晉元高級(jí)中學(xué)2024學(xué)年第二學(xué)期期末考試

高一年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科試卷

考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分

一,填空題（本大題共有12題，滿分54分）考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號(hào)的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，每個(gè)空格

填對(duì)前6題得4分，后6題得5分,否則一律得零分.

y=2sin[0尤一已＞

1.函數(shù)的最小正周期是兀，則①=

2

sma=—

2,若3,則cos2(z=.

3.在30°二面角的一個(gè)面內(nèi)有一個(gè)點(diǎn),它到另一個(gè)面的距離是15cm.則這個(gè)點(diǎn)到二面角的棱的距離為.

4.如圖，在正方體AB。。—A4G9中的直線"A,A。[,B[C,中與直線異面的直線有條.

xyc.

----1-----2+i

5.已知實(shí)數(shù)X,y使得l-i1+i，則x+y=

0<x<-7Tsi.nx+cosx=—/

6.若4,且5,則sinx-cosx的值為.

7.若復(fù)數(shù)z滿足匕+1|=匕+1|=1,則2=.

8.如凰在邊長(zhǎng)為2的正方體ABCD-中，”為M的中點(diǎn)，過用，M,C作正方體的截面a,則截面面積

為.

-*—*71

9.已知兩個(gè)向量0,e2滿足同=2,同

一3,且向量'6+502與4弓+；162夾角為鈍角.則實(shí)數(shù)的；I取值

范圍為___________

10.在△ABC中，已知A=30°,6=10,當(dāng)B有兩解時(shí)，a的取值范圍為.

11.如圖，自動(dòng)卸貨汽車采用液壓機(jī)構(gòu).已知車廂的最大仰角為60°,油泵頂點(diǎn)3與車廂支點(diǎn)A之間的距離為L(zhǎng)95m,

AC的長(zhǎng)為L(zhǎng)4m,5c與過A的水平線交于點(diǎn)0,的長(zhǎng)為L(zhǎng)75m.則A3與水平線之間的夾角夕的大小為

.（以角度制表示,精確到001°）

12.設(shè)國表示不超過的x最大整數(shù)，例如F3司,'4,是平面上的三個(gè)單位向量,且

6G+%?4=16+%+ej

「2」L23」，則23］的取值范圍是.

二,選擇題（本大題共有4題，滿分18分,13-14題每題4分,15-16題每題5分）每題有且只有一個(gè)正確

選項(xiàng),考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)編號(hào)上,將代表答案的小方格涂黑.

y=5sin3x+—

13.下列函數(shù)中，與函數(shù)14J的圖象形狀相同的是（）

A.y=8sin13%+；）,B.y=3sin15x+；

C.y=5sin21x+；J,D.y=5sin3(x+

14.下列命題中,真命題為（）

A.若點(diǎn)P（a,2a）（a豐0）為角6終邊上一點(diǎn),則sin6=管

B.同時(shí)滿足sinx='，cosx的角有且只有一個(gè)

22

C.如果角a滿足-3兀＜。＜-*兀，那么角?是第二象限的角

2

兀

D.tanx=-b的解集為＜xx=E—左eZ＞

15.下列4個(gè)命題正確個(gè)數(shù)為（）

①若一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線均平行于另一個(gè)平面,則這兩個(gè)平面平行.

②若一個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線都平行于另一個(gè)平面,則這兩個(gè)平面平行.

③已知平面々，平面夕，平面。上的任意一條直線都垂直于平面￡上的無數(shù)條直線.

④已知平面a，平面夕，過平面夕上任意一點(diǎn)作平面a與夕交線的垂線/，則

A.1B.2C.3D.4

16.如圖,邊長(zhǎng)為1的正方體4用卻。1，則下列四個(gè)命題：

①點(diǎn)P在線段BG上運(yùn)動(dòng)時(shí),直線AP與直線4。所成角的大小不變

②點(diǎn)P在線段BG上運(yùn)動(dòng)時(shí),直線"與平面AC。1所成角的大小不變

③點(diǎn)P在線段BG上運(yùn)動(dòng)時(shí),二面角P-AD.-C的大小不變

④點(diǎn)P在線段BG上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P到平面4片。距離最大值為1

其中的真命題是()

三,解答題(本大題共有5題，滿分78分)解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號(hào)的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要

的步驟.

17.已知根,〃eR,復(fù)數(shù)z=—2—Y3i是實(shí)系數(shù)一元二次方程nu~+nx+l=O的一個(gè)根.

22

(1)求加和"的值.

(2)若4=(a—2i>z,awR,4為純虛數(shù)，求a的值.

18.在VABC中，角A,3,C對(duì)邊分別為J

(1)若Z?=2asin3,求A的大小.

(2)若a=2"=2jLA=g,求VABC的面積.

19.如圖，在四棱錐尸-A5CD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為。的正方形，。為正方形ABCD的中心，POJL平面A3CD.

(1)求證：5D1平面PAC.

(2)若點(diǎn)M在棱PC上且不與尸，C重合，平面交棱PB于點(diǎn)N,求證：MN//AD.

20.如圖所示，△ABC中，AB=1,AC=2,ABAC=120°,BD=2DA，CE=2EB-

(1)用麗，無心表示檢.

(2)若2G(o,i),方=幾屈，是否存在實(shí)數(shù)x使得CD,麗？若存在，求出入的值，若不存在，說明理由.

(3)若。是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且滿足區(qū)+2礪+根麗=0(m>0)，求函?無+2西?歷的最小值.

21.設(shè)g>0,函數(shù)y=/(x)滿足/(x)=Asin10x+總(AwO).

(1)當(dāng)0=*A〉。時(shí),若存在實(shí)數(shù)以，對(duì)任意的xe/(/是函數(shù)y=/(x)的定義域的子集)，都有/(x)WM,

且存在％e/,使得/(%)="，則稱/為函數(shù)/(%)在區(qū)間/上的最大值，/稱為最大值點(diǎn)，求/(力在［0,10］上最

大值點(diǎn)的個(gè)數(shù).

(2)若4=1,函數(shù)y=/(x)的最小正周期Te［函,彳｝且函數(shù)y=/(x)的圖像與直線y=l在區(qū)間不上有

且僅有1個(gè)交點(diǎn)，求⑦的取值范圍.

77

(3)當(dāng)0=—時(shí)，小明利用函數(shù)y=/(x)進(jìn)行一個(gè)棋盤游戲：有一個(gè)2025x2025的正方形棋盤，小明將一顆棋子開

4

始時(shí)置于左下角(棋盤最左邊的邊界線與最下邊的邊界線的交點(diǎn))，每走一步移動(dòng)1格,且在第〃(“2l,〃eN)步時(shí)，

若則將棋子向上前進(jìn)一步,否則將棋子向右前進(jìn)一步,棋子走到棋盤最右邊的邊界線或最上邊的邊界線時(shí)

停止,若棋子停在棋盤最上邊的邊界線,求A的取值范圍.

晉元高級(jí)中學(xué)2024學(xué)年第二學(xué)期期末考試

高一年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科試卷

考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分

一,填空題（本大題共有12題，滿分54分）考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號(hào)的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，每個(gè)空格

填對(duì)前6題得4分，后6題得5分,否則一律得零分.

2sincox--口〉0）

yI16

i.函數(shù)的最小正周期是兀，則①

【答案】2

【分析】由正弦型函數(shù)的周期公式可求得。的值.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)y=2sin|a）x-白（20）的最小正周期是兀，則(y=—=2.

1671

故答案為：2.

一,2

2.若sin。=—，則cos2a=

3

【答案】|

【分析】根據(jù)余弦的二倍角公式即可計(jì)算.

2

【詳解】cos2a=l-2sin2(z=l-2x14

故答案為：—

9

3.在30°二面角的一個(gè)面內(nèi)有一個(gè)點(diǎn),它到另一個(gè)面的距離是15cm.則這個(gè)點(diǎn)到二面角的棱的距離為

【答案】30cm

【分析】畫出簡(jiǎn)圖，結(jié)合二面角的定義及三角函數(shù)關(guān)系即可求解.

【詳解】

如圖所示：二面角為30°,點(diǎn)尸￡￡,點(diǎn)尸在平面夕內(nèi)的射影點(diǎn)為。，過點(diǎn)尸在平面戊內(nèi)作PH，/,垂足為點(diǎn)

H，連接OH.

因?yàn)镻O，，，/u分，所以

因?yàn)镻H，/,POLI,POCPH=P,POu平面9匚平面23九所以/,平面？。/7.

因?yàn)镺"u平面POH,l±OH,所以ZPHO即為二面角a-l-/3的平面角,所以N/W0=30°.

PO15

在RSPOT/中，PH==30cm.

sinZPHOsin30°

所以這個(gè)點(diǎn)到二面角的棱的距離為30cm.

故答案為：30cm.

4.如圖，在正方體ABCD—ABIGA中的直線A，，AC，B,C,中與直線3C異面的直線有條.

【答案】3

【分析】根據(jù)異面直線的定義,即可判斷.

【詳解】和5c是異面直線.

AG和5c是異面直線.

5c和8C是相交直線,不是異面直線.

QD和3C是異面直線,所以有3條.

故答案為：3

5已知實(shí)數(shù)“使得臺(tái)+擊=2+i,則x+廣

【答案】4

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算公式,即可化簡(jiǎn)求值.

1

詳解】百號(hào)?尚W+寧川

則^±2=2,得x+y=4.

2

故答案為：4

兀7

6.若0<%(;，且sinx+cos%=一,貝!Jsinx-cosx的值為_________.

45

【答案】-$#-0.2

【分析】首先利用平方關(guān)系求2sinxcosx的值，再利用平方關(guān)系求sin九-cos%的值.

=竺，得

【詳解】sinx+cos4=1+2sinxcosx2sinxcosx=—

'2525

貝ij(sinx-cosx)2=1-2sinxcosx--

'725

JI1

且0<%<二，則sinx-cosx<0,所以sin1一cos%=一—.

45

故答案為：-3

7.若復(fù)數(shù)z滿足|z+[=|z+i|=l4i]z=.

【答案】。或-1-i

【分析】首先設(shè)復(fù)數(shù)z=a+歷，再代入復(fù)數(shù)模的運(yùn)算公式,即可求解.

22

【詳解】設(shè)2=。+歷，a,beR,則|z+l|=++/=],|z+i|=^a+(b+l)=1.

即(a+iy+/=4+(〃+1)2,則2a+l=2Z?+l,得a="

即(。+1)2+/=1,解得：4=0或。=—1.

所以z=0或z=-l-i.

故答案為：?；颉?—i

8.如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方體ABC。-A6G。中，M為A4的中點(diǎn)，過耳，M,C作正方體的截面則截面面積

為____________.

9

【答案】一##4.5

2

【分析】首先根據(jù)平行的性質(zhì)，作出平面a,再求面積.

【詳解】如圖，取AD的中點(diǎn)N,連結(jié)跖V,NC,CB、，A、D.

因?yàn)镸為Ad的中點(diǎn)，所以MN//4。，又4C/M,。.

所以MN//B?,則平面MNCBl為平面a,且

四邊形MNC4為截面四邊形,為等腰梯形.

4c=2后，MN=EMB『NC=5

272-72?372

所以梯形的高”2J

所以梯形的面積s=gx(2應(yīng)+血卜乎=：.

故答案為：二9

2

9.已知兩個(gè)向量[滿足=2,同=1,q,=g■，且向量4錄+5段與4gl'+2區(qū)的夾角為鈍角.則實(shí)數(shù)的2取值

范圍為?

【答案】（-20,-2A/5）U（-2>/5,-1）

【分析】根據(jù)條件轉(zhuǎn)化為數(shù)量積小于0,以及兩向量不平行，列式求解.

【詳解】若溫+5區(qū)和4冢+區(qū)的夾角為鈍角,則（幅+5力（41+4可<0,且不平行.

所以（彳與+5^j-（4e1+Xe,）=16/1+5/1+（/I?+20）q,e,=21/1+（Jl~+20）<0.

解得：—20<A<—1.

若向量4]+5區(qū)和41+X區(qū)平行,則。=：,得;I=±2A/5.

綜上可知，2取值范圍為卜20,-2百）U（-275,-l）.

故答案為：/20,—2百加卜2班1）

10.在△ABC中，已知A=30°,6=10,當(dāng)8有兩解時(shí)，。的取值范圍為.

【答案】（5,10）

【分析】根據(jù)正弦定理,結(jié)合300<B<150°,即可求解.

【詳解】由正弦定理可知，4=上，即。=皿?=〃一.

sinAsinBsinBsinB

若3有兩解,則6>A=30°,且B<150°,所以，<sin3<l.

2

所以5VQ<10.

故答案為：（5,10）

11.如圖，自動(dòng)卸貨汽車采用液壓機(jī)構(gòu).已知車廂最大仰角為60°,油泵頂點(diǎn)3與車廂支點(diǎn)A之間的距離為1.95m,

AC的長(zhǎng)為1.4m,3C與過A的水平線交于點(diǎn)AD的長(zhǎng)為1.75m.則與水平線之間的夾角々的大小為

.（以角度制表示,精確到0.01°）

c

【答案】6.390

【分析】首先在AACD中求和ZAOC,再在△A3。中，根據(jù)正弦定理,即可求解.

【詳解】AACD中，根據(jù)余弦定理CD?=1.42+1.752-2xl.4xl.75x-=2.5725.

-2

1.752+2.5725-1.42

cosZADC=合0.6547,則NA￡)C土49°.

2x1.75x72.5725

AUAr)195175

△ABD中，根據(jù)余弦定理----------=——，即=—,得sinB。0.6763.

sinZADBsin3sin131°sinB

則B?42.61。，所以a〃49°—42.61。=6.39°.

故答案為：6.39°

12.設(shè)國表示不超過的x最大整數(shù)，例如[-3.5]=-4,[1.7]=1.4，?21&是平面上的三個(gè)單位向量，且

^_ei,g2]+\_e2,63]=1,貝"q+e2+63]的取值范圍是.

【答案】[迅,3)

【分析】由條件確定三個(gè)向量的夾角的關(guān)系,再結(jié)合模長(zhǎng)，代入向量模的計(jì)算公式,結(jié)合夾角的范圍，即可求解.

[詳解】由條件可知,不管是耳?晟還是1?區(qū)的范圍都是.

因?yàn)閇冢?磯+NW]=1,說明一個(gè)加數(shù)是0,一個(gè)加數(shù)是1.

---—?---?—?---??71

不妨設(shè)=1,則4=%，ei，e2EIO'5?

所以卜+弓+6|

因?yàn)閏os怎可e[0,l),所以R+￡+4je[63).

故答案為:

二,選擇題(本大題共有4題，滿分18分,13-14題每題4分,15-16題每題5分)每題有且只有一個(gè)正確

選項(xiàng),考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)編號(hào)上,將代表答案的小方格涂黑.

13.下列函數(shù)中,與函數(shù)y=5sin3x+"的圖象形狀相同的是(

)

A.y=8sin13%+；J,B.y=3sin［5x+；J.

C.y=5sin21x+：］,D.y=5sin311+；1.

【答案】D

【分析】利用三角函數(shù)圖象形狀相同的性質(zhì)即可得解.

【詳解】與函數(shù)y=5sin13x+T的圖象形狀相同，則振幅和周期相同即可.

即A=5,G=3.

對(duì)于A,y=8sin13x+：］中A=8,振幅不相同，故A錯(cuò)誤.

對(duì)于B,y=3sin［5x+：］中A=3,振幅不相同，故B錯(cuò)誤.

對(duì)于C,y=5sin21x+；］中。=2,周期不相同，故C錯(cuò)誤.

對(duì)于D,y=5sin31x+：］中A=5,0=3,相同,則圖象相同，故D正確.

故選：D.

14.下列命題中,真命題為（）

A.若點(diǎn)P（a,2a）（a豐0）為角6終邊上一點(diǎn),貝i］sin6=平

B.同時(shí)滿足sinx==，cosx=Y3的角有且只有一個(gè)

22

C.如果角a滿足-3兀＜a＜--n,那么角?是第二象限的角

2

兀

D.tanx=—6的解集為=左eZ＞

【答案】D

【分析】根據(jù)三角函數(shù)正余弦的定義可判斷選項(xiàng)A,根據(jù)角度的周期性可判斷選項(xiàng)B,C,D.

【詳解】若點(diǎn)尸（。,2。）（。。0）為角。終邊上一點(diǎn).

則當(dāng)。＞0時(shí)，sin6=2叵，當(dāng)。＜0時(shí)，sin。=—2叵，選項(xiàng)A錯(cuò)誤.

55

同時(shí)滿足sinx=-,cosx=—的角有無數(shù)個(gè)，此時(shí)x=2E+&,選項(xiàng)B錯(cuò)誤.

226

如果角a滿足-3兀＜。＜-』兀，那么角a是第三象限的角，選項(xiàng)C錯(cuò)誤.

2

tanx=-A/3的解集為|x|x=bt--1-,^ezj,選項(xiàng)D正確,故選D.

15.下列4個(gè)命題正確的個(gè)數(shù)為（）

①若一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線均平行于另一個(gè)平面,則這兩個(gè)平面平行.

②若一個(gè)平面內(nèi)任何一條直線都平行于另一個(gè)平面,則這兩個(gè)平面平行.

③已知平面a，平面夕，平面夕上的任意一條直線都垂直于平面夕上的無數(shù)條直線.

④已知平面a，平面廣，過平面儀上任意一點(diǎn)作平面a與/3交線的垂線/,則/，￡.

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】根據(jù)面面平行及面面垂直的性質(zhì)定理等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)逐一分析，由此確定正確選項(xiàng).

【詳解】對(duì)于①,平面內(nèi)的兩條直線均平行于另一個(gè)平面,可能是兩條平行線平行于另一個(gè)平面,這兩個(gè)平面可能相交,

故①錯(cuò)誤.

對(duì)于②,如果一個(gè)平面內(nèi)任何一條直線都平行于另一個(gè)平面,那么這兩個(gè)平面平行,正確,故②正確.

對(duì)于③,平面a1平面夕，過平面P上任意一點(diǎn)作平面a與p交線的垂線1,11萬，則/，。.

平面a上的任意一條直線都垂直于平面P上的無數(shù)條直線/的平行線,故③正確.

對(duì)于④,平面a1平面夕，過平面a上任意一點(diǎn)作平面a與￡交線的垂線/,/ua,則/，￡,故④正確.

故選：C.

16.如圖,邊長(zhǎng)為1的正方體ABCD-\BXCXDX,則下列四個(gè)命題：

①點(diǎn)P在線段BG上運(yùn)動(dòng)時(shí),直線AP與直線4。所成角的大小不變

②點(diǎn)尸在線段BG上運(yùn)動(dòng)時(shí),直線AP與平面ACD,所成角的大小不變

③點(diǎn)P在線段BG上運(yùn)動(dòng)時(shí),二面角P-AD.-C的大小不變

④點(diǎn)尸在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí),點(diǎn)P到平面A耳。的距離最大值為1

其中的真命題是（）

C.①②④D.①③④

【答案】A

【分析】利用正方體的線面垂直關(guān)系可證得A。LAP，可判斷①,利用等體積法分別求得3,G到平面ACR的距離

%,均，可計(jì)算出直線A5、AG與平面ACR所成角的正弦值，由此可判斷②,根據(jù)二面角P-AQ-C的大小等于平面

ABC.D,與平面ACD,所成角的大小，可判斷③,分析出當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B或點(diǎn)G的位置時(shí)，到平面44。的距離最大,可

計(jì)算出最大距離判斷④.

【詳解】①如圖，連接

因?yàn)锳BCD-4與￡2是正方體,所以，A。］,A3，平面ADD^.

因?yàn)?。u平面ADD^，所以A3，4。.

又ABcAD】=A,ABu平面ABCXDX,AD,u平面ABC；。］,所以4。，平面ABCfi1.

因?yàn)辄c(diǎn)尸在線段BG上運(yùn)動(dòng),所以APu平面ABQD,,則AXD±AP.

所以，直線AP與直線4。所成角為直角，大小不變,故①正確.

②設(shè)B,q到平面ACDt距離分別為4,4.

因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為1,所以AC=J5,AC,=有，則S4“=-xV2xV2sin-=—.

、i△zidzj232

因?yàn)椋ァ窤BC=^B-ACDi,即;X；X1X1X1=；X^^X〃],所以4~'

所以直線AB與平面AC。所成角的正弦值為sin4=走.

3

同理，因?yàn)樨?O1CG=^Ci-ACD,,即;x；xlxlxl=；x力2，所以為=-

所以直線AC]與平面AC2所成角的正弦值為.T_1.

2=?T3

顯然4/。2,所以直線釬與平面ACR所成角的大小在變化,故②錯(cuò)誤.

③因?yàn)辄c(diǎn)P在線段BG上運(yùn)動(dòng)時(shí),二面角P-AD.-C的大小等于平面ABCfi,與平面ACD,所成角的大小,所以其大

小不變,故③正確.

④如圖,連接3。，則點(diǎn)尸到平面\BXD的距離即點(diǎn)p到平面\BXCD的距離.

則當(dāng)點(diǎn)尸在點(diǎn)B或點(diǎn)G的位置時(shí),距離最大.

因?yàn)锽G，Z>C,JB]Cc。C=C,且4C,。Cu平面A與C￡>.

所以Bq，平面A.B.CD,則點(diǎn)3或點(diǎn)G到平面\B.CD的距離為=->故④錯(cuò)誤.

22

綜上,①③正確.

故選：A.

三,解答題(本大題共有5題，滿分78分)解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號(hào)的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要

的步驟.

17.已知根,〃￡R,復(fù)數(shù)z=—工—走i是實(shí)系數(shù)一元二次方程rwc2+nx+l=0的一個(gè)根.

22

(1)求加和〃的值.

(2)若z=(a—2i>z,aeR,4為純虛數(shù)，求a的值.

【答案】(1)m=n=l

(2)a——2-\/3

【分析】(1)根據(jù)實(shí)系數(shù)一元二次方程根的特征結(jié)合韋達(dá)定理計(jì)算求參.

(2)應(yīng)用復(fù)數(shù)乘法計(jì)算結(jié)合純虛數(shù)定義計(jì)算求參.

【小問1詳解】

由復(fù)數(shù)Z=—L是實(shí)系數(shù)一元二次方程rwc2+nx+l=o的一個(gè)根.

22

n1i+」+烏

得該方程的另一個(gè)實(shí)根為-，+@i,因此<m2222

22y/3A/3

i)(--+TO

~T

所以加="=1.

【小問2詳解】

依題意，Z]=(a—2i>(—1■—當(dāng)i)=(—ga—6)+(1—日a)i.

由4為純虛數(shù),得—！4—百=0,1—蟲。片0,解得。=—2百

22

18.在VABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,J

(1)若l=2asin_B，求A的大小.

(2)若a=2,b=2?A=g,求VABC的面積.

6

【答案】(1)A=2jr或A=5=IE

66

(2)答案見解析

【分析】(1)根據(jù)正弦定理，邊化角，即可求解.

(2)解法1：首先根據(jù)正弦定理求角3,再求角C,最后代入面積公式，即可求解，解法2：首先根據(jù)余弦定理求J再代

入面積公式,即可求解.

【小問1詳解】

由正弦定理可得sin3=2sinAsinB.

..1.71.5兀

QsinB>0,.,.8111^=-,A=—或A=—.

266

【小問2詳解】

2_2百ZT9

解法1：由正弦定理可得一嬴萬，.?.sin5=里，3=1或3=二

sin-"UQ233

當(dāng)3=9時(shí),C=9,故5"=；而=273.

rx[

當(dāng)6=—^■時(shí)，C=—,故=—absinC=6.

362

2222

解法2：由余弦定理可得：2=(273)+c-2x2A/3Ccos-,BPc-6c+8=0,「.c=2或/.c=4.

6

當(dāng)c=2時(shí),，=—Z?csin—=百.

A26

當(dāng)c=4時(shí)，S&ABC=—Z?csin—=2A/3.

“26

19.如圖，在四棱錐P-A5CE＞中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為。的正方形，。為正方形ABCD的中心，PO_L平面A3CD.

（2）若點(diǎn)〃在棱PC上且不與尸，。重合，平面ADM交棱PB于點(diǎn)N,求證：MN//AD.

【答案】（1）證明見解析

（2）證明見解析

【分析】（1）根據(jù)線面垂直的判斷定理,轉(zhuǎn)化為證明線線垂直，即可證明8。，AC,BDA.PO.

（2）根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理,即可證明線線平行，即先證明3C//平面ADM.

【小問1詳解】

PO_L平面ABCD,且BDu平面ABCD：.PO_LBD

又?.?ACcPO=O,AC,POu平面ABC￡＞,故5D工平面PAC.

【小問2詳解】

?.?也//：8（2且40（=平面4）”，3C不在平面ADM上，.1BC//平面

又：5。＜3平面罰?。，平面40M。平面？6。=又',.?.8。//初乂,且臺(tái)。//人￡）,MN//AD.

20.如圖所示，在△ABC中，AB=1,AC=2,ZBAC=120°,BD=2DA^CE=2EB-

（1）用通，衣表示衣.

（2）若4e（0,1）,而=幾方,是否存在實(shí)數(shù)2使得無，而？若存在，求出4的值，若不存在，說明理由.

（3）若。是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且滿足反+2礪+7〃西=0（加＞0），求西.祝+29?礪的最小值.

.2?1.

【答案】(1)AE=-AB+-AC

13

(2)存在，X=一

17

⑶」

3

【分析】(1)結(jié)合條件,根據(jù)向量的線性關(guān)系，即可求解.

(2)利用基底荏，正表示向量麗和衣，再結(jié)合垂直關(guān)系的向量運(yùn)算,即可求解.

2

(3)首先由向量的線性足算關(guān)系推出點(diǎn)。,AE二點(diǎn)共線，-加|OA|=3OE-OA=-3^OE\-^,再結(jié)合基本不等式

求最值,并化簡(jiǎn)OAOC+2OA-OB,求最值.

【小問1詳解】

_k?1_________k_?i__?_?2_?i__?

AE=AB+BE=AB+-BC=AB+-(AC-AB)=-AB+-AC.

3333

【小問2詳解】

^.CP=XCB.

■.■AP=AC+CP.

UUUUUUULIUU1UULUUUUUUUUUIU

\AP=AC+ICB=AC+I(AB-AC)=IAB+(1-I)AC-

-.CDLAP,.-.CDAP=O.

.-.QAB-AC^-[2AB+(1-2)AC]=12AB2-(1-2)AC2+Q-12^AB-AC

13

解得力=一.

17

.?.存在點(diǎn)尸，使得CDLAP

【小問3詳解】

—-2—■1―.

AE=-AB+-AC.

33

——-24——*21>221——?--4

AE=-AB+-AC+2x-x-xABAC=-.

99339

UUUUL1UULII

QOC+2OB+mOA=0(m?R).

UUUUUUUUUULIULII

\OE+EC+2(OE+EB)+mOA=0.

UL1UuumUULUUL1

\3OE+EC+2EB+mOA=0.

\3OE+mOA=0,:.mOA=-30E,\'三點(diǎn)共線.

----------J2——??1

/.-m(9A=3OEOA=-3煙.網(wǎng)

3

當(dāng)且僅當(dāng)|礪卜|0A|時(shí)，即。為AE中點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立.

uurUUDuruuauuruunuunuur2

而OA?OC2OA?OBOA1(OC203)=-mOA-

所以西?文+2西?萌的最小值為-g.

21.設(shè)a>>0,函數(shù)y=/(x)滿足/(x)=Asin[°x+.J(AwO)

(1)當(dāng)0=g,A>0時(shí)，若存在實(shí)數(shù)以，對(duì)任意的xe/(/是函數(shù)y=/(x)的定義域的子集)，都有

且存在為?/,使得/(%)=M,則稱/為函數(shù)〃尤)在區(qū)間/上的最大值，/稱為最大值點(diǎn)，求"％)在[0,10]上最

大值點(diǎn)的個(gè)數(shù).

(8兀8兀、(TT,3兀)

(2)若4=1,函數(shù)y=/(x)的最小正周期Te函,《，且函數(shù)y=/(x)的圖像與直線y=l在區(qū)間5，彳上有

且僅有1個(gè)交點(diǎn),求。的取值范圍.

7T

(3)當(dāng)0=7時(shí),小明利用函數(shù)y=f(x)進(jìn)行一個(gè)棋盤游戲：有一個(gè)2025x2025的正方形棋盤，小明將一顆棋子開

始時(shí)置于左下角(棋盤最左邊的邊界線與最下邊的邊界線的交點(diǎn))，每走一步移動(dòng)1格，且在第〃eN)步時(shí)，

若則將棋子向上前進(jìn)一步,否則將棋子向右前進(jìn)一步,棋子走到棋盤最右邊的邊界線或最上邊的邊界線時(shí)

停止,若棋子停在棋盤最上邊的邊界線,求A的取值范圍.

【答案】(1)2