天華高級(jí)中學(xué)2024-2025學(xué)年度高一下學(xué)期第二次階段性考試

局一數(shù)學(xué)

考試范圍：必修二第六、七、八章；考試時(shí)間：100分鐘

一、單選題

1.若復(fù)數(shù)Z滿足4i+z=-3+i,則z的共軌復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算得z=-3-3i,利用共朝復(fù)數(shù)的定義和幾何意義得解.

【詳解】由4i+z=—3+i,可得z=—3—3i,則之=—3+3i，

所以I在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限.

故選：B.

2.已知向量a=(1,-1),b=(-1,3),貝！|a,(2a+Z?)=()

A.0B.1C.-1D.2

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示求得正確答案.

【詳解】a-(2a+ZJ)=(l,-1)-(1,1)=1-1=0.

故選：A

3.如圖為VA3C水平放置的直觀圖，其中5'。=C'O'=1，AO'=是,那么原VA3C的面積是

2

「V3

D.2

2

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)直觀圖與原圖之間的關(guān)系，得出原圖中VA3C的底和高即可求得其面積.

【詳解】由圖可知，原圖5c=5'。'=2,且

AO=2A'O'=百，所以原VABC的面積S=』8C?A0=百.

2

故選：A.

4.設(shè)VA3C的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為。，b,c,已知a=A=60°,3=45°,則b等于

)

A.也B.2C.272D.4

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)正弦定理求解即可.

b,asmB

【詳解】由正弦定理得一7-----nb=--------

sinAsinBsinA

2

故選：B

【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理求邊長(zhǎng)的問題,屬于基礎(chǔ)題.

5.攢尖是中國(guó)古代建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形式，宋代稱為撮尖,清代稱為攢尖.通常有圓形攢尖，三角攢尖，四

角攢尖，八角攢尖,也有單檐和重檐之分，多見于亭閣式建筑，園林建筑.如圖所示的建筑屋頂是圓形攢尖，可近

似看作一個(gè)圓錐，已知其軸截面是底邊長(zhǎng)為6m,頂角為g的等腰三角形，則該屋頂?shù)拿娣e約為（）.

A.3扃m2B.671m2C.6石兀m?D.12扃n?

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)題意作出圓錐軸截面圖像，根據(jù)圖像求出圓錐底面半徑，和母線/,根據(jù)側(cè)面積公式兀力即可求

解.

【詳解】如圖所示為該圓錐軸截面，

r

「3”反

由題意，底面圓半徑r=3,母線—.n,

sin—

3

所以側(cè)面積?！?兀x3x2百=6石兀m2

故選：C.

6.已知為兩個(gè)不同的平面，根,”,/為三條不同的直線，則下列結(jié)論中正確的是（）

A.若7〃//。,"http://。，則機(jī)〃"B.若a11B，mua,nu。,則

C.若。///，且加U&,則m///D,若///肛///〃，且相,“Utz,貝U///a

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)線面位置關(guān)系中平行的有關(guān)判定和性質(zhì)逐一判斷即可.

【詳解】對(duì)于A,若7〃//a,〃//a,則相〃〃或加，〃異面或以〃相交，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,a11B，m.ua,nu0,則加〃"或加,"異面，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,若a11B，mua,則機(jī)///，故C正確；

對(duì)于D,若///%///",.且也”Utz,則///a或/ua,故D錯(cuò)誤.

故選：C.

7.已知向量4，%是兩個(gè)不共線的向量，。=2,-02與/?=4+丸心共線，則4=（）

11

A.2B.-2C.——D.；

22

【答案】c

【解析】

【分析】由題意結(jié)合向量共線的充分必要條件整理計(jì)算即可求得最終結(jié)果.

【詳解】因?yàn)?=26—02與〃=《+相共線，所以履=b，左H0，

所以左（2q_?）=?+2e2.

因?yàn)橄蛄?，。2是兩個(gè)不共線的向量，

2k=11

所以4,.,解得彳=一一.

—左=22

故選：C.

8.在VABC中，角A,B,C對(duì)邊分別為。，萬，c,若Z?=A-cosC+c-cosB,12114=班，則丫45。

是（）

A.鈍角三角形B.等邊三角形

C.直角三角形D.等腰直角三角形

【答案】B

【解析】

【分析】由/?=bcosC+cos5和正弦定理可得25+。=兀，即A=3,又tanA=g得A=］，即可判

斷VA5C是等邊三角形

【詳解】由〃=Z?cosC+ccos5及正弦定理可得sinBusinBcosC+sinCcosB,得

sin5=sin（5+C）,

故3=3（舍去）或3+5+。=兀，即25+。=兀，

又A+3+C=TT,所以A=_B，

因tanA=y/3,Ae（0,兀），得A=3,故A=3=C=§,

故VA3C是等邊三角形，

故選：B

9.底面邊長(zhǎng)為4上的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個(gè)底面邊長(zhǎng)為2后，高為3的正四棱

錐，所得棱臺(tái)的體積為（）

A.28B.58C.56D.280

【答案】C

【解析】

【分析】利用兩個(gè)正四棱錐的體積公式即可求解，也可用一個(gè)棱臺(tái)公式求解體積.

【詳解】方法一（割補(bǔ)法）：由于相似比為斗=!，而截去的正四棱錐的高為3,

4722

所以原正四棱錐的高為6,

E

所以原正四棱錐的體積為:x（40x4后）義6=64,

截去的正四棱錐的體積為:X（2、/5X2J5）><3=8,所以棱臺(tái)的體積為64—8=56.

方法二：（臺(tái)體的體積公式）棱臺(tái)的體積為:x3x（32+8+j32><8）=56.

故選：C.

二、填空題

10.i是虛數(shù)單位，化簡(jiǎn)土電的結(jié)果為.

2-i

【答案】2—i##—i+2

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算可得答案.

3-4i_（3-4i）（2+i）_lQ-5i

【詳解】

2-i-（2-i）（2+i）-5

故答案為：2—i.

11.某市有大型超市200家、中型超市400家、小型超市1400家.為掌握各類超市的營(yíng)業(yè)情況，現(xiàn)按分層

抽樣方法抽取一個(gè)容量為100的樣本，應(yīng)抽取中型超市家.

【答案】20

【解析】

【詳解】試題分析：根據(jù)所給的三種超市的數(shù)目，相加得到共有的超市數(shù)目，根據(jù)要抽取的超市數(shù)目，得到

每個(gè)個(gè)體被抽到的概率，用中等超市的數(shù)目乘以被抽到的概率，得到結(jié)果.

解：,大型超市200家、中型超市400家、小型超市1400家，

???共有超市200+400+1400=2000,

:按分層抽樣方法抽取一個(gè)容量為100的樣本，

???每個(gè)個(gè)體被抽到的概率是黑;二，

200020

/.中型超市要抽取400XA=20家，

20

故答案為20.

點(diǎn)評(píng)：本題考查分層抽樣，這是一個(gè)每年必考的題目，解題的關(guān)鍵是抽樣過程中每個(gè)個(gè)體被抽到的概率相

等.

12.己知Id=2,b=(6/)，且a1b，則卜—2囚=.

【答案】2百

【解析】

【分析】先求出「|，由。1匕，可得02=0,再根據(jù)1—23J(a—2“結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律即可得解.

【詳解】由6=(也,1),得%=石工1=2,

因?yàn)閍_Z〃，所以。2=0，

則,一2。卜—=A/?2+4/?2-4a-b=V4+16-0=2^/5-

故答案為：2石.

13.在正方體ABCD-中，48=26，則該正方體外接球的表面積為.

【答案】3671

【解析】

【分析】如圖，正方體外接球的半徑為R=2,結(jié)合勾股定理和球的表面積公式計(jì)算即可求解.

2

【詳解】如圖，

設(shè)該正方體外接球的半徑為R,

則尺=K=*"。2+。盤=島26

'--2-2

所以該正方體外接球的表面積為4兀尺2=3671.

故答案為：36兀

14.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD—ABG，中，E,F,G分別為BD,8月的中點(diǎn)，則

GE與FG所成的角的余弦值為

【答案】叵##工匠

55

【解析】

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得Eg=(0,2,1),FG=(1,1,1),再利用向量的夾角公式求解.

【詳解】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：

則石（0,0,1）,F（1,1,0）,G（0,2,2）,G（2,2,l）,

所以EC】=（0,2,1）,FG=（1,1,1）,

EC]FG2+1—叵

cosEC】,FG\

\ECWG\小義6—5

所以GE與FG所成角的余弦值為半.

故答案為：叵.

5

TTJ

15.如圖，在VABC中，ZBAC=—,AD=2DB，P為CD上一點(diǎn),且滿足AP=MAC+—AB,rn=

33

；若VA3C的面積為2百，則,尸|的最小值為

c

【解析】

【分析】設(shè)CP=XCD，可得出AP=gxA3+(l—X)AC=；A3+mAC,可得出關(guān)于2、機(jī)的方程

組，即可解得實(shí)數(shù)機(jī)的值；利用三角形的面積公式得出=8,利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)

結(jié)合基本不等式可求得|AP|的最小值.

【詳解】設(shè)C尸=2CZ)，則AP=AC+CP=AC+XCD=Ad+X(AD—AC)

=AC+2l|AB-Acj=|2AB+(l-2)AC=1AB+/nAC,

-X=-1

所以，p3,解得機(jī)=2=5.

m=l-22

S△詼=g網(wǎng)?國(guó)卜inABAC=曰網(wǎng).國(guó)|=26,???網(wǎng).Ml=8,

112c1V121.21

\AP\=-AB+-AC=-AB+-AC+-ABAC

11U2J943

局叫2+*+；網(wǎng)."c2八2（網(wǎng)2Mw網(wǎng).國(guó)1

=||AB|-|AC|=4,

當(dāng)且僅當(dāng)3網(wǎng)=小。1時(shí)，即當(dāng)網(wǎng)?彳"時(shí)，等號(hào)成立.

所以，|AP|的最小值為2.

故答案：g；2.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求向量的模的兩種基本策略:

(1)字母表示下的運(yùn)算：利用/=卜(，將向量模的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為向量與向量的數(shù)量積的問題；

(2)坐標(biāo)表示下的運(yùn)算：若a=(x,y),則4-。=。2=忖=x2+y2,于是有忖=Jx?+_/.

三、解答題

16.已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z=(療一3時(shí)+(加一5〃+6)1,meR.

(1)當(dāng)7〃=1時(shí)，求忖；

(2)若z是純虛數(shù)，求機(jī)的值；

(3)若z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，求機(jī)的取值范圍.

【答案】(1)272

(2)m=0

(3)0<771<2

【解析】

【分析】(1)根據(jù)復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式，可得答案;

(2)根據(jù)純虛數(shù)定義，建立方程組，可得答案;

(3)根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，建立不等式組，可得答案.

【小問1詳解】

當(dāng)機(jī)=1時(shí)，z=—2+2i，所以|z|=J(—2y+2?=26.

【小問2詳解】

m-3m=0m=0或根=3

若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則2，解得4所以切=0.

m—5m+60mH2且加H3

【小問3詳解】

m2-3m<00<m<3

復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，則,即

m2-5m+6>0加〈2或昉3'

所以，實(shí)數(shù)加的取值范圍是0<根<2.

「,V2

17.在AABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別是。，b,c,已知。=2,C=yJ2，cosA=----

4

(1)求Z?的值；

(2)求sinC的值;

71

(3)求cos(2A+《)的值.

【答案】(1)1(2)inC=—

s4

8

【解析】

7721r2_2

【分析】(1)由cosA=3二——,代入即得解；

2bc

/74

(2)利用sin?A+cos2A=1可得sinA=-x----，再利用正弦定理可得解;

4

(3)先求解cos2A,sin2A,利用兩角和的余弦公式展開，即得解

【小問1詳解】

因?yàn)閏osA="+c2q2,

2bc

「正

且〃=2,c—A/29cosA-------

4

所以5=1；

【小問2詳解】

歷

因?yàn)閏osA=------，且sin2A+cos2A=1，AG(0,TT)

4

所以sinA>0,sinA=^1-cos2A=—

又a:sinA=c:sinC,

解得sinC=立；

4

【小問3詳解】

3

因?yàn)閏os2A-2cos9A—1——,

4

V7

sin2A=2sinAcosA=------，

4

所以cos2AH——=cos2Acos---sin2Asin-=-------

3J338

18.己知VABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,向量m=(cosA,sin8),5=(a,屜)，且

miln.

(1)求角A的大??；

(2)若q=J7，b=2,求邊c和VA3C的面積.

【答案】(1)-；(2)c=3,VA3C的面積為邁.

32

【解析】

【分析】(1)先由向量共線得到JOcosA-asinB=0,再由正弦定理，結(jié)合題中條件，即可得出結(jié)

果；

(2)根據(jù)余弦定理，先求出c=3；再由三角形面積公式，即可得出面積.

【詳解】(1)因?yàn)闄C(jī)=(cosA,sin8),n=(a,j3b),且mHn,

所以J§Z?cosA-asinB=0，由正弦定理可得J^sinBcosA-sinAsinB=0，

因?yàn)锳,8為VA3C的內(nèi)角，所以A3e(O,%),

因此J^sinBcosA-sinAsinBuO可化為&cosA=sinA，即tanA=百，所以人=亭

(2)因?yàn)閍=幣，b=2,A=y,

由余弦定理可得〃2=H+/—2/?ccosA，即7=4+c2—2c，即c2—2c—3=0，

解得。=3或c=—1(舍)，

所以VABC的面積為S=-&csinA=^.

ABC22

19.如圖，在三棱柱ABC—451cl中，側(cè)面BCCg,A34A均為正方形，AB=BC=1,ZABC=90°,

點(diǎn)。是棱的AG中點(diǎn).

G

(1)求證：BG〃平面ABQ；

(2)求用到平面ABC1的距離.

【答案】(1)證明見解析；

⑵B

3

【解析】

【分析】(1)借助中位線平行來證明線面平行即可;

(2)借助等體積法來求點(diǎn)到面的距離即可.

【小問1詳解】

取48與AB1的交點(diǎn)為E，連接。￡,

由側(cè)面AB4A均為正方形，可得AE=￡B「又因?yàn)辄c(diǎn)。是棱的AG中點(diǎn),

所以。E〃3G，又因?yàn)镈Eu平面A與。，3。］＜2平面人與。，

所以〃平面4片。；

【小問2詳解】

C,

AB

因?yàn)閭?cè)面8。。1與，AAB[A]均為正方形，AB=BC=1,ZABC=90°,

所以CXB=AIB=V2,又因?yàn)辄c(diǎn)o