專題11四邊形與正多邊形

1.平行四邊形的定義、性質(zhì)與判定

(1)定義：兩組對(duì)邊分別的四邊形叫作平行四邊形.

(2)性質(zhì)：對(duì)邊平行；對(duì)邊________；對(duì)角相等；對(duì)角線互相平分，是________圖形.

(3)判定方法：①兩組對(duì)邊分別的四邊形是平行四邊形；②兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊

形；⑶有一組對(duì)邊目的四邊形是平行四邊形；

④對(duì)角線的四邊形是平行四邊形.

2.矩形的定義、性質(zhì)與判定

(1)定義：有一個(gè)角是的叫作矩形.

(2)性質(zhì)：矩形的對(duì)邊且；四個(gè)角都是______；兩條對(duì)角線互相且.

(3)判定方法：①有三個(gè)角都是_______的四邊形是矩形；②對(duì)角線的平行四邊形是矩形.

3.菱形的定義、性質(zhì)與判定

(1)定義：有一組鄰邊______的平行四邊形叫作菱形，菱形是________圖形，也是_______圖形，它的對(duì)稱軸就

是它的兩條所在直線.

(2)性質(zhì)：菱形的四條邊都；兩條對(duì)角線互相；每條對(duì)角線平分______.

(3)判定方法：①有一組鄰邊______的平行四邊形是菱形；②對(duì)角線的平行四邊形是菱形；③四條邊

都______的四邊形是菱形.

4.正方形的定義、性質(zhì)與判定

(1)定義：有一個(gè)角是_____且有一組鄰邊_______的平行四邊形是正方形.

(2)性質(zhì)：除具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)外，還具有對(duì)角線與邊夾角為的性質(zhì)；面積等

于,正方形既是______圖形，也是________圖形，它的對(duì)稱軸有____.

(3)判定方法：有一組鄰邊_______的矩形是正方形；有一個(gè)角是_______的菱形是正方形；對(duì)角線且

平分的四邊形是正方形.

5.梯形

一組對(duì)邊______另一組對(duì)邊的四邊形叫作梯形.同一底上的的梯形是等腰梯形；兩對(duì)角線

的梯形是等腰梯形；兩腰的梯形是等腰梯形.有一個(gè)角是的梯形是直角梯形.連接梯形的兩腰

的連線叫作梯形的中位線；梯形的中位線_______于兩底，并且等于的一半.

6.梯形的常見輔助線

(1)平移梯形的，使兩腰和同一底上兩底角會(huì)聚到一個(gè)三角形中.

(2)平移梯形的.

(3)作梯形的.

(4)延長(zhǎng)_______,使延長(zhǎng)部分等于上底長(zhǎng)，再_______上底端點(diǎn)和下底的延長(zhǎng)終點(diǎn).

(5)作一______的平行線，和下底的延長(zhǎng)線相交.

(6)過一腰的作另一腰的,和其中一底的延長(zhǎng)線相交，和另一底相交.

(7)延長(zhǎng)兩腰使之相交.

7.正多邊形

(1)如果多邊形的各邊都________各內(nèi)角都_________則稱它為正多邊形Q)正n邊形的內(nèi)角和等于_______任

意多邊形的外角和等于.

實(shí)戰(zhàn)演練

1.如圖，在口ABCD中,一定正確的是()

A.AD=CDB.AC=BD

C.AB=CDD.CD=BC

2如圖,在菱形ABCD中對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,點(diǎn)E為CD的中點(diǎn).若OE=3,則菱形ABCD的周長(zhǎng)為(

)

A.6B.12C.24D.48

3.大自然中有許多小動(dòng)物都是“小數(shù)學(xué)家”，如圖1,蜜蜂的蜂巢結(jié)構(gòu)非常精巧、實(shí)用而且節(jié)省材料，多名學(xué)者

通過觀測(cè)研究發(fā)現(xiàn)：蜂巢巢房的橫截面大都是正六邊形.如圖2,一個(gè)巢房的橫截面為正六邊形ABCDEF,若對(duì)角線

AD的長(zhǎng)約為8mm，則正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為()

圖1

A.2mmB.2&mm

C.2y/^mmD.4mm

4.如圖，在正五邊形ABCDE中以AB為邊向內(nèi)作正aABF,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是

A.AE=AF

B.ZEAF=ZCBF

C.ZF=ZEAF

D.ZC=ZE

5.如圖，在正方形ABCD中對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O.E,F分別為AC,BD上一點(diǎn)，且OE=OF,連接AF,BE,E

F.若NAFE=25。,貝［kCBE的度數(shù)為()

A.50°B.55°

C.65°D.70°

6.下列多邊形中，內(nèi)角和最大的是

7.如圖把含30。的直角三角板PMN放置在正方形ABCD中/PMN=30°,直角頂點(diǎn)P在正方形A

BCD的對(duì)角線BD上點(diǎn)M,N分別在AB和CD邊上,MN與BD交于點(diǎn)O,且點(diǎn)。為MN的中點(diǎn)，則NAMP的

度數(shù)為（）

A.6O0B.65°

C.75°D.80°

8.如圖，面積為S的菱形ABCD中點(diǎn)O為對(duì)角線的交點(diǎn),E是線段BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF1BD于點(diǎn)F,E

G1AC于點(diǎn)G,則四邊形EFOG的面積為)

AD

11

C—D

J12-叁

1

9.如圖，在矩形ABCD中,對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)0,點(diǎn)E是邊AD的中點(diǎn)點(diǎn)F在對(duì)角線AC上，且AF=%

連接EF.若AC=10,則EF=.

10如圖,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8,點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，HG垂直平分AE且分別交AE、BC于點(diǎn)H、G,

貝！］BG=.

1L如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,點(diǎn)E在OB上，連接AE,點(diǎn)F為CD的中點(diǎn)，連接OF若AE=

BE,OE=3,OA=4,則線段OF的長(zhǎng)為.

12.如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,點(diǎn)E,F分別在BC,CD的延長(zhǎng)線上，且CE=2,DF

=1,G為EF的中點(diǎn)，連接0E,交CD于點(diǎn)H,連接GH.則GH的長(zhǎng)為.

13如圖，在口ABCD中,對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,AB=AD.

(1)求證:AC1BD;

3

⑵若點(diǎn)E,F分別為AD,AO的中點(diǎn)，連接.EF,EF=2,40=2,求BD的長(zhǎng)及四邊形ABCD的周長(zhǎng).

14.如圖，在平行四邊形ABCD中，連接BD,E為線段AD的中點(diǎn)，延長(zhǎng)BE與CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F,連接

AF,ZBDF=9O°.

(1)求證:四邊形ABDF是矩形；

(2)若AD=5,DF=3,求四邊形ABCF的面積S.

15.如圖在DABCD中,對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O,點(diǎn)E,F分別在BD和DB的延長(zhǎng)線上，且DE=BF,連接

AE,CF.

⑴求證:4ADEmMBF;

（2）連接AF,CE.當(dāng)BD平分NABC時(shí),四邊形AFCE是什么特殊四邊形？請(qǐng)說明理由.

1.如圖，在正方形ABCD中,E為AB邊上一點(diǎn),BF1CE于點(diǎn)G,若已知下列三角形面積，則可求陰影部分

AFD

面積和的是（）

A.SABAFB.SABCF

B

C.SABCGD.SAFCG

2.如圖，在AABC中/BAC=90。,以BC為邊向上作正方形BCDEZ以AC為邊作正方形ACFG,點(diǎn)D落在GF

上，連接AE,EG若DG=2,BC=6,則4AEG的面積為（）

G

BC

A.4B.6

C.5MD.8

3.如圖，在平行四邊形ABCD中,AB=2,AD=4對(duì)角線AC1AB,對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)0,點(diǎn)E為BC邊中點(diǎn)

連接OE,DE,P1I|ADOE的面積為（）

A*B泮

C.A/52D.2

4.如圖，在菱形ABCD中,AB=4/B=120。,點(diǎn)E,F分別在邊AD,BC上點(diǎn)G,H在對(duì)角線AC上.若四邊形EGF

H是矩形，且FGIIAB,則EG的長(zhǎng)是()

C.2D2出

5.問題:如圖，在C7ABCD中點(diǎn)E、點(diǎn)F在對(duì)角線AC上(不與點(diǎn)A、點(diǎn)C重合)，連接BE,DF.若，求證

:BE=DF.在①AE=CF;@ZABE=NCDF;③NBEC=NDFA,這三個(gè)條件中選擇其中一個(gè)，補(bǔ)充在上面問題中，

并完成問題的解答.

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

6.如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)0是對(duì)角線AC中點(diǎn)，過點(diǎn)。作EF1AC分別交邊AB,CD于點(diǎn)E,F.

求證：四邊形AECF是菱形.

7.如圖，在正方形ABCD中,AC,BD相交于點(diǎn)0,點(diǎn)E,F分別在0A,0D±,ZABE=ZDCF.

(1)求證:4ABE三4DCF;

(2)若BC=45AE=3,求BE的長(zhǎng).

8.如圖，在等腰三角形ABC中,AB=AC點(diǎn)D是BC中點(diǎn)，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作AF||BC交BE的延

長(zhǎng)線于點(diǎn)F,連接CF.

(1)試判斷四邊形ADCF的形狀，并加以證明;

⑵若AB=17,BC=30,求四邊形ADCF的面積.

BDC

參考答案

1.⑴平行

(2)相等中心對(duì)稱

(3)平行平行相等互相平分

2。)直角平行四邊形

⑵相等平行直角平分相等

(3)直角相等

3.(1)相等中心對(duì)稱軸對(duì)稱對(duì)角線

(2)相等垂直平分每一組對(duì)角

(3)相等互相垂直相等

4.(1)直角相等

(2)45°邊長(zhǎng)的平方軸對(duì)稱中心對(duì)稱四條

(3)相等直角相等垂直

5.平行不平行兩底角相等相等相等直角中點(diǎn)平行兩底和

6.(1)腰

(2)對(duì)角線

⑶高

(4)下底連接

(5)對(duì)角線

(6)中點(diǎn)平行線

7.(1)相等相等

(2)(n-2)-180°360°

1.C【解析】本題考查平行四邊形的性質(zhì).根據(jù)平行四邊形對(duì)邊相等可得AB=CD,故選C.

2.C【解析】本題考查菱形的性質(zhì)、三角形中位線定理.因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，所以O(shè)A=OC.又E為CD

的中點(diǎn)，所以AD=2OE=6,所以菱形ABCD的周長(zhǎng)為4AD=24,故選C.

3.D【解析】本題考查正六邊形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì).如圖所示，連接CF,與AD交于點(diǎn)O;

六邊形ABCDEF是正六邊形,AD28mm,.-.zAOF=60°,0A=0F=\AD,：.4OF是等邊三角形，.?.AF=14D?4mH，故

選D.

4.C【解析】本題考查正多邊形的性質(zhì)、多邊形內(nèi)角和定理.?.多邊形ABCDE為正五邊形,??.AB=AE/C=

乙E=乙EAB=/.CBA=32)；180=...△ABF是等邊三角形,.?.AB=AF/F=NFAB=4FBA=60°.對(duì)于A,：AB=AE,AB=A

F,；.AE=AF,故A選項(xiàng)正確;對(duì)于B/.-ZEAB=4CBA/FAB=NFBA,；.NEAF=NCBF,故B選項(xiàng)正確;對(duì)于C,'.'ZF=60°,

NEAF=108O-60o=48、2F*EAF,故C選項(xiàng)錯(cuò)誤;對(duì)于D/C=NE成立，故D選項(xiàng)正確，故選C.

5.C【解析】本題考查正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)；四邊形A

BCD^1E7J^,.-.ZAOB=ZAOD=90O,OA=OB,ZOBC=45O.VOE=OF,AOEF為等腰直角三角形,??zOEF

=zOFE=45°.vzAFE=25°,.-.zAFO=zAFE+zOFE=70°,.-.zFAO=20°.iSAAOFfflABOE中，

'OA=OB,

，NA。尸=z_80E=90°,；.40F三△BOE(SAS),、NEBO=NFAO=20°,，NCBE=NEBO+NOBC=65°,故選C.

,OF=OE,

6.D【解析】本題考查多邊形的內(nèi)角和.選項(xiàng)A中的圖形是一個(gè)三角形，其內(nèi)角和為180。；選項(xiàng)B中的圖形

是一個(gè)四邊形，其內(nèi)角和為360。；選項(xiàng)C中的圖形是一個(gè)五邊形，其內(nèi)角和為540。；選項(xiàng)D中的圖形是一個(gè)六

邊形，其內(nèi)角和為720。，.?.內(nèi)角和最大的是六邊形，故選D.

7.C【解析】本題考查正方形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì).在RtAPMN中/MPN=90。.因?yàn)镺為MN的中

點(diǎn)，所以O(shè)P==0M.因?yàn)?MN=30。,所以NMPO=30。,所以NDPM=150。.在四邊形ADPM中，因?yàn)镹A=90°

,ZADB=45°,ZDPM=150°,所以NAMP=360°-NA-NADB-ZDPM=360°-90°-45°-150°=75°,,故選C.

8.B【解析】本題考查菱形的性質(zhì)及面積公式、三角形中位線定理；四邊形ABCD是菱形,，BD垂直平分A

C,設(shè)AC=4a,BD=4b,則S=：x4ax4b=8ab,：E為BC的中點(diǎn)EF1OB于點(diǎn)F,EG1OC于點(diǎn)G,.?.四邊形EFOG為

1一，

矩形,???OC=2a,OB=2b,?，.EG=b,OG=a,:.SBF0G=ab,:.SEF0G=gS,故選B.

9.|【解析】本題考查矩形的性質(zhì)、三角形的中位線定理在矩形ABCD中,BD=AC=10,??,OA=OD=5.?.?”=

1515

^AC=2，---F是AO的中點(diǎn).又「E是AD的中點(diǎn)，EF是aAOD的中位線，,EF=RD=1

10.1【解析】本題考查正方形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、勾股定理.如圖，連接AG,EG,在正方形ABC

D中,NB=NC=90o,CD=AB=BC=8.因?yàn)镋是CD的中點(diǎn)，所以CE=；CD=4.因?yàn)镠G垂直平分AE,所以AG=EG

.設(shè)BG=x，在RtAABG中,.AG2=AB2+BG2=64+%2..在RtACEG中，EG2=CE2+CG2=16+(8一久尸,所以

(64+%2=16+(8-x)2,解得x=l,即BG=1.

11.24【解析】本題考查勾股定理、三角形的中位線定理、菱形的性質(zhì)在菱形ABCD中,AC1BD,AB=BC,

OD=OB.在RtAAOE中，AE=^OA2+OE2=5,所以BE=AE=5,所以O(shè)B=BE+OE=8.在RtAAOB中，AB=

/。儲(chǔ)+源=44,所以BC=4B=4在.又因?yàn)镕為CD的中點(diǎn)，所以O(shè)F為ABCD的中位線，所以O(shè)F=\

BC=2^/5.

12.孚【解析】本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、三角形的中位線定理.如

圖，過點(diǎn)0作OM_LCD,貝!]0M=CE=2/OMH=zECH=90°.又zOHM=NEHC,???△OHM三△EHC,：OH=

EH.gPH是OE的中點(diǎn).連接OF,「G是EF的中點(diǎn),；.GH是△EFO的中位線.在RtZkOMF中,FM=DM+DF=2

+1=3,,?.OF=JoM2+FM2=J22+32=回，:.GH=；0F=當(dāng)，即GH的長(zhǎng)為卓.

作輔助線構(gòu)造全等三角形和直角三角形是解答本題的關(guān)鍵.

13.⑴略(2)4713

(1)根據(jù)菱形的判定與性質(zhì)即可證明；(2)由三角形的中位線定理求得OD,再由菱形的性質(zhì)求得BD,利用勾

股定理求出AD,即可求解.

解：(1)證明:???四邊形ABCD是平行四邊形，且AB=AD,.?.口ABCD是菱形,

.-.AC1BD.

(2)、?點(diǎn)E,F分別為AD,AO的中點(diǎn)，

??.EF>AAOD的中位線，

.?.OD=2EF=3.

由(1)可知,四邊形ABCD是菱形，

...AB=BC=CD=AD,AC1BD,BD=2OD=6.

在RtaAOD中，由勾股定理得

AD=+加=國,

菱形ABCD的周長(zhǎng)為4AD=

14.(1)略(2)18

(1)利用平行四邊形的性質(zhì)與“AAS”證明4ABEmADFE,則有AB=DF,結(jié)合AB||DF與NBDF=90唧可證明結(jié)論成

立；(2)根據(jù)平行四邊形與矩形的性質(zhì)可得四邊形ABCF的面積是△BDF的面積的3倍，根據(jù)矩形的對(duì)邊相等與

勾股定理可得BD的長(zhǎng)，求出△BDF的面積，進(jìn)而求出四邊形ABCF的面積.

解：⑴證明：由四邊形ABCD是平行四邊形和已知得ABIICF.

.*.Z.BAE=ZFDE,ZABE=ZDFE.

???E是AD的中點(diǎn),；.AE=DE.

.-.AABE=ADFE(AAS)..-.AB=DF.

???ABIICF,即ABHDF,

四邊形ABDF是平行四邊形.

又,??ZBDF=90。,

???四邊形ABDF是矩形.

(2卜?四邊形ABCD是平行四邊形，四邊形ABDF是矩形，

；.AB=CD=DF,即D是CF的中點(diǎn).

ABCD,ABDF,AABF的面積相等.

???四邊形ABCF的面積S=3S4BDF.

???AD=5,DF=3,四邊形ABDF是矩形,

BD-AF=J-。'—OF2=,25—9=^/16=4.

11

??SBDF=2xDFxB0=2x3x4=6.

?

??四邊形ABCF的面積S=3SBDF=3X6=18.

15.⑴略⑵菱形，理由略

(1)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，利用SAS證明4ADE三△CBF;(2)利用4ADE三得至AE與CF平行且相

等，從而證明四邊形AFCE是平行四邊形，再由角平分線的性質(zhì)證明對(duì)角線互相垂直，從而證明四邊形AFCE是

菱形.

解：（1）證明：???四邊開?ABCD是平行四邊形，.?.AD=BC/ADB=NCBD.

XvzADB+zADE=180°,

ZCBF+ZCBD=18O°,

??.ZADE=ZCBF.

iSAADE和ACBF中,AD=BC,

ZADE=ZCBF,DE=BF,

.?.AADE=ACBF(SAS).

(2)如圖所示，連接AF,EC,

由(1)彳導(dǎo)4ADEmZkCBF貝!]AE=CF,zAED=zCFB,

???AEIICF,

即AF1CE,

???四邊形AFCE是平行四邊形，當(dāng)BD平分NABC時(shí),NABD=NCBD.

又???ADIICB,

??.ZADB=ZDBC,

.,.Z.ADB=Z.ABD,

即AD=AB=BC,

■■.△ABC為等腰三角形.

由等腰三角形三線合一的性質(zhì)可知AC1EF,

平行四邊形AFCE是菱形.

壓軸預(yù)測(cè)

1.D【解析】本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì).在正方形ABCD中,AB=BC=AD/BAD=NA

BC=90°.vBFlCE,.-.zABF+zBEC=zABF+Z.AFB=90°,gPzBEC=zAFB,.-.AABF=ABCE,.-.AF=BE,/.AE=DF,???S

]

△AEC=S4CDF,??.S陰影=SAB（：-SBOG又：S.c=‘回尸=尹正方形力回。二,^形=SBCF-S^CG=,,?右已知

SAFCG,可求出陰影部分的面積和，故選D.

AFD

BC

2.D【解析】本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的面積公式.???四邊形BCDE是正

方形，.?.BC=CD/BCD=90o.???四邊形ACFG是正方形，

(AC=CF.

<^ACB=^FCD,AFDC

BC=CD,

???CF=AG=AC/ACF=90°.XzACB+zACD=zACD+zFCD,.*.zACB=zFCD.ffiAABC和4FDC中,

??.AB=FD.過點(diǎn)E作EH1BG于點(diǎn)H,貝！kEBH=4ACB/EHB=4BAC=90°,BE=BC,.-.AABC^AHEB(AAS),AEH

=AB,設(shè)AB=a,AC=b,a2+b2=BC2=36.vDG=FG-DF=AC-

AB,:.b—a=2,a2-2ab+b?=4,36—2ab=4ab—16,???,EH=-jAC.-AB=2ab=x16=8故選

D.

3.B【解析】本題考查平行四邊形的性質(zhì).???四邊形ABCD為平行四邊形,.?.BC=AD=4.在RWBAC中,AB=2,

BC=4,則AC=742-22=2居S四邊形謝。=AB?AC=4居S9=2丹?點(diǎn)O,E分別為BD,BC的中點(diǎn)，，

SBED=2^BCD=FBDOE=2^BED=》故選B.

4.A【解析】本題考查菱形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì).如圖，連接BD,交AC于點(diǎn)0,因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱

形，所以ACLLBD,所以NAOB=90。,因?yàn)閦ABC=12()o,AB=BC,所!以NB40=：x(180。-120。)=30。,所以0B=|

AB=2,OA=平OB=2狼，因?yàn)樗倪呅蜤GFH是矩形，所以NGFH=90。,因?yàn)镕GIIAB,所以NFGH=NBAC=30。,所以G

H=2FH=2GE,即OG=GE,因?yàn)镹GFC=NABC=120。/GFH=90。,所以NHFC=NHCF=30。,所以FH=HC,同理可得GE=AG

，所以O(shè)A=AG+OG=2GE=22所以GE=4,故選A.

5.略

根據(jù)題意，若選條件①，結(jié)合平行四邊形的對(duì)邊平行且相等，再由平行線得內(nèi)錯(cuò)角相等，結(jié)合已知條件即可

證明兩個(gè)三角形全等，從而可得結(jié)論；若選條件②，結(jié)合平行四邊形的對(duì)邊平行且相等，再由平行線得內(nèi)錯(cuò)角相

等，結(jié)合已知條件，即可證明兩個(gè)三角形全等，從而可得結(jié)論；若選條件③，結(jié)合平行四邊形的對(duì)邊平行且相

等，再由平行線得內(nèi)錯(cuò)角相等，結(jié)合已知條件，即可證明兩個(gè)三角形全等，從而可得結(jié)論.

證明：若選條件①：

因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，

所以AB=CD,AB||CD,

所以NBAE=NDCF.

又因?yàn)锳E=CF,

所以aABE三△CDF(SAS),

所以BE=DF.

若選條件②：

因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，

所以AB=CD,AB||CD,

所以NBAE=NDC.F.

又因?yàn)镹ABE=NCDF,

所以aABE三△CDF(