吉林市普通中學(xué)2024—2025學(xué)年度高中畢業(yè)年級(jí)第一次模擬測(cè)試數(shù)學(xué)試題1.已知復(fù)數(shù)z=i+1，則z=()A.0B.1【答案】C【解析】【分析】先求z的共軛復(fù)數(shù)，再利用復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式求解即可.【詳解】由z=i+1，則z=1-i，故選：C.2.“cosα<0”是“角α為第二象限角”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)充分條件、必要條件，結(jié)合三角函數(shù)在各象限的符號(hào)得解.【詳解】因?yàn)閏osα<0，所以α可能為第二、第三象限角，也可能終邊在x負(fù)半軸上，推不出α為第二象限角，但是角α為第二象限角，能推出cosα<0，所以“cosα<0”是“角α為第二象限角”的必要不充分條件.第2頁/共18頁故選：B2【答案】B【解析】【分析】解出集合B，根據(jù)集合交集運(yùn)算可求解.故選：B【答案】D【解析】【分析】根據(jù)平面向量共線與垂直的坐標(biāo)公式計(jì)算即可.故選：D.A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由正弦定理即二倍角公式可求cosB的值.【詳解】因?yàn)?a=3b，由正弦定理2sinA=3sinB，又A=2B，所以2sin2B=3sinB→4sinBcosB=3sinB,因?yàn)锽為三角形內(nèi)角，所以sinB≠0，所以4cosB=3→故選：A第3頁/共18頁6.已知等差數(shù)列{log3an}的公差為1，則）A.1B.3C.9D.【答案】D【解析】【分析】由題意得，從而對(duì)所求式子進(jìn)行變形即可求解.【詳解】由題意log3an+1-log3an=log3→,所以a5-a2a5-a2故選：D.7.設(shè)樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…,x2024的平均數(shù)為x，標(biāo)準(zhǔn)差為s，若樣本數(shù)據(jù)4x1+1，4x2+1，…,4x2024+1的平均數(shù)比標(biāo)準(zhǔn)差少3，則的最大值為()A.1B.C.4D.【答案】C【解析】【分析】由平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差的性質(zhì)結(jié)合已知條件得x=s-1，從而s2+x=s2+s-1≥-1，由此能求出的最大值．【詳解】樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…,x2024的平均數(shù)為x，標(biāo)準(zhǔn)差為s，樣本數(shù)據(jù)4x1+1，4x2+1，…,4x2024+1的平均數(shù)為4x+1，標(biāo)準(zhǔn)差為4s，依題意有4x+1=4s-3，得x=s-1， 由s≥0，s2+x=s2+s-1≥-1，所以即s=0時(shí)的最大值為4.故選：C.8.已知函數(shù)f(x)=2sin(wx+φ)（w>0的部分圖象如圖所示，若函數(shù)f(x+θ)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則θ的最小值為()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)圖象得到從而有再根據(jù)題設(shè)得到即可求解.【詳解】由圖知，f(0)=2sinφ=1，得到又所以，又由“五點(diǎn)法”作圖知，第三個(gè)點(diǎn)為得到解得，又f(x+θ)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則得到令k=0，得到令k=-1，得到所以θ的最小值為，故選：B.第4頁/共18頁第5頁/共18頁9.下列不等式成立的是()【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷A，由特殊值c2=0時(shí)可判斷BC，分類討論結(jié)合不等式性質(zhì)判斷D.【詳解】對(duì)于A，若ac2>bc2，由不等式性質(zhì)，兩邊同乘以，可得a>b，故A正確；對(duì)于B，若a>b，當(dāng)c2=0時(shí)，ac2=bc2，=0時(shí)，ac2≥bc2成立，但a≥b不成立，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若a≥b，當(dāng)c2>0時(shí)，由不等式性質(zhì)知ac2≥bc2，當(dāng)c2=0時(shí)，ac2=bc2，不等式也成立，綜上，若a≥b，則ac2≥bc2，故D正確.故選：AD10.如圖，在△ABC中，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E為AC上靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，AB=2，AC=3，C.D.【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算及向量數(shù)量積的幾何意義與運(yùn)算律可判斷各選項(xiàng).選項(xiàng)錯(cuò)誤；第6頁/共18頁B選項(xiàng)：由向量數(shù)量積的幾何意義可知-在-上的投影的數(shù)量為上又點(diǎn)E為AC上靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，即，所以-是-在-上的投影向量，B選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)：設(shè)又點(diǎn)G在AD上，可設(shè)則解得即選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：BC.A.f(x)是周期函數(shù)B.-1<f(x)<1C.f(x)在(0,π)上恰有1個(gè)極值點(diǎn)D.關(guān)于x的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)解【答案】BCD【解析】【分析】結(jié)合周期函數(shù)的特點(diǎn)可判斷A項(xiàng)；運(yùn)用函數(shù)放縮，再結(jié)合函數(shù)y=ex-x的性質(zhì)可判斷B項(xiàng)；二次求導(dǎo)，再運(yùn)用零點(diǎn)存在定理可判斷C項(xiàng)；分段研究可判斷D項(xiàng).【詳解】對(duì)于A項(xiàng)：由于y=sinx具有周期性，而y=ex-x不具有周期性，所以函數(shù)不是周期函數(shù)，故A錯(cuò)誤；第7頁/共18頁對(duì)于B項(xiàng)：因?yàn)楹瘮?shù)y=ex-x定義域?yàn)镽，且y,=ex-1，x-x單調(diào)遞增；所以又因?yàn)榈谝惶幍忍?hào)成立的條件是第二處等號(hào)成立的條件是x=0，所以兩處等號(hào)不能同時(shí)成立，對(duì)于C項(xiàng)：因?yàn)樵O(shè)g(x)=cosx(ex-x)-sinx(ex-1)，x∈(0,π)，則g,(x)=-sinx(ex-x)-exsinx<0，所以g(x)單調(diào)遞減，所以g(x)=cosx(ex-x)-sinx(ex-1)在(0,π)上有且僅有一個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，即fIX)有唯一的零點(diǎn)，所以f(x)在0,π上恰有1個(gè)極值點(diǎn)，故C正確；對(duì)于D項(xiàng)：因?yàn)榍襣(x)在(0,π)上單調(diào)遞減，所以存在使g所以當(dāng)x∈(0,x0)時(shí)，gX>0；當(dāng)x∈(x0,π)時(shí)，gX<0.所以當(dāng)x∈(0,x0)時(shí)，fIX)>0，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(x0,π)時(shí)，fIX<0，f(x)單調(diào)遞減.第8頁/共18頁所以又因?yàn)樗裕詙=fx與在(0,π)上有兩個(gè)交點(diǎn)，所以方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)解.所以所以方程在(3,+∞)上無實(shí)數(shù)解.當(dāng)<0，方程在上無實(shí)數(shù)解.；所以所以方程在(-∞,-3)上無實(shí)數(shù)解.綜上可知關(guān)于x的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，故D正確.故選：BCD第9頁/共18頁12.中國成功搭建了國際首個(gè)通信與智能融合的6G外場(chǎng)試驗(yàn)網(wǎng)，并形成貫通理論、技術(shù)、標(biāo)準(zhǔn)和應(yīng)用的全產(chǎn)業(yè)鏈創(chuàng)新環(huán)境.某科研院在研發(fā)6G項(xiàng)目時(shí)遇到了一項(xiàng)技術(shù)難題，由甲、乙兩個(gè)團(tuán)隊(duì)分別獨(dú)立攻關(guān).已知甲、乙團(tuán)隊(duì)攻克該項(xiàng)技術(shù)難題的概率分別為0.8和0.7，則該科研院攻克這項(xiàng)技術(shù)難題的概率為______．【解析】【分析】設(shè)相應(yīng)事件，根據(jù)對(duì)立事件結(jié)合獨(dú)立事件求即可得結(jié)果.【詳解】設(shè)甲、乙團(tuán)隊(duì)攻克該項(xiàng)技術(shù)難題分別為事件A,B，可得，所以該科研院攻克這項(xiàng)技術(shù)難題的概率為.故答案為：0.94.*}，將AUB中所有元素按從小到大的順序排列構(gòu)成數(shù)列{an}，則數(shù)列{an}的前20項(xiàng)和為______．【答案】345【解析】【分析】明確AUB中的元素，了解數(shù)列{an}前20項(xiàng)的構(gòu)成，可求數(shù)列{an}的前20項(xiàng)的和.所以數(shù)列{an}的前20項(xiàng)的和為：故答案為：34514.已知函數(shù)的零點(diǎn)分別為x1，x2，且x1>2，x2>2，則_____；若a<x2-x1恒成立，則整數(shù)a的最大值為______．【答案】①.2②.6第10頁/共18頁【解析】x1,ex 所以由已知參考數(shù)據(jù)利用零點(diǎn)存在性定理可得8.5<x2<9，可求x2-x1的范圍得整數(shù)a的最大值.函數(shù)與兩函數(shù)y=ex，y=lnx圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為f(x)和g(x)的零點(diǎn)，反比例函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，函數(shù)的圖象，可以由的圖象向右平移2個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位得到，則對(duì)稱直線為+2=x，函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，又函數(shù)y=ex與y=lnx互為反函數(shù)，圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，，x2>2時(shí)，有點(diǎn)(x1,ex與點(diǎn)(x2,lnx2)關(guān)于直線y=x對(duì)稱，則有，所以；利用零點(diǎn)存在性定理可得8.5<x2<9，故又若a<x2-x1恒成立，則整數(shù)a的最大值為6.故答案為：2；6.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵點(diǎn)是：函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，函數(shù)y=ex與y=lnx的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)與點(diǎn)(x2,lnx2)關(guān)于直線y=x對(duì)稱，得到.15.在新時(shí)代改革開放的浪潮中，吉林省踐行習(xí)近平總書記“綠水青山就是金山銀山，冰天雪地也是金山銀山”的發(fā)展理念，繪就了“一山一水一通道”的四季旅游璀璨畫卷，形成了“一山兩湖三江四季”的旅游IP矩陣．吉林某校為促進(jìn)學(xué)生對(duì)家鄉(xiāng)山水人文的了解，組織學(xué)生參加知識(shí)競(jìng)賽，比賽分為初賽和決賽，根據(jù)初賽成績(jī)，僅有30%的學(xué)生能進(jìn)入決賽．現(xiàn)從參加初賽的學(xué)生中隨機(jī)抽取100名，記錄并將成績(jī)分成以下6組：40,50)，50,60)，60,70)，[70,80)，80,90)，90,100，得到如下圖所示的頻率分布直方圖．（1）求頻率分布直方圖中a的值，并由此估計(jì)進(jìn)入決賽學(xué)生的初賽成績(jī)最低分；（2）從樣本成績(jī)?cè)赱60,90)內(nèi)的學(xué)生中，用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法抽取6人，再從這6人中任意抽取2人訪談，求至多有一人成績(jī)?cè)?0,70)內(nèi)的概率．【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率直方圖頻率和為1即可求出a的值，根據(jù)頻率分布直方圖結(jié)合百分位數(shù)的方法即可求進(jìn)入決賽學(xué)生的初賽成績(jī)最低分；（2）首先利用分層抽樣得到抽取成績(jī)?cè)赱60,70)的人數(shù)，再利用古典概型結(jié)合對(duì)立事件概率的求法進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】第12頁/共18頁根據(jù)初賽成績(jī)，僅有30%的學(xué)生能進(jìn)入決賽，因此可估計(jì)進(jìn)入決賽學(xué)生的初賽成績(jī)最低分n應(yīng)該在[70,80)之間，【小問2詳解】由成績(jī)?cè)?0,70)的頻率為0.30，在[70,80)的頻率為0.20，在80,90)的頻率為0.10，則從樣本成績(jī)?cè)赱60,90)內(nèi)的學(xué)生中，用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法抽取6人中，則從這6人中任意抽取2人訪談，至多有一人成績(jī)?cè)?0,70內(nèi)的概率為.16.已知冪函數(shù)f(x)=xα(α∈R）的圖象過點(diǎn)(9,3)．（1）求關(guān)于x的不等式f(2x-1)<f(x)的解集；（2）若存在x使得f(x)f(lnx)成等比數(shù)列，求正實(shí)數(shù)t的取值范圍．【解析】【分析】（1）由冪函數(shù)過定點(diǎn)解出，再由單調(diào)性解不等式即可；（2）由等比數(shù)列的性質(zhì)列出等式，再分離參數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)性，從而得到結(jié)果；【小問1詳解】第13頁/共18頁所以，定義域?yàn)閤≥0，且為增函數(shù)，.解得，所以不等式的解集為.【小問2詳解】由題意可得所以，所以正實(shí)數(shù)t的取值范圍為.17.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，滿足a2+a4=10，S6=36.（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列{(-1)n+1Sn}的前2n（3）求數(shù)列的前n項(xiàng)和（2）H2n=-2n2-n【解析】第14頁/共18頁【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式可得解；（2）利用并項(xiàng)求和的方法可得解；由利用裂項(xiàng)相消法可得解.【小問1詳解】由已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，所以an=a1+(n-1)d=2n-1；【小問2詳解】由得an=2n-1，則則H2n=S1-S2+S3-S4+…+S2n-1-S2n2-22+32-42+…+(2n-1)2-(2n)2=(1-2)(1+2)+(3-4)(3+4)+…+(2n-1)-2n(2n-1+2n)=-(1+2+3+4+…+2n-1+2n)=-2n2-n；【小問3詳解】18.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，tanA=3tanC．第15頁/共18頁若求△ABC的面積S；（2）求證：2a2-2c2=b2；當(dāng)取最小值時(shí)，求tanC．（2）證明見解析（3）【解析】先由得到tanA的值，再結(jié)合tanB=-tan(A+C)得到tanB，根據(jù)正弦定理得到a，最后由三角形面積公式可得結(jié)果；（2）由同角三角函數(shù)的關(guān)系和正余弦定理，化簡(jiǎn)即可證明；（3）利用tanB=-tan(A+C)和tanA=3tanC，將tanB表示為代入化簡(jiǎn)可得均值不等式，計(jì)算求解即可.【小問1詳解】所以 所以△ABC的面積【小問2詳解】由余弦定理得化簡(jiǎn)得：b2+2c2-2a2=0，即2a2-2c2=b2.第16頁/共18頁【小問3詳解】由tanA=3tanC，可得此時(shí)（1）當(dāng)a=0時(shí)，若f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程為求實(shí)數(shù)m的值；（2）(ⅰ)證明：曲線y=fx是中心對(duì)稱圖形