江西省鷹潭市2025屆高三下學(xué)期第二次模擬考試數(shù)學(xué)試卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將正確答案的序號填涂在答題卡上．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，，則.故選：C.2.復(fù)數(shù)，若為純虛數(shù)，則（）A.4 B. C.1 D.【答案】D【解析】由題意可得，因為為純虛數(shù)，即為純虛數(shù)，所以，解得.故選：D3.若，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，即，整理可得，因為，，所以，所以.故選：A4.在2019年中共政治局第十八次集體學(xué)習(xí)中，習(xí)近平總書記提出：“把區(qū)塊鏈作為核心技術(shù)自主創(chuàng)新的重要突破口”，“區(qū)塊鏈技術(shù)”作為一種新型的信息技術(shù)，已經(jīng)廣泛的應(yīng)用于人們的生活中．在區(qū)塊鏈技術(shù)中，若密碼的長度為128比特，則密碼一共有種可能性，因此為了破譯此密碼，最多需要進(jìn)行次運(yùn)算．現(xiàn)在有一臺機(jī)器，每秒能進(jìn)行次運(yùn)算，假設(shè)這臺機(jī)器一直正常運(yùn)轉(zhuǎn)，則這臺機(jī)器破譯長度為128比特的密碼所需要的最長時間約為（參考數(shù)據(jù)：）（）A.秒 B.秒 C.秒 D.秒【答案】B【解析】設(shè)所需時間為t秒，則，則，即，秒.故選：B．5.若非零向量滿足，且向量與向量的夾角，則的值為（）A. B.0 C. D.6【答案】B【解析】由有，所以，所以，故選：B.6.2025年春節(jié)期間，有《封神》《哪吒》《神雕英雄傳》《熊出沒》《唐探1900》五部電影上映，小李和另外3名同學(xué)去隨機(jī)觀看這五部電影，則小李看電影《哪吒》且4人中恰有2人看同一部電影的不同排列方式共有（）A.24種 B.36種 C.48種 D.72種【答案】D【解析】若小李看《哪吒》，且4人中恰有兩人看同一部電影，有兩人看《哪吒》，則有種方案，有一人看《哪吒》電影，則有種方案，即滿足小李看《哪吒》，且4人中恰有兩人看同一部電影一共有種方案.故選：D.7.在銳角中，內(nèi)角所對的邊分別為，若，，則AC邊上的高的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】在中，由正弦定理，可得，由可得：，所以，所以，又因為，所以，所以，，又因為三角形為銳角三角形，所以，所以，在中，由正弦定理可得：，即，故有，因為，所以，，所以，所以，又因為邊上的高，所以．故選：B.8.已知函數(shù)，若方程有三個不同根，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】函數(shù)定義域為R，且在R上單調(diào)遞增，，即，方程，即，于是，即，令，依題意，直線與函數(shù)的圖象有三個不同的交點(diǎn)，求導(dǎo)得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，函數(shù)在上遞減，在上遞增，當(dāng)時，取極小值；當(dāng)時，取極大值為，而當(dāng)或時，恒有，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出直線與函數(shù)的圖象，觀察圖象得，原方程有三個不同實根，所以實數(shù)的取值范圍為，故選：A二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目的要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知函數(shù)（其中，，）的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是（）A.在上單調(diào)遞增B.圖象的一個對稱中心為C.當(dāng)函數(shù)取得最大值時，，D.將的圖象向左平移個單位長度后，可得到一個偶函數(shù)的圖象【答案】BD【解析】有圖有，，即，由，又因為，所以當(dāng)時，，所以，對于A：，可知在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故A錯誤；對于B：，故B正確；對于C：當(dāng)函數(shù)取得最大值時，，故C錯誤；對于D：將的圖象向左平移個單位長度后得，故D正確.故選：BD.10.已知三棱柱為正三棱柱，且，，是的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的動點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.四面體外接球的表面積為C.若，則異面直線與所成的角為D.若過且與垂直的截面與交于點(diǎn)，則三棱錐的體積的最大值為【答案】ABD【解析】對于A：在正三棱柱中有面，平面，則，為中點(diǎn)，，所以，又，平面，所以平面，平面，所以，故A正確；對于B：四面體外接球即為正三棱柱外接球，因為外接圓的半徑為，則有，即，且，設(shè)正三棱柱外接球的半徑為，設(shè)正三棱柱的高為，則由得，故其表面積為，故B正確；對于C：將正三棱柱補(bǔ)成如圖所示直四棱柱，則（或其補(bǔ)角）為異面直線與所成的角，，，，，，，所以，即，故C錯誤；對于D：設(shè)的中點(diǎn)為，作出截面如圖所示，因為，，所以，所以點(diǎn)在以為直徑的圓上，當(dāng)點(diǎn)在的中點(diǎn)時，此時點(diǎn)到底面距離的最大，且最大值為，因為，所以此時點(diǎn)在線段上，符合條件，所以三棱錐的體積的最大值為，故D正確；故選：ABD．11.若函數(shù)是定義在上不恒為零的可導(dǎo)函數(shù)，對任意的均滿足：，，記，則（）A. B.是偶函數(shù)C. D.【答案】ACD【解析】令，得，即，故A正確；對于選項B：令，可得，解得，令，，可得，所以的圖象不是偶函數(shù)，故B錯誤；令，所以，所以，所以，所以，則，所以，，，累加得：，所以選項C正確；對于選項D，，又，所以，設(shè)，則，所以，所以即，故D正確．故選：ACD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知二項式的展開式中，二項式系數(shù)之和為64，則含的項的系數(shù)為______．【答案】【解析】因為二項式系數(shù)之和為64，則，則.則二項展開式通項為，令，解得，則含的項的系數(shù)為.故答案為：.13.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在的左支上，過點(diǎn)作的一條漸近線的垂線，垂足為，則當(dāng)取最小值12時，面積的最大值為______．【答案】18【解析】由題意得，故，如圖所示，則，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時等號成立，而到漸近線的距離，所以的最小值為，所以，即，當(dāng)，時，等號成立，又，故，所以，即面積的最大值為18．故答案為：18.14.若為一個有序?qū)崝?shù)組，其中，表示把中每個都變?yōu)椋?，每個0都變?yōu)椋?，每個1都變?yōu)?，1所得到的新的有序?qū)崝?shù)組，例如：，則．定義，，若，中有項為1，則的前2025項和為______．【答案】【解析】因為，依題意得，，，顯然，中有2項，其中1項為，1項為1，中有4項，其中1項為，1項為1，2項為0，中有8項，其中3項為，3項為1，2項為0，由此可得中共有項，其中1和的項數(shù)相同都為，設(shè)中有項為0，所以，，從而①，因為表示把中每個都變?yōu)椋?，每個0都變?yōu)椋?，每個1都變?yōu)?，1所得到的新的有序?qū)崝?shù)組，則②，①＋②得，③，所以④，所以的前2025項和為:.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知函數(shù)（1）求函數(shù)在處的切線方程；（2）若關(guān)于的不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍；解：（1），，而，，所以在處的切線方程為：（2）由題意得：恒成立，因為，所以問題等價于在時恒成立，令，，，當(dāng)時，，為增函數(shù)；當(dāng)時，，為減函數(shù)，則函數(shù)，故．16.如圖1，等腰梯形是由三個全等的等邊三角形拼成，現(xiàn)將沿BC翻折至，使得，如圖2所示．（1）求證：；（2）在直線上是否存在點(diǎn)，使得直線BM與平面APD所成角的余弦值為？若存在，求出的值：若不存在，說明理由．（1）證明：在圖1連接交于點(diǎn)，在圖2中，易知、都是等邊三角形，易得，，又，，平面，可得平面；又直線平面，所以．（2）解法一：假設(shè)存在點(diǎn)，符合題意．設(shè)，則，則中，由，，由余弦定理得，由（1）得直線平面，又，直線平面，平面，平面平面作，垂足為，則平面，在，由，，所以如圖3，取中點(diǎn)，連接，由，，得四邊形為平行四邊形，因為平面，所以平面，則直線與平面所成角為，且．由已知，即，由，得在中，設(shè)，由余弦定理得即，解得或所以存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角余弦值為，此時或解法二（向量法）設(shè)，則，則在中，由，，由余弦定理得，作，垂足為，連接，得，，如圖3，以的中點(diǎn)為原點(diǎn)，分別為軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，所以，因此，，設(shè)平面的法向量為，則，解得，令，則；即向量，設(shè)存在點(diǎn)，，滿足題意，則，所以，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以所以，解得，所以存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角的余弦值為，此時或17.為落實食品安全的“兩個責(zé)任”，某市的食品監(jiān)督管理部門和衛(wèi)生監(jiān)督管理部門在市人民代表大會召開之際特別邀請相關(guān)代表建言獻(xiàn)策.為保證政策制定的公平合理性，兩個部門將首先征求相關(guān)專家的意見和建議，已知專家?guī)熘泄灿?位成員，兩個部門分別獨(dú)立發(fā)出邀請的專家名單從專家?guī)熘须S機(jī)產(chǎn)生，兩個部門均邀請2位專家，收到食品監(jiān)督管理部門或衛(wèi)生監(jiān)督管理部門的邀請后，專家如約參加會議.（1）設(shè)參加會議的專家代表共X名，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．（2）為增強(qiáng)政策的普適性及可行性，在征求專家建議后，這兩個部門從網(wǎng)絡(luò)評選出的100位熱心市民中抽取部分市民作為群眾代表開展座談會，以便為政策提供支持和補(bǔ)充意見.已知這兩個部門的邀請相互獨(dú)立，邀請的名單從這100名熱心市民中隨機(jī)產(chǎn)生，兩個部門都各自邀請了20名代表，假設(shè)收到食品監(jiān)督管理部門或衛(wèi)生監(jiān)督管理部門的邀請后，群眾代表如約參加座談會，請利用極大似然估計法估計參加會議的群眾代表的人數(shù).（附：極大似然估計（MLE）即最大概率估計，是統(tǒng)計學(xué)用于估算模型參數(shù)的方法，通過觀察數(shù)據(jù)使樣本出現(xiàn)的概率最大化，即當(dāng)時，概率取得最大值，則X的估計值為）解：（1）的可能取值為，則，，，則的分布列為234.（2）設(shè)食品監(jiān)督管理部門邀請的代表記為集合，衛(wèi)生監(jiān)督管理部門邀請的代表為集合，則收到兩個部門邀請的代表的集合為.設(shè)參加會議的群眾代表的人數(shù)為Y，則．設(shè)，則，，，，同理：，令，得，即，解得，又，所以，故由極大似然估計知參加會議的群眾代表的人數(shù)為36.18.在平面直角坐標(biāo)系中，已知是橢圓的左右焦點(diǎn)，以為直徑的圓和橢圓在第一象限的交點(diǎn)為，若三角形的面積為1，其內(nèi)切圓的半徑為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若點(diǎn)是橢圓的上頂點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，其中點(diǎn)在第一象限，點(diǎn)在軸下方且不在軸上，設(shè)直線，的斜率分別為（?。┤簦蟪龅闹?；（ⅱ）設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，求的面積S的最大值．解：（1）由題意知，則，又，，又，，解得，，，所以橢圓的方程為.（2）（?。┰O(shè)直線的方程為，其中，且，即，設(shè)直線與橢圓交于點(diǎn)，，聯(lián)立方程組整理得，，所以，，（?。?，（ⅱ）法一：直線的方程為，令，得，故，設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，直線的方程為，令，得，故聯(lián)立方程組整理得，解得或0（舍），，所以的面積，由（?。┛芍?，，故，代入上式，所以，因為點(diǎn)在軸下方且不在軸上，故或，得，所以，顯然，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故只需考慮，令，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，，即時，不等式取等號，所以的面積的最大值為．法二：直線的方程為，令，得，故，設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，直線的方程為，令，得，故，由（?。┛芍?，故，所以點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，故的面積，其中為點(diǎn)到直線的距離，思路1顯然，當(dāng)過點(diǎn)且與直線平行的直線與橢圓相切時，取最大值，設(shè)直線的方程為，即，聯(lián)立方程組整理得，據(jù)，解得（正舍），所以平行直線與直線之間的距離為，即的最大值為，所以的面積的最大值為．思路2因為直線的方程為，所以，因為在橢圓上，故，設(shè)，，不妨設(shè)，所以，當(dāng)，，時，，即的面積的最大值為．19.對于數(shù)列，記，稱數(shù)列為數(shù)列的一階差分?jǐn)?shù)列．記，稱數(shù)列為數(shù)列的二階差分?jǐn)?shù)列，……，一般地，對于，記，規(guī)定：，，稱為數(shù)列的階差分?jǐn)?shù)列．（1）已知，，求，，，；（2）已知，若，且對恒成立