第07講拋物線及其性質(zhì)

目錄

01考情透視?目標(biāo)導(dǎo)航............................................................2

02知識導(dǎo)圖?思維引航............................................................3

03考點突破?題型探究............................................................4

知識點1：拋物線的定義..........................................................4

知識點2：拋物線的方程'圖形及性質(zhì)..............................................4

解題方法總結(jié)...................................................................5

題型一：拋物線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程.................................................7

題型二：拋物線的軌跡方程.......................................................8

題型三：與拋物線有關(guān)的距離和最值問題...........................................9

題型四：拋物線中三角形，四邊形的面積問題......................................10

題型五：焦半徑問題............................................................11

題型六：拋物線的幾何性質(zhì)......................................................12

題型七：拋物線焦點弦的性質(zhì)....................................................14

題型八：拋物線的實際應(yīng)用......................................................16

04真題練習(xí)?命題洞見............................................................18

05課本典例高考素材............................................................19

06易錯分析?答題模板............................................................20

易錯點：拋物線焦點位置考慮不周全..............................................20

答題模板：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程....................................................20

考情透視.目標(biāo)導(dǎo)航

考點要求考題統(tǒng)計考情分析

2024年北京卷第11題，5分

2024年天津卷第12題，5分從近五年的全國卷的考查情況來看，本

（1）拋物線的定義及其

2024年II卷第10題，6分節(jié)是高考的熱點，其中標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)

標(biāo)準(zhǔn)方程

2023年北京卷第6題，5分考查比較頻繁.拋物線是圓雉曲線的重要內(nèi)

（2）拋物線的簡單幾何

2023年II卷第10題，5分容，新高考主要考查拋物線的定義'方程'

性質(zhì)

2023年乙卷（文）第13題，5分焦點、準(zhǔn)線及其幾何性質(zhì)的應(yīng)用.

2023年I卷第22題，12分

復(fù)習(xí)目標(biāo)：

（1）掌握拋物線的定義、幾何圖形'標(biāo)準(zhǔn)方程.

（2）掌握拋物線的簡單幾何性質(zhì)（范圍、對稱性、頂點、離心率）.

（3）了解拋物線的簡單應(yīng)用

匐2

〃二知識導(dǎo)圖?思維引航\\

把平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線I。不經(jīng)過點

F）的距離相等的點的軌跡

拋物線及其性質(zhì)

老占突硒?力理慳宙

知識固本

知識點1:拋物線的定義

平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線/（F//）的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，定點F叫拋物線的焦

點，定直線/叫做拋物線的準(zhǔn)線.

注：若在定義中有尸e/,則動點的軌跡為/的垂線，垂足為點尸.

【診斷自測】（2024.全國?模擬預(yù)測）拋物線V=4x的焦點到準(zhǔn)線的距離為（）

A.2B.4C.6D.8

知識點2：拋物線的方程、圖形及性質(zhì)

拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有4種形式：y2=2px,y2=-2px,x2=2py,x2=-2py（p>0）,其中一次項與

對稱軸一致，一次項系數(shù)的符號決定開口方向

/PI

圖形z

00斗

標(biāo)準(zhǔn)

y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)

方程

頂點0(0,0)

x>0,x<0,yNO,

范圍y<0,xeR

yeRyeRR

對稱軸X軸y軸

焦點嗎,。）F(--|,0)F(0,§p(o,一g

離心率e=l

P

準(zhǔn)線方程x=-Px--一

2222

焦半徑

AF=-%]+—

AF=x+—勺AF=y,+￡AF=-y,+?

i1211

4%，必)222

【診斷自測】焦點在直線2x+5y-10=0上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()

A.》2=10%或X2=4>B.V=-io%或爐=_4)

C.丁=20%或爐=8>D.y2=-20x^x2=-Sy

解題方法總結(jié)

1、點尸(%,%)與拋物線y2=2Px(p>0)的關(guān)系

(1)P在拋物線內(nèi)(含焦點)oy；<2px0.

(2)P在拋物線上oy；=2pxo.

(3)P在拋物線外oy；>2°%.

2、焦半徑

拋物線上的點P5,%)與焦點F的距離稱為焦半徑，若產(chǎn)=2Px(p>0),則焦半徑附=%+勺

附.=?.

Ilimn2

3、Mp>0)的幾何意義

p為焦點廠到準(zhǔn)線/的距離，即焦準(zhǔn)距，p越大，拋物線開口越大.

4、焦點弦

若AB為拋物線y2=2px(P>0)的焦點弦，A(/x),B(x2,y2),則有以下結(jié)論：

2

(1)%工2—彳?

⑵

(3)焦點弦長公式1：=再+/+P，%+.22“］工2=P,當(dāng)尤1=無2時，焦點弦取最小值2°,

即所有焦點弦中通徑最短，其長度為2P.

焦點弦長公式2：\AB\=^~為直線AB與對稱軸的夾角).

11sin2a

(4)AAO3的面積公式：5.=上一(a為直線AB與對稱軸的夾角).

AA/1VJD八,

2sma

5、拋物線的弦

若AB為拋物線丁=2px（p>0）的任意一條弦，ACkyJK%,%），弦的中點為加（毛，為）（%。。），則

（1）弦長公式：|—司=（3?=左。。）

⑵

為

（3）直線A8的方程為>—%=￡（%—%）

%

（4）線段AB的垂直平分線方程為>-%=-&（%-%）

P

6、求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的焦點和準(zhǔn)線的快速方法（4法）

4

（1）-=<（4￡0）焦點為（4,0）,準(zhǔn)線為尤=一4

44

（2）f?=Ay（AwO）焦點為（0,為A，準(zhǔn)線為丁=一2A

-4-4

如y=4尤2,即無2=）,焦點為（0,_L）,準(zhǔn)線方程為y=-J_

41616

7、參數(shù)方程

y2=2PMp>0）的參數(shù)方程為卜=2p廠（參數(shù)/eR）

[y=2pf

8、切線方程和切點弦方程

拋物線y2=2px（p>0）的切線方程為%y=p（x+Xo）,（毛,%）為切點

切點弦方程為%y=p（x+x0），點（為,%）在拋物線外

與中點弦平行的直線為%y=p（x+x0）,此直線與拋物線相離，點（%,%）（含焦點）是弦AB的中點,

中點弦A8的斜率與這條直線的斜率相等，用點差法也可以得到同樣的結(jié)果.

9、拋物線的通徑

過焦點且垂直于拋物線對稱軸的弦叫做拋物線的通徑.

對于拋物線丁=2px（°>0）,由4二，p）,B（—,-p）,可得|AB|=2p,故拋物線的通徑長為2P.

10、弦的中點坐標(biāo)與弦所在直線的斜率的關(guān)系：%=E

0k

11、焦點弦的?？夹再|(zhì)

已知A&,%）、8（9，%）是過拋物線，2=2px（p>0）焦點尸的弦，M是AB的中點，/是拋物線的準(zhǔn)

線，MN±l,N為垂足.

⑴以AB為直徑的圓必與準(zhǔn)線/相切，以AF（或2/）為直徑的圓與y軸相切;

(2)FN±AB,FC±FD

卒2=f；乂％=-/

(3)

(4)設(shè)BD，/,D為垂足，則A、。、。三點在一條直線上

題型一：拋物線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程

【典例1-1】（2024?四川南充.三模）己知A（l,祖）為拋物線。:產(chǎn)=2/（。＞0）上一點，點A到拋物線C焦點

的距離為2,則。=（）

A.2B.1C.-D.4

2

【典例1-2】已知動點尸（x,y）滿足5"（尤-1）2+（y-1）2=段+分-7|,則動點P的軌跡是（）

A.直線B.橢圓C.雙曲線D.拋物線

【方法技巧】

求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟為：

（1）先根據(jù)題設(shè)條件及拋物線定義判斷它為拋物線并確定焦點位置：

（2）根據(jù)題目條件列出P的方程

（3）解方程求出P,即得標(biāo)準(zhǔn)方程

【變式1-11頂點在原點，對稱軸是y軸，并且頂點與焦點的距離為3的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

A.尤2=±3yB.y~=+6x

C.x2=±12yD./=±12x

【變式1-2］設(shè)為是直線/的法向量，A、2為兩個定點，Ae/,Bel,尸為一動點，若點P滿足：

匕J=|而則動點尸的軌跡是（）.

向11

A.直線B.拋物線C.橢圓D.雙曲線

【變式1-3】已知拋物線C：丁=2℃（。>。）的焦點為區(qū)準(zhǔn)線/上有兩點A,B,若為等腰直角三角

形且面積為8,則拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）

A.y=4形xB.y2=8x

C.丁=4岳或_/=8xD./=4x

【變式1-4］以坐標(biāo)軸為對稱軸，焦點在直線3x-4y-12=0上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

A.f=16y或y2=i2xB./=i6x或—=12y

C.丁=16x或Y=-12yD.x?=16y或/=-12x

【變式1-5］（2024.陜西西安.二模）設(shè)拋物線C：y2=2pMp>0）的焦點為尸，點M在C上，\MF\=5,

若以MR為直徑的圓過點（0,|）,則C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

A.>2=%或72=9冗B.丁=4%或>2=18%

C.y2=2x^y2=18xD.y2=4x^y2=9x

題型二：拋物線的軌跡方程

【典例2-1】設(shè)廠（1,0）,點M在x軸上，點P在，軸上，且旃=2詼，PM1PF'當(dāng)點P在'軸上運(yùn)動時,

點N的軌跡方程為一.

【典例2-2】（2024?江蘇南通?二模）已知拋物線C:y?=4x,過點（4,0）的直線與拋物線交于A,B兩點,

則線段中點”的軌跡方程為.

【方法技巧】

常見考題中，會讓我們利用圓錐曲線的定義求解點P的軌跡方程，這時候要注意把動點尸和滿足焦點

標(biāo)志的定點連起來做判斷.焦點往往有以下的特征：（1）關(guān)于坐標(biāo)軸對稱的點；（2）標(biāo)記為尸的點；（3）

圓心；（4）題上提到的定點等等.當(dāng)看到滿足以上的標(biāo)志的時候要想到曲線的定義，把曲線和滿足焦點特

征的點連起來結(jié)合曲線定義判斷.注意：在求解軌跡方程的題中，要注意尤和y的取值范圍.

【變式2-1］（2024?湖南衡陽.三模）已知點B（2,0）,動圓P過點/，且與x=-2相切，記動圓圓心P點的

軌跡為曲線「，則曲線「的方程為（）

A.y2=2xB.y2=4xC.y2=8xD.y2=12x

【變式2-2］（2024?福建泉州.模擬預(yù)測）已知0為坐標(biāo)原點，矩形（MBC的頂點A,C在拋物線尤?=4y上,

則頂點B的軌跡方程為.

【變式2-3］（2024?陜西西安.一模）一個動圓與定圓F：（x-3）2+V=4相外切，且與直線/:x=-l相切，則

動圓圓心的軌跡方程為（）

A.y1=6xB.y2=4xC.y2=8xD.y2=12x

【變式2-4】到點尸（0,4）的距離比到直線，=-5的距離小1的動點M的軌跡方程為（）

A.y=16x2B.y=-16x2

C.f=i6yD.x2=-16y

【變式2-5】已知尸是拋物線＞=上尤2的焦點，尸是該拋物線上一動點，則線段尸產(chǎn)的中點E的軌跡方程是

16

（）

1

A.X92=8^-16B.x29=2y--

C.X2=y――D.x2=2y—2

題型三：與拋物線有關(guān)的距離和最值問題

【典例3」】已知拋物線Uy?=4%,尸為。上一點，4（—2,0）,3（2,0）,當(dāng)6T最小時，點尸到坐標(biāo)原點的

距離為一.

【典例3-2】已知拋物線無2=8y,圓C：尤2+（、_m）2=/（根＞0）.若〃=23,則圓心C到拋物線上任意一

點距離的最小值是—.

【方法技巧】

拋物線上任意一點到焦點的距離等于到準(zhǔn)線的距離，利用這一定義可以把相等長度的線段進(jìn)行轉(zhuǎn)化，

從而把兩條線段長度之和的問題轉(zhuǎn)化為兩點間的距離問題或點到直線的距離問題，即在解題中掌握“拋物

線的定義及其性質(zhì)”，若求拋物線上的點到定直線（并非準(zhǔn)線）距離的最值問題用參數(shù)法或切線法求解.

【變式3-1】已知M是拋物線V=4y上一點，產(chǎn)為其焦點，點A在圓C:（x+iy+（y-6）2=l上，貝|

IM+附巴的最小值是.

【變式3-2］已知實數(shù)。＞0,6eR,且函數(shù)/（a,。）=J（a-26）2+4（ina-4丫+2bl，則函數(shù)/（。向的最小值

為.

【變式3-3］已知"4―1』，veR,則S=（“-+（J1--3）的最小值是.

【變式3-4］（2024?重慶九龍坡?三模）古希臘幾何學(xué)家阿波羅尼斯證明過這樣一個命題：平面內(nèi)到兩定點

的距離之比為定值2（彳＞0"力1）的點的軌跡是圓，后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯

圓，簡稱阿氏圓.已知在平面直角坐標(biāo)系無Oy中，A（T1）,8?4）,若點p是滿足號=孑的阿氏圓上的

任意一點，點。為拋物線C:/=16x上的動點，。在直線x=T上的射影為R,則IPB|+2|PQ|+2|QR|的

最小值為.

【變式3-5］（2024?西藏林芝?模擬預(yù)測）拋物線爐=16>的焦點為幾點P（x,y）為該拋物線上的動點，點

A（2,0）,則|PFH尸41的最大值是.

【變式3-6］（2024?廣東梅州.一模）已知點P,。分別是拋物線C:y2=4x和圓石：/+/一10了+21=0上的

動點，若拋物線C的焦點為尸，則2|PQ|+|Q尸|的最小值為

【變式3-7］（2024?云南昆明?模擬預(yù)測）傾斜角為銳角的直線經(jīng)過拋物線C:產(chǎn)=i2x的焦點/，且與C交

于A,8兩點，。為線段的中點，P為C上一點,若仍產(chǎn)|+|尸。|的最小值為8,則這條直線的斜率

為.

【變式3-8］（2024?陜西咸陽?二模）P為拋物線y=4x上任意一點，點4（2,4）,設(shè)點P到〉軸的距離為d,

則\PA\+d的最小值為.

【變式3-9】已知橢圓￡：，+/=15>6>0）的離心率為弓，且橢圓上的點到其右焦點距離的最小值為

2（0-1）.若拋物線C:丁=2px的焦點與橢圓E的右焦點重合，設(shè)拋物線C上的動點P到直線x=T和

2x-y+l=0的距離分別為4，d2,則4+4的最小值為一.

【變式3-10］（2024?高三?河南周口?期末）過拋物線。：9=2/（2>0）的焦點/的直線與C交于兩點,

線段42的中點到y(tǒng)軸的距離為2,以為直徑的圓的半徑為點尸在C上，且點P到C的準(zhǔn)線的距離

為4,到直線/:2了+26丫+9=0的距離為乙，則4+4的最小值為.

題型四：拋物線中三角形，四邊形的面積問題

【典例4-1］（2024?江西新余?二模）已知點。（2,-2）在拋物線C/=2px上，尸為拋物線的焦點，則

AOQF（O為坐標(biāo)原點）的面積是（）

A.-B.1C.2D.4

2

【典例4-2】（2024?云南?模擬預(yù)測）已知拋物線C：V=4x的焦點為尸，過點尸的兩條互相垂直的直線/

分別與拋物線C交于點和2E,其中點在第一象限，則四邊形皿龍的面積的最小值為（）

A.64B.32C.16D.8

【方法技巧】

解決此類問題經(jīng)常利用拋物線的定義，將拋物線上的點焦點的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，并構(gòu)成直角

三角形或直角梯形，從而計算其面積或面積之比.

【變式4-1】已知點M在曲線y=4尤上，過M作圓。:（彳-3）?+產(chǎn)=1的切線，切點分別為A,B,則四邊

形MACB的面積的最小值為（）

A.2A/2B.不C.3D.9

【變式4-2］（2024.全國?模擬預(yù)測）設(shè)尸為拋物線。:曠=2°叱°>0）的焦點，C的準(zhǔn)線與x軸交于一點A,

過產(chǎn)的直線與C交于M、N兩點.若AAWF的面積是△⑷VF的面積的3倍，且|NF|=2,則|AF|=（）

A.4B.3C.2D.1

【變式4-3］（2024?四川瀘州三模）已知拋物線C：產(chǎn)=8尤的焦點為R準(zhǔn)線為/,過點P的直線交C于P,

Q兩點，PHL于H,^\HF\=\PF\,。為坐標(biāo)原點，則與AOP。的面積之比為（）

A.8B.4C.3D.2

【變式4-4］（2024?安徽淮南?二模）拋物線丁=2川（〃>0）的焦點為R準(zhǔn)線為/,過點尸作傾斜角為§的

直線與拋物線在x軸上方的部分相交于點A,AK11,垂足為K,若AAfK的面積是4/，則p的值為

（）

A.1B.2C.6D.3

【變式4-5］（2024?廣東廣州?一模）設(shè)拋物線￡：y=8》的焦點為己過點M（4,0）的直線與E相交于A,B

s

兩點，與E的準(zhǔn)線相交于點C,點8在線段AC上，|BF|=3,則VBCF與△ACF的面積之比—=（）

^^ACF

A.—B.—C.—D.—

4567

【變式4-6］（2024?高三?江蘇南京?開學(xué)考試）過拋物線V=8x上一點P作圓C:（x-2y+y2=i的切線，切

點為A、B,則當(dāng)四邊形R4cB的面積最小時，直線4B的方程為（）

A.2x-l=0B.x—l=0C.2x-3=0D.4x—7=0

題型五：焦半徑問題

【典例5-11已知尸（4,4）是拋物線C:j2=2Px（p>0）上一點,過C的焦點F的直線/與C交于A,B兩點，

則|A司+4怛司的最小值為（）

A.6B.7C.8D.9

【典例5-2］（2024?陜西榆林?模擬預(yù)測）已知拋物線y2=2px（p>0）的焦點為尸，過點尸且斜率為1的直線

與拋物線交于A,8兩點，若|A斗忸刊=2,則P=（）

A.4B.3C.2D.1

【方法技巧】

⑴|AF|=P；IBF|=P.

1—cosa1+cosa

(2)|AB|=%I+x+P=~-Y~-

'0sina

【變式5-1］（2024?高三?廣東廣州?期中）直線/經(jīng)過拋物線y?=4x的焦點況且與拋物線交于A,8兩點.

^\AF\=3\BF\,則|蜴=（）

A.-B.3C.—D.-

332

【變式5-2】已知拋物線C:y2=4x,圓尸:（尤-l）2+y2=i,直線/:、=依彳-1）（k*0）自上而下順次與上述

兩曲線交于M2,M.,M4四點，則下列各式結(jié)果為定值的是（）

A.|必品卜四3此|B.\FM\-\FM^

C.\MyM3\-\M2M4\D.\FM\-\MXM^

【變式5-3］（2024?高三.河北?開學(xué)考試）設(shè)拋物線y2=2px（p>0）的焦點為歹，過點下作直線交拋物線于

A,B兩點，若|AF|=3,|BF|=2,則。=.

【變式5-4］（2024?河南?二模）拋物線E:/=2x的焦點為為E上一點，/為V軸正半軸上一點，若

△PMF是等邊三角形，則直線P歹的斜率為,\PM\=.

【變式5-5】已知拋物線C丁=4X的焦點為-點A、2是拋物線C上不同的兩點，且A、2中點的橫坐

標(biāo)為2,貝+忸制=—.

【變式5-6】己知拋物線C:y2=4x的焦點為尸，點P,Q,R為C上可相互重合的點，且而+2爐+2瓦T=0

則|PF|的取值范圍是—，|尸耳+3］。耳的最小值是—.

題型六：拋物線的幾何性質(zhì)

【典例6-1】（多選題）關(guān)于拋物線y2=_2x,下列說法正確的是（）

A.開口向左B.焦點坐標(biāo)為（-LO）C.準(zhǔn)線為x=lD.對稱軸為x軸

【典例6-2］（多選題）平面內(nèi)到定點尸（0,1）和到定直線/：y=-l的距離相等的動點的軌跡為曲線C.則（

A.曲線C的方程為d=4y

B.曲線C關(guān)于x軸對稱

C.當(dāng)點P（x,y）在曲線C上時，y>0

D.當(dāng)點P在曲線C上時，點P到直線/的距離422

【方法技巧】

在處理拋物線的考題的時候，要更加注意定義優(yōu)先原則，考察頻率更高，很多問題用上拋物線定義可

以簡化計算.

【變式6-1］（多選題）（2024?湖南長沙?二模）已知拋物線C與拋物線V=4x關(guān)于》軸對稱，則下列說法正

確的是（）

A,拋物線C的焦點坐標(biāo)是（-1,0）

B.拋物線c關(guān)于y軸對稱

C,拋物線C的準(zhǔn)線方程為x=l

D,拋物線C的焦點到準(zhǔn)線的距離為4

【變式6-2］（多選題）已知4（%,%）,3（々，%），。（W,%），（%>%>%）為拋物線丁=2px（p>0）上的三個點,

且AB_L3C,|AB|=|3C，當(dāng)點B與原點。重合時，|A（^=2,則下列說法中，正確的是（）

A.拋物線方程為

B.直線AB的傾斜角必為銳角

1

C.若線段AC的中點縱坐標(biāo)為方,AC的斜率為一

%

7

D.當(dāng)?shù)男甭蕿?時，B點的縱坐標(biāo)為-二

【變式6-3］（多選題）（2024?全國?模擬預(yù)測）已知拋物線C：y=20尤（2>0）,圓

C':［-￡|2+y2=R2.若C與C'交于M,N兩點，圓C'與x軸的負(fù)半軸交于點P,則（）

A.若APMN為直角三角形，則圓C'的面積為卯2

B.R>-

2

C.直線PM與拋物線C相切

D.直線PN與拋物線C有兩個交點

【變式6-4］（多選題）（2024?吉林通化?模擬預(yù)測）已知點A是拋物線C：V=4x上的動點，。為坐標(biāo)原點,

F為焦點，而?荏=曰荏（=j碉2,且。,45三點順時針排列，貝I（）

Q

A.當(dāng)點B在x軸上時，|?；?§

B.當(dāng)點8在y軸上時，點A的坐標(biāo)為（12,-4括）

C.當(dāng)點A與點5關(guān)于x軸對稱時，|E4|=13

D.若|出=13,則點A與點8關(guān)于x軸對稱

【變式6-51（多選題）（2024廣東佛山?二模）如圖拋物線口的頂點為A,焦點為產(chǎn)，準(zhǔn)線為4,焦準(zhǔn)距為

4；拋物線口的頂點為3,焦點也為產(chǎn)，準(zhǔn)線為L焦準(zhǔn)距為6.心和心交于尸、。兩點，分別過尸、Q

作直線與兩準(zhǔn)線垂直，垂足分別為M、N、5、T,過尸的直線與封閉曲線4尸3。交于C、。兩點，則（）

B.四邊形MNST的面積為100

「25-

C.FS-FT=OD.|CD|的取值范圍為5,可

題型七：拋物線焦點弦的性質(zhì)

【典例7-1］（多選題）己知拋物線E:/=4y的焦點為/，圓C:/+（y-l）2=16與拋物線E交于A,8兩

點，點尸為劣弧AB上不同于A,B的一個動點，過點P作平行于》軸的直線/交拋物線E于點N,則（）

A.點P的縱坐標(biāo)的取值范圍是僅存5）

B.PN+NF等于點尸到拋物線E的準(zhǔn)線的距離

C.圓C的圓心到拋物線E的準(zhǔn)線的距離為2

D.△尸兩周長的取值范圍是（8,10）

【典例7-2】（多選題）已知拋物線必=2p久（p>0）的焦點為尸，4B是經(jīng)過拋物線焦點廠的弦，Af是線段

4B的中點，經(jīng)過點A氏”作拋物線的準(zhǔn)線/的垂線AC,垂足分別是C,￡>,N,其中MN交拋物線

于點2,連接。色則下列說法正確的是（）

A.\MN\=^\AB\B.FN1AB

C.。是線段MN的一個三等分點D.ZQFM=ZQMF

【方法技巧】

拋物線焦點弦性質(zhì)總結(jié)：拋物線任意一條焦點弦兩端點與拋物線頂點連線斜率之積為-1;焦點弦被焦

點平分且被其垂直平分；過焦點弦兩端點作準(zhǔn)線垂線，垂足間距離等于焦點弦長。

【變式7-1］（多選題）過拋物線C：V=2px（p>0）的焦點下的直線/:y=x-l與C相交于AB兩點,貝U

（）

A.p=2B.p=4

c.|AB|=8D.麗.麗=T

【變式7-2］（多選題）已知點O為坐標(biāo)原點，直線y=x+l與拋物線C:d=4y相交于A、B兩點，焦點為

F,則下列選項正確的是（）

A.|AB|=8B.OAYOB

11,

c.府|+即1=1D.線段A3的中點到x軸的距離為2

【變式7-3］（多選題）（2024?黑龍江大慶?一模）已知拋物線C:y2=2px（p>（））的焦點為JF,準(zhǔn)線交x軸于

點。，直線/經(jīng)過尸且與C交于AB兩點，其中點A在第一象限，線段AF的中點M在V軸上的射影為點

N.若|MN|=|N同，則（）

A./的斜率為6

B.△ABD是銳角三角形

C.四邊形MND/的面積是依p2

D.忸葉|￡4|>|尸。『

【變式7-4］（多選題）（2024?高三?安徽蚌埠?開學(xué)考試）已知拋物線C:y2=2px（p>（））的焦點為尸，過點

產(chǎn)的直線/與拋物線相交于A,8兩點，線段A3的中點為過點A,B分別向C的準(zhǔn)線作垂線，垂足

分別為點P,Q,過點M向C的準(zhǔn)線作垂線，交拋物線于點T,交準(zhǔn)線于點N,0為坐標(biāo)原點，則（

A.以尸。為直徑的圓與直線/相切B.\MT\=\NT\

C.當(dāng)戶典=|A典時，點尸，T,歹共線D.SAOAB=SATAB

【變式7-5］（多選題）（多選）設(shè)拋物線C：y2=2px（p>0）的焦點為尸，點M在拋物線C上，抽尸|=5,

若V軸上存在點4（0,2）,使得瘋./=0,則P的值可以為（）

A.2B.4C.6D.8

【變式7-6］（多選題）已知拋物線y2=2px（p>0）上三點4?,%）,B（l,2）,C（%,%），F(xiàn)為拋物線的焦

點，則下列說法正確的是（）

A.拋物線的準(zhǔn)線方程為元=-1

B.^FA+FB+FC=0,則麗卜同+園

C.若A尸,C三點共線，則％%=T

D.若|&C=6,則AC的中點到V軸距離的最小值為2

【變式7-71（多選題）（多選）已知尸是拋物線C:y2=8x的焦點，過點尸作兩條互相垂直的直線與

C相交于A3兩點，4與C相交于瓦。兩點，直線/為拋物線C的準(zhǔn)線，則（）

A.-403有可能為銳角B.以為直徑的圓與/相切

C.目的最小值為32D.入4￡尸和ABFD面積之和的最小值為32

【變式7-8］（多選題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過拋物線C:y2=4x的焦點B作直線/交拋物線C于

AB兩點，則（）

A.|A目的最小值為2B.以線段■為直徑的圓與V軸相切

11一一

C.網(wǎng)+網(wǎng)=D.OAOB=0

【變式7-9]（多選題）（2024?河北衡水?模擬預(yù)測）已知拋物線￡：必=20（°>0）的焦點為b，準(zhǔn)線為/,

過點/且與坐標(biāo)軸不垂直的直線與E交于AB兩點，過A3的中點M作'軸的平行線交/于點N.設(shè)的

中點為P,直線的斜率分別為勺,心，匕，則（）

A.點尸在E上

B.過點P且與E相切的直線機(jī)與直線平行

C.\AB\=3\PF\

D.《+&=2k]

題型八：拋物線的實際應(yīng)用

【典例8-1】省級保護(hù)文物石城永寧橋位于江西省贛州市石城縣高田鎮(zhèn)?永寧橋建筑風(fēng)格獨特，是一座樓閣

式拋物線形石拱橋?當(dāng)石拱橋拱頂離水面1.6m時，水面寬6.4m,當(dāng)水面下降0.9m時，水面的寬度為一米?

6.4-----------?

【典例8-2】在水平地面豎直定向爆破時，在爆破點炸開的每塊碎片的運(yùn)動軌跡均可近似看作是拋物線的

一部分.這些碎片能達(dá)到的區(qū)域的邊界和該區(qū)域軸截面的交線也是拋物線的一部分（如圖中虛線所示），

稱該條拋物線為安全拋物線.若某次定向爆破中安全拋物線達(dá)到的最大高度為30米，碎片距離爆炸中的

最遠(yuǎn)水平距離為60米，則這次爆破中，安全拋物線的焦點到其準(zhǔn)線的距離為一米.

【方法技巧】

拋物線的實際應(yīng)用總結(jié)：拋物線在工程設(shè)計、物理運(yùn)動軌跡分析、光學(xué)設(shè)計、建筑設(shè)計及橋梁工程等

領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用。例如，衛(wèi)星天線、探照燈、拱橋及投籃路徑等均可視為拋物線應(yīng)用實例，體現(xiàn)了其重要

的實用價值。

【變式8-1】位于德國東部薩克森州的萊科勃克橋（如圖所示）有“仙境之橋”之稱，它的橋形可近似地看

成拋物線的一部分.該橋的高度為/z米，跨徑為/米，則橋形對應(yīng)的拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離為

米.（結(jié)果用/z,/表示）

【變式8-2]（2024?高三?黑龍江哈爾濱?期末）如圖，一個酒杯的內(nèi)壁的軸截面是拋物線的一部分，杯口寬

40cm，杯深8cm,稱為拋物線酒杯.在杯內(nèi)放入一個小的玻璃球，要使球觸及酒杯底部，則玻璃球的半

徑的最大值為cm.

【變式8-3】上世紀(jì)90年代，南京江寧區(qū)和陜西洛南縣就建立了深厚的友誼，1993年江寧區(qū)出資幫助洛南

修建了寧洛橋，增強(qiáng)了兩地之間的友誼.如今人行道兩側(cè)各加寬6米，建成了“彩虹橋”（圖1）,非常美麗.

橋上一拋物線形的拱橋（圖2）跨度AB=30m,拱高OP=5m,在建造時每隔相等長度用一個柱子支撐，

則支柱A片的長度為—m.（精確至I]0.01m）

【變式8-4】有一個隧道內(nèi)設(shè)雙行線公路，其截面由一長方形和拋物線構(gòu)成，如圖所示.為了保證安全，要

求行駛車輛頂部（設(shè)為平頂）與隧道頂部在豎直方向上的高度之差至少為0.7m,若行車道總寬度為7.2m,

則車輛通過隧道時的限制高度為—m.

3

1.(2023年北京高考數(shù)學(xué)真題)已知拋物線C：V=8x的焦點為F,點/在C上.若M到直線x=-3的

距離為5,貝”MF|=()

A.7B.6C.5D.4

22

2.(2022年新高考天津數(shù)學(xué)高考真題)已知雙曲線5