

cp(1)=于(1)-/(e-l)>0,

/.°(九)>0恒成立,

玉+九2ve得證，

貝！j2」+」<e.

ab

30.(2021新高考卷H)已知函數(shù)/(%)=(X-1)/—a/+b.

(1)討論/(x)的單調(diào)性；

(2)從下面兩個(gè)條件中選一個(gè),證明：/(%)有一個(gè)零點(diǎn)

1/

①一<〃V—,b>2〃；

22

②0<a<L。.

2

【解析】(1)由函數(shù)的解析式可得：f\x)=x^ex-2a),

當(dāng)a<0時(shí)，若xw(f,0),則/'(x)<0J(%)單調(diào)遞減，

若xe(0,”),則/⑴>0"⑺單調(diào)遞增；

當(dāng)0<a<；時(shí)，若XG(7D,ln(2a)),則/(x)>0,/(x)單調(diào)遞增,

若xG(in(2a),0),則/‘⑴<0J(x)單調(diào)遞減，

若X?0,4W),則廣(X)>0"⑺單調(diào)遞增;

當(dāng)a=g時(shí),/'(x)NOj(x)在R上單調(diào)遞增；

當(dāng)a>；時(shí)，若xw(―8,0),則尸(x)>0"(x)單調(diào)遞增，

若xe(0,ln(2a)),則/'(X)<0J(x)單調(diào)遞減，

若xe(ln(2a),+8),則/'(%)>0,/(x)單調(diào)遞增；

(2)若選擇條件①:

1p-/、

由于萬<a?萬，故1<2a<胃,則b>2a>l,f（0）=b-l>0,

而f[-b）=（-\-b）e~b-ab2-b<0,

而函數(shù)在區(qū)間（F,0）上單調(diào)遞增,故函數(shù)在區(qū)間（TX）,O）上有一個(gè)零點(diǎn).

/（ln（2a））=2a[in（2a）-1]-a[in（2a）1+b

>2a[ln（2a）-l]-a[ln（2a）]"+2a

=2aln（2a）-a[ln（2a）不

=aln（2a）[2-ln（2a）],

1p1

由于'〈q,y,l<2a<e2,te?ln（2<7）[2-ln（2<7）]>0,

結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)在區(qū)間(0,+")上沒有零點(diǎn).

綜上可得，題中的結(jié)論成立.

若選擇條件②：

由于0<a<g,故2a<1,則/(0)=8TW2a-l<0,

當(dāng)6N0時(shí),e?>4,4a<2J(2)=e2—4a+Z?>0,

而函數(shù)在區(qū)間(0,+“)上單調(diào)遞增,故函數(shù)在區(qū)間(0,+“)上有一個(gè)零點(diǎn).

當(dāng)6<0時(shí)，構(gòu)造函數(shù)H(x)=e、—x—1,則H'(x)=ex-1,

當(dāng)xe（T?,0）時(shí),H\x）<Q,H（x）單調(diào)遞減，

當(dāng)xw（0,-H?）吐"（％）>0,H（x）單調(diào)遞增，

注意到"（0）=0,故H（x）“恒成立，從而有：">x+1,此時(shí)：

=-ax2-Z?>（x-l）（x+l）-ar2+b=（1-,

當(dāng)x>F—'時(shí),（1—a）%2+（b—l）〉。，

Nl-a

?。?+1廁/（%）＞0,

即：/(0)<0,f

IR〉。'

而函數(shù)在區(qū)間（0,+8）上單調(diào)遞增,故函數(shù)在區(qū)間（0,+。）上有一個(gè)零點(diǎn).

/（in（2a））=la［in（2?）-1^-a［in（2tz）］2+b

<2a［ln（2a）-l］-Q［ln（2a）T+2a

=2aln（2a）-a［ln（2a）］2

=aln（2a）［2-ln（2〃）］,

由于0<a<g,0<2aCaln（2a）［2-ln（2a）］<。，

結(jié)