專題05平面向量及其應(yīng)用

第18練平面向量的應(yīng)用

饞練基礎(chǔ)

1.（2022?上海?模擬）如圖，在AABC中，已知N3=45。，。是邊上的一點(diǎn)，AD=5,AC=1,DC=3,

則A3的長(zhǎng)為（）

A.5A/3

【答案】D

【解析】在△ACD中，由余弦定理得：cosC=叱+5—349+9-25_11

2ACCD2x7x3-14

因?yàn)??！辏?,兀）,

AB_7

AC

在△ABC中，由正弦定理得：——,即工JF—sin45。,

smCsinB

IT

解得：AB普

故選：D

2.（2022?福建福建?模擬）某學(xué)生在“撿起樹葉樹枝，凈化校園環(huán)境”的志愿活動(dòng)中拾到了三支小樹枝（視為

三條線段），想要用它們作為三角形的三條高線制作一個(gè)三角形.經(jīng)測(cè)量，其長(zhǎng)度分別為3cm,4cm,6cm,

貝U（）

A.能作出二個(gè)銳角三角形B.能作出一個(gè)直角三角形

C.能作出一個(gè)鈍角三角形D.不能作出這樣的三角形

【答案】C

【解析】因?yàn)槿龡l高線的長(zhǎng)度為3cm,4cm,6cm,故三邊之比為4:3:2,

4+9-161

設(shè)最大邊所對(duì)的角為則cosa=：[￡=-；＜。，

2x2x34

而a為三角形內(nèi)角，故夕為鈍角，故三角形為鈍角三角形，

故選：C.

3.（2022?陜西?西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)模擬（理））在AABC中，AB=3,AC邊上的中線題）=百，ACAB=5,

則AC的長(zhǎng)為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】因?yàn)辂?加，

2

所以訪2=g*—呵=^-AC?-AC-AB+AB2=5,

XBD=A/5,ACAB=5<AB=3,

則;就Li,所以|罔=2,即AC=2.

故選：B.

TT

4.（2022?江西萍鄉(xiāng)?三模（文））在AABC中，a,6,c分別為角A,B,C的對(duì)邊，已知6=1,C=—,AABC的

4

面積為2,則邊長(zhǎng)。=（）

A.4拒B.473

C.572D.5月

【答案】A

【解析】因?yàn)镾=]a6sinC=2,所以]asin[=2,貝1]°=40.

故選：A.

5.（2022?北京豐臺(tái)?二模）在AABC中，a=2,b=6A=2B,則cos3=

【答案】同

3

【解析】解：在△ABC中，

a_b

由正弦定理可得

sinAsinB

sin23sinB2sinBcosBsinB

所以cosB=.

3

故答案為：且.

3

6.（2022?浙江?高考真題）我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶，發(fā)現(xiàn)了從三角形三邊求面積的公式，他把這種方

法稱為“三斜求積”，它填補(bǔ)了我國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的一個(gè)空白.如果把這個(gè)方法寫成公式，就是

其中。，b,c是三角形的三邊，S是三角形的面積.設(shè)某三角形的三邊

a=也,b==2,則該三角形的面積S=

【答案】號(hào).

叵

【解析】因?yàn)?=,所以S二4x2-2

n12m~1~

故答案為：字.

2維練能力

1.（2022?河北?模擬）中國(guó)剪紙是一種用剪刀或刻刀在紙上剪刻花紋，用于裝點(diǎn)生活或配合其他民俗活動(dòng)

的民間藝術(shù).折疊剪紙是民間最常見的一種剪紙制作方法，所謂折疊剪紙即經(jīng)過不同方式折疊剪制而成的剪

紙，它具有折法簡(jiǎn)明，制作簡(jiǎn)便，省工省時(shí)等特點(diǎn).如圖，某同學(xué)將一張三角形紙片ABC沿角平分線AD對(duì)

折后，點(diǎn)C恰好落在邊A3上，得到三角形紙片已知AB=26,AD=2,ZA'8D=30。，則對(duì)折前

NBAC=()

【答案】C

A'BAD

【解析】在中，由正弦定理得:

sinZA'DB.sinZA'BD

即而焉=焉’解得:

sinZAzDB=—,

2

顯然ZA'DB為鈍角，所以ZA'D2=w，

所以/84￡>=無-0一四=巴，ZBAC=2ZBA'D=-

3663

故選：C

2.（2022?北京昌平?二模）在△A3C中，N3=45°,c=4,只需添加一個(gè)條件，即可使△ABC存在且唯一.

條件：①a=3&;②6=2石；③cosC=-［中，所有可以選擇的條件的序號(hào)為（）

A.①B.①②C.②③D.①②③

【答案】B

【解析】對(duì)于①，c=4,Z.B=45°,a=3A/2,所以，b2=a2+c2-2accosB=10f得b=,所以，此時(shí)，

△ABC存在且唯一，符合題意；

對(duì)于②，。=4,/2=45。,6=2退，所以，三=占，解得sinC=2O=4^，因?yàn)閏<b,所以，ZC<ZB,

smCsinBb5

所以NC為銳角，此時(shí)，△ABC存在且唯一，符合題意；

4jr3ch

對(duì)于③，c=4,/B=45°,cosC=-=,所以，-<C<7r,得sinC==,進(jìn)而=—,

525sinCsinB

csinB2A/210721210/r

可得飛Q一丁一二一，明顯可見，c=U<U%=b，與NC>/3矛盾，故③不符題意?

533

故可以選擇的條件序號(hào)為：①②

故選：B

3.（2022?山東臨沂?模擬）iS/（x）=sinxcosx-cos2-在銳角AABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為

a,b,c.若=。=1，貝LMC面積的最大值為（）

A2+6R3+V3

33

C2+y/3D3+6

'4-'4

【答案】C

【解析】HxAsinxcosxcos^x+^-^inZx1Lcosk+-sin2x1

k用牛47TJ/—sinxcosx—cosix-r-i——sinzx——i十cosi乙x-r—i—sinZA——,

則,HsinA-gnO，所以sinA=；,

因?yàn)锳ABC為銳角三角形,

冗

所以A=?

o

由余弦定理得：cosA='+'—!_=YE,

2bc2

所以62+02=瘋/+1,

由基本不等式得：b2+c2=y[3bc+\>2bc,當(dāng)且僅當(dāng)6=c時(shí)等號(hào)成立，

所以bcV2+出，

<」-/2+-

SAABC=-bcsmA=-bc<---

故選：C

4.（2022?江蘇?海安高級(jí)中學(xué)二模）設(shè)M,N為某海邊相鄰的兩座山峰，到海平面的距離分別為100米，

50米.現(xiàn)欲在M,N之間架設(shè)高壓電網(wǎng)，須計(jì)算M,N之間的距離.勘測(cè)人員在海平面上選取一點(diǎn)P,利

用測(cè)角儀從尸點(diǎn)測(cè)得的M,N點(diǎn)的仰角分別為30。，45。，并從尸點(diǎn)觀測(cè)到M,N點(diǎn)的視角為45。，則M,N

之間的距離為（）

A.50麗米B.50&W米C.5001米D.50A米

【答案】A

【解析】如圖，由題可知NMPM[=30°,ZNPN、=45°,

:.PM=200,PN=50A/2，又NMPN=45°,

MN2=40000+5000一2x200x50及x變=25000,

2

:.MN=5Q5（米）.

故選：A.

5.（2022?山東青島?二模）若△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，AD為5。邊上的中線，M為AO的中點(diǎn),

貝雨.（麗+詬）的值為

【答案】、3

【解析】解：已知△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，A。為3c邊上的中線，M為AD的中點(diǎn),

貝ljAM=MD=三，AM=MDy

XMB+MC=2MD^

貝IJ涼.(麗+碇)=—2加=-2X(^)2=--,

22

3

故答案為：一萬.

6.(2022?上海奉賢?二模)已知三角形的三邊分別是5,7,8,則該三角形的內(nèi)切圓的半徑是

【答案】百

【解析】解：設(shè)△ABC中。=5、b=7、c=8,

由余弦定理可得，="+廿_2"cosC,即82=52+72-2X5X7COSC,

所以cos。=;，則sinC=71-cos2C=~~~~，

所以s=’a6sinC=!x5x7x迪=1。6，

aABC227

設(shè)AABC的內(nèi)切圓的半徑為「，則=］廠(a+6+c),即/(5+7+8)r=IOA/5,

解得r=V3;

故答案為：73

7.(2022?浙江省杭州學(xué)軍中學(xué)模擬)已知|。-22|=|5-町=1,曰|=1,則向量必B的范圍是

【答案】-36

【解析】i&c=a-2e,d=b-e,\c\=\d\=l,

所以五?5=G+2e)\d+e)=C'd+e-(2d+己)+2①,

fc,dc,(2d+c)+2<c，d+|2d+H+2=l+3+2=6,

當(dāng)且僅當(dāng)與2同向，0與（2d+3同向時(shí)取得最大值，

另一方面，c-d+e-（2d+c）+2>c-d-\2d+c\+2=^t2-5）-t+2=^t2-t+^>-^,

其中r=|2^+c|e[0,3],當(dāng)且僅當(dāng)121+司=2,。與（2才+為反向時(shí)取得最小值.

_「]一

故萬一be--,6.

_4_

故答案為：-;,6

8.（2022?遼寧?大連二十四中模擬）如圖，在等腰直角△ABC中，ZB=90\AC=2。為AC的中點(diǎn)，將

線段AC繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)得到線段所.設(shè)M為線段A3上的點(diǎn)，則礪.痂的最小值為一

【答案】-:

【解析】連接MD,貝I詼=麗+詼，MF=MD+DF=MD-DE'

所以詼.礪二（礪+岡?（礪-聞=誣?-DE=MD-1,

由于AABC為等腰直角三角形，M為線段A3上的點(diǎn)，

因此=

22

________111

所以Affi?板25-1=一5,即癡.礪的最小值為一

故答案為：

3雉練素養(yǎng)

-I［m2-a-m+l=O

1.(2022?上海奉賢?二模)已知平面向量￡,而，n,滿足時(shí)=4,1,則當(dāng)而與方的夾角最

11［而2一&?五+1=()

9r|

大時(shí)，的值為()

A.4B.2C.V3D.1

【答案】C

【解析】設(shè)Z,反7的起點(diǎn)均為。，以。為原點(diǎn)建立平面坐標(biāo)系，如圖所示，

不妨設(shè)a=(4,0),m=(x,y),則方Lf+y,a-m=4x>

由記一―2,鼠+1=0可得/+丁―4x+l=。，即(x—2廠+y~=3，

二浣的終點(diǎn)M在以(2,0)為圓心，以石為半徑的圓上，

同理3的終點(diǎn)N在以(2,0)為圓心，以百為半徑的圓上.

顯然當(dāng)ON,ON為圓的兩條切線時(shí)，ZMON最大,即正與［的夾角最大.

設(shè)圓心為A,則AM=J5,OM=-JoA1-AM2=1>則sin/MOA=*,

NMQ4=60°,

設(shè)MN與x軸交于點(diǎn)B,由對(duì)稱性可知MN_Lx軸，且MN=2MB,

：.MN=2MB=2-OMsinZMOA=2xlx—=y/3,

2

即當(dāng)沆與萬的夾角最大時(shí)，卜=代

故選：C

2.（2022?湖北省仙桃中學(xué)模擬）在zkABC中，角A,B,。所對(duì)的邊分別為〃，b,c,若sinC=2/sin3sinA,

b=Aa,則實(shí)數(shù)2的最小值是（）

33

A.B.—+y/3C.2—-\/3D.2+A/3

【答案】C

【角星析】由sinC=2j5sin5sinA,可得c=2j§Z?sinA,

由余弦定理得：a2=b2+c2—2Z?ccosA,

兩式結(jié)合得：a?=i2b2sin2A+b2-2bx2y/3bsinAcosA,

2

即會(huì)=12sii？A+l—2bsin2A=7—6cos2A—26sin2A,

2

即二=7—4指sin（2A+-）,Ae（0,兀），

b3

則當(dāng)A喑時(shí)，（"X=7+4G，則（2一壬百=7一45

R______

故由X=Z可得其最小值為JF二Z后=2-右，

故選：C

h

3.（2022?北京?人大附中三模）在AA5c中，C=60。,AC=3,8>90。，則一的可能取值為（）

a

A.-B.-C.-D.-

3333

【答案】D

【解析】因?yàn)镃=6（r,AC=3,8>90。，

所以0<A<30。，0<tanA<—,即得^道，

3tanA

由正弦定理可得6_sinB_sin（A+C）_gsinA+gcosA_i百i

——---------------------------------------——I----x------>Z

asinAsinAsinA22tanA

則2h的可能取值為7:，

a3

故選：D.

4.(2022?山東師范大學(xué)附中模擬)魏晉時(shí)期劉徽撰寫的《海島算經(jīng)》是關(guān)于測(cè)量的數(shù)學(xué)著作，其中第一題

是測(cè)量海島的高.一個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣小組研究發(fā)現(xiàn)，書中提供的測(cè)量方法甚是巧妙，可以回避現(xiàn)代測(cè)量器

械的應(yīng)用.現(xiàn)該興趣小組沿用古法測(cè)量一山體高度，如圖點(diǎn)E、H、G在水平線AC上，OE和尸G是兩個(gè)垂

直于水平面且等高的測(cè)量標(biāo)桿的高度，記為也,EG為測(cè)量標(biāo)桿間的距離，記為d,GC、即分別記為。4，

則該山體的高()

【答案】A

【解析】連接尸￡),并延長(zhǎng)交于M點(diǎn)，如圖,

所以||=；又因?yàn)樵赗t^BMF中tanZBFM=-,

tan/BDMha

所以|板|=IM=\BM\a,所以??MD^\BM\a_\BM\b=,

tanZBFMhhh

所以18Ml=-^-,BPAB=\BM\+h=-^-+h,

a-ba-b

故選：A.

5.（2022?河北?滄縣中學(xué)模擬）在△口（?中，三邊長(zhǎng)分別為〃，b,c,且。尻=2,則下列結(jié)論正確的是（）

A.a2b<2+ab1B.ab+a+b>2A/2

C.a+b1+c2>^D.a+b+c<2y[2

【答案】ABC

【解析】對(duì)于A,a2b＜2+ab2,即/6―〃付＜2,也就是仍(a—力＜2=々灰?,

另一方面，在△回（7中，ab>O,a-b<c,貝—vR?c成立，故A正確；

對(duì)于B,ab+a+b>ab+cNMabe=2也,故B正確；

對(duì)于C,a+b2+c2>a+2bc>2^2abc=4,當(dāng)且僅當(dāng)a=2/?=2c=2時(shí)取等號(hào)，故C正確；

對(duì)于D,邊長(zhǎng)為1,&,近的三角形，滿足%=2,但a+6+c=l+20>2夜，故D錯(cuò)誤.

故選：ABC.

6.（2022?重慶?三模）在矩形A3CO中，AB=2,AD=4,E,尸分別在邊A。，DC±（不包含端點(diǎn)）運(yùn)動(dòng),

yr

且滿足NE3F=—,則A/?￡F的面積可以是（）

6

A.2B.2&C.3D.4

如圖，以B為原點(diǎn)，BA.BC所在的直線為了、V軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系,

設(shè)尸（x,4）,E（2,y）（O<x<2,O<y<4）,

因?yàn)殁顨?|3C「+|CF「，\EF（=\FDf+\DEf,\BEf=\BAf+\AEf,

所以忸產(chǎn)「=16+/,|￡F|2=（2-x）2+（4-y）2,\BEf=4+y2,

，人4…/口\BF?+\BE-EF\

由余弦定理得cosNEBF=J一------L得

2\BF\BE

7i16+x2+4+y2-（2-x）2-（4-y）~

cos-=--------------,-------,——------可得

62a6+//4+/

4尤2+16_y2=192+3x）2-64孫216孫,當(dāng)且僅當(dāng)2x=4y等號(hào)成立,

Q

BP3x2y2-80xy+192＞0,解得母224,或0＜孫＜§,

Q

因?yàn)?＜x＜2,0vy＜4,所以0＜孫＜8,所以0＜孫

因?yàn)镾^BEF=^ABCD-S^BCF-S&DEF-^BEA，

所以s圓=8彳忸。||5一』即||亞-訓(xùn)明

841

因?yàn)?＜孫《］,所以—§工一5孫＜。，

~418

所以§工4一5沖＜4,-＜S^BEF＜4,

而2g|,4；2昌?43e?44"

故選：BC.

7.（2022?北京市第十二中學(xué)三模）AABC為等邊三角形，且邊長(zhǎng)為2,則荏與就的夾角大小為120。，若

|麗|=1，CE=EA＜則而.而的最小值為.

【答案】-3-/

【解析】因?yàn)锳ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，且屈=麗，則E為AC的中點(diǎn)，故的_LAC,

以點(diǎn)8為坐標(biāo)原點(diǎn)，BE,西分別為％、y軸的正方向建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，

則A（石,1）、E（后0）、5（0,0）,設(shè)點(diǎn)O（cosasinO）,

B￡=（A/3,0）,而=（cos（9-百,sin6?-l）,

所以，AD-BE=A/3（COS0-V3）＞-^-3,當(dāng)且僅當(dāng)cos，=-L時(shí)，等號(hào)成立,

因此，蒞?礪的最小值為-4-3.

故答案為：-晶—3.

8.（2022?江蘇?常州高級(jí)中學(xué)模擬）設(shè)直角△ABC,此是斜邊AB上一定點(diǎn).滿足=則對(duì)于邊

O

AB上任一點(diǎn)尸，恒有通?定士祁?麗，則斜邊A3上的高是.

【答案】2&

uuruunuanuunuunuuuuum。uunuuuruunuuirumn.

【解析】取3C中點(diǎn)O,貝1」尸氏尸。=（z尸。+。磯x尸z。+。。x）=尸。+皿（z。。+。3）x+。。.。3=甥llimi2_淺llim2,同理

用.留=”2-加，又聞2板前，故甥氣翳，即畫葉麗卜亙成立,所以*作CE,AB,

則《為EB中點(diǎn)，故EB=2RB=2,所以AE=4.又因?yàn)橹苯茿A5C,t^CE2=AE-EB=8,所以CE=20，

即斜邊AB上的高是2夜

故答案為：2近

9.（2022?遼寧?沈陽二中模擬）沈陽二中北校區(qū)坐落于風(fēng)景優(yōu)美的輝山景區(qū)，景區(qū)內(nèi)的一泓碧水蜿蜒形成

了一個(gè)“秀,，字，故稱“秀湖，，.湖畔有秀湖閣（A）和臨秀亭（8）兩個(gè)標(biāo)志性景點(diǎn)，如圖.若為測(cè)量隔湖相望的A、

8兩地之間的距離，某同學(xué)任意選定了與A、8不共線的C處，構(gòu)成AABC,以下是測(cè)量數(shù)據(jù)的不同方案：

①測(cè)量NA、AC.BC-,

②測(cè)量ZA、BB、BC；

③測(cè)量NC、AC.BC-,

④測(cè)量ZA、NC、DB.

其中一定能唯一確定A、8兩地之間的距離的所有方案的序號(hào)是

【答案】②③

ATA

【解析】對(duì)于①，由正弦定理可得一^=—?jiǎng)tsin5=,

smBsmABC

40qinA

若AC>3C且NA為銳角，貝ljsin5=----------->sinA,此時(shí)有兩解,

AB

則NC也有兩解，此時(shí)AB也有兩解;

對(duì)于②，若已知NA、DB,則NC確定，由正弦定理型7=名可知唯一確定；

smAsinC

對(duì)于③，若已知NC、AC.BC,由余弦定理可得AB=JAC2+3C2-2AC3CCOSC，

則A3唯一確定；

對(duì)于④，若已知NA、NC、DB,則AB不確定.

故答案為：②③.

10.（2022?江蘇?華羅庚中學(xué)三模）在AABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,已知

=＞「:;，則sin2A+sin23C的最大值為_________;設(shè)。是AC上一點(diǎn),S.AD:DC=1：ZBD=1,

sinC