專題33直線的方程【考點預測】知識點一：直線的傾斜角和斜率1．直線的傾斜角若直線與軸相交，則以軸正方向為始邊，繞交點逆時針旋轉直至與重合所成的角稱為直線的傾斜角，通常用表示（1）若直線與軸平行（或重合），則傾斜角為（2）傾斜角的取值范圍2．直線的斜率設直線的傾斜角為，則的正切值稱為直線的斜率，記為（1）當時，斜率不存在；所以豎直線是不存在斜率的（2）所有的直線均有傾斜角，但是不是所有的直線均有斜率（3）斜率與傾斜角都是刻畫直線的傾斜程度，但就其應用范圍，斜率適用的范圍更廣（與直線方程相聯系）（4）越大，直線越陡峭（5）傾斜角與斜率的關系當時，直線平行于軸或與軸重合；當時，直線的傾斜角為銳角，傾斜角隨的增大而增大；當時，直線的傾斜角為鈍角，傾斜角隨的增大而減小；3．過兩點的直線斜率公式已知直線上任意兩點，，則（1）直線的斜率是確定的，與所取的點無關．（2）若，則直線的斜率不存在，此時直線的傾斜角為90°4．三點共線．兩直線的斜率相等→三點共線；反過來，三點共線，則直線的斜率相等（斜率存在時）或斜率都不存在．知識點二：直線的方程1．直線的截距若直線與坐標軸分別交于，則稱分別為直線的橫截距，縱截距（1）截距：可視為直線與坐標軸交點的簡記形式，其取值可正，可負，可為0（不要顧名思義誤認為與“距離”相關）（2）橫縱截距均為0的直線為過原點的非水平非豎直直線2．直線方程的五種形式名稱方程適用范圍點斜式不含垂直于軸的直線斜截式不含垂直于軸的直線兩點式不含直線和直線截距式不含垂直于坐標軸和過原點的直線一般式平面直角坐標系內的直線都適用3．求曲線（或直線）方程的方法：在已知曲線類型的前提下，求曲線（或直線）方程的思路通常有兩種：（1）直接法：尋找決定曲線方程的要素，然后直接寫出方程，例如在直線中，若用直接法則需找到兩個點，或者一點一斜率（2）間接法：若題目條件與所求要素聯系不緊密，則考慮先利用待定系數法設出曲線方程，然后再利用條件解出參數的值（通常條件的個數與所求參數的個數一致）4．線段中點坐標公式若點的坐標分別為且線段的中點的坐標為，則，此公式為線段的中點坐標公式．5．兩直線的夾角公式若直線與直線的夾角為，則.【題型歸納目錄】題型一：傾斜角與斜率的計算題型二：三點共線問題題型三：過定點的直線與線段相交問題題型四：直線的方程題型五：直線與坐標軸圍成的三角形問題題型六：兩直線的夾角問題題型七：直線過定點問題題型八：軌跡方程題型九：中點公式【典例例題】題型一：傾斜角與斜率的計算例1．（2022·全國·高三專題練習）求經過（其中）、兩點的直線的傾斜角的取值范圍．例2．（2022·全國·高三專題練習）過點的直線的傾斜角為（

）A． B． C．1 D．例3．（2022·全國·高三專題練習）若，且為第二象限角，則角的終邊落在直線（

）上.A． B． C． D．例4．（2022·全國·高三專題練習）如圖，設直線，，的斜率分別為，，，則，，的大小關系為（

）A． B．C． D．例5．（2022·全國·高三專題練習）若一次函數所表示直線的傾斜角為，則的值為（

）．A． B． C． D．例6．（2022·全國·高三專題練習）設直線的斜率為，且，則直線的傾斜角的取值范圍是（

）A． B．C． D．例7．（2022·全國·高三專題練習）已知直線的方程為，則直線的傾斜角范圍是（

）A． B．C． D．例8．（2022·全國·高三專題練習）設直線的方程是傾斜角為.若，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．例9．（多選題）（2022·全國·高三專題練習）下列四個命題中，錯誤的有（

）A．若直線的傾斜角為，則B．直線的傾斜角的取值范圍為C．若一條直線的傾斜角為，則此直線的斜率為D．若一條直線的斜率為，則此直線的傾斜角為例10．（2022·全國·高三專題練習）已知直線l經過點，兩點，則直線l的斜率為______；若，則直線l的傾斜角的取值范圍為______．例11．（2022·全國·高三專題練習）若直線的傾斜角為α，則sin2α的值為___________.【方法技巧與總結】正確理解傾斜角的定義，明確傾斜角的取值范圍，熟記斜率公式，根據該公式求出經過兩點的直線斜率，當時，直線的斜率不存在，傾斜角為，求斜率可用，其中為傾斜角，由此可見傾斜角與斜率相互關聯，不可分割．牢記“斜率變化分兩段，是其分界，遇到斜率要謹記，存在與否要討論”．這可通過畫正切函數在上的圖像來認識．題型二：三點共線問題例12．（2022·全國·高三專題練習）若三點共線，則a的值為_________．例13．（2022·全國·高三專題練習）若，，三點共線，則（

）A． B． C． D．例14．（2022·北京·高三期末）已知、、三點共線，則的值為（

）A． B． C． D．【方法技巧與總結】斜率是反映直線相對于軸正方向的傾斜程度的，直線上任意兩點所確定的方向不變，即在同一直線上任意不同的兩點所確定的斜率相等．這正是利用斜率可證三點共線的原因．題型三：過定點的直線與線段相交問題例15．（2022·全國·高三專題練習）經過點作直線l，且直線l與連接點，的線段總有公共點，求直線l的傾斜角和斜率k的取值范圍．例16．（2022·全國·高三專題練習）已知直線：，點，，若直線與線段相交，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．例17．（2022·陜西·西安中學高三階段練習（理））已知點在直線上，且滿足，則的取值范圍為_______．例18．（2022·全國·高三專題練習）已知，，點是線段（包括端點）上的動點，則的取值范圍是________．例19．（2022·全國·高三專題練習）點在函數的圖象上，當時，的取值范圍是（

）A． B．C． D．例20．（2022·全國·高三專題練習）已知兩點，，直線過點且與線段相交，則直線的斜率的取值范圍是（

）A． B．或 C． D．【方法技巧與總結】一般地，若已知，過點作垂直于軸的直線，過點的任一直線的斜率為，則當與線段不相交時，夾在與之間；當與線段相交時，在與的兩邊．題型四：直線的方程例21．（2022·全國·高三專題練習）下列四個命題中真命題有_________個．①經過定點的直線都可以用方程表示；②經過任意兩點的直線都可以用方程表示；③不經過原點的直線都可以用方程表示；④經過定點的直線都可以用方程表示．例22．（2022·全國·高三專題練習）設直線l過點，在兩坐標軸上的截距的絕對值相等，則滿足題設的直線l的條數為______條．例23．（2022·全國·高三專題練習）已知直線的傾斜角為，且經過點，則直線的方程為（

）A． B． C． D．例24．（2022·全國·高三專題練習）過兩點和的直線在y軸上的截距為（

）A． B． C． D．例25．（2022·全國·高三專題練習）已知直線過點，，則直線的方程為（

）A． B． C． D．例26．（2022·江蘇·高三專題練習）已知直線和直線都過點，則過點和點的直線方程是（

）A． B． C． D．例27．（2022·全國·高三專題練習）已知直線在兩坐標軸上的截距相等，則實數（

）A．1 B． C．或1 D．2或1例28．（2022·全國·高三專題練習）過點且與兩坐標軸上的截距相等的直線共有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條例29．（2022·北京西城·高三階段練習（理））已知直線不通過第一象限，則實數的取值范圍__________．例30．（2022·全國·高三專題練習）若直線l的方程中，，，則此直線必不經過（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限例31．（2022·福建·莆田二中高三開學考試）直線經過第一、二、四象限，則（

）A．， B．，C．， D．，例32．（多選題）（2022·全國·高三專題練習）過點且在兩坐標軸上截距相等的直線方程為（

）A． B． C． D．例33．（多選題）（2022·全國·高三專題練習）過點，并且在兩軸上的截距互為相反數的直線方程為（

）A． B．C． D．例34．（2022·全國·高三專題練習）已知直線的傾斜角為，且在軸上的截距為，則直線的方程為（）A． B．C． D．【方法技巧與總結】要重點掌握直線方程的特征值（主要指斜率、截距）等問題；熟練地掌握和應用直線方程的幾種形式，尤其是點斜式、斜截式和一般式．題型五：直線與坐標軸圍成的三角形問題例35．（2022·江蘇·高三專題練習）在平面直角坐標系中，直線與坐標軸分別交于點，，則下列選項中錯誤的是（

）A．存在正實數使得△面積為的直線l恰有一條B．存在正實數使得△面積為的直線l恰有二條C．存在正實數使得△面積為的直線l恰有三條D．存在正實數使得△面積為的直線l恰有四條例36．（2022·全國·高三專題練習）已知過定點直線在兩坐標軸上的截距都是正值，且截距之和最小，則直線的方程為（

）A． B． C． D．例37．（2022·全國·高三專題練習）已知直線l經過點P(4，3)，且與x軸正半軸交于點A，與y軸正半軸交于點B，O為坐標原點.（1）若點O到直線l的距離為4，求直線l的方程；（2）求△OAB面積的最小值.例38．（2022·江蘇·高二專題練習）已知點、，設過點的直線l與的邊AB交于點M（其中點M異于A、B兩點），與邊OB交于N（其中點N異于O、B兩點），若設直線l的斜率為k．(1)試用k來表示點M和N的坐標；(2)求的面積S關于直線l的斜率k的函數關系式；(3)當k為何值時，S取得最大值？并求此最大值．例39．（2022·湖北孝感·高二期中）已知直線的方程為點的坐標為.(1)證明：直線一定經過第一象限；(2)設直線與軸?軸分別交于，兩點，當點到直線的距離取得最大值時，求的面積.例40．（2022·全國·高二專題練習）設直線的方程為．(1)若在兩坐標軸上的截距相等，求的一般式方程；(2)若與軸正半軸的交點為，與軸負半軸的交點為，求為坐標原點）面積的最小值．例41．（2022·江蘇·高二專題練習）直線，相交于點，其中.（1）求證：、分別過定點、，并求點、的坐標；（2）求的面積；（3）問為何值時，最大？例42．（2022·江蘇·蘇州中學高二期中）已知，為實數，過原點分別作直線，的垂線，垂足分別為，.（1）若，且直線與軸、軸交于,兩點，當面積最小時，求實數的值；（2）若直線過點，設直線與的交點為，求證：點在一條直線上.例43．（2022·江蘇·高二課時練習）過點作直線l分別與x，y軸正半軸交于點A，B.(1)若是等腰直角三角形，求直線l的方程；(2)對于①最小，②面積最小，若選擇___________作為條件，求直線l的方程.例44．（2022·安徽省亳州市第一中學高二階段練習）已知直線過點.(1)若直線在兩坐標軸上的截距相等，求直線的方程；(2)若直線與x，y軸分別交于A，B兩點且斜率為負，O為坐標原點，求的最小值.例45．（2022·全國·高二）過點作直線分別交軸、軸的正半軸于，兩點．(1)當取最小值時，求出最小值及直線的截距式方程；(2)當取最小值時，求出最小值及直線的截距式方程．例46．（2022·浙江·紹興一中高二期中）如圖，過點的直線l交x軸，y軸正半軸于A?B兩點，求使：(1)面積最小時l的方程；(2)最小時l的方程.例47．（2022·黑龍江·哈爾濱市第六中學校高二期中）直線l過點，且分別與軸正半軸交于、B兩點，O為原點.(1)當面積最小時，求直線l的方程；(2)求的最小值及此時直線l的方程.例48．（2022·江蘇省蘇州第十中學校高二階段練習）已知直線：．（1）求經過的定點坐標；（2）若直線交軸負半軸于點，交軸正半軸于點．①的面積為，求的最小值和此時直線的方程；②當取最小值時，求直線的方程．【方法技巧與總結】（1）由于已知直線的傾斜角（與斜率有關）及直線與坐標軸圍成的三角形的面積（與截距有關），因而可選擇斜截式直線方程，也可選用截距式直線方程，故有“題目決定解法”之說．（2）在求直線方程時，要恰當地選擇方程的形式，每種形式都具有特定的結論，所以根據已知條件恰當地選擇方程的類型往往有助于問題的解決．例如：已知一點的坐標，求過這點的直線方程，通常選用點斜式，再由其他條件確定該直線在y軸上的截距；已知截距或兩點，選擇截距式或兩點式．在求直線方程的過程中，確定的類型后，一般采用待定系數法求解，但要注意對特殊情況的討論，以免遺漏．題型六：兩直線的夾角問題例49．（2022·全國·高三專題練習）直線與的夾角為________．例50．（2022·全國·高三專題練習）已知等腰三角形兩腰所在直線的方程分別為與，原點在等腰三角形的底邊上，則底邊所在直線的斜率為___________.例51．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習）兩條直線，的夾角平分線所在直線的方程是________．例52．（2022·全國·高三專題練習）已知直線，，若直線l過且與直線m?n在第一象限圍成一個等腰銳角三角形，則直線l的斜率是（

）A． B． C． D．2例53．（2022·全國·高三專題練習（文））若等腰直角三角形一條直角邊所在直線的斜率為，則斜邊所在直線的斜率為（

）A．或2 B．或3 C．或4 D．或5【方法技巧與總結】若直線與直線的夾角為，則.題型七：直線過定點問題例54．（2022·浙江·高三專題練習）直線經過的定點坐標是______．例55．（2022·上海市中國中學高三期中）動直線，恒過的定點是________例56．（2022·浙江·高三專題練習）已知實數m，n滿足，則直線必過定點________________．例57．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習）對任意的實數，，直線恒經過的一個定點的坐標是________．例58．（2022·河北·滄縣中學高三階段練習）已知直線恒過定點A，點A在直線上，其中m、n均為正數，則的最小值為（

）A．4 B． C．8 D．例59．（2022·陜西·西北工業(yè)大學附屬中學二模（理））已知向量，，且.若點的軌跡過定點，則這個定點的坐標是（

）A． B．C． D．【方法技巧與總結】合并參數題型八：軌跡方程例60．（2022·全國·高三專題練習）已知，，動點M與A，B兩點連線的斜率分別為、，若，求動點M的軌跡方程例61．（2022·全國·高三專題練習）過點作兩條互相垂直的直線，若交軸于點，交軸于點，求線段的中點的軌跡方程.例62．（2022·全國·高三專題練習）已知是坐標原點，.若點滿足，其中，且，求點的軌跡方程.例63．（2022·全國·高三專題練習）直線＝1與x，y軸交點的連線的中點的軌跡方程是________．例64．（2022·全國·高三專題練習）在平面直角坐標系中，設三角形ABC的頂點坐標分別為，點在線段OA上（異于端點），設均為非零實數，直線分別交于點E，F，一同學已正確算出的方程：，請你求OF的方程：__________________________．【解析】由截距式可得直線，直線，兩式相減得，顯然直線AB與CP的交點F滿足此方程，又原點O也滿足此方程，故為所求的直線OF的方程．例65．（2022·全國·高三專題練習）直角坐標系中，已知兩點，，點滿足，其中，且．則點的軌跡方程為（

）A． B． C． D．【方法技巧與總結】（1）直接法：尋找決定曲線方程的要素，然后直接寫出方程，例如在直線中，若用直接法則需找到兩個點，或者一點一斜率（2）間接法：若題目條件與所求要素聯系不緊密，則考慮先利用待定系數法設出曲線方程，然后再利用條件解出參數的值（通常條件的個數與所求參數的個數一致）題型九：中點公式例66．（2022·全國·高三專題練習（理））過點P(0,1)作直線l，使它被直線l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的線段被點P平分，則直線l的方程為_________．例67．（2022·全國·高三專題練習）過點P(0，1)作直線l，使它被直線l1：和l2：截得的線段恰好被點P平分，求直線l的方程.例68．（2022·全國·高三專題練習）已知直線：過定點，若直線被直線和軸截得的線段恰好被定點平分，求的值.【方法技巧與總結】若點的坐標分別為且線段的中點的坐標為，則【過關測試】一、單選題1．（2022·全國·高三專題練習）若圖中的直線l1，l2，l3的斜率分別為k1，k2，k3，則（）A．k1＜k2＜k3 B．k3＜k1＜k2C．k3＜k2＜k1 D．k1＜k3＜k22．（2022·全國·高三專題練習）直線的傾斜角為（

）A．30° B．45° C．60° D．135°3．（2022·全國·高三專題練習）直線過點，其傾斜角為，現將直線繞原點O逆時針旋轉得到直線，若直線的傾斜角為，則的值為（

）A． B． C．2 D．-24．（2022·上海市實驗學校模擬預測）已知點與點在直線的兩側，給出以下結論：①；②當時，有最小值，無最大值；③；④當且時，的取值范圍是.正確的個數是（

）A．1 B．2 C．3 D．45．（2022·全國·高三專題練習）已知，，三個數成等差數列，直線恒過定點，且在直線上，其中，則的最小值為（

）A． B． C．2 D．46．（2022·全國·高三專題練習）直線過點，且軸正半軸?軸正半軸交于兩點，當面積最小時，直線的方程是（

）A． B．C． D．7．（2022·全國·高三專題練習）已知集合，集合，，則的取值范圍是（

）A． B．且C．且 D．且且8．（2022·河南·高三階段練習（理））已知直線過定點，直線過定點，與的交點為，則面積的最大值為（

）A． B．C．5 D．10二、多選題9．（2022·湖南·長沙一中高三階段練習）設直線系：，則下面四個命題正確的是（

）A．直線系中包含傾斜角為和的直線B．點到直線系中的所有直線的距離恒為定值C．直線系中能構成三角形的任意三條直線所圍成的三角形面積都相等D．存在點不在直線系中的任意一條直線上10．（2022·江蘇·高三階段練習）已知兩點，，曲線C上存在點P滿足，則曲線的方程可