第13講反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合

知識點(diǎn)睛:

函數(shù)k

一次函數(shù)y-kx+b(kw0)反比例函數(shù)y=—（左。0）

X

圖象直線雙曲線（分兩支）

自變

量取全體實(shí)數(shù)

值范

09

①y隨x的增大而增大；①在其每一象限內(nèi)，y隨x的增大而減小

k②直線從左往右看上升②若點(diǎn)A（xi,yi）B（x2,y2）在其圖象

>③若點(diǎn)A（Xi,yjB（x2,y2）在其圖象的同一支上，則有：當(dāng)Xi〈X2時，必有

增

0上，則有：當(dāng)xiVxz時，必有yiVy?（不yi＞y2（不等號開口方向相反）

減

等號開口方向相同）

性

k①y隨x的增大而減?、僭谄涿恳幌笙迌?nèi)，y隨x的增大而增大

應(yīng)

<②直線從左往右看下降②若點(diǎn)A（xi,yi）B（X2,y）在其圖象

用2

0③若點(diǎn)A（xi,yi）B（x2,y2）在其圖象的同一支上，則有：當(dāng)X1VX2時，必有

上，則有：當(dāng)xiVxz時，必有yi＞yz（不yi＜y2（不等號開口方向相同）

等號開口方向相反）

對稱即是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形

性

與方求交點(diǎn)坐標(biāo)，聯(lián)系解析式，得二元一次方求反比例函數(shù)的k值，用待定系數(shù)法時，

程間程組，方程的解即為交點(diǎn)的坐標(biāo)會與一元一次方程相結(jié)合;求直線與雙曲

的練線交點(diǎn)坐標(biāo)時，聯(lián)立函數(shù)解析式，會與分

習(xí)式方程相結(jié)合

y1

D

1mn"

與不I%*戲

等式

間的

…k、若左i%+6>8,貝!J有：x<0^m<x<n；

關(guān)系若左/+/?＞，■，則有：%＞機(jī)或〃＜冗＜0；

若%1%+bV8,貝！J有：x>

若K九+Z?V二，貝！J有：〃或0＜%＜相；

XX

類題訓(xùn)練

1.一次函數(shù)y=-x+a-3（a為常數(shù)）與反比例函數(shù)y=-名的圖象交于A、B兩點(diǎn),當(dāng)A、

x

B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱時a的值是（）

A.0B.-3C.3D.4

【分析】由于A、2兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，則直線過原點(diǎn)，從而得到a-3=0,然后解

方程即可.

【解答】解：??N、3兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱,

???直線A8過原點(diǎn)，

???一次函數(shù)y=-x+a-3過原點(diǎn)，

'.a-3=0,角軍得a=3.

故選：C.

k

2.如圖，在同一平面直角坐標(biāo)系中，直線y=所無（所=0）與雙曲線y=-2（42#0）相交

x

于A,B兩點(diǎn),已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1,2）,則點(diǎn)2的坐標(biāo)為（）

A.(-1,-2)B.(-2,-1)C.(-1,-1)D.(-2,-2)

【分析】反比例函數(shù)的圖象是中心對稱圖形，則它與經(jīng)過原點(diǎn)的直線的兩個交點(diǎn)一定關(guān)

于原點(diǎn)對稱.

【解答】解：???點(diǎn)A與8關(guān)于原點(diǎn)對稱，

點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1,-2）.

故選：A.

3.在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=亞與直線y=x+l在第一象限交于點(diǎn)P（a,b）,則代數(shù)

X

式工-工的值是（）

ab

A.V2B.-V2C.-2^2,D.亞

22

【分析】先把點(diǎn)P（a,6）分別代入、=返?與y=x+l中，可得"與b-a得值，代數(shù)

X

式』-工可化為k二生，即可得出答案

abab

【解答】解：把點(diǎn)P（。，b）分別代入丁=亞與y=x+l中，

X

得6=退_,b=a+l,

a

BPab=y[2,b-a=l,

..工-

?l=b-a=1=V2

ababV22

故選：D.

4.在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=空區(qū)■與y=2x+6的圖象交于點(diǎn)（xi，yi）、（x2,以），則

X

代數(shù)式（X1+J2）（x2+yi）=（）

A.-1011B.1011C.2022D.-2022

【分析】先聯(lián)立函數(shù)尸型組與y=2尤+6,得2/+6x-2022=0,再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系

X

得尤1尤2=-1011,沏以=2022,&丫2=2022,yy_2022>￡2022；即可求出代數(shù)式的值.

12xlx2

【解答】解：聯(lián)立函數(shù)丫=空空與y=2x+6,

x

得M+6X-2022=0,

??X1X2=~1011,

??ve=on”2022X2022

yj2二一二一，

xlx2

?,?（冗1+》2）（%2+yi）—x1X2+X\y1+x2j1~^y\yi=~1011+2022+2022_4044—_1011,

故選：A.

5.已知正比例函數(shù)y=2x與反比例函數(shù)y=2,它們的圖象的共同特征是（）

X

A.這兩個函數(shù)的圖像都在第一象限與第三象限

B.當(dāng)自變量x的值逐漸增大時，y的值則隨著逐漸增大

C.當(dāng)自變量x的值逐漸增大時，y的值則隨著逐漸減小

D.點(diǎn)（1,2）與點(diǎn)（-1,-2）皆為這兩個函數(shù)圖像的公共點(diǎn).

【分析】根據(jù)正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象，增減性以及交點(diǎn)坐標(biāo)即可進(jìn)行判斷.

【解答】解：???正比例函數(shù)y=2x經(jīng)過第一、三象限，也經(jīng)過原點(diǎn)，原點(diǎn)不屬于任何象

限，

選項(xiàng)不符合題意；

..?反比例函數(shù)在每一個象限內(nèi)，y隨著尤的值得增大而減小，

選項(xiàng)不符合題意，C選項(xiàng)不符合題意；

當(dāng)尤=1時，正比例函數(shù)值y=2,反比例函數(shù)值y=2,

...點(diǎn)（1,2）是兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)；

當(dāng)尤=-1時，正比例函數(shù)值y=-2,反比例函數(shù)值y=-2,

...點(diǎn)（-1,-2）也是兩函數(shù)圖象的交點(diǎn),

選項(xiàng)符合題意.

故選：D.

6.如圖，正比例函數(shù)>=依與反比例函數(shù)y=相交于A,C兩點(diǎn)，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為-4,

X

過點(diǎn)A作x軸的垂線交x軸于8點(diǎn)，連接BC,下列結(jié)論：①%=-工；②不等式履〈-足

2x

的解集為-4〈尤<0或x>4；③△ABC的面積等于16.其中正確的結(jié)論個數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.3

【分析】由點(diǎn)A為函數(shù)圖象交點(diǎn)及點(diǎn)A橫坐標(biāo)可得上的值，由反比例函數(shù)的對稱性可得

點(diǎn)C的坐標(biāo)，由SAAOC—SAAOB+SMBOC可得△A3C的面積.

【解答】解：將x=-4代入y=-3■得y=-方-=2,

x-4

...點(diǎn)A坐標(biāo)為（-4,2）,

將（-4,2）代入y=fcc得2=-4%,

解得k=-1,

2

...①正確.

由反比例函數(shù)及正比例函數(shù)的對稱性可得點(diǎn)C坐標(biāo)為（4,-2）,

當(dāng)-4Vx<0或尤>4時，kx<-―,

X

,②正確.

''S^AOC=S^AOB+S^BOC=—OB*y+—OB<-y）=—BO（為-%）=—X4X（2+2）=

2A2c22

8,

...③錯誤.

故選：C.

7.若一次函數(shù)y=x+2與反比例函數(shù)y=±里有兩個交點(diǎn)，則機(jī)的取值范圍是（）

A.zn>0且加W1B.相V2且mWlC.m<0D.m>2

【分析】聯(lián)立一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式組成一元二次方程，判斷根的判別式即可.

【解答】解：令y=x+2=±衛(wèi)，整理得記+2x-1+機(jī)=0,

x

:兩個函數(shù)有兩個交點(diǎn)，

△=4-4(-1+根)>0,整理得m<2,

又1-7W/0,

??/"W1,

綜上，機(jī)的取值范圍為m<2且mW1.

故選：B.

8.反比例函數(shù)>=區(qū)(4#0)的圖象上有一點(diǎn)A(-4,2),點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，將直線。4

x

繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°,交雙曲線于點(diǎn)8,則點(diǎn)B的坐標(biāo)為()

A.(-&,4&)B.(6)C.(-2,4)D.(-1,8)

3

【分析】先求出兩個函數(shù)的解析式，再求交點(diǎn).

【解答】解：?..反比例函數(shù)y=K&W0)的圖象上有一點(diǎn)A(-4,2),

X

：.k=-4X2=-8,

...反比例函數(shù)為：y=-1.

X

設(shè)直線。4的表達(dá)式為：y=mx,代入點(diǎn)A(-4,2)得：2=-4帆.

?,?m_——1—?

2

??y---.

2

??,直線OAJ_直線A3.

???設(shè)直線A5的解析式為：y=2x+b,

代入點(diǎn)A(-4,2)得：2=-8+。，

.*./?=10.

，直線A3：y=2x+l0.

由Jr解得：卜=4或0=1

y=2x+10卜=2ly=8

：.B(-1,8).

故選：D.

9.反比例函數(shù)>=上與一次函數(shù)y=-x+2的圖象的交點(diǎn)個數(shù)是（）

x

A.3B.2C.1D.0

【分析】先把兩函數(shù)的解析式組成方程組，再轉(zhuǎn)化為求一元二次方程解答問題，求出△

的值即可判斷.

【解答】解：令」=-x+2,整理得x2-2x+l=0,

x

.*.△=（-2）-4X1X1=O,

一元二次方程x2-2x+l=0有兩個相等的實(shí)數(shù)很，

...反比例函數(shù)>=上與一次函數(shù)y=-x+2的圖象有一個交點(diǎn).

x

故選：C.

若雙曲線_k

10.y與直線y=-2x+l的一個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-1,則人的值為（)

A.-3B.-1C.3D.1

【分析】將x=-1代入直線丫=-2x+l,求出該點(diǎn)縱坐標(biāo)，從而得到此交點(diǎn)的坐標(biāo)，將

該交點(diǎn)坐標(biāo)代入k即可求出％的值.

yq

【解答】解：將X=-1代入直線>=-2x+l得，產(chǎn)2+1=3,

則交點(diǎn)坐標(biāo)為（-1,3）,

將（-1,3）代入y上得,

k=-1X3=-3,

故選：A.

11.函數(shù)y=2上的圖象與直線>=-x沒有交點(diǎn)，那么左的取值范圍是（）

X

A.k>\B.k<lC.左>-1D.k<-1

【分析】函數(shù)>=工±的圖象與直線y=-元沒有交點(diǎn)，根據(jù)正比例函數(shù)及反比例函數(shù)的

x

性質(zhì)作答即可.

【解答】解：直線y=-x中過第二、四象限，

要使兩個函數(shù)沒交點(diǎn)，

那么函數(shù)>=目的圖象必須位于第一、三象限,

那么1-k>Q,

即k<\.

故選：B.

12.在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=fcv-左與y=(20)的大致圖象是(

【分析】根據(jù)k的取值范圍，分別討論k>0和k<0時的情況，然后根據(jù)一次函數(shù)和反

比例函數(shù)圖象的特點(diǎn)進(jìn)行選擇正確答案.

【解答】解：當(dāng)人>0時,

一次函數(shù)-左經(jīng)過一、三、四象限,

函數(shù)(kWO)的圖象在一、二象限,

故選項(xiàng)②的圖象符合要求.

當(dāng)人<0時,

一次函數(shù)〉=日-左經(jīng)過一、二、四象限，

函數(shù)丫=[[(左二0)的圖象經(jīng)過三、四象限,

IXI

故選項(xiàng)③的圖象符合要求.

故選：B.

13.如圖，過點(diǎn)A(1,0)的直線與y軸平行，且分別與正比例函數(shù)y=Zix,>=%亦和反比

ko

例了=一^在第一象限相交，則無1、％2、—的大小關(guān)系是上2>%3>所.

【分析】分別把X=1代入三個函數(shù)關(guān)系式分別得到當(dāng)％=1時的縱坐標(biāo)，再在圖象上表

示出三個縱坐標(biāo)的位置，即可比較出左1、左2、左3的大小關(guān)系.

【解答】解：分別把尤=1代入三個函數(shù)關(guān)系式分別得到當(dāng)x=l時的縱坐標(biāo):

y=fa>y—kj,y—ki，

結(jié)合圖象可以看出：左2>依>禽,

14.如圖，一次函數(shù)yi=kix+6的圖象與反比例函數(shù)〉2="的圖象交于點(diǎn)A(1，m),B(4,

?).當(dāng)時，尤的取值范圍是()

A.l<x<4B.0<x<l或無>4C.x<0或1<尤<4D.x<0或%>4

【分析】根據(jù)圖象確定x的取值范圍即可.

【解答】解：由圖象知，當(dāng)x<0和在AB之間時

A(1,m),B(4,n),

.?.當(dāng)力>”時，尤的取值范圍是無<0或l<x<4,

故選：C.

15.如圖，一次函數(shù)>=辦+。的圖象與反比例函數(shù)y=K的圖象交于A,B兩點(diǎn)，則Szvio^

)

y

二:

A.生B.ILC.WD.6

222

【分析】把A的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)的解析式，即可求出反比例函數(shù)的解析式，把8的

坐標(biāo)代入求出8的坐標(biāo)，把A、8的坐標(biāo)代入一次函數(shù)即可求出函數(shù)的解析式,

由一次函數(shù)解析式求出。的坐標(biāo)，求出△49。和△80。的面積，即可求出答案.

【解答】解：把A(-4,1)代入y=K的得：)1=-4,

X

反比例函數(shù)的解析式是>=-

X

(1,m)代入反比例函數(shù)y=-3■得：m--4,

x

???3的坐標(biāo)是(1,-4),

把A、B的坐標(biāo)代入一次函數(shù)丁=公+。得：P4a+b=1,

Ia+b=-4

解得：a=-1,b=-3,

；?一次函數(shù)的解析式是y=-x-3；

把％=0代入一次函數(shù)的解析式是y=-%-3得：y=-3,

：.D(0,-3),

S^AOB—SAOD~^SABOD=—X(1+4)

22

故選：A.

16.如圖，一次函數(shù)》=依:+/?(k、匕為常數(shù),且人=0)和反比例函數(shù)丁=居(x>0)的圖象

x

交于A、8兩點(diǎn)，利用函數(shù)圖象可知不等式名〉丘+6的解集是()

C.l<x<4D.0cxe1或x>4

【分析】先根據(jù)圖形得出A、2的坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)的坐標(biāo)和圖形得出不等式的解集即可.

【解答】解：：由圖象可知：A(1,4),B(4,1),x>0,

不等式_1>丘+6的解集是0<xVl或x>4,

X

故選：D.

17.如圖，直線與反比例函數(shù)y="(x>0)的圖象交于A(1,6),B(a,3)

X

兩點(diǎn)，則kix+b-時x的取值范圍是1<x<2.

【分析】先把A(1,6)代入y="(x〉0)求得反比例函數(shù)的解析式，根據(jù)反比例函

X

k

數(shù)的解析式求得點(diǎn)8的坐標(biāo)，根據(jù)函數(shù)的圖象結(jié)合A、8的坐標(biāo)即可求得kix+b--A>0

x

時X的取值范圍.

:直線y=k\x+b與反比例函數(shù)尸占2

【解答】解:(x>0)的圖象交于A(1,6),B

(a,3)兩點(diǎn),

1X6=6,3a=6,即a=2,

點(diǎn)坐標(biāo)為(2,3),

觀察圖象，Mx+b-”>0時x的取值范圍是l<x<2.

x

故答案為：1〈無<2.

18.如圖，A(2,加是正比例函數(shù)>=依與反比例函數(shù)>=旦(x>0)的圖象的交點(diǎn).AB

，無軸于點(diǎn)3,平移直線》=^^吏其經(jīng)過點(diǎn)8,得到直線/,則直線/對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式是

y=^-x-3

—2—

【分析】首先利用圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得出A點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得出正比例函數(shù)解析式，再

利用平移的性質(zhì)得出答案.

【解答】解：：正比例函數(shù)y=Ax與反比例函數(shù)y=2的圖象有一個交點(diǎn)A(2,m),

2根=6,

解得：m=3,

AA(2,3),

則3-2k,

解得：k=—,

2

...正比例函數(shù)解析式為：y=lx,

軸于點(diǎn)8,平移直線>=近，使其經(jīng)過點(diǎn)8,

：.B(2,0),

...設(shè)平移后的解析式為：

則0=3+4,

解得：b=-3,

.,.直線/對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式是：y=^x-3.

故答案為：y=ljc-3.

2

函數(shù)的圖象平移得到的曲線是函數(shù)y至紅*>0,x>0)的圖象，點(diǎn)A、8的對應(yīng)點(diǎn)是

X

A'、".若圖中陰影部分的面積為8,則人的值為5

【分析】圖象向上平移了2個單位，即=2,由圖象平移知，陰影部分的面積等于

平行四邊形ABB'A的面積，點(diǎn)A、B兩點(diǎn)間的距離為力，則/iXBB'=8,求出〃=4,

進(jìn)而求解；

【解答】解：平移后曲線是函數(shù)丫至紅=上+2,即圖象向上平移了2個單位，即8次

由圖象平移知，陰影部分的面積等于平行四邊形ABB'A的面積，

點(diǎn)A、2兩點(diǎn)間的距離為/?,貝U/zXBB'=8,解得：仁4,

:直線y=-x+6與x軸負(fù)半軸的夾角為45°,則A、B之間的垂直距離也為4,

設(shè)點(diǎn)A(m,6-m),則點(diǎn)3(m+4,2-m),

將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)表達(dá)式得：k=m(6-zu)=(m+4)(2-m),

解得：n?=l,k=5,

故答案為5.

20.若反比例函數(shù)＞=出的圖象與一次函數(shù)y=x+A的圖象有一個交點(diǎn)為(加，-4),則這

X

個反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=-芻.

x

【分析】把交點(diǎn)坐標(biāo)代入兩個解析式組成方程組，解方程組求得匕即可求得反比例函數(shù)

的解析式.

【解答】解：???反比例函數(shù)＞=里工的圖象與一次函數(shù)y=x+Z的圖象有一個交點(diǎn)為(如

X

-4),

.jk+l=~4m

1m+k=-4

解得k=-5,

反比例函數(shù)的表達(dá)式為丫=-A,

故答案為y=-1.

X

21.如圖，過點(diǎn)。(1,2)分別作％軸、y軸的平行線，交直線y=-x+6于A、B兩點(diǎn)，若

反比例函數(shù)y上(x>0)的圖象與線段C8、CA都相交，則上的取值范圍是()

A.2WZW4B.2WZ5C.2WLW8D.5WZW8

【分析】先求出點(diǎn)4、8的坐標(biāo)，根據(jù)反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義可知，當(dāng)反比例函

數(shù)圖象與點(diǎn)C相交時k的取值最小，再分別求出反比例函數(shù)圖象與△ABC相交于點(diǎn)4、B

時人的取值，進(jìn)而求解即可.

【解答】解：：點(diǎn)C(1,2),3C〃y軸，AC〃彳軸，

???當(dāng)％=1時，y=-1+6=5,

當(dāng)y=2時，-x+6=2,解得x=4,

???點(diǎn)A、3的坐標(biāo)分別為A(4,2),B(1,5),

根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義，當(dāng)反比例函數(shù)與點(diǎn)。相交時，々=1義2=2最小，

..?反比例函數(shù)y=K(x>0)的圖象與線段CB、C4都相交，

x

而當(dāng)反比例函數(shù)圖象與點(diǎn)A相交時，—4X2=8,

當(dāng)反比例函數(shù)圖象與點(diǎn)8相交時，々=1X5=5,

的取值范圍是2/人(5.

故選:B.

22.如圖，直線y=-x+5與雙曲線y=K(x>0)相交于A,8兩點(diǎn)，與x軸相交于C點(diǎn)，

X

△BOC的面積是若將直線丫=-尤+5向下平移1個單位，則所得直線與雙曲線>=區(qū)

(x>0)的交點(diǎn)坐標(biāo)為(2,2)

y,

,0rK*

【分析】過點(diǎn)B作軸于點(diǎn)E,根據(jù)一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及△BOC的面

積是上即可得出BE的長度，進(jìn)而可找出點(diǎn)B的坐標(biāo)，根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)

2

特征即可得出反比例函數(shù)系數(shù)k的值，根據(jù)平移的性質(zhì)找出平移后的直線的解析式，然

后解析式聯(lián)立，解方程組即可求得.

【解答】解：過點(diǎn)2作無軸于點(diǎn)E,如圖所示.

令直線y=-x+5中y=0,貝!]0=-x+5,解得：x=5,

即0C=5.

的面積是互，

2

LX59,

222

解得：BE=1.

.?.點(diǎn)3的縱坐標(biāo)為1,

當(dāng)y=l時，有l(wèi)=-x+5,

解得：x=4,

???點(diǎn)8的坐標(biāo)為（4,1）,

"=4X1=4,

即雙曲線解析式為y=2.

X

將直線y=-X+5向下平移1個單位得到的直線的解析式為y=-X+5-1=-X+4,

，y=-x+4fx=2fx?=2

解《4得11，

yq[yj=2[y2=2

???所得直線與雙曲線y=K（%>0）的交點(diǎn)坐標(biāo)為（2,2）,

X

故答案為（2,2）.

23.如圖，雙曲線y=K與直線y=-x-(4+1)的交點(diǎn)為A,C,軸于點(diǎn)B,且

X

【分析】根據(jù)反比例函數(shù)上的幾何意義求出上即可得到雙曲線和直線的解析式，然后解

析式構(gòu)建方程組求出A、。兩點(diǎn)坐標(biāo)，直線y=-X+2交y軸與。(0,2),根據(jù)5刖℃=

SaAOZ)+Sz\OC￡)計算即可.

【解答】解：由題意S△.0=3=1x1,

22

\'k<0,：.k=-3,

...雙曲線為y=-3,直線為y=-x+2

X

Ag了x+2俎(x=-l甫/x=3

解<3得J或I,

y=~Iy=3ly=-l

AA(-1,3)C(3,-1),

?.?直線y=-x+2交y軸與。(0,2),

5AAOC=SAAOD+SAOCD=工X2X1+—X2X3—4,

22

故答案為4.

24.如圖，直線y=x+l與雙曲線y=K(左W0)交于點(diǎn)A,8,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(相，-2).點(diǎn)

C是雙曲線第一象限分支上的點(diǎn)，連接BC并延長交無軸于點(diǎn)。，且BC=2CD

(1)求人的值；

(2)求△ABC的面積.

【分析】(1)利用直線y=x+l即可求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，然后代入>=區(qū)(AWO)即可求得

X

女的值；

(2)解析式聯(lián)立成方程組，解方程組求得5的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求得直線AC的解

析式，進(jìn)而求得G的坐標(biāo)，然后根據(jù)SzkABC=S2M3G+5z\C3G求得即可.

【解答】解：(1)把A(m,-2)代入y=x+l得，-2=m+l,

m--3,

?,?A(-3,-2),

:雙曲線y=K(20)過點(diǎn)A,

：.k=-3X(-2)=6；

_6

二或

(2)由.yq解得

y=x+l

：.B(2,3),

過8點(diǎn)作BG_Lx軸于E,交AC于G,作CF_Lx軸于凡

J.BE//CF,

?FC=CD

"BGBD"

J.BC^ICD,

?FC=CD=1

,,BGBD百，

?-?F一C_—1,

33

???尸C=l,

???點(diǎn)。的縱坐標(biāo)為1,

把y=l代入求得x=6,

：.C(6,1),

設(shè)直線AC的解析式為y=ax+b,

代入4C的坐標(biāo)得［f+b=-2

I6a+b=l

直線AC為y=L-1,

3

把％=2代入得，-―,

3

：.G(2,-工)，

3

.*.BG=3+A=_12,

33

SAABC=SAABG+SACBG=—XX(6+3)=15.

23

25.如圖，正方形ABC。的邊長為4,以所在的直線為x軸，以所在的直線為y軸

建

立平面直角坐標(biāo)系，反比例函數(shù)y=K*<0）的圖象與CO交于E點(diǎn)，與C8交于E點(diǎn),

x

連接ARAE.

（1）求證：DE=BF；

（2）若SAAEF=6時，求反比例函數(shù)的解析式.

【分析】（1）先用含左的式子表示DE、的長，從而可得到r>E=2F；

（2）先求得CE=CF=4+—,然后再由SAAEF—S正方形ABCD-SAADE~SACEF-SAABF列方程

4

求解即可.

【解答】解：（1）證明：由題意知：E（上，4）,F（-4,-K）.

44

：.DE=-區(qū)，F(xiàn)B=-K.

44

:.DE=BF；

（2）由（1）知：DE=-^-=FB=-2L.

44

：.CE=CF=4+^-.

4

■:S叢AEF=S正方形AB。。-SAADE-SACEF~SAABFF

/.16-1(4+K)2+k=6

24

k=±8.

又TIVO

:.k=-8.

...反比例函數(shù)解析式為：y=-1.

X

26.如圖，己知反比例函數(shù)以=區(qū)的圖象與一次函數(shù)竺="+6的圖象交于點(diǎn)A(1,4)和

x

點(diǎn)B(m,-2).

(1)求這兩個函數(shù)的關(guān)系式；

(3)如果在x軸上找一點(diǎn)C使△ABC的面積為18,求點(diǎn)C坐標(biāo).

【分析】(1)根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；

(2)根據(jù)面積的和差，可得答案.

【解答】解：(1)???反比例函數(shù)yi=K的圖象過點(diǎn)A(L4),即4=K,

X1

???左=4,即為=國，

X

又??,點(diǎn)8(相，-2)在勿=芻上，

x

m--2,

：.B(-2,-2),

又???一次函數(shù)”=以+。過A、B兩點(diǎn),

即1-2a+b=-2,

1a+b=4

解得卜=2.

Ib=2

y

?'?y2=2x+2.

...反比例函數(shù)的解析式為yi=2,一次函數(shù)的解析式為”=2x+2；

X

(2)把y=0代入y2=2x+2得2x+2=0,解得x=-L

???直線A3與x軸交點(diǎn)E的坐標(biāo)(-1,0),

**?5/\ABC=S/\AEC^S/\BEC——￡C*4+AEC*2=6.

22

：.EC=2

???C的坐標(biāo)（1,0）或（-3,0）.

27.在直角坐標(biāo)系中，設(shè)函數(shù)=（任是常數(shù)，后>0,x>0）與函數(shù)”=切（心是常數(shù),

x

依W0）的圖象交于點(diǎn)A,點(diǎn)A關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn)艮

（1）若點(diǎn)8的坐標(biāo)為（-1,2）,

①求所，42的值;

②當(dāng)”時，直接寫出X的取值范圍;

k3

（2）若點(diǎn)8在函數(shù)為=（依是常數(shù)，質(zhì)W0）的圖象上，求左1+網(wǎng)的值.

【分析】（1）①由題意得，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（1,2）,分別代入（而是常數(shù)，危>0,

X

x>0）,y?=k?（左2是常數(shù)，fe^O）即可求得左1,左2的值；

②根據(jù)圖象即可求得；

（2）設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)是（沏，y）,則點(diǎn)3的坐標(biāo)是（-新，y）,根據(jù)待定系數(shù)法即可求得

k\=XQ9y,k3=~xo*y,即可求得左1+依=0.

【解答】解：（1）①由題意得，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（1,2）,

??.函數(shù)yi=—（自是常數(shù)，h>0,x>0）與函數(shù)以=入（比是常數(shù)，依W0）的圖象交

于點(diǎn)A,

ki

???2=」,2=ki，

1

??左1=2,左2=2；

②由圖象可知，當(dāng)時，X的取值范圍是X>1；

（2）設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)是（Xo，y），則點(diǎn)3的坐標(biāo)是（-Xo，y）,

??上i=x（）?y,依=-xo*y>

府+%3=0.

28.已知正比例函數(shù)力=依與反比例函數(shù)以=-上（左力0）.

x

（1）證明：直線與雙曲線沒有交點(diǎn)；

（2）若將直線y^kx向上平移4個單位后與雙曲線恰好有且只有一個交點(diǎn)，求反比例函

數(shù)的表達(dá)式和平移后的直線表達(dá)式；

（3）將（2）小題平移后的直線代表的函數(shù)記為門，根據(jù)圖象直接寫出：對于負(fù)實(shí)數(shù)公

當(dāng)無取何值時y2>j3.

【分析】（1）聯(lián)立方程，去掉y得到尤的一元二次方程，若方程有解，則直線與雙曲線

有交點(diǎn)，否則為交點(diǎn)；

（2）聯(lián)立方程，去掉y得到尤的一元二次方程，根據(jù)△=0,即可求得上的值，從而求

得反比例函數(shù)的表達(dá)式和平移后的直線表達(dá)式；

（3）求得交點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)圖象即可求得.

，y=kx

【解答】解：（1）聯(lián)立方程組|卜

y=一X

去掉y整理后得小+左=0,

'/A=b2-4ac=-4k'k=-4lc<0,

方程組無解，

直線與雙曲線沒有交點(diǎn)；

（2）直線向上平移4個單位后為y=fcc+4,

，y=kx+4

由|k整理后得^^以十左=0，

y=一X

?.?直線與雙曲線恰好有且只有一個交點(diǎn)，

A=b2-4ac—16-4k*k—0,

解得k=+1,

綜上所述：當(dāng)k=2時，反比例函數(shù)的表達(dá)式和平移后的直線表達(dá)式分別為y=-2,y

=2x+4；

當(dāng)人=-2時，反比例函數(shù)的表達(dá)式和平移后的直線表達(dá)式分別為y=2和y=-2x+4；

(3)解-2/+41-2=0得，尤1=尤2=1，

把x=1代入y=-2x+4得y=2,

平移后的直線與反比例函數(shù)的圖形的交點(diǎn)為(1,2),

如圖

由圖可知，當(dāng)0<x<l或x>l時丫2>”.

29.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y=x+2的圖象與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A

和點(diǎn)8,與反比例函數(shù)y=K(公>0,x>0)的圖象交于點(diǎn)C,2為線段AC的中點(diǎn).

X

(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo).

(2)求左的值.

(3)點(diǎn)。為線段AC上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)。作。石〃x軸，交該反比例函數(shù)圖象于點(diǎn)

連結(jié)。OE.若△ODE的面積為立，求點(diǎn)。的坐標(biāo).

2

【分析】(1)在y=%+2中，令y=0,求得x=-2,即可求得A的坐標(biāo)為(-2,0)；

(2)根據(jù)題意求得C的坐標(biāo)，然后代入>=區(qū)(左>0,x>0)即可求得左的值；

X

2

(3)設(shè)。(x,x+2),貝!!E(-&1,x+2),根據(jù)題意&ODE=工義(x~^x)*(x+2)

x+22x+2

=s,解方程即可求得。的坐標(biāo).

2

【解答】解：(1)在y=x+2中，令y=0,貝U%+2=0,解得兀=-2,

Z.A(-2,0)；

(2)在y=x+2中，令％=0,貝！Jy=2,

：.B(0,2),

???3為線段AC的中點(diǎn)，

：.C(2,4),

???反比例函數(shù)y=K(左＞0,九＞0)的圖象過點(diǎn)C,

x

"=2X4=8；

(3)設(shè)。(x,x+2),貝！j￡(-jx+2),

x+2

"￡=旦-尤=入2坐

x+2x+2

x

?'?5AODE=-X(8~~2x_).(x+2)=_5,,

2x+22

即/+2x-3=0,

解得無i=l,忿=-3(舍去)，

：.D(1,3).

30.在平面直角坐標(biāo)系尤Oy中，一次函數(shù)y=2x+b的圖象與x軸的交點(diǎn)為A(2,0),與y

軸的交點(diǎn)為8,直線A8與反比例函數(shù)y=K的圖象交于點(diǎn)C(-1,m).

x

(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式；

(2)直接寫出關(guān)于尤的不等式2x+6＞K的解集；

x

(3)點(diǎn)P是這個反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)，過點(diǎn)P作尸軸，垂足為點(diǎn)連接OP,

BP,當(dāng)SAABM=2SAOMP時，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

【分析】(1)將點(diǎn)4點(diǎn)C坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式y(tǒng)=2x+6,可得6=-4,m=-6,

將點(diǎn)C坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式，可求左的值，即可得一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)

式；

(2)求得直線與反比例函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)圖象求得即可；

(3)由SAABM=2SAOMP=6,可求AM的值，由點(diǎn)A坐標(biāo)可求點(diǎn)M坐標(biāo)，即可得點(diǎn)尸坐

標(biāo).

【解答】解：(1)將A(2,0)代入直線y=2x+6中，得2X2+b=0

'.b—-4,

一次函數(shù)的解析式為y=2x-4

將C(-1,加)代入直線y=2x-4中，得2X(-1)-4=m

^?m=-6

：.C(-1,-6)

將C(-1,-6)代入y=K,得-6=*-,

解得k=6

...反比例函數(shù)的解析式為尸旦

X

'y=2x-4(_z_

⑵解.6得卜=-1或(x=3,

ly=-6\y=2

，直線AB與反比例函數(shù)y=K的圖象交于點(diǎn)C(-1,-6)和。(3,2).如圖,

由圖象可知：不等式2x+b>K的解集是-1<尤<0或x>3；

（3）S^ABM=2SdOMP，

：.^XAMX0B^6,

2

.\AXAMX4=6

2

.9.AM=3,且點(diǎn)A坐標(biāo)（2,0）

???點(diǎn)〃坐標(biāo)（-1,0）或（5,0）

點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（-1,-6）或（5,旦）.

31.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)>=m+目的圖象與反比例函數(shù)y=K(%>

42x

0)的圖象相交于點(diǎn)A(a,3),與x軸相交于點(diǎn)3.

(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式；

(2)過點(diǎn)A的直線交反比例函數(shù)的圖象于另一點(diǎn)C,交無軸正半軸于點(diǎn)。，當(dāng)△A3。是

以BD為底的等腰三角形時，求直線AD的函數(shù)表達(dá)式及點(diǎn)C的坐標(biāo).

【分析】(1)根據(jù)一次函數(shù)>