甘肅省白銀市多校2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期7月期末檢測(cè)數(shù)學(xué)試題

一、單選題

1.已知復(fù)數(shù)Z?GR,ai(l+2i)=Z?+3i,貝?。輆+Z?=()

A.3B.-3C.4D.-4

2.(cos75°+sin75°)2=()

A2Ba不

Vr--.----D.I

222

3.對(duì)于隨機(jī)事件M,N,若P（McN）=g,P（M）=1,P（N）=

則尸（".N)=()

12D.&

A.-B.-c

33-16

4.已知AB=(-6,3),AC=(3,9),若=則A￡>=()

A.(5,—3)B.(6,-2)C.(-3,5)D.(-2,6)

5.已知向量〃=（2,-1）,6=（一2，,3）,且1〃（。一24，貝l］，=（）

A.-2B.2C.-3D.3

6.在VABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為。，b,c,若sin（A+C）=sin23,cosA——，，貝！I”

3

()

5「6

A.—B.-D

45-1-1

7.已知向量a為單位向量，6=（2,3）,且a-6=3,則辦在￡方向上的投影向量的模為（)

A.』B.2「5岳D,亞

252665

8.現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)盒子，甲盒裝有2個(gè)白球、3個(gè)黑球，乙盒裝有3個(gè)白球、4個(gè)黑球，從甲、乙兩盒各

拿出1個(gè)球，則這2個(gè)球顏色不同的概率為（）

14「3C.史17

A.—B.—D.——

3573535

二、多選題

ZV1

9.已知a￡(O,7T),sin—=-,則()

a_2y/1

a.cos—=------RCQCry———

239

C.a是銳角

10.某人拋擲一顆均勻的骰子兩次，事件M表示“第一次擲出的點(diǎn)數(shù)是3”，事件N表示“第二次擲出的點(diǎn)數(shù)

是4”，事件。表示“兩次擲出的點(diǎn)數(shù)之和是9”，事件S表示“兩次擲出的點(diǎn)數(shù)之和是7"，則（）

A.事件M與N相互獨(dú)立B.事件M與S相互獨(dú)立

C.事件N與。相互獨(dú)立D.事件N與S相互獨(dú)立

11.在四棱錐P-ABCD中，PC_L平面ABCD,ZABC=ZADC=90,ZBCD=120,PC=472，AB=10,

AD=8,則（）

A.四邊形ABC。外接圓的半徑為2小

B.四邊形ABC。外接圓的半徑為8應(yīng)

C.四棱錐尸-ABCD外接球的體積為288萬

D.四棱錐P-ABC。外接球的體積為144萬

三、填空題

12.已知tan[a-：）=g,則tana=.

13.已知復(fù)數(shù)z=3+2i,則與粵=______.

z-3

2兀

14.如圖，在VABC中，ZBAC=—,^E,尸分別在邊AB,AC上，線段AE和AF的長(zhǎng)均不超過9,點(diǎn)

尸在線段E尸上，且AP平分2E4尸，AP=3,則所長(zhǎng)度的取值范圍是.

四、解答題

15.在VA3C中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為〃，b,c,已知a=3,c=2,8為銳角，VABC的面積為

2y/2.

⑴求sinB；

（2）求VABC的周長(zhǎng).

16.已知sin（A+B）-sin（A-B）=^^,cos（A+B）+cos（A-B）=■

⑴求tanB的值；

(2)求sin25的值.

17.在梯形ABC。中，已知AB=2DC,AE=1(AB+AC),AE與交于點(diǎn)P.

⑴用AB，AD表示AE，AF'

(2)若AB=4,BC=2,BABC=4,求AE與8。所成角的余弦值.

18.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正四面體P2CZ)中，。是△3CD的重心，E是依的中點(diǎn).延長(zhǎng)8。到A,使得。4=加).

⑴證明：0E〃平面P4C.

(2)證明：AC=AP.

(3)求直線AP與平面ABC所成角的正弦值.

19.甲、乙兩支籃球隊(duì)進(jìn)入某次決賽，比賽采用“主客場(chǎng)比賽制”，具體賽制如下：若某隊(duì)兩場(chǎng)比賽均獲勝或

一勝一平，則獲得冠軍；若某隊(duì)兩場(chǎng)比賽均平局或一勝一負(fù)，則通過加時(shí)賽決出冠軍.現(xiàn)假定甲隊(duì)在主場(chǎng)獲

勝的概率為P,平局的概率為子，其中0＜夕＜1；甲隊(duì)在客場(chǎng)獲勝和平局的概率均為，；加時(shí)賽甲隊(duì)獲勝

的概率為P.不同對(duì)陣的結(jié)果相互獨(dú)立，假設(shè)甲隊(duì)先主場(chǎng)后客場(chǎng).

2

(1)已知p=1.

(i)求甲隊(duì)通過加時(shí)賽獲得冠軍的概率；

(ii)求甲隊(duì)獲得冠軍的概率.

(2)除“主客場(chǎng)比賽制”外，也經(jīng)常采用在第三方場(chǎng)地的“單場(chǎng)比賽制”：若某隊(duì)比賽獲勝則獲得冠軍；若為平

局，則通過加時(shí)賽決出冠軍.假定甲隊(duì)在第三方場(chǎng)地獲勝的概率為p?,平局的概率為哈，加時(shí)賽甲隊(duì)獲勝的

概率為p.問哪種賽制更有利于甲隊(duì)奪冠?

題號(hào)12345678910

答案BABCDCADACDABD

題號(hào)11

答案AC

1.B

根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算和復(fù)數(shù)相等的概念即可求解.

,/、\b=-2a[b=-6

【詳解】因?yàn)闅v（l+2i）=h+3i=—2a+ai,所以〃=3，解得〃=3，則〃+）=—3.

故選：B.

2.A

根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系以及二倍角公式求值.

【詳解】H^/（cos750+sin75°）2=cos275°+sin275°+2sin75°-cos75°

=l+sinl50°

13

=14+—=一.

22

故選：A

3.B

根據(jù)概率加法公式P（M"=P（M”（N）-P（McN）代入求解即可.

【詳解】己知尸（.）=；,尸（N）=g，尸（McN）=g,

111?

根據(jù)概率加法公式P（MuN）=P（拉）+P（N）—網(wǎng)/門雙”二+彳-二二二

2363

故選：B.

4.C

根據(jù)向量的減法表示進(jìn)而得到短，再根據(jù)向量加法的坐標(biāo)運(yùn)算法則計(jì)算即可.

【詳解】因?yàn)?所以AD-AB=；（AC-AB）,

1212

解得AD=—AC+—AB=—（3,9）+—（—6,3）=（1,3）+（—4,2）=（—3,5）,

故選：C

5.D

利用向量的坐標(biāo)進(jìn)行線性運(yùn)算和共線向量的坐標(biāo)運(yùn)算，即可求解參數(shù).

【詳解】因?yàn)閍=(2，T，6=(-21,3),所以4一2》=(2+牝一7),

由a//(a-26),得—2—4/=—14,解得f=3.

故選：D

6.C

根據(jù)二倍角公式和誘導(dǎo)公式得到cos2=],解得2=4，由同角三角函數(shù)關(guān)系得到sinA=",由正弦定理

233

得到方程，求出答案.

【詳解】因?yàn)閟in(A+C)=sinB,所以sinB=sin23=2sinBcos5.

1jr

因?yàn)??0,兀)，所以sinBwO,可得cos3=w，解得5=

因?yàn)閏osA=，Ae(0,7i),所以sinA=Jl-cos2A=.

33

4

由正弦定理得故四解得〃=§.

sinAsinB

故選：c

7.A

將向量等式兩邊平方后代入條件求得。力=|,再利用投影向量的定義計(jì)算即得.

【詳解】由卜一0=3兩邊取平方，可得同2一2。力+|(=9,

因同=1,6=(2,3),則|6|=亞二百=小，代入解得。小=|，

故b在a方向上的投影向量的模為|芳|

故選：A.

8.D

從甲、乙兩個(gè)盒子各取一個(gè)球相互獨(dú)立，利用獨(dú)立事件和互斥事件的概率公式即可求解.

【詳解】從甲、乙兩盒各拿出1個(gè)球?qū)儆谙嗷オ?dú)立事件，

所以這2個(gè)球顏色不同的概率為尸=2務(wù)4三+3白三3二1]7.

575735

故選：D.

9.ACD

根據(jù)同角三角函數(shù)的平方關(guān)系判斷A的真假;利用二倍角的余弦公式求cosa的值，判斷B的真假，根據(jù)cosa

的符號(hào)判斷C的真假；利用兩角和與差的正弦公式求sin［U+￡］判斷D的真假.

【詳解】因?yàn)椤福邸ａ埽?sin.=］所以cos.=Jl-sir??=平,A正確.

“X7

cost/=2cos2——l=2x——1=—>0,所以。為銳角，所以B錯(cuò)誤，C正確.

.(a7iy.a7ia,7i^2(12夜)4+0一小

sm一+—=sm—cos—+cos—sin—=———H-------=-----------,D正確.

［24)24242336

故選：ACD

10.ABD

根據(jù)給定條件，求出各事件的概率，再利用相互獨(dú)立事件的定義逐項(xiàng)判斷.

【詳解】依題意，P(M)=1,P(A^)=|,事件。包含(3,6),(6,3),(4,5),(5,4),共4種情況;

66

事件S包含(1,6),(6,1),(2,5),(5,2),(3,4),(4,3),共6種情況，

對(duì)于A,P(MN)J=P(M)P(N),事件M與N相互獨(dú)立，A正確.

36

對(duì)于B,尸(S)=W=J,P(MS)=-1-=P(M)P(S),事件M與S相互獨(dú)立，B正確；

36636

411

對(duì)于c,p(e)=—=-,P(NQ)=F^P(N)P(Q),事件N與。不相互獨(dú)立，c錯(cuò)誤；

36936

對(duì)于D,尸(NS)=L=P(N)P(S),事件N與S相互獨(dú)立，D正確.

36

故選：ABD

11.AC

連接AC,BD,設(shè)AC的中點(diǎn)為。一過。?作直線平面ABCZ),可得。?是四邊形A5CD的外接圓圓心，

球心。一定在直線/上，設(shè)尸C的中點(diǎn)為連接OM,可得加，尸C,進(jìn)而利用余弦定理求得3。，利用

正弦定理可求得四邊形ASCD外接圓的半徑，利用勾股定理求得外接球的半徑即可.

【詳解】連接AC,BD,設(shè)AC的中點(diǎn)為。一過。1作直線平面ABCZ),

因?yàn)镹ABC=NADC=90,所以AC是VA3C和AWC的公共斜邊，

即。1是四邊形ABCD的外接圓圓心，

所以直線/上的點(diǎn)到點(diǎn)A,B,C,。的距離相等，

故球心。一定在直線/上，即平面A5CD,現(xiàn)在只要保證OP=OC即可，

即球心0也在尸C的垂直平分線上.設(shè)尸C的中點(diǎn)為連接OM,則OMLPC.

因?yàn)閆BC￡>=120，所以NBAD=60，所以BD=JlO?+&2_2xl0x8cos60=201，

貝i」T^=4j7=2r=AC（為四邊形9CD外接圓的半徑）,

sin60

即廠=2有，故A正確，B錯(cuò)誤.

因?yàn)镻C_L平面ABC。，OQ，平面ABCD,所以O(shè)O"/PC.

又OMJLPC,所以四邊形。QCM為矩形，oq=akf=2V2,

所以該四棱錐外接球的半徑R=Jqc2+oo：=J28+8=6,

4

故四棱錐P-ABCD外接球的體積唳=§成3=288兀，故C正確，D錯(cuò)誤.

P

AB

故選：AC.

12.A

2

【詳解】.tan（a-：）=g,

（兀、兀1

/、tana——+tan——+1

—一一（一兀，兀、14）453

[44）]f（7iY兀112-

1-tana—tan—1--

I4J45

3

故答案為：—.

2

13.5

利用向量點(diǎn)的四則運(yùn)算求出復(fù)數(shù)竺

,再求其模長(zhǎng)即可.

z-3

6+8i6i-8,

【詳解】由z=3+2i可得z—3=2i,則-------=--------=4-

2i-2

故”=小于+（-3）2=5.

z—3

故答案為：5.

14」6石,竺

2

273

由SAEF=S,AEP+S.AFP可得w=3(m+〃),從而化簡(jiǎn)可得到加〃=3(幾-3)+々+18,令/=〃—3e-,6,利

n-32

用對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

【詳解】設(shè)=AF=n,EF=x,由題意可得/E4P=—E4P=60,且AP=3,

、133

因?yàn)镾.尸=SAEP+SAFP，所以萬機(jī)〃sinl2。=—msin60+—nsin60,

0<?<9,

3M9

可得m=3(m+〃)，m=---.因?yàn)?<m49,0<n<9,所以<解得產(chǎn)z49,

n-3

0<9,

n-3

3n23^—27+2797?7

所以加〃==3〃+9+——=3(〃一3)+——+18.

〃一3n—3n-317n-3

32727

令/=”-36-,6,因?yàn)楹瘮?shù)y=3f+—+182253fxy+18=36,當(dāng)且僅當(dāng)/=3時(shí)取等號(hào),

2753］上單調(diào)遞減，在(3,6)上單調(diào)遞增,

所以由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)可得、=3，+7+18在

3278Q11O1

所以當(dāng)爪-,6時(shí)，y=3t++18e36,—,貝|36?加〃工出.

T222

由余弦定理可得X2=m2+n2—2mncosl20=m2+n2+mn

2

(9當(dāng)567,故6"￥，

=771+“J-mn=g--mn=gmn——108

4

即防長(zhǎng)度的取值范圍是66,用.

故答案為：66?；.

15.⑴si加述

3

(2)8

(1)利用三角形面積公式求得sinB.

(2)利用余弦定理求得b即可得三角形周長(zhǎng).

【詳解】(1)由』acsin2=20,得Lx3x2sinB=20,解得5通=逑

223

n萬I

(2)由(1)知sinB=------,5為銳角，得COS5=7，又a=3,c=2,

33

由余弦定理得〃=。2+。2-2accosB=9+4-2x3x2xj=9,

解得6=3,所以VABC的周長(zhǎng)為8.

4

16.（l）y

24

Q）一

25

（1）根據(jù)兩角和差的正余弦公式，化簡(jiǎn)題目條件，根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系中的商數(shù)關(guān)系，求出結(jié)果;

（2）根據(jù)二倍角的正弦公式，由弦化切，求出結(jié)果即可.

【詳解】（1）因?yàn)?山（24+3）=$11）/匕053+（:00忠1115,

sin(A-5)=sinAcosB—cosAsinB,

所以sin(A+5)—sin(A_5)=2cosAsinB=~~~?

因?yàn)閏os(A+B)=cosAcosB—sinAsinB,cos(A-5)=cosAcos^+sinAsinB,

所以cos(A+3)+cos(A-B)=2cosAcosB=

472

g2cosAsinB八5-_4

得---------=tanB;-

2cosAcosB3^23,

5

4

(2)由(1)知tanB=—,

2sinBcosB2tanB

因?yàn)閟in25=2sinBcosB=

sin2B+COS2Btan2B+1'

所以sin2B=環(huán)工=石?

V+1

3132

17.mAE=-AB+-AD,AF=-AB+-AD

4255

0、3回

⑵一丁

（1）利用向量的線性運(yùn)算，結(jié)合三點(diǎn)共線向量性質(zhì)，即可求解各向量;

（2）利用向量積的運(yùn)算來求模長(zhǎng)和數(shù)量積，從而可求向量夾角的余弦值.

【詳解】（1）

DC

11O1

貝!JAE=-^AB+AC^=^AB+AD+DC^=-AB+-AD.

31

由A///A5，得4月二根人E=—mAB+—mAD,

42

由B,產(chǎn),￡>共線，^AF=AAB+(1-A)AD,

4一'-5'32

所以;得；，所以”=13+三必.

-m=l-2,4=一，55

125

(2)^^]AE=~BC-BA,BD=BC+-BA,

22

又AB=4,BC=2,BABC=4,

所以心80=180_回]80+)8斗；8。2_|80&4_：&42=-9.

|AE|=J[|BC-BAJ=J^BC2-BCBA+BA2=岳，

BD|=JjBC+^BA\=JBC2+BCBA+^BA2=2道.

八AEBD一93739

設(shè)AE與8。所成的角為凡則C°s8=「加|

\AE\\BD\V13X2A/326

18.(1)證明見解析

(2)證明見解析

⑶坐

3

(1)根據(jù)給定條件，利用線面平行的判定、面面平行的判定性質(zhì)推理得證.

(2)利用全等三角形性質(zhì)推理得證.

(3)求出P。長(zhǎng)，并利用(2)的結(jié)論，結(jié)合線面角的定義求解.

【詳解】(1)連接。。并延長(zhǎng)交8C于點(diǎn)/，連接OE,EF,

由。是△BCD的重心，得廠是BC的中點(diǎn)，而。是54的中點(diǎn)，則O/〃AC,

由。尸①平面PAC,ACu平面PAC,得￡>打〃平面PAC,

又E是的的中點(diǎn)，則研//PC,

由EF<Z平面尸AC,PCu平面PAC,得?！ㄆ矫鍼AC,

而EfDFu平面DEF,DFEF=F,則平面￡>￡尸〃平面PAC,

又OEu平面￡>￡尸，所以O(shè)E〃平面PAC.

(2)在正四面體P3CD中，NPDB=NCDB=6Q,PD=CD=2,

則NPZM=N-CZM=120,而AD=AD,

因此絲△CZM,所以AC=AP.

(3)連接尸。，AO,由。是正三角形BCD的重心，得平面3C。,

則直線"與平面ABC所成的角為NPAO,

由正四面體P2CD的每條棱長(zhǎng)為2,得。o=2x立x2=2叵

233

▲)2=乎，5LAD=CD=2,ZCOA=120,

則PO=

于是AC=2cos30義2=26，由(2)知AP=AC=26，

在/叢。中，POLOA,sinZPAO=—=^,

AP3

所以直線AP與平面A3C所成角的正弦值為顯.

3

io134

19.(1)(